高中數(shù)學《立體幾何》大題及答案解析（理）

1.（2009全國卷I）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側棱上，。

（I）證明：是側棱的中點；

（II）求二面角S-A"-8的大小。

2.（2009全國卷II）如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中,AB_LAC,D.E分別為AA1.B1C的中點,DE

平面BCC1（I）證明：AB=AC（II）設二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成

的角的大小

3.（2009浙江卷）如圖，平面，，，，分別為的中點.（I）證明：平面；（H）求與平

面所成角的正弦值.

4.（2009北京卷）如圖，四棱錐的底面是正方形，，點E在棱PB上.（I）求證：平面；（II）

當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，立面，，.以的中點為球心、為

直徑的球面交于點.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線PC與平面A3M所成的角；

（3）求點到平面的距離.

6.（2009四川卷）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三

角形，（I）求證：；

（II）設線段、的中點分別為、，求證：〃

（III）求二面角/一ND—A的大小。

7.（2009湖北卷文）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD_L平面ABCD,SD=AD=a，點E

是SD上的點，且DE=a（0<Wl）.

（1）求證：對任意的（0、1）,都有ACJ_BE:

（II〕若二面角C-AE-D的大小為600C,求的值。

G

8.(2009湖南卷)如圖3,在正三棱柱中，AB=4,，點D是

BC的中點，點E在AC上，且DEE.(I)證明：平面

平面；(H)求直線AD和平面所成角的正弦值。

9.(2009四川卷)如圖，正方形所在平面與平面四邊形所

在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

(I)求證：；

(II)設線段、的中點分別為、，

求證：〃

(III)求二面角尸一3O-A的大小。

10.(2009重慶卷文)如題(18)圖，在五面體中,

平面，.求：

(I)直線AN到平面EFCO的距離；

(II)二面角的平面角的正切值.

題(18)圖

11.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ZDAB=60°,AB=2AD,PD_L

底面ABCD.

⑴證明：PA1BD；

(2)設PD=AD,求二面角A-PB-C的余

弦值.

12(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足為

H,

(1)PH是四棱錐的高，E為AD中點

(2)證明：PEBC

若APB=ADB=60°,求直線PA與平面

PEH所成角的正弦值

B

參考答案

1.【解析】(I)解法一：作〃交于N,作交于E,

連ME、NB,則面，，

設，則，

在中,

在RT\MNE中由A/爐=NE2+MN?3d=x2+2

解得，從而.M為側棱的中點M.

解法二:過M作CD的平行線.

(II)分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角

也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。

過M作M/〃CD交SQ于人作S"，A/交A7于"，作"K_LAM交AM于K,則

〃CO,力W_L面SAD^SAD面MBA,SHJ_面AMB4SKH即為所求二面角的補

角.

法二：利用二面角的定義c在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，取

SA的中點G,連GF,易證，則即為所求二面角.

解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系D—xyz,則。

(I)設，則

BA=(0-2,0),BM=(-429a-29b)JSM=(0,a,6-2),

,由題得

—......-1

cos<BA,BM>=—

?2,即

SM//SC

-2(〃-2)_1

?2?^(a-2)2+b2+25解之個方程組得。==1即"(0,1,1)

-2a=2(b—2)

所以〃是側棱SC的中點。

法2:設，則

又前=(0,2,0),vMB,AB>=6(f

故MB?A8=|Mb|?|A〃|cos60",即

,解得，

所以M是側棱SC的中點。

(H)由(I)得，又，，

設分別是平面、的法向量，則

且，即且

分別令得，即

*=(四J,1),云=(V2,0,2)，

.一一-2+0+2R

..COS<>=-------f=-=——

~2.V63

二面角S-AM-B的大小n-arccos

3

2.解法一：(I)取BC中點F,連接EF,則EF,從而EFDA。

連接AF,則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE_L平面，故AFJ_平面,從而AF_LBC,

即AF為BC的垂直平分線，所以AB=ACo

(II)作AG±BD,垂足為G,連接CGo由三垂線定理知CG1BD,故NAGC為二面角AT3D-C的平

面角。由題設知，NAGC=600..

