在當前的課堂教學環(huán)境中，由于時間和學生知識水平的限制，教師通常無法全面展示知識的形成和演變過程，更不用說幫助學生建立知識概念之間的復雜聯(lián)系。大概念教學法對教師理解學科知識框架提出了極高的要求。為了滿足不同需求或目標，教師在教學過程中要確保正確講授教材中的知識概念，還要揭示概念的生成過程。這樣才能讓教學的內(nèi)容變得更加豐富，幫助學生理解和掌握知識的核心要領。理想的教學成果，并非堆砌繁雜的知識點，而是讓學生通過主動探索和構(gòu)建，最終形成結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡，并深刻領悟基本的規(guī)律和方法。在這個過程中，教師的角色轉(zhuǎn)變成引導者和促進者，他們通過精心設計教學活動，引導學生探索和發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學生的批判性思維和問題解決能力。大概念教學法不僅是一種教學方法，更是一種教育理念，它鼓勵學生跳出傳統(tǒng)的知識框架，去探索、去創(chuàng)新，從而真正理解和掌握數(shù)學的本質(zhì)。科學是尋求真理道路上的點滴發(fā)現(xiàn)，建立在確鑿無疑的事實之上。然而，若僅僅是事實的堆砌，缺乏邏輯的串聯(lián)，那便不足以稱之為科學。數(shù)學尤其需要這樣的邏輯鏈條來串聯(lián)。在現(xiàn)代教育環(huán)境中，教師應圍繞數(shù)學大概念進行教學規(guī)劃和設計，在教育過程中培養(yǎng)學生的理性思維和科學精神，從而豐富學生的學習維度，促進學生對知識的深層次理解和應用。在這樣的框架下，數(shù)學教學不再是簡單的知識傳遞，而是成為一場理性的探險、一場思維的盛宴。一、教學情分析盡管在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標\"）中“復數(shù)的三角表示\"已不再是考試的必備內(nèi)容，但它作為競賽（說課）活動的主題，卻蘊含著深刻的思考價值。復數(shù)概念的引人，本身就是數(shù)學領域充滿創(chuàng)造力的理論飛躍。數(shù)學學習是揭示數(shù)字和結(jié)構(gòu)之間關系的過程，更是探索和創(chuàng)造的過程，體現(xiàn)了從基本需求到建立完整科學體系的逐步發(fā)展路徑。在這個過程中，數(shù)學思維的理性力量在創(chuàng)新中扮演著重要的角色。然而，僅僅通過遵循固定的規(guī)則來解決數(shù)學題目并不能充分展現(xiàn)這種思維方式的強大動力。以復數(shù)乘法為例，它是復數(shù)單元中的核心概念，展示了復數(shù)作為工具在實際應用中的重要作用。復數(shù)乘法的學習過程不僅涉及數(shù)字和代數(shù)的基本操作，還深入揭示了復數(shù)概念背后的深層數(shù)學原理。通過理解和掌握復數(shù)乘法，學生能夠更好地應用復數(shù)知識解決實際問題，從而加深對數(shù)學整體概念的理解。在課標中，復數(shù)的三角表示被劃分為可選學習內(nèi)容，高考主要考查復數(shù)的四則運算及其基礎的幾何意義。但在課程設置上，復數(shù)的三角表示卻與核心必修內(nèi)容并行。這種課程設計主要基于兩個關鍵原因：首先，復數(shù)的三角表示能將復數(shù)、向量以及三角函數(shù)融為一體，構(gòu)建起一個完整的知識體系。其次，它為簡化特定復數(shù)的乘法和除法運算提供了新的途徑，在數(shù)學計算中扮演了重要角色。更為重要的是，復數(shù)的三角表示是揭示復數(shù)乘法幾何意義的關鍵所在，對于深化學生的復數(shù)概念理解具有重要作用。筆者認為，教學目標不應止步于復數(shù)的兩種表示形式的淺嘗輒止，而是要引導學生深入探究復數(shù)與代數(shù)、向量、幾何之間的聯(lián)系。教師可激發(fā)學生深入探究：“為何復數(shù)的代數(shù)形式需要轉(zhuǎn)換為三角形式？”這不僅能夠提升學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學計算能力，還能夠培養(yǎng)他們深入解決問題的能力。二、教學過程（一）導入教師：在數(shù)學的廣袤宇宙中，有一個公式如同明星般閃耀—（板書），它是許多數(shù)學分支的基石。