第十五章

軸對稱

綜合與實(shí)踐

最短路徑問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用軸對稱、平移等變化解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．學(xué)習(xí)重難點(diǎn)利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題.重難點(diǎn)復(fù)習(xí)引入1.如圖，連接A，B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線段最短”2.如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因?yàn)椤按咕€段最短”3.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實(shí)？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)？AlA′如圖，牧民從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧民到河邊的什么地方飲馬可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問題.實(shí)際問題ABl新課講授一、牧民飲馬問題問題1

現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點(diǎn)，如何在l上找到一個點(diǎn)，使得這個點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個交點(diǎn)即為所求.連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.問題2

如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等？ABl利用軸對稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′.作法：（1）作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．ABlB′C問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C

不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．

即

AC+BC

最短．ABlB′CC′如圖,A,B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè),現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個自來水廠分別向兩個鎮(zhèn)供水,如何選擇自來水廠的位置,可使用的水管最短？解：如圖,作點(diǎn)B關(guān)于河邊a的對稱點(diǎn)B′,連接AB′交河邊a于點(diǎn)P,則點(diǎn)P所在的位置為所求的自來水廠的位置.ABaB′P例題解讀二、牧民飲馬問題的拓展問題4

如圖3，牧民從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，最后回到A處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？作圖問題：在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B、C，組成△ABC，使△ABC周長最小.作法：

作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A′，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A′，與OM、ON相交于B、C，連接AB、AC、BC，△ABC即為所求三角形.證明：∵A與A′關(guān)于OM對稱，A與A″關(guān)于ON對稱，∴AB=A′B，AC=A″C，于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A′A″為△ABC的最小值.故牧民先到點(diǎn)C處牧馬，再到點(diǎn)B處飲馬，最后回到A處所走的路徑最短.問題5

如圖，牧民從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？作圖問題：在∠MON的兩邊OM、ON上求作點(diǎn)C、D，使得AC﹢CD﹢DB的長度最小.作法：

作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)E，作點(diǎn)B關(guān)于ON的對稱點(diǎn)F，連接EF交OM、ON于點(diǎn)C、D，即為所求.問題6

牧民每天從生活區(qū)的邊沿A處出發(fā)，先到草地邊的B處飲馬，再到河邊C處飲馬，然后回到A處.如何確定A，B，C的位置，使從A處出發(fā)，到B處牧馬，再到C處飲馬，最后回到A處所走的路徑最短？作圖問題：在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，求使△DEF的周長最小時點(diǎn)D、E、F的位置.作法：

將點(diǎn)D視為定點(diǎn)，先作出△DEF的最小值對應(yīng)的線段D′D"，而后研究D′D"隨著點(diǎn)D的位置變化過程中的最小值即可.無論點(diǎn)D位置在何處，點(diǎn)C對線段D′D"的張角不變，即∠D′CD"的大小不變，為2∠ACB.因而，為使得D′D"最小，只需要CD′=CD"=CD最小即可，顯然當(dāng)CD⊥AB時，有垂線段最小，從而內(nèi)接三角形△DEF的周長最小.三、造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）這是個實(shí)際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？問題7如圖所示，將河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個動點(diǎn)，MN垂直于直線b，交直線a于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)N在什么位置的時候，AM+MN+NB的值最??？ABab??MN分析：

由于河寬是固定的，則MN的大小是固定的.當(dāng)AM+MN+BN的值最小時，也即AM+BN的值最小.ABab??MN你能用數(shù)學(xué)語言說明這個問題所表達(dá)的意思嗎？如圖，直線a，b滿足a//b，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在直線a，b的兩側(cè)，MN為直線a，b之間的距離，則點(diǎn)M，N在什么位置的時候，AM+MN+NB的值最小.ABab??MN分析：

將AM沿著與直線a垂直的方向平移，點(diǎn)M移動到點(diǎn)N，點(diǎn)A移動到點(diǎn)A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此時問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時，A′N+NB的值最小.ABab??MNA′如圖，連接A′，B，線段A′B最短.因此，線段A′B與直線b的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)N的位置，即在此處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的.ABab??MNA′證明：在直線b上另外任意取一點(diǎn)N′，過點(diǎn)N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B.∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，∴A′N+NB<A′N′+BN′.即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′，即AM+NB+MN的值最小.ABab??MNA′M′N′

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.規(guī)律歸納解決最短路徑問題的方法原理線段公理和垂線段最短牧民飲馬問題（拓展）造橋選址問題關(guān)鍵是將固定線段“橋”平移，構(gòu)造平行四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為平行四形的問題最短路徑問題利用軸對稱知識+線段公理小結(jié)隨堂小測1.如圖，直線l是一條河，P，Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD2.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河10003.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個動點(diǎn)，則下列線段的長等于BP+EP最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.ACBADBEPCBP+EP的最小值CP+EP的最小值CE的長4.某大學(xué)建立分校,本部與分校隔著兩條平行的小