第一章集合與常用邏輯用語、不等式第1講集合及其運算鏈教材夯基固本激活思維1.(人A必一P9習(xí)題T1改)若集合A＝{x|x2－1＝0}，則下列結(jié)論錯誤的是()A.1∈A B.{－1}?AC.??A D.{－1，1}?A2.(多選)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，則下列判斷正確的是()A.A∪B＝BB.(?RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}C.A∩B＝{x|1＜x≤2}D.(?RB)∪(?RA)＝R3.(人A必一P35復(fù)習(xí)參考題T9改)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，則實數(shù)a＝__．4.(人A必一P9習(xí)題T5改)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為__．聚焦知識1.集合與元素(1)集合中元素的三個特性：__、__、_．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見集合的符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集符號NN*或N＋ZQRC2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系定義記法相等集合A與B的所有元素都相同A＝B子集A中任意一個元素均為B中的元素A?B或B?A真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素AB注意：若集合A中含有n(n≥1)個元素，則集合A有__個子集，__個真子集．3.集合的基本運算集合的并集A∪B集合的交集A∩B集合的補集?UA圖形表示意義{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}4.常見結(jié)論與等價關(guān)系(1)A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?B?A.(2)(?UA)∪A＝__；?U(?UA)＝__．(3)摩根定律：?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說法集合中元素的性質(zhì)例1(1)若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且僅有一個元素，則滿足條件的實數(shù)k的取值集合是__．(2)已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b，0}，則a2024＋b2024＝()A.－1 B.0C.1 D.－1或0變式1(1)(2025·沈陽期初聯(lián)考)設(shè)集合A＝{2，3，4，5}，B＝{1，a＋2，2a＋1}．若A∪B＝{x∈N*|x＜6}，則實數(shù)a＝__．(2)已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且僅有一個元素，則實數(shù)a＝_．集合間的關(guān)系例2(1)(2024·濰坊、濱州一模)已知集合A＝{x|log3(2x＋1)＝2}，B＝{2，a}，其中a∈R.若A∪B＝B，則a＝()A.1 B.2C.3 D.4(2)(2024·濟寧一模)設(shè)集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|－a≤x≤a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是______．(3)(2024·蘇中蘇北八市三調(diào))已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝\f(k,2)＋1，k∈Z))，則()A.M?N B.N?MC.M＝N D.M∩N＝?變式2(1)(2024·揭陽二模)(多選)若集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則M，N可能是()(變式2(1))A.M＝{0，2，4，6}，N＝{4}B.M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞－1}C.M＝{x|y＝lgx}，N＝{y|y＝ex＋5}D.M＝{(x，y)|x2＝y(tǒng)2}，N＝{(x，y)|y＝x}(2)已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C.(－∞，－1)∪[0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0，1)集合間的運算視角1集合的基本運算例3-1(1)(2024·全國甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|eq\r(x)∈A}，則?A(A∩B)＝()A.{1，4，9} B.{3，4，9}C.{1，2，3} D.{2，3，5}(2)(2024·河南濟、洛、平、許三模)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|log2(x2－4x＋5)＜1}，則A∪B＝()A.{x|1＜x＜2} B.{x|2＜x＜3}C.{x|－2＜x＜1} D.{x|－2＜x＜3}(3)(2024·南通模擬)設(shè)U為全集，集合A，B，C滿足條件A∪B＝A∪C，那么下列各式一定成立的是()A.B?AB.C?AC.A∩(?UB)＝A∩(?UC)D.(?UA)∩B＝(?UA)∩C變式3-1(2024·景德鎮(zhèn)三檢)已知全集U＝{x∈N*|x≤8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，5，7}，則{1，6，8}是()A.A∪(?UB) B.?U(A∩B)C.(?UA)∪(?UB) D.(?UA)∩(?UB)視角2利用集合運算求參數(shù)例3-2(2024·阜陽一測)設(shè)集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，且S∪T＝R，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(－∞，－3)∪(－1，＋∞)B.(－3，－1)C.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)D.[－3，－1]變式3-2(2024·合肥一檢)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是_______．集合新定義問題例4(2024·懷化二模)給定整數(shù)n≥3，有n個實數(shù)元素的集合S，定義其相伴數(shù)集T＝{|a－b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)＝1，那么稱集合S為一個n元規(guī)范數(shù)集(注：min(X)表示數(shù)集X中的最小數(shù))．