這個公式就是歐拉公式。它究竟包含了哪些深奧的數(shù)學概念？它是如何將復數(shù)的乘除運算與三角函數(shù)聯(lián)系起來的呢？同學們已經(jīng)掌握了復數(shù)乘除法，本節(jié)課我們將探索復數(shù)的三角表示方法，也就是指數(shù)形式。我們將介紹棣莫弗定理，利用復數(shù)的三角表示來闡釋復數(shù)乘除法的幾何含義。通過這些學習，同學們將更深入地理解復數(shù)在數(shù)學中的地位和作用，以及它們在現(xiàn)實世界中的應用。（二）教學內(nèi)容1.計算N（學生動筆計算，完成后教師出示答案。）解：由定義可知，，可得，所以計算結(jié)果為教師小結(jié)：我們根據(jù)這道例題可以看出，純虛數(shù)在計算冪時具有一定便利性。然而復數(shù)往往并非純虛數(shù)。2.找規(guī)律：探索的規(guī)律）教師出示解題步驟：已知，所以可得根據(jù)上述規(guī)律進行計算可得Z），由此得出結(jié)論，的循環(huán)周期為8，而8是實數(shù)。教師：分析上述題目，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？學生：這些例題看起來都存在周期性。$＼blacktriangle$任務一：尋找其他具有類似周期性的復數(shù)冪運算例子，并試著計算它們的冪次，描述你觀察到的周期性。（學生思考。）教師：如何簡潔地描述這種周期性的規(guī)律呢？學生：如果我們在直角坐標系上繪制這些復數(shù)，可能會更容易看出周期性的規(guī)律教師：非常正確。通過在復平面上繪制這些復數(shù)的冪次，我們不僅能夠直觀地感受到周期性，還能欣賞到數(shù)學的美。現(xiàn)在，讓我們在復平面上描繪出前面兩個例題中的復數(shù)冪次。（教師出示圖1、圖2）圖1圖2教師：觀察后，你們有何發(fā)現(xiàn)？（學生積極討論，并提出各自的見解。）教師小結(jié)：回顧一下，我們在復平面上表示復數(shù)時，主要關注兩個關鍵屬性一復數(shù)點至原點的距離（即模長），該點與實軸正方向的夾角（即輻角）。通過這些圖形，我們可以觀察到，當我們對復數(shù)i進行冪運算時，其對應的向量圍繞原點進行周期性的旋轉(zhuǎn)，但這種旋轉(zhuǎn)并不改變向量的長度。當我們對另一個復數(shù)進行冪運算時，雖然其輻角仍然呈現(xiàn)出周期性變化，但與此同時，模長卻隨著冪次的增加而相應增長。教師：根據(jù)剛才展示的例子和圖形，我們可以從復數(shù)的幾何特性出發(fā)，深入探討復數(shù)乘冪以及乘法運算。為此，我們可以借鑒之前學過的關鍵概念復數(shù)的模長和輻角。圖3教師提問：既然我們決定從幾何視角切入研究復數(shù)，那應采用何種策略讓復數(shù)與幾何學產(chǎn)生關聯(lián)呢？（學生積極思考并展開討論。）教師小結(jié)：若想探究復數(shù)在復平面上的幾何行為，可以采用三角方法。即將復數(shù)的模長和輻角與其實部和虛部相對應，從而在復平面上表示復數(shù)（利用模長和輻角來揭示復數(shù)在復平面上的幾何特性）。教師講解：復數(shù)Z=a+bi與向量對應，和實軸產(chǎn)生正向夾角，角度為θ（0？θ？2π），我們將復數(shù)模長記作∣z∣=r，從幾何視角上來看，a=rcosθ，b=sinθ可得z=rcosθ+rsinθi。為了方便書寫，我們可以將z=rcosθ+rsinθi簡化表示為，這就是教材上所說的“復數(shù)的指數(shù)形式”。接下來，我們嘗試從三角的角度入手，觀察復數(shù)的乘法：此時有兩個復數(shù)：，那么二者相乘可得·$＼begin{array}{rl}amp;我們可以結(jié)合之前所學的和差化積公式，可得如果用指數(shù)形式來表示的話，可以得到教師小結(jié)：你能根據(jù)我們上述的運算推斷出我們今天所學的定理嗎？學生：在復數(shù)的三角形式中，弱項計算兩個復數(shù)的乘積，可以將它們的模相乘，然后將它們的輻角相加。這種簡化了復數(shù)乘法的復雜性，還推導出著名的棣莫弗定理—若，那么r\"eino（三）課堂練習1.使用剛剛驗證的定理來解決的次冪。學生：先用三角形式表示這個復數(shù)利用定理可得2.