數(shù)列及等差數(shù)列

高考要求

要求層次重難點

根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式

數(shù)列的概念數(shù)列的概念和表示法A

根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項

等差數(shù)列的概念B等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用

等差數(shù)列等差數(shù)列的通項公式與靈活應(yīng)用求和公式解決問題

C

前〃項和公式

目tw蛆例題精講

板塊一：數(shù)列概念與基礎(chǔ)知識

(-)知識內(nèi)容

i.數(shù)列：按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，它可以有限，也可以無限.

2.數(shù)列的項及通項：

數(shù)列中的每個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(首項)，第2項，…，第〃項.

數(shù)列的一般形式可以寫成：q,%，為，」或簡記為｛4｝，其中〃"是數(shù)列的第〃項，又稱為數(shù)列

的通項.

3.數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛&｝的第〃項與序號〃之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式4=/(〃)來表示，則稱這個公式為這

個數(shù)列的通項公式.

4.數(shù)列的分類

數(shù)列的分類方式一般有三種：

⑴項數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列；

⑵從第2項起每一項都比它的前一項大的數(shù)列稱為遞增數(shù)列；從第2項起，每一項都比它的前一項

小的數(shù)列稱為遞減數(shù)列；這兩種數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.各項都相等的數(shù)列稱為常數(shù)列；既不是單

調(diào)數(shù)列，又不是常數(shù)列的，稱為擺動數(shù)列，即有些項小于它的前一項，有些項大于它的前一項；

⑶如果數(shù)列的任一項的絕對值都小于某個正數(shù)，則稱此數(shù)列為有界數(shù)列，否則稱為無界數(shù)列.

5.數(shù)列的表示方法

數(shù)列是定義域為正整數(shù)集(或它的一個有限子集［1,2,3,…，川)的一類特殊的函數(shù)/(〃)，數(shù)列的通

項公式也就是函數(shù)的解析式.

數(shù)列的表示方法通常有三種：

⑴通項公式法(對應(yīng)函數(shù)的解析式法)：

⑵圖象法(無限多個或有限多個孤立的點，取決于是無窮數(shù)列，還是有窮數(shù)列)；

⑶列表法.

6.數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列的第一項，且從第二項開始的任一項q與它的前一項間的關(guān)系可以用一個公式

來表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的遞推公式.例如，a.=\,a?=an_x-2(n^2).

給出遞推公式和初始值的數(shù)列是一個確定的數(shù)列，所以遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，即遞

推法.

7.數(shù)列的前〃項和

數(shù)列｛%｝的前〃項和定義為：5”=4+生+%++〃”.

數(shù)列的前〃項和構(gòu)成了一個新的數(shù)列｛s“｝,且

例如：數(shù)列｛凡｝:2,4,6,8,10.,是一個遞增數(shù)列，且是無窮數(shù)列，無界數(shù)列,

它的首項4=2,e=2〃是它的一個通項公式；

其中4=2,a“=/_]+2(〃22)是它的一個遞推公式；

戶:的前〃項和S”=2+4+.+2〃=2(1+2++〃)=用〃+1).

〈教師備案＞1.提醒學生注意｛%｝和4的區(qū)別，前者表示一個數(shù)列，后者表示數(shù)列中的一項：第〃項，

也稱為數(shù)列的通項.

2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的定義域為一個離散的集合，是自然數(shù)集或自然數(shù)集的有

限子集(1,2,3,,〃｝,用圖象法表示數(shù)列時，圖象是一組離散的點，其橫坐標分別為正

整數(shù):1,2,3,….

3.⑴并不是所有的數(shù)列都有通項公式，就像并不是所有的函數(shù)都能有解析式一樣，

例如：兀的不足近似值精確到1,0.1,0.01,0.001,所構(gòu)成的數(shù)列：

3,3.1,3.14,3.141,3.1415,,該數(shù)列就沒有通項公式.

(2)數(shù)列的通項公式存在時，在形式上也不一定是唯一的，例如，數(shù)列的

通項公式可以寫成。.=(-1)”,也可以寫成q=尸監(jiān)震，

1"為偶數(shù)

還可以寫成4“=cosn7t.

