微專題1多變量最值問題因式分解雙換元例1(1)已知0＜a＜1，0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，則a＋2b的最大值為（）A.2 B.2eq\r(2)C.3－eq\r(2) D.3－2eq\r(2)(2)已知x2－3xy＋2y2＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值為（）A.eq\r(10)－6 B.eq\r(10)＋6C.2eq\r(10)＋6 D.2eq\r(10)－6變式1設(shè)實數(shù)x，y滿足eq\f(x2,4)－y2＝1，則3x2－2xy的最小值是______________．構(gòu)造二次不等式例2已知正數(shù)a，b滿足a＋b＋eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝10，則a＋b的最大值是_____________．變式2已知x，y＞0，若x＋4y＋6＝eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)，則eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)的最小值是（）A.8 B.7C.6 D.5構(gòu)造齊次式例3已知實數(shù)a，b＞0，若a＋2b＝1，則eq\f(3a,b)＋eq\f(1,ab)的最小值為（）A.12 B.2eq\r(3)C.6eq\r(3) D.8變式3（2024·天津期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足a2－2ab＋9b2－c＝0，則eq\f(ab,c)的最大值為______________．柯西不等式1.柯西不等式的二維形式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立．2.柯西不等式的一般情形：（aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)）·（beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n)）≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時，等號成立．例4(1)已知x，y，z∈R，且2x＋y－eq\r(5)z＝2，則x2＋y2＋z2的最小值是_____________．(2)已知a，b，c均為正數(shù)，若a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為（）A.9 B.8C.3 D.eq\f(1,3)變式4已知a＞1，b＞eq\f(1,2)，且2a＋b＝3，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b－1)的最小值為（）A.1 B.eq\f(9,2)C.9 D.eq\f(1,2)權(quán)方和不等式1.二維形式的權(quán)方和不等式：若a，b，x，y＞0，則eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)時，等號成立．推廣1：eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)＋eq\f(c2,z)≥eq\f((a＋b＋c)2,x＋y＋z)，當(dāng)eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)＝eq\f(c,z)時，等號成立．推廣2：若ai＞0，bi＞0，則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\f(aeq\o\al(2,i),bi)＝eq\f(aeq\o\al(2,1),b1)＋eq\f(aeq\o\al(2,2),b2)＋…＋eq\f(aeq\o\al(2,n),bn)≥eq\f((a1＋a2＋…＋an)2,b1＋b2＋…＋bn)，當(dāng)ai＝λbi時，等號成立．2.一般形式的權(quán)方和不等式：若ai＞0，bi＞0，m＞0，則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\f(aeq\o\al(m+1,i),beq\o\al(m,i))＝eq\f(aeq\o\al(m+1,1),beq\o\al(m,1))＋eq\f(aeq\o\al(m+1,2),beq\o\al(m,2))＋…＋eq\f(aeq\o\al(m+1,n),beq\o\al(m,n))≥eq\f((a1＋a2＋…＋an)m+1,(b1＋b2＋…＋bn)m)，當(dāng)ai＝λbi時，等號成立．例5若對任意的x＞1，y＞eq\f(1,2)，eq\f(x2,a2(2y－1))＋eq\f(4y2,a2(x－1))≥1恒成立，則實數(shù)a的最大值為_____________．變式5若a＞1，b＞1，則eq\f(a2,b－1)＋eq\f(b2,a－1)的最小值為_____________.配套精練1.已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝5，則a＋b的取值范圍是()A.[1，4] B.[2，＋∞)C.(1，4) D.(4，＋∞)2.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)a，b，x，y，滿足eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f((a＋b)2,x＋y)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)時等號成立，則函數(shù)f(x)＝eq\f(3,x)＋eq\f(16,1－3x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,3)))的最小值為()A.16 B.25C.36 D.493.(2024·云南模擬)已知x＞0，y＞0，x＋2y＝3，則eq\f(x2＋3y,xy)的最小值為()A.3－2eq\r(2) B.2eq\r(2)＋1C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋14.已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋4c2＋4d2＝5，則a的最大值為()A.1 B.2C.3 D.45.已知實數(shù)x＞0，y＞0，且x＋eq\f(y,2)＋eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝5，則2x＋y的最大值為()A.10 B.8C.4 D.26.(多選)若a，b是正實數(shù)，且a＋2b＝1，則eq\f(b,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,2ab)的值可能為()A.6 B.eq\f(31,5)C.eq\f(13,2) D.5eq\r(2)7.已知實數(shù)x，y滿足x(x＋y)＝2＋2y2，則7x2－y2的最小值為______________．8.已知x＞0，y＞0，eq\f(x2,4)＋y2＝1，則eq\f(\r(2),2)x＋eq\r(2)y的最大值是_____________．9.已知a，b，c為正實數(shù)，且滿足a＋4b＋9c＝10，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋1)＋eq\f(1,c＋1)的最小值為_____________．10.為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校在高一年級開設(shè)了《數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)》選修課.在某次主題是“向量與不等式”的課上，學(xué)生甲運用平面向量的數(shù)量積知識證明了著名的柯西不等式(二維)：已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則|a·b|2≤|a|2|b|2，即(x1x2＋y1y2)2≤(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2＝x2y1時等號成立．學(xué)生乙從這個結(jié)論出發(fā)，作一個代數(shù)變換，得到了一個新不等式：(x1x2－y