設AC=2,則AG=.又AB=2.BC=,故AF=.

由得2AD=，解得AD二。

故AD二AF。又ADJ_AF,所以四邊形ADEF為正方形。

因為BCJ_AF,BC±AD,AFAAD二A,故BC_L平面DEF,因此平面BCDJ_平面DEF。

連接AE、DF,設AEADF=H,則EH_LDF,EH_L平面BCD。

連接CH,則NECH為與平面BCD所成的角。

因ADEF為正方形，AD二，故EH=1,又EO=2,

所以NECH=300,即與平面BCD所成的角為300.

解法二：

(I)以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示

的直角坐標系A—xyzo

設B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),則(1,0,2c),E(,,c).

于是二(，,0),二(-l,b,0).由DE_L平面知DEJ_BC,=0,求得b=l,所以AB二AC。

(Il)設平面BCD的法向量AN=(x,y,z),則ANBC=0,ANBD=0.

又二(-1,1,0),

=(-1,0,c)，故

1->1

令x=l,則y=l,z=一，AN=(1,1,-).

cc

又平面的法向量二(0,1,0)

由二面角為60°知，=60°,

故°,求得

于是，

所以與C與平面3CQ所成的角為30°

3.(1)證明：連接,在中，分別是的中點，所以，又，所以，又平面ACD,DC

平面ACD,所以平面ACD

(II)在中，，所以

而DC平面ABC,，所以平面ABC

而平面ABE,所以平面ABE平面ABC,所以平面ABE

由(I)知四邊形DCQP是平行四邊形，所以

所以平面ABE,所以直線AD在平面ABE內的射影是AP,

所以直線AD與平面ABE所成角是ND4P

在中，，

由、「/MPDP1V5

所以sin/DAP=---=—j=——

AD455

4.【解法1](l)???四邊形ABCD是正方形，???AC_LBD,

?.?PD±底面ABCD,

APD±AC,??.AC_L平面PDB,

???平面AECJ_平面PZM.

(II)設ACABD=O,連接OE,

由(I)知AC_L平面PDB于O,

???ZAEO為AE與平面PDB所的角，

AO,E分別為DB.PB的中點,

AOE//PD,，又；，

???OE_L底面ABCD,OE±AO,

在RtAAOE中，,

???，即AE與平面PDB所成的角的大小為.

【解法2］如圖，以D為原點建立空間直角坐標系口，

設AB=a,PD=h,

則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0M,0),D(0,0,0),P(0,0M),

(I),??，

ACDP=O,XC5B=O,

AAC1DP,AC1DB,.,.AC_L平面PDB,

???平面AEC_L平面PQB.

(II)當且E為PB的中點時，，

設ACABD=O,連接OE,

由(I)知AC_L平面PDB于O,

???ZAEO為AE與平面PDB所的角，

??

./人必EAEOV2

..cosZ.AEO=i3?=—,

叫回2

???，即AE與平面PDB所成的角的大小為.

二.多面體ABCDEF的體積為VE—ABCD+VE—BCF=2?

5.解:方法(—):

(1)證：依題設，M在以BD為直徑的球面上，則BMJ_PD.

因為PAJ_平面ABCD,則PAJ.AB,又ABJ.AD,

所以AB_L平面PAD,則AB_LPD,因此有PD_L平面ABM,所以平面AB1\4_1_平面「C

D.

（2）設平面ABM與PC交于點N,因為AB〃CD,所以AB〃平面PCD,則AB〃MN

"CD,

由（1）知，PD_L平面ABM,則MN是PN在平面ABM上的射影，

所以就是與平面所成的角，

且/PNM=/PCD

tan/PNM=tan/PCD=—=272

DC

所求角為arctan2

（3）因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半,

由（1）知，「口，平面八8乂于乂，則|DM|就是D點到平面ABM距離.

