高中數(shù)學競賽試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(4\pi\)D.\(\frac{\pi}{2}\)2.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)4.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((2,2)\)C.\((-2,-2)\)D.\((3,6)\)5.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,-1)\)6.函數(shù)\(f(x)=x^3\)在\(x=1\)處的導數(shù)是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)7.若\(\cos\alpha=-\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt\pi\)，則\(\alpha\)等于（）A.\(\frac{\pi}{3}\)B.\(\frac{2\pi}{3}\)C.\(\frac{4\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{3}\)8.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，則\(a_5\)等于（）A.\(7\)B.\(9\)C.\(11\)D.\(13\)9.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\(\{x|1\ltx\lt2\}\)B.\(\{x|x\lt1或x\gt2\}\)C.\(\{x|2\ltx\lt3\}\)D.\(\{x|x\lt2或x\gt3\}\)10.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(ab=1\)，則\(a+b\)的最小值是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\cosx\)2.下列屬于基本不等式變形的有（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a\gt0,b\gt0\)）C.\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)D.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0,b\gt0\)）3.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質(zhì)正確的有（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.焦點在\(x\)軸D.離心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)4.對于等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，下列說法正確的是（）A.\(a_n=a_1+(n-1)d\)（\(d\)為公差）B.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)C.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)D.公差\(d\gt0\)時，數(shù)列遞增5.以下哪些是向量的運算律（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\cdot\overrightarrow{a}\)6.函數(shù)\(y=\log_2x\)的性質(zhì)有（）A.定義域為\((0,+\infty)\)B.值域為\(R\)C.在定義域上單調(diào)遞增D.圖象過點\((1,0)\)7.下列關(guān)于直線方程的說法正確的是（）A.點斜式\(y-y_1=k(x-x_1)\)B.斜截式\(y=kx+b\)C.兩點式\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)D.一般式\(Ax+By+C=0\)（\(A^2+B^2\neq0\)）8.已知\(\alpha\)是銳角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則以下正確的是（）A.\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)B.\(\tan\alpha=\frac{3}{4}\)C.\(\sin2\alpha=\frac{24}{25}\)D.\(\cos2\alpha=\frac{7}{25}\)9.下列哪些是圓錐曲線（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線10.關(guān)于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0,\omega\gt0\)），說法正確的是（）A.\(A\)決定振幅B.\(\omega\)決定周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.\(\varphi\)決定初相D.圖象可由\(y=\sinx\)通過伸縮、平移變換得到判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域上是減函數(shù)。（）4.向量\(\overrightarrow{a}=(0,0)\)是零向量。（）5.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心是\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）6.等差數(shù)列的前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（）7.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(-x)=f(x)\)。（）8.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\neq0\)）的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)。（）9.三角形內(nèi)角和為\(180^{\circ}\)。（）10.對于指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0,a\neq1\)），當\(0\lta\lt1\)時，函數(shù)在\(R\)上單調(diào)遞減。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2x^2-4x+3\)的對稱軸和頂點坐標。-答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=2\)，\(b=-4\)，對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入得\(y=1\)，頂點坐標為\((1,1)\)。2.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(-1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)。-答案：向量點積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=a_1b_1+a_2b_2\)。這里\(a_1=2\)，\(a_2=3\)，\(b_1=-1\)，\(b_2=2\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=2\times(-1)+3\times2=4\)。3.解不等式\(2x-3\gt5\)。-答案：移項可得\(2x\gt5+3\)，即\(2x\gt8\)，兩邊同時除以\(2\)，得\(x\gt4\)，解集為\(\{x|x\gt4\}\)。4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=3n-1\)，求\(a_1\)和\(a_3\)。-答案：把\(n=1\)代入\(a_n=3n-1\)，得\(a_1=3\times1-1=2\)；把\(n=3\)代入，得\(a_3=3\times3-1=8\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2\)與\(y=2^x\)圖象交點個數(shù)情況。-答案：可通過分析函數(shù)性質(zhì)，\(y=x^2\)是二次函數(shù)，\(y=2^x\)是指數(shù)函數(shù)。當\(x\lt0\)時，通過特殊值可判斷有一個交點；\(x=2\)和\(x=4\)時兩函數(shù)值相等，所以共有三個交點。2.探討在解三角形中，已知兩邊及其中一邊的對角，解的情況。-答案：設已知\(a\)，\(b\)及\(A\)。若\(A\)為鈍角或直角，\(a\leqb\)無解，\(a\gtb\)有一解；若\(A\)為銳角，\(a\ltb\sinA\)無解，\(a=b\sinA\)有一解，\(b\sinA\lta\ltb\)有兩解，\(a\geqb\)有一解。3.說說如何用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。-答案：函數(shù)\(y=f(x)\)在某區(qū)間內(nèi)可導，若\(f^\prime(x)\gt0\)，則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)\lt0\)，則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減；若\(f^\prime(x)=0\)，該點可能是極值點。4.討論等差數(shù)列與等比數(shù)列在實際生活中的應用。-答案：等差數(shù)列如每月固定存錢，利息按單利計算等；等比數(shù)列如細胞分裂、貸款復利計算、人口增長模型等。它們