(3)對于只寫出前幾項的數(shù)列，不僅可以有形式上不同的解析式，也可以有表示的數(shù)列

就不相同的通項公式，因為僅僅知道幾個點不能完全確定一個函數(shù)，即后面的項可以

不對應(yīng)相等.例如，給定數(shù)列｛〃“｝的前四項：1.3.5.7,我們得到q=2〃-1是它的一

個通項公式，同時，=2〃-1+(〃-1)(〃-2)(〃-3)(〃-4)也是它的一個通項公式，但我們

有%=9/々=33.所以通常只要求寫出一個滿足條件的通項公式即可.

4.遞推公式的可以推廣為：如果已知數(shù)列的前〃項，且從第〃+1項開始的任一項與它前

幾項間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

例如，&=1也=1也=仇_2+2-1(〃23).由這些條件我們可以求出也｝的任意一項來：

4=2也=3也=5也=8,…,這個數(shù)列就是著名的斐波那契數(shù)列.

(-)主要方法:

求數(shù)列的通項公式有四種辦法，首先是觀察法，第二是累加法，第三是迭乘法，第四是構(gòu)造己

知數(shù)列的方法;關(guān)于第四種方法也就是根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式的方法，在木講和下一講會分別

講解這類問題，建議教師強調(diào)數(shù)列的遞推公式的重要性，等差數(shù)列的概念和等比數(shù)列的概念都是根據(jù)連

續(xù)兩項之間的關(guān)系給出的，可見其重要作用.

求數(shù)列的通項公式一共三種題型，⑴已知數(shù)列的前幾項，求通項公式，⑵已知數(shù)列的前〃項和與4

的關(guān)系，求通項公式;⑶已知遞推公式求通項公式

（三）典例分析：

1.數(shù)列的基礎(chǔ)概念，觀察法求數(shù)列規(guī)律

【例1】請寫出下面數(shù)列的一個通項公式.

（1）2,0,2,0,2,…

【變式】⑴已知數(shù)列｛叫滿足4J+1（〃22）,若4=0,則。=

（2）請寫出下面數(shù)列的一個通項公式：0.9,0.99,0,999.0.9999,

【變式】⑴請寫出下面數(shù)列的一個通項公式：2,8,”…，

222

⑵請寫出下面數(shù)列的一個通項公式：I,2,3,4,5,8,7,I6,9…,

⑶（2008-2009學年度山東省費縣第一學期考試數(shù)學試卷）

已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項和Sn=/+3n+1,求通項an.

【變式】觀察下列等式:

326

Z/4

1-1

+工〃」/

1212

I」,+

=—〃+—〃+一〃L,

i-l722642

=a*””=++ak-2nk2+…+4〃+《),

1-1

可以推測，當〃22時，a』=—!—=■,《_[=_

2+12

Clk-2=------------

【例2】已知數(shù)列｛%｝滿足：a^y=1,a4n_t=0,a2n=an,reN,,則。.=；〃234

【例3]⑴根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，在空格及括號中分別填上適當?shù)膱D形和數(shù),

寫出點數(shù)的通項公式.

(1)(4)⑺()

⑵將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:

1

23

456

78910

按照以上排列的規(guī)律，第〃行(〃N3)從左向右的第3個數(shù)為

【變式】如下圖，第⑴個多邊形是由正三角形”擴展”而來，第⑵個多邊形是由正方形“擴展”而

來，……，如此類推.設(shè)由正〃邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為4,

貝|］牝=_________

(1)

【變式】觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交,交點的個數(shù)最多是(),

其通項公式為.

A.40個B.45個C.50個D.55個

2條直線相交,3條直線相4條直線相

最多有1個交交，最多有3交，最多有6

個書占個書占

【例4】將正分割成〃2(〃力2,〃wN*)個全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了〃=2,

3的情形)，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于AA8C的三邊及平行于某邊的任一直

線上的數(shù)(當數(shù)的個數(shù)不少于3時)都分別依次成等差數(shù)列.若頂點4,4,C處的三個數(shù)

互不相同且和為I,記所有頂點上的數(shù)之和為/(〃)，則有/(2)=2,/(3)=,,

/(〃)=?

S(n=I)

2.應(yīng)用a=>t,求通項

n5”-S,i(〃22)

［例5］已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項和Sn=2ir+n,則a3=.

【變式】數(shù)列｛2｝的前〃項和S.滿足：S”=3”-2,試求｛對｝的通項公式.

【變式】數(shù)列｛七｝的前〃項和S”=〃2（〃ei）,求它的通項公式.

