試卷第=page1212頁(yè)，共=sectionpages1212頁(yè)圖形的初步認(rèn)識(shí)章末九大題型總結(jié)培優(yōu)【題型1

直線、射線、線段、角的相關(guān)概念辨析】【題型2

根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論】【題型3

根據(jù)線段間的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】【題型4

鐘表中的角度計(jì)算】【題型5

根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論】【題型6

根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度】【題型7

線段中的分類討論思想問(wèn)題】【題型8

角度中的分類討論思想問(wèn)題】【題型9

對(duì)頂角】【題型1

直線、射線、線段、角的相關(guān)概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?．下列語(yǔ)句正確的有(

)（1）線段就是、兩點(diǎn)間的距離；（2）畫(huà)射線；（3），兩點(diǎn)之間的所有連線中，最短的是線段；（4）在直線上取，，三點(diǎn)，若，，則．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式1-1】（2023上·黑龍江牡丹江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）2．如圖，線段條數(shù)為，小于平角的角的個(gè)數(shù)為，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-2】（2023上·天津北辰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）3．如圖，辰辰同學(xué)根據(jù)圖形寫(xiě)出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線和射線是同一條射線；④直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．其中結(jié)論正確的結(jié)論是．【變式1-3】（2023上·七年級(jí)單元測(cè)試）4．如圖,已知A、B、C、D四點(diǎn),根據(jù)下列要求畫(huà)圖:(1)畫(huà)直線AB、射線AD；(2)畫(huà)∠CDB；(3)找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P既在AC上又在BD上.【題型2

根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論】【例2】（2023上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）5．如圖，D、E順次為線段上的兩點(diǎn)，，C為AD的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2-1】（2023上·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）6．如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①圖中的點(diǎn)D，P，C，E都是動(dòng)點(diǎn)；②ADBE；③AB=2DE；④當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．其中正確的是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【變式2-2】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）7．如圖所示，在線段上，且，是線段的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論：①，②，③，④，其中正確結(jié)論的有（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式2-3】（2023上·福建泉州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）8．如圖，AB=30，C為射線AB上一點(diǎn)，BC比AC的4倍少20，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC=2AC；②運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，QM的長(zhǎng)度保持不變；③AB=4NQ；④當(dāng)BQ=PB時(shí)，t=12，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型3

根據(jù)線段間的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】【例3】（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校聯(lián)考期末）9．如圖，已知線段，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

(1)求線段的長(zhǎng)；(2)在上取一點(diǎn)，使得，求線段的長(zhǎng)．【變式3-1】（2023上·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）10．根據(jù)題意，補(bǔ)全解題過(guò)程．如圖，已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，若，求線段的長(zhǎng)度．

解：設(shè)，∵，∴______，∴______=______，∵C為的中點(diǎn)，∴______=______，∴____________，∵，∴______，∴______．【變式3-2】（2023上·河南南陽(yáng)·七年級(jí)校考期末）11．如圖，線段，點(diǎn)M、N分別是線段、的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．

【變式3-3】（2023上·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）12．（1）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長(zhǎng)；②若M，N分別是，的n等分點(diǎn)，即，，直接寫(xiě)出的值．【題型4

鐘表中的角度計(jì)算】【例4】（2023上·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）13．閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個(gè)大格，每個(gè)大格分成5個(gè)小格，所以每個(gè)大格對(duì)應(yīng)的是角，每個(gè)小格對(duì)應(yīng)的是角，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是0.5度，分針每分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是6度．(1)解決問(wèn)題：當(dāng)時(shí)鐘的時(shí)刻是8：30時(shí)，求此時(shí)分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)．(2)8：00開(kāi)始幾分鐘后分針第一次追上時(shí)針．(3)設(shè)在8：00時(shí)，分針的位置為，時(shí)針的位置為，運(yùn)動(dòng)后的分針為，時(shí)針為．問(wèn)：在8：00~9：00之間，從8：00開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘，，，這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？【變式4-1】（2023上·福建寧德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）14．如圖，鐘表的秒針因故障停滯不動(dòng)，時(shí)針與分針正常運(yùn)行．小晶發(fā)現(xiàn)3點(diǎn)整時(shí)，秒針正好是時(shí)針與分針夾角的角平分線，經(jīng)過(guò)m分鐘后，秒針又一次成為時(shí)針與分針夾角的角平分線，則m的最小值是．