對于集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}，N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}，則()A.M是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集B.M是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集C.M不是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集D.M不是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集變式4設(shè)集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同時滿足：①A?I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的個數(shù)，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為I的一個“好子集”，則I的所有“好子集”的個數(shù)為()A.7 B.8C.9 D.10隨堂內(nèi)化1.(2023·全國甲卷文)設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，則N∪(?UM)＝()A.{2，3，5} B.{1，3，4}C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5}2.(2021·全國乙卷理)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T＝()A.? B.SC.T D.Z3.(2024·聊城一模)已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x－a＜0}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(－∞，－2) B.(－∞，－2]C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)4.(2024·河南濟、洛、平、許四模)定義集合運算：A?B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，2}，B＝{－1，1}，則集合A?B中的所有元素之和為__．5.某班有38名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組．已知有27人參加數(shù)學(xué)小組，有16人參加物理小組，有14人參加化學(xué)小組，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有7人，同時參加物理和化學(xué)小組的有5人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有_人．配套精練一、單項選擇題1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，則A∩B＝()A.{－1，0} B.{2，3}C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}2.(2023·全國乙卷文)設(shè)全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪?UN＝()A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8} D.U3.(2024·南京、鹽城一模)已知全集U與集合A，B的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為()(第3題)A.A∩?UB B.A∪?UBC.B∩?UA D.B∪?UA4.(2024·連云港、如皋聯(lián)考)已知全集U＝R，集合A，B滿足A?(A∩B)，則下列關(guān)系一定正確的是()A.A＝B B.B?AC.A∩(?UB)＝? D.(?UA)∩B＝?5.(2024·揚州期末)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.36.(2024·臨汾三模)已知集合A＝{x|x＞a}，B＝{x|1＜x≤2}，且A∪?RB＝R，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，1] B.(－∞，1)C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)7.(2024·威海二模)在研究集合時，用card(A)來表示有限集合A中元素的個數(shù)．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{x|x＞m}，若card(M∩N)＝2，則實數(shù)m的取值范圍為()A.[2，3) B.[2，3]C.(2，3) D.(2，＋∞)8.(2024·深圳二模)對于任意集合M，N，下列關(guān)系正確的是()A.M∪(?M∪NN)＝M∪NB.?M∪N(M∩N)＝(?M∪NM)∪(?M∪NN)C.M∩(?M∪NN)＝M∩ND.?M∪N(M∩N)＝(?M∪NM)∩(?M∪NN)9.(2024·邢臺一模)設(shè)集合A＝{x|x2－x≤6}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，則下列說法錯誤的是()A.A∩B＝BB.B∩Z的元素個數(shù)為16C.A∪B＝BD.A∩Z的子集個數(shù)為6410.(2024·石家莊三模)某?！拔逡惶飶竭\動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法不正確的是()A.三項比賽都參加的有2人B.只參加100米比賽的有3人C.只參加400米比賽的有3人D.只參加1500米比賽的有1人二、多項選擇題11.已知集合A＝{x|log2x≤0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))\f(y＋1,y－1)≥0))，D＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(z))3z≥\f(1,9)))，則()A.A∪D＝R B.A∩B＝?C.?R(A∪B)D D.?RDB12.(2025·邯鄲期中)下列選項中的兩個集合相等的有()A.P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}B.P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}C.P＝{x|x2－x＝0}，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝\f(1＋(－1)n,2)，n∈Z))D.P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}13.設(shè)Z表示整數(shù)集，且集合M＝{m|m＝5k－2，k∈Z}，N＝{n|n＝10k＋8，k∈Z}，則()A.M∪N＝M B.M∩N＝?C.(?ZM)∪N＝Z D.(?ZM)?(?ZN)14.用Card(A)來表示有限集合A中元素的個數(shù)，例如：A＝{a，b，c}，則Card(A)＝3.已知U是全集，A，B是U的兩個非空真子集，Card(U)＝24.()A.若Card(A)＝18，則Card(?UA)＝6B.若Card(B)＝18，Card(A∩B)＝8，則Card[(?UA)∩B]＝10C.若Card(A)＝12，Card(B)＝16，Card(A∪B)＝20，則Card[(?UA)∩(?UB)]＝8D.若eq\f(Card(A),Card(U))＝eq\f(Card(A∩B),Card(B))，則eq\f(Card(?UA),Card(U))＝eq\f(Card[(?UA)∩B],Card(B))三、填空題15.(2024·池州二模)已知集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，則A∩B＝____．16.(2024·晉城二模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}