【變式】一個數(shù)列的通項公式是4=，/-8〃+13,寫出此數(shù)列的前五項，并求此數(shù)列的最小項的值？

【例6】已知數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和，=/一9〃+1,則其通項%=；若它的第攵項滿足

5<ak<8,k=.

【變式】已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S.=/—9〃，第k項滿足5</<8,貝1*=（）

A.9B.8C.7D.6

3.數(shù)列遞推公式

【例7】已知數(shù)列｛〃“｝對任意的〃，qwN'滿足4』=4+%,且外=~6，那么4）等于（）

A.-165B.-33C.-30D.-21

【例8】數(shù)列｛q｝的通項公式是若它的前〃項和為10,則項數(shù)〃為.

【變式】⑵已知數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“=g〃（5〃-l）,,現(xiàn)從前〃?項：q,a2i■?1,4”中抽

出一項（不是“,也不是分）,余下各項的算術(shù)平均數(shù)為37,則抽出的是第一項.

【例Q⑴（廣東省惠陽高級中學2008-2009學年期中考試）

數(shù)列｛凡｝的通項公式是4="F（〃CN'）,若前〃項的和為3，則項數(shù)為（）

+'11

A.12B.11C.10D.9

⑵數(shù)列｛.“｝中，4=1,對所有的〃22,都有年生9，?%=，/,

求數(shù)列｛〃”｝的通項公式例.

【例10】已知數(shù)列｛q｝,4=1,前〃項和S“滿足5”=反-S"T瘋=2JS.S,i,

則a”=______

2/，0Wq,Q

【例II】⑴數(shù)列｛%｝滿足.=??2,若q=:,則數(shù)列的第2007項為()

2an-\f-^an<\"

。

A.1B.2C.D.1

5555

a〃T+」一（〃22）,q=l,求出此數(shù)列的一個通項公式；

（2）已知an-

n（n-1）

⑵數(shù)列｛〃"｝中，4=2,4+]=a“+3,求｛，“｝的一個通項公式;

4.數(shù)列的前n項和

【例12】已知｛〃“｝的前〃項之和5'=n2-4n+1,則同+同+…+|a.|=

【變式】數(shù)歹lj｛a”｝的前〃項和S0=〃2-4〃，則|4|+|%|++|6f10|=.

【變式】數(shù)列｛4｝的前〃項和S”=〃2-4〃，2=|可|,則數(shù)列也｝的前〃項和（=.

【例13】已知數(shù)列凡=----------,求它的前〃項和S”.

"〃（〃+1）（〃+2）

【點評】常見的裂項相消的方法有:

分式:

〃(〃+〃)pnn+p

1_11[

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(n+1)(/?+2)

才艮式：—=~\----='(J〃+〃-4fi);

〃p

對數(shù)式：1g〃+''=lg(〃+〃)-lg〃;

指數(shù)式：叼"=，一(/-4的).

i-q

【變式】⑴已知《=/1/,求它的前〃項和S“.

\+5/〃+2

⑵已知%=——,求它的前〃項和s“.

"(n+l)2-l"

5.數(shù)列的單調(diào)性

【例14】設(shè)｛《｝為首項q=4的單調(diào)遞增數(shù)列，且滿足為:+《：+]6=8(q+/)+〃+(，則4=一

【例15]已知凡=〃-判斷〃｝的單調(diào)性.

【例16】已知函數(shù)f(x)=工^,設(shè)a“=/(〃)(〃€N+),

1+廠

(1)判斷0.98是否是數(shù)列｛七｝的項；

(2)求證：an<\\

(3)判斷并證明數(shù)列｛4｝的單調(diào)性.

【例17】已知｛q｝是遞增數(shù)列，且對任意〃wZ都有4=〃2+力?恒成立，則實數(shù)力的取值范圍是

【變式】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足q-1,且5+1)%2-"2+—狐一0(,2=1,2,3,),

求數(shù)列｛為｝的通項公式，判斷數(shù)列的單調(diào)性.

已知數(shù)列｛可｝的通項可="坐(〃eN.),求數(shù)列｛唱的前30項中的最大項與最小項.

【例18】

/?-V99

【變式】已知一個數(shù)列的通項公式是q=30+〃-〃2.

⑴問-60是否是這個數(shù)列中的項？

(2)當〃分別為何值時，〃”=0,?！?gt;0,4<0?