【變式4-2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）15．七年級(jí)學(xué)生小聰和小明完成了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)《鐘面上的數(shù)學(xué)》后，制作了一個(gè)模擬鐘面，如圖所示，點(diǎn)O為模擬鐘面的圓心，M、O、N在一條直線上，指針、分別從出發(fā)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（），請(qǐng)你試著解決他們提出的下列問(wèn)題：(1)當(dāng)秒時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)與第三次重合時(shí)，求的度數(shù)；(3)在與第四次重合前，當(dāng)___________時(shí)，直線平分．【變式4-3】（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）16．如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫(huà)射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，∠AOB＝60°，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過(guò)多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【題型5

根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論】【例5】（2023上·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）17．如圖，在內(nèi)部，且，是的平分線，，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（寫(xiě)序號(hào)）．

【變式5-1】（2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）18．如圖，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．OB、OC分別平分、B．C．D．【變式5-2】（2023上·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）19．如圖，已知O為直線上一點(diǎn)，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，若是的平分線，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【變式5-3】（2023上·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）20．如圖，已知射線在內(nèi)部，平分，平分，平分，現(xiàn)給出以下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④其中正確的結(jié)論有（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【題型6

根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度】【例6】（2023上·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀?1．已知，從的頂點(diǎn)引出一條射線，射線在的內(nèi)部，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成．

(1)如圖1，若，求和大??；(2)作射線，射線為平分線，設(shè)．①如圖2，當(dāng)，若射線好平分，求度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄颗c間的數(shù)量關(guān)系．【變式6-1】（2023上·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）22．如圖，平分，，，，求的度數(shù)．【變式6-2】（2023下·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）23．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，在直線同側(cè)任作射線，，使得．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作射線，使平分，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為多少？(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，求出與的數(shù)量關(guān)系．【變式6-3】（2023上·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）24．閱讀材料并回答問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師提出了如下問(wèn)題：已知點(diǎn)在直線上，，在同一平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作射線，滿足．當(dāng)時(shí)，如圖1所示，求的度數(shù)．

甲同學(xué)：以下是我的解答過(guò)程（部分空缺）解：如圖2，∵點(diǎn)O在直線上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴．乙同學(xué)：“我認(rèn)為還有一種情況．”請(qǐng)完成以下問(wèn)題：(1)請(qǐng)將甲同學(xué)解答過(guò)程中空缺的部分補(bǔ)充完整．(2)判斷乙同學(xué)的說(shuō)法是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)，寫(xiě)出解答過(guò)程；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將題目中“”的條件改成“”，其余條件不變，當(dāng)在到之間變化時(shí)，如圖3所示，為何值時(shí)，成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值．【題型7

線段中的分類討論思想問(wèn)題】【例7】（2023上·江西吉安·七年級(jí)?？计谀?5．在同一直線上有不重合的四個(gè)點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．【變式7-1】（2023上·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）26．如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且．

(1)圖中共有___________條線段；(2)求的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)在直線上，且，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【變式7-2】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)?？计谀?7．已知，直線上線段、線段點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．(1)若線段，則線段；(2)如圖，點(diǎn)P、Q分別為、的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；(3)若線段從點(diǎn)B開(kāi)始以個(gè)單位秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始以個(gè)單位秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，若，求線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【變式7-3】（2023上·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）28．如圖，有公共端點(diǎn)的兩條線段，組成一條折線，若該折線上一點(diǎn)把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．

（1）若，點(diǎn)與重合（填、、）；（2）若為線段中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為．【題型8

角度中的分類討論思想問(wèn)題】【例8】（2023上·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）29．如圖，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，平分．

(1)求的度數(shù)；(2)作射線，使，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作，使射線在的內(nèi)部，若，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【變式8-1】（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）30．已知，，則的度數(shù)是．【變式8-2】（2023上·廣東肇慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）31．在同一平面內(nèi)，，，，，求的度數(shù)．【變式8-3】（2023上·廣東珠?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）32．已知是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．

(1)在圖1中，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，且保持射線在直線上方，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)亩葦?shù)是多少時(shí)，？【題型9