因為在Rl^PAD中，，，所以為中點，，則O點到平面ABM的距離等于。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，，，，，

設平面的一個法向量，由可得：，令，則，即.設所求角為，則，

所求角的大小為arcsin2叵.

3

（3）設所求距離為，由，得：

6.【解析】解法一：

因為平面ABEF_L平面ABCD,BC平面ABCD,BC±AB,平面ABEFA平面ABCD二AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC_LEF.

因為/ABE為等腰直角三角形，AB=AE,

所以NAEB=45°,

又因為NAEF=45,

所以NFEB=90°,即EF_LBE.

因為BCu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCHBE=B

所以石尸，平面3CE

.....................................................................6分

（II）取BE的中點N,連結CN,MN,則MN幺->\B工PC

2

???PMNC為平行四邊形，所以PM〃CN.

CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，

.PM〃平面BCE.......................................................................................8分

(Ill)由EAJ_AB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EAJ_平面ABCD.

作FG±AB,交BA的延長線于G,則FG〃EA.從而FG_L平面ABCD,

作GH±BD于H,連結FH,則由三垂線定理知BD±FH.

???ZFHG為二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,ZAEF=45°,

ZAEF=90°,ZFAG=45°.

設AB=1,則AE=1,AF=g，則FG=AF-sinFAG=-

22

,?13

在Rt/BGH中，NGBH=45°0,BG=AB+AG=1+一二一，

22

Rr.rRU3723>/2

GH=BG?sinGBH=—?—=----,

224

FGJ2

在Rt/FGH中，tanFHG==,

GH3

???二面角/一40—A的大小為arctan理

3

12分

解法二：因等腰直角三角形，，所以

又因為平面，所以_L平面，

所以A￡JLAD

即40、AB.AE兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系,

(I)設，則，

從而下(0,

22

而=(。,4彳)，^=(0,-1,1),^=(1,0,0)

于是，

??.EF±BE,EF±BC

,/平面，平面，

.?.EF±平面3c石

(II),從而

于是麗?麗二(一|,(0,—工,一,)=0十,一L二o

222244

???_L，又，平面，直線不在平面內,

故PAf〃平面3CE

(III)設平面的一個法向量為，并設=(

*,31

BD=(1-1,O),BF=(O,--,-)

22

x-y=0

%?BD=O

即V31八

/?1?BF=0——y+—z=0

2-2

取，則，，從而=(1,1,3)

取平面ABDD的一個法向量為n2=(0,0,1)

——小?%33布

cos<%、n)>==—f=—

…2而111

3VTT

故二面角的大小為arccos

7T

7、(I)證發(fā)1:連接BD,由底面是正方形可得ACBDO

SD平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂線定理得ACJLBE.

(II)解法1:SD平面ABCD,CD平面ABCD,SDCD

又底面ABCD是正方形.CDAD,又SDAD=D,C平面SADo

過點D在平面SAD內做DFAE于F,連接CF,則CFAE,

故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=60°

在RtZ\ADE中，AD=，DE=,AE=。

于是,DF=

在RtZ\CDF中，由coi6(T=

得，即=3

，解得=

8、解:（I）如圖所示，由正三棱柱的性質知平面.

XDE平面ABC,所以DE.而DEE,,

所以DE_L平面.又DE平面，

故平面\DEJ_平面ACClAl.

（II）解法1:過點A作4E垂直4E于點尸，

連接DF.由（I）知，平面J_平面，

所以AF1平面A，故么DF是直線AD和

平面所成的角。因為DE,

所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，

于是AD=,AE=4-CE=4-=3.

又因為，所以E==4,

人匚AEA4,377.AF向

AF=------------=-------,sin/ADF=------=--------.

\E4AD8

而

即直線AD和平面A}DE所成角的正弦值為今一

解法2:如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系,

則相關各點的坐標分別是A（2,0,0,）,A（2,0,J7）,D（-l,右,0）,E（-1,0,0）.