(3)當〃為何值時，%有最大值？并求出最大值.

【變式】設(shè)函數(shù)/。)=1。821-1嗚4(0<]<1),數(shù)列｛〃“｝的通項4“滿足/(2"")=2〃(〃wN+).

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項公式；⑵判定數(shù)列｛q｝的單調(diào)性.

孑)板塊二：等差數(shù)列

1.等差數(shù)列基本概念一

(1)等差數(shù)列的概念：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那

么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.

這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母”表示.

即等差數(shù)列有遞推公式：an+i-an=d(n^\).

(2)等差數(shù)列的通項公式為：an=a,+｛n-\)d.

(3)等差中項：如果三個數(shù)乂4)，組成等差數(shù)列，那么4叫做x和)，的等差中項，即A=受.

(4)等差數(shù)列的前〃項和公式：5=幽應(yīng)=四+旦曰".

22

%—q=d

%一%=d

〈教師備案＞1.等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)：，將這〃-1個式子的等號兩邊分別相加得：

a“_「J=d

《「J=d

一%=(〃-\)d,即an=a]+(n-\)d.

由等差數(shù)列的通項公式易知：an—am=(n-fn)d.

2.等差數(shù)列前〃項和公式的推導(dǎo)：

Sn=%+(4+d)+(%+24)++[%+(n-Y)d],

把項的順序反過來，可將S”寫成：

s?=an+(an-d)+(an-2d)++[an-(n-\)d],

將這兩式相加得：

2s“=(q+4)+(%+〃“)++(q+%)=〃(4+*,

從而得到等差數(shù)列的前〃項和公式S〃=〃(4;),又q=q+(〃-l)d,

傳S”=---=叫+——d.

2.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)am=an+(m-n)d.d=^^

m-n

(2)在等差數(shù)列中，若〃+g=〃z+〃，則%,+4=q+可，若2m=〃+〃，則2金=%,+%

(3)若｛q｝,也｝均為等差數(shù)列，且公差分別為4,4,則數(shù)列｛〃可｝,｛4+4｝，｛七±。“｝也為等差數(shù)列，

且公差分別為,4,4±d2o

(4)在等差數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即a”,&⑶…，為等差數(shù)列，公差為

mdo

(5)等差數(shù)列的前n項和也構(gòu)成一個等差數(shù)列,即Sn,S2n-S1，SxS2”…為等差數(shù)歹IJ,公差為Yd。

(6)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n,則有S,-S哥=//,

%+i

（7）等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)n,則S“=S、G+S例且4小網(wǎng)項=S奇-5偶，工=7。

3偶〃-1

（B）｛〃“｝為等差數(shù)列,S2n_l=（2n-1）al>a

（9）通項公式是&=An+B（AHO）是一次函數(shù)的形式;前n項和公式斗=/V?+加儲工0）是不含常數(shù)項

的二次函數(shù)的形式。（注當d=0時，Sn=nai,an=ai）

（10）若&>0,d<0,S”有最大值，可由不等式組［⑸遍來確定n。

若a<0,d>0,和有最小值，可由不等式組|設(shè)來確定。

（三）典例分析：

1.等差數(shù)列的定義

【例19】判斷數(shù)52,2k+7伏eN_）是否是等差數(shù)列｛七｝:-5,-3,-1,1,，中的項，若是，是第幾項？

【例20】在等差數(shù)列｛q｝中，?4=0.8,%=2.2,求它的首項、公差與四的值.

【例21】設(shè)“｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若4+4+%=15,%%%=80,則知+%+外等于（）

A.120B.105C.90D.75

【變式】⑴在等差數(shù)列｛”“｝中，6=33,?45=153,則201是該數(shù)列的第（）項

A.60B.61C.62D.63

⑵在等差數(shù)列｛q｝中，%=7,卬=21,則它的首項q=,前〃項和

【變式】若數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，且4=1,4=5,則/等于（）

A.19B.21C.37D.41

【變式】若等差數(shù)列｛%｝的前5項和S,=25,且生=3,則%=（）

A.12B.13C.14D.15

【例22】(1)在等差數(shù)列｛可｝的公差為,/,第，〃項為明，求其第〃項6.

(2)等差數(shù)列｛an｝的前八項和記為Sn,已知%=30,%)=50,①求通項;②若Sn=242,求〃.