對(duì)頂角】【例9】（2023下·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）33．如圖，直線和相交于點(diǎn)O，把分成兩部分，且，平分．(1)的對(duì)頂角為，的鄰補(bǔ)角為；(2)若，求度數(shù)．【變式9-1】（2023下·上海虹口·七年級(jí)上外附中?？计谀?4．若的對(duì)頂角是，的鄰補(bǔ)角是，的余角是，若，則．【變式9-2】（2023下·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）35．觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角）、鄰補(bǔ)角．(1)如圖1，共有___________對(duì)對(duì)頂角，____________對(duì)鄰補(bǔ)角；(2)如圖2，共有___________對(duì)對(duì)頂角，____________對(duì)鄰補(bǔ)角；(3)如圖3，共有___________對(duì)對(duì)頂角，____________對(duì)鄰補(bǔ)角；(4)根據(jù)（1）-（3）中直線的條數(shù)與對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，探究：若有條直線相交于一點(diǎn)，則可形成多少對(duì)對(duì)頂角？多少對(duì)鄰補(bǔ)角？【變式9-3】（2022下·云南曲靖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）36．直線相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)O，作射線，且在的內(nèi)部．(1)①當(dāng)在如圖1所示位置時(shí)，若，求的度數(shù)；②當(dāng)在如圖2所示位置時(shí)，若平分，證明：平分；(2)若，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系．答案第=page3232頁(yè)，共=sectionpages3333頁(yè)參考答案：1．A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離的定義可以判斷A、C，根據(jù)射線的定義可以判斷B，據(jù)題意畫(huà)圖可以判斷D．【詳解】∵線段AB的長(zhǎng)度是A、B兩點(diǎn)間的距離，∴（1）錯(cuò)誤；∵射線沒(méi)有長(zhǎng)度，∴（2）錯(cuò)誤；∵兩點(diǎn)之間，線段最短∴（3）正確；∵在直線上取A，B，C三點(diǎn)，使得AB=5cm，BC=2cm，當(dāng)C在B的右側(cè)時(shí)，如圖，AC=5+2=7cm當(dāng)C在B的左側(cè)時(shí)，如圖，AC=5-2=3cm，綜上可得AC=3cm或7cm，∴（4）錯(cuò)誤；正確的只有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段與射線的定義，線段的和差，熟記基本定義，以及兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)線段的定義和小于平角的角的性質(zhì)得出m，n的值，再代入求解即可．【詳解】由題意得故故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和平角的問(wèn)題，掌握線段的定義和平角的定義是解題的關(guān)鍵．3．①③【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義結(jié)合圖形即可分析判斷求解．【詳解】解：①直線是沒(méi)有端點(diǎn)，向兩邊無(wú)限延伸，圖中有兩條直線，分別是：直線BC和直線BD，故①說(shuō)法正確；②直線上兩點(diǎn)及兩點(diǎn)之間的部分是線段，圖中有6條線段，分別是：線段AB、線段BC、線段BD、線段AC、線段CD、線段AD，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；③射線和射線是同一條射線，都是以點(diǎn)A為端點(diǎn)，同一方向的射線，故③說(shuō)法正確；④直線和直線BC相交于點(diǎn)B，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故④說(shuō)法錯(cuò)誤，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查直線、射線、線段的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并區(qū)分相關(guān)定義．4．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）利用直線以及射線的定義畫(huà)出圖形即可；（2）利用角的定義作射線DC，DB即可；（3）連接AC，與BD的交點(diǎn)即為所求．【詳解】解：（1）如圖所示：直線AB、射線AD即為所求；（2）如圖所示：∠CDB即為所求；（3）如圖所示：點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線、射線以及角的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．5．D【分析】先利用中點(diǎn)的含義及線段的和差關(guān)系證明再逐一分析即可得到答案.【詳解】解：C為AD的中點(diǎn)，，則故A不符合題意；，則同理：故B不符合題意；，則同理：故C不符合題意；，則同理：故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差關(guān)系，線段的中點(diǎn)的含義，掌握“線段的和差關(guān)系即中點(diǎn)的含義證明”是解本題的關(guān)鍵6．①③④【分析】①由題意可知隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，故正確；②可以推得當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，AC<BC，故錯(cuò)誤；③由題意及中點(diǎn)的性質(zhì)可知正確；④由題意，當(dāng)AC=BC時(shí)，C為DE中點(diǎn)，根據(jù)已知，P也為DE中點(diǎn)，所以點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．【詳解】解：①∵點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，∴D、E隨著C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P隨著D、E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此，隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，∴本選項(xiàng)正確；②∵∴當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于AC<BC，∴AD<BE，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③由題意可知：，∴，即AB=2DE，∴本選項(xiàng)正確；④由③可知，當(dāng)AC=BC時(shí)，DC=EC，所以C為DE中點(diǎn)，又P也為DE中點(diǎn)，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴本選項(xiàng)正確．