易知=（-3),=(0,-,0),=(-3,,0).

設是平面的一個法向量，則

UUO'L

n-DE=—>/3y=0,

<rumvf-「

nA^D=-3x+J3y-J7z=0.

s

解得x=------Z,y=0.

3.

故可取;z=(V7,0,-3).于是

IUUUL,-

/「腔'-3V7V21

cos(n,AD)=-r-mst-=------產(chǎn)=---------

、/n-AD4x2g8

由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為

所以ME與BN不共面，它們是異面直線?！?.12分

9、【解析】解法一：

因為平面ABEF_L平面ABCD,BC平面ABCD,BC±AB,平面ABEFn平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC_LEF.

因為/ABE為等腰直角三角形，AB二AE,

所以NAEB=45°,

又因為NAEF=45,

所以NFEB=90°,即EFJ_BE.

因為BCu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCABE二B

所以所，平面8CE6分

(II)取BE的中點N,連結CN,MN,則MN幺-AB^PC

2

???PMNC為平行四邊形，所以PM〃CN.

?.*CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，

.PM〃平面BCE.............................................................................................................8分

(III)由EA_LAB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EA_L平面ABCD.

作FG_LAB,交BA的延長線于G,則FG〃EA.從而FG_L平面ABCD,

作GH±BD于H,連結FU,則由三垂線定理知BD±FH.

???ZFHG為二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,ZAEF=45°,ZAEF=90°,ZFAG=45°.

V21

設AB=1,則AE=1,AF=-^,則FG=AF?sinFAG=—

22

,,。13

在RtZJBGH也NGBH=45°,BG=AB+AG=1+一=一

22

GH=BG-sinGBH=--—=—,

224

在RtZlFGH中，tanFHG=,

GH3

二面角/一3￡)-4的大小為arctan旦12分

3

解法二：因等腰直角三角形，，所以

又因為平面，所以，平面，所以

即A。、AB.AE兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系,

⑴設，則，

從而反(0,

22

—k11-*—

EF=(0,----),BE=(0-1,1),BC=(1,0,0)

22

于是，

??.EF±BE,EF±BC

,/平面，平面，

??.EF±平面3CE

(II),從而

■—11I|

于是PMEF=(-l,--,-)-(0=0+---=0

222244

±,又，平面，直線不在平面內,

故PM〃平面3CE

(III)設平面的一個法向量為，并設=(

―?—31

BD=(1,-1,O),BF=(O--,-)

22

x-y=0

%BD=O

即《

『而二()31八

----VH----Z=0

2-2

取,則，從而=(1,1,3)

取平面ABDD的一個法向量為a=(0,0,1)

%33vn

cos<〃］、〃2>=T

VHI-ii

37TT

故二面角尸一皮>-A的大小為arccosIT

10、解法一：(I)平面,AB到面的距離等于點A到面的距離，過點A作于G因

〃，故；又平面，由三垂線定理可知，，故，知，所以AG為所求直線AB到面

的距離。

在中，

由平面，得AD,從而在中，

2^j5_即直線到平面的距離為氈。

...AG=FAAD==oABEfCO

FD舊55

(II)由己知，平面，得AD,又由，知，故平面ABFE

,所以，為二面角的平面角，記為.

在RfAAED中，AE=\lED2-AD2=V7^4=>/3，由口ABCD得,FE\\BA，從而

吟

OCu面砂CO,所以直線AB到面EFCD的距離等于點A到面EFCD的距離。設A點在

平面EFCQ上的射影點為G($，M，Z]),則會一(不，必凸)因而?麗^=0且Z3.國=0,而

赤=(0,-2,1)

—?-2y.+z,=0

。。=(一2,0,0),此即《力1解得％=0①，知G點在yoz面上，故G點在FD上.

l-2^i=0

不||而，而二(—七,—%―4+1)