⑵設(shè)數(shù)列｛《)是公差不為零的等差數(shù)列，S”是數(shù)列｛4｝的前〃項和，且￡=9冬'=4邑，

求數(shù)列｛%｝的通項公式.

2.證明等差數(shù)列

【例23】在數(shù)列｛&｝中，4=1,2討=3-，求證｛,｝是等差數(shù)列，并求通項例.

2+勺%

【例24】已知｛《,｝是等差數(shù)列，且。,=3必=9,6求數(shù)列｛對｝的通項公式及電［的前〃項和

%

【例25】設(shè)數(shù)列｛q｝滿足4=6,4=4,《=3,且數(shù)列｛%-勺｝56N)是等差數(shù)列，求數(shù)列｛〃“｝的

通項公式.

【例26】已知數(shù)列｛q｝中，牝＞0,且對于任意正整數(shù)〃有S=g(a”+f,

⑴求5；4；⑵求證：｛S；｝是等差數(shù)列；⑶求通項4.

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

【例27］若三個數(shù)a-4,。+2,26-2人適當排列后構(gòu)成遞增等差數(shù)列，求。的值和相應(yīng)的數(shù)列.

【例28］若關(guān)于x的方程/7+〃=0和/7+8=0（"力的四個根可組成首項為1的等差數(shù)列，則

4

a+〃的值是.

【例29】已知一個數(shù)列的通項公式是4=30+〃-〃2

⑴問-60是否是這個數(shù)列中的項？

（2）當〃分別為何值時，q=0,?！?gt;0,凡<0?

（3）當〃為何值時，〃.有最大值？并求出最大值.

【點評】等差數(shù)列前〃項和的最大值，最小值問題

⑴對于等差數(shù)列｛4｝

①4>（）,d<0時，5：有最大值；②4<0,d>0時，S”有最小值.

⑵求，最值的方法

①5.=〃4+彗」2〃=?〃2+（4?3）〃，將求S”的最值轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，結(jié)合圖

象或通過配方找到最值，要注意這里S.中的〃eN.；

②在等差數(shù)列｛/｝單調(diào)時，若卜可八，則S.有最大值；若［可可：，則S.有最小值.

|《討〈0〔6+120

【例30】已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差等于

【例31】等差數(shù)列對生小必的公差為“，則數(shù)列5q,5%5q,,54是（）

A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為54的等差數(shù)列

C.非等差數(shù)列D.以上都不對

5.等差數(shù)列求和

【例32】在等差數(shù)列｛q｝中，已知4+生+《+4+%=20,那么小等于（）

A.4B.5C,8D.10

【例33】在等差數(shù)列｛叫中，《+生=12,那么它的前8項和義等于（）

A.12B.24C.36D.48

【例34】等差數(shù)列｛q｝中，已知公差(/=；,且4+/+-+。為=60,則“+生+…+/()=

等差數(shù)列｛““｝中，已知公差d=L,且4+/++%=60,則4+生++4oo=1)

A.170B.150C.145D.120

【例35】已知等差數(shù)列｛qj中，4=50,d=-2,Sn=0,則〃=()

A.48B.49C.50D.51

【例36】等差數(shù)列｛qj中，?2=5,4=33,則仆+生=.

【例37］已知k｝為等差數(shù)列，a產(chǎn)q,aq=p(〃=/〃國為正整數(shù))，則?！闹禐?)

A.0B.p+qC.p-qD.2p

【例38】設(shè)等差數(shù)列的前〃項的和為S“，且兀=84,52c=460,求邑&.

【例39】設(shè)等差數(shù)列的前〃項的和為S.,且邑=16,￡=64,求工.

【例40】有兩個等差數(shù)列儲“｝,也｝，其前〃項和分別為S.,心若對〃￡電有&=爐|成立，求詈.

Tn2n+3b5

【點評】方法一利用了S“是關(guān)于〃的常數(shù)項為0的二次函數(shù)；法二通過直接的計算進行配湊；法三和

法四利用了等差數(shù)列求和的一些性質(zhì)，對本講涉及到的性質(zhì)總結(jié)如下：

⑴冊=4+(〃?-〃)“，d=4二殳；下標成等差數(shù)列的項：仍組成等差數(shù)列；

in-n

⑵在等差數(shù)列中，若〃+鄉(xiāng)=/〃+〃，則有??；

若2/〃=〃+夕，則有24=%,十%(p,q,in,〃cN,)；

⑶｛4｝為等差數(shù)列，S.,為前〃項和，則S2.T=(2〃-l)q,

出｝為等差數(shù)列，S;為前〃項和，S2n./=(2n-\)blt,有?=2；

⑷｛%｝為等差數(shù)列，Sj為前〃項和，則黑品”-黑工72,“成等差數(shù)列.