已知$＼scriptstyle{＼mathfrak{o}}=-{＼frac{1}{2}}+{＼frac{＼sqrt{3}}{2}}i$，計算的值。學生：先使用三角形式表示ω。定理為，因此可得3.自主嘗試推導復數(shù)相除公式（三角表示）。學生：如果用三角表示復數(shù)的除法的話，可得$＼blacktriangle$任務二：從幾何角度出發(fā)，理解復數(shù)的乘除。圖4教師：仔細觀察圖片，你能發(fā)現(xiàn)什么？學生：把兩個復數(shù)進行乘法運算，也就是讓它們各自的模長相乘，再加上它們的輻角。教師：那除法呢？學生：將它們的模長進行除法運算，輻角相減就可以了。教師：復數(shù)三角形式的乘除運算要點可簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加；模數(shù)相除，幅角相減。同學們可在習題解題過程中靈活運用這一特質(zhì)，提高復數(shù)運算能力。（四）課后練習1.將下列復數(shù)代數(shù)式化成三角形式。（2）1-i2.復數(shù)化為代數(shù)形式為。3.已知求，把結(jié)果化為代數(shù)形式，并闡述幾何解釋。4.設πl(wèi)t;0lt;5π，則復數(shù)cos20+isin20的幅角主值為（）。A.2π-3θC.0D.θ-π教師：通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決這些問題時，用到了哪些數(shù)學思想？（小組討論，分享討論結(jié)果。）教師總結(jié)：有三角形式與代數(shù)形式的互化、三角形式的乘法、三角形式的除法等。（五）課后拓展1.數(shù)學巨擘棣莫弗棣莫弗，一位在數(shù)學史上留下深刻印跡的杰出人物，他的一生見證了數(shù)學領域的巨大飛躍。1667年5月26日，他出生于法國一個充滿文化氣息的家庭中。在那個動蕩的年代，棣莫弗不僅更改了國籍，更在數(shù)學領域取得了跨越式的成就。棣莫弗的名字與一項重要的數(shù)學定理緊密相連一一棣莫弗定理，這是他在數(shù)學領域的一大貢獻。他的研究不僅推動了這一學科的發(fā)展，還對后世產(chǎn)生了深遠的影響。除了上述貢獻，棣莫弗在數(shù)學的其他分支也有所涉獵，他的著作為數(shù)學理論的發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。棣莫弗的成就，至今仍然激勵著無數(shù)數(shù)學家和研究者，他的理論和思想繼續(xù)在現(xiàn)代數(shù)學的各個分支中發(fā)揮作用。2.歐拉公式我們所學的復數(shù)的指數(shù)形式還有另外一個名字—一歐拉公式，這一公式是由數(shù)學家歐拉于18世紀發(fā)現(xiàn)的。這一公式在數(shù)學領域具有里程碑意義，它將復數(shù)理論與三角函數(shù)相融合，為復變函數(shù)理論的研討和發(fā)展奠定了基礎。級數(shù)定義才是指數(shù)函數(shù)的嚴格表述。一般而言，指數(shù)函數(shù)可以被定義為：當我們進人大學，就會在微積分中看到，級數(shù)是逐漸收斂的，而且它存在兩個特質(zhì)：根據(jù)上述特質(zhì)，可以提供的嚴格指數(shù)形式定義：三、教學反思數(shù)學的獨到之處在于，它能憑借一些基礎的原則和觀察，通過相對簡潔的邏輯推理，讓看似截然不同思維領域的定理產(chǎn)生關聯(lián)。數(shù)學領域中眾多懸而未決的問題，亟須“未來的數(shù)學家們”探索新路徑，巧妙地運用現(xiàn)有工具，發(fā)明全新的方法來解決。本節(jié)課所提供的案例讓學生重新理解復數(shù)的運算規(guī)則，尤其是復數(shù)的乘法，為教學提供了一個獨特的視角。在筆者看來，數(shù)學教育的核心在于展現(xiàn)思維理性和邏輯推理的力量。教師不應將數(shù)學教學簡化為理論教學，而應保證教學設計始終以邏輯和理性為靈魂。本節(jié)課的處理方式正是這一理念的具體體現(xiàn)，教師鼓勵學生以創(chuàng)新的思維方式，深入理解復數(shù)的四則運算，特別是復數(shù)乘法的幾何意義。通過這種方式，學生不僅能夠掌握知識，更能在解決問題的過程中，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和數(shù)學素養(yǎng)。教師應對