第十三章

三角形13.2與三角形有關(guān)的線段13.2.2三角形的中線、角平分線、高知識(shí)關(guān)聯(lián)

定義

圖示垂線線段中點(diǎn)角平分線OBAAB當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線┐請(qǐng)同學(xué)們嘗試解決下面的三個(gè)問題:知識(shí)關(guān)聯(lián)

1.如果將一張三角形紙片只剪一刀，你能將其面積分成相等的兩部分嗎?2.一張三角形紙片，要把它分成面積相等的四塊，你有幾種不同的分法?3.你能通過測量計(jì)算，得到一張三角形紙片的面積嗎?如圖所示，在△ABC中，有一條線段，一端點(diǎn)在頂點(diǎn)A處，另一端點(diǎn)從點(diǎn)B沿著BC邊移動(dòng)到點(diǎn)C，觀察移動(dòng)過程中形成的無數(shù)條線段(AD、AE,…)中，有沒有特殊位置的線段？你認(rèn)為有哪些特殊位置？探究與應(yīng)用

【情境問題】(1)有一條線段經(jīng)過邊BC的中點(diǎn);(2)還有一條線段平分∠BAC.(3)在這些線段中，有一條線段垂直于邊BC;說明：這三條線段是三角形的重要線段；分別是三角形的中線、角平分線和高。

探究與應(yīng)用

【探究1】三角形的中線定義及性質(zhì)1、定義：連接三角形的頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.思考：①一個(gè)三角形有幾條中線？②△ABE、△ACE的面積有怎樣的關(guān)系？符號(hào)語言∵AE是△ABC的BC邊上的中線;∴BE=EC=BC三條相等如圖AE是△ABC邊BC上的中線注意：三角形的中線將三角形的面積等分1.如果將一張三角形紙片只剪一刀，你能將其面積分成相等的兩部分嗎?課堂小結(jié)與檢測

【探究1】三角形的中線定義及性質(zhì)沿三角形任意一邊的中線剪開即可ACB

探究與應(yīng)用

【探究1】三角形的中線定義及性質(zhì)銳角三角形(1)

這三條中線之間有怎樣的位置關(guān)系？(2)銳角三角形的三條中線是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條中線交于同一點(diǎn)；銳角三角形的三條中線都在三角形的內(nèi)部.2.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線,并觀察所作的圖形，看看你有什么發(fā)現(xiàn)?

探究與應(yīng)用【探究1】三角形的中線定義及性質(zhì)直角三角形鈍角三角形

三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是三角形的重心.

探究與應(yīng)用中線有幾條中線之間是否相交相交交點(diǎn)位置中線在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形直角三角形銳角三角形333相交相交相交333三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部三角形的三條中線的特性：

【探究1】三角形的中線定義及性質(zhì)探究與應(yīng)用

【理解應(yīng)用】例1

在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求△ABC的各邊長．解：設(shè)AB=AC＝xcm，則AD＝CD＝

xcm.(1)如圖①，若AB＋AD＝12cm，則x＋

x＝12.解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，則CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此時(shí)AB＋AC＞BC，三角形存在，所以三邊長分別為8cm，8cm，11cm.

探究與應(yīng)用(2)如圖②，若AB＋AD＝15cm，則x＋

x＝15.解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，則CD＝5cm.故BC＝12－5＝7(cm)．顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長分別為10cm，10cm，7cm.綜上所述，△ABC的三邊長分別為8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm.

【理解應(yīng)用】1.三角形的角平分線定義：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫三角形的角平分線.探究與應(yīng)用【探究2】三角形的角平分線定義及性質(zhì)∵AM是△ABC中∠BAC的平分線;∴∠1=∠2=∠BAC思考：三角形的角平分線在三角形的什么部位？它們有交點(diǎn)嗎？都在三角形的內(nèi)部有交點(diǎn)注意：“三角形的角平分線”是一條線段.2.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，并觀察所作的圖形，看看你有什么發(fā)現(xiàn)?探究與應(yīng)用【探究2】三角形的角平分線定義及性質(zhì)直角三角形鈍角三角形銳角三角形三角形的三條角平分線交于同一點(diǎn).1.三角形的高線定義：

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形這邊上的高線，簡稱三角形的高。如圖，線段AD就是BC邊上的高探究與應(yīng)用【探究3】三角形的高線定義及性質(zhì)∵AD是△ABC的BC邊上的高;∴AD⊥BC于點(diǎn)D;∴∠ADB=∠ADC=90°

注意：標(biāo)明垂直的記號(hào)和垂足的字母.思考：分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，并觀察所作的圖形，看看你有什么發(fā)現(xiàn)?探究與應(yīng)用【探究3】三角形的高線定義及性質(zhì)銳角三角形DEFOABC(1)

這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？(2)銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點(diǎn)銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.

探究與應(yīng)用

鈍角三角形ABCDEFO(2)鈍角三角形的三條高交于一點(diǎn)嗎？(3)它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn)鈍角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)。(1)AC邊上的高是？AB邊上的高是？BC邊上的高是？BFCEAD【探究3】三角形的高線定義及性質(zhì)探究與應(yīng)用【探究3】三角形的高線定義及性質(zhì)直角三角形ABCD直角邊BC邊上的高是

;直角邊AC邊上的高是

;(2)

AB邊上的高是

;(1)

畫出直角三角形的三條高,它們有怎樣的位置關(guān)系？直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn)。ACBCCD

探究與應(yīng)用三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形直角三角形銳角三角形311相交相交不相交相交相交相交三條高所在直線的交點(diǎn)的位置三角形內(nèi)部直角頂點(diǎn)三角形外部【探究4】三角形的高線定義及性質(zhì)探究與應(yīng)用【理解應(yīng)用】

例2

作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)總結(jié)：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上．D

探究與應(yīng)用【理解應(yīng)用】

例3

如圖，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB

的度數(shù)．解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.ABCDE∟探究與應(yīng)用

【拓展提升】

如圖，BE、CF均是△ABC的中線，且BE=CF，AM⊥CF于點(diǎn)M，AN⊥BE于點(diǎn)N。求證：AM=AN.證明:∵BE,CF均是△ABC的中線,∴.∵AM⊥CF,AN⊥BE,∴AM·CF=AN·BE.又∵BE=CF,∴AM=AN.已知△ABC，如何將它分成四個(gè)面積相等的三角形?探究與應(yīng)用

【拓展提升】

課堂小結(jié)與檢測

【小結(jié)】高中線角平分線三角形重要線段三角形的三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心會(huì)把原三角形面積平分一邊上的中線把原三角形分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，在三角形內(nèi)部三角形的三條高相交于一點(diǎn)，可以在三角形的內(nèi)部、外部、邊上

【檢測】課堂小結(jié)與檢測2.三角形一邊上的中線把原三角形一定分成兩個(gè)(

)A．形狀相同的三角形

B．面積相等的三角形C．直角三角形

D．周長相等的三角形B1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高()

ADCBABCDABCDABCDABCDD【檢測】課堂小結(jié)與檢測3.填空：（1）如圖①，AD,BE,CF是△ABC的三條中線，則AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿AFDCAC(2)如圖