【例41】在等差數(shù)列｛%｝中，4=23,^=-22,S”為前〃項和,

⑴求使S.<0的最小的正整數(shù)〃；

(2)求幻=同+同+同++|4|的表達式.

【例42】等差數(shù)列｛%｝的前，〃項和黑為30,前2,〃項和%“為100,則它的前3〃/項和S3”,為

【點評】非常數(shù)列的等差數(shù)列的通項公式〃“=人〃+4(人工0)是一次函數(shù)的形式，前〃項和公式

S“=4/+Bfl(A*0)是不含常數(shù)項的二次函數(shù)的形式，同時如果通項公式是一次函數(shù)形式或

前〃項和公式為常數(shù)項為。的二次函數(shù)形式的數(shù)列也一定是等差數(shù)列.

【例43】等差數(shù)列｛4｝中，％=25,S9=S17,問數(shù)列的多少項之和最大，并求此最大值.

【點評】等差數(shù)列前〃項和的最大值，最小值問題

(1)對于等差數(shù)列上｝

①q>0,"<0時，S,有最大值；②q<0,">0E寸，S”有最小值.

⑵求S.最值的方法

①將求工的最值轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，結(jié)合圖

象或通過配方找到最值，要注意這里S”中的〃eN.；

②在等差數(shù)列｛/｝單調(diào)時，若[“"可八，則5,,有最大值；若[""個八，則S.有最小值.

W0[an+[20

【例44】已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，首項％=%公差北0,且《尸0(〃cN.),"=一!—,

求數(shù)列也』的前〃項和5”.

【例45】已知二次函數(shù)"%）=/+2（10-3〃卜+9〃2-61〃+100,其中〃eN'.

（1）設(shè)函數(shù)y=/（x）的圖象的頂點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列｛4｝,求證：數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列；

（2）設(shè)函數(shù)y=/（x）的圖象的頂點到），軸的距離構(gòu)成數(shù)列｛4｝,求數(shù)列｛4｝的前〃項和S”.

【例46】等差數(shù)列前10項的和為140,其中，項數(shù)為奇數(shù)的各項的和為125,求其第6項及公差.

【點評】本題也可以直接設(shè)首項與公差，列方程組解出結(jié)果，再求第六項的值，但計算過程比較復(fù)雜,

如果能靈活地運用等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，可以大大簡化計算.

本題中用到了結(jié)論：若，〃+〃=s+f,貝+a”=4,

且當〃z+n=2k,有ain+an=2ak；

若〃?一〃=s,貝I］。,”一凡=q-a,=（m-n）d,

這幾個結(jié)論由通項公式都很容易得到.

由此結(jié)論可以很容易地解出下面這類題：

等差數(shù)列｛勺｝中，6+%+%=39,4+4+4=27］則S。等于.

解：法一：

4+卬+/+/+%+%=27+39=（4+6）+（《+4）+（%+%）=2（%+%+火）=66,

AS0=39+27+y=99.

a

法二：q+《+%=3卬=39=&=13,%+6+%=3a6=27=>a6=9,

999

S9=Q（4+%）=］（%+4）=］?（13+9）=99?

甘I板塊三：等差數(shù)列綜合

【例47】四個不相等的正數(shù)a,b,c,4成等差數(shù)列，則（）

A.絲幺瓜B,—<癡C.竺L限:D.”衛(wèi)?阪

2222

【例48】在各項均不為0的等差數(shù)列｛4｝中，若可「a：+%=o（〃22）,則邑“「4〃等于（）

A.-2B.0C.1D.2

【例49】已知（F-2x+〃?）（f—2x+,?）=0的四個根組成一個首項為:的等差數(shù)列，則等于

A.1B.-0,-D.-

428

【例50】已知x>0,y>0,x,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,），成等比數(shù)列，則絲匚的最

cd

小值是（）.

A.0B.1C.2D.4

【例51】等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，已知S~2s-35,成等差數(shù)列，則｛6｝的