故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握中點(diǎn)的意義和性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)題中的已知條件，結(jié)合圖形，對(duì)結(jié)論進(jìn)行一一論證，從而選出正確答案．【詳解】解：是的三等分點(diǎn)，，，，，，，，故①正確；，，，，是線段的中點(diǎn)，，，，故②正確；，，，，，故③正確；，，，，，故④正確；綜上，正確的有①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，中點(diǎn)的定義，用幾何式子正確表示相關(guān)線段，結(jié)合圖形進(jìn)行線段的和差計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)AB=30，BC比AC的4倍少20可分別求出AC與BC的長(zhǎng)度；分別表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N為QM的中點(diǎn)得NQ=QM可得NQ的值；當(dāng)BQ=PB時(shí)，可得30-2t=t，此時(shí)t=10秒，綜上所述即可得結(jié)論．【詳解】∵AB=30，BC比AC的4倍少20，∴AC=10，BC=20，∴BC=2AC，①正確；∵P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為2單位/秒和1單位/秒的速度，∴BP=30-2t，BQ=t，∵M(jìn)為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，∴PM=MB=15-t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，∴運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，QM的長(zhǎng)度保持不變，AB=4NQ，②③正確；∵PB=30-2t，BQ=t，當(dāng)BQ=PB時(shí)，，∴30-2t=t，解方程得：t=10，④錯(cuò)誤；∴①②③項(xiàng)結(jié)論正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)線段之間的關(guān)系式.9．(1)(2)的長(zhǎng)度是【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系，可得，根據(jù)點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，可得；（2）由，求得,根據(jù)點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，求得，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：線段，，∴，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴，即線段的長(zhǎng)度是；（2）解：∵，，∴，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，∴，即的長(zhǎng)度是．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和差的計(jì)算，線段中點(diǎn)的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．10．；；；或；；；；2；14【分析】根據(jù)線段之間的關(guān)系按照推理過(guò)程即可解答．【詳解】設(shè)，∵，∴，∴，∵C為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；；；或；；；；2；14．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離以及推理過(guò)程的完整書(shū)寫(xiě)，解題的關(guān)鍵是正確理解題干中的信息和把握?qǐng)D中的線段關(guān)系．11．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，與的關(guān)系，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，與的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：∵，∴，．∵點(diǎn)M、N分別是線段、的中點(diǎn)，，．∵，，∴．解得．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練的利用線段的和差倍分關(guān)系建立方程解題是關(guān)鍵．12．（1）6；（2）①；②【分析】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．（1）由中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)求解即可；（2）①由，可得，然后根據(jù)求解即可；②仿照（2）的過(guò)程求解即可．【詳解】解：（1），分別是，的中點(diǎn)（2）①；②．13．(1)(2)分鐘(3)分鐘或分鐘或48分鐘【分析】（1）根據(jù)8：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是2.5個(gè)大格，可得所夾的銳角的度數(shù)；（2）計(jì)算出8：00時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A鈍角的度數(shù)，設(shè)x分鐘后分針第一次追上時(shí)針，利用追擊問(wèn)題列方程，即可求解；（3）分平分，平分，平分三種情況，利用角的和、差、倍數(shù)關(guān)系列方程，即可求解．【詳解】（1）解：8：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是2.5個(gè)大格，，即分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)是．（2）解：設(shè)x分鐘后分針第一次追上時(shí)針．8：00時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A鈍角是8個(gè)大格，，由題意，，解得，即8：00開(kāi)始分鐘后分針第一次追上時(shí)針．（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)m分鐘后，，，這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線．分三種情況：如圖①，當(dāng)平分時(shí)，，∴，解得；如圖②，當(dāng)平分時(shí)，，∴，解得；如圖③，當(dāng)平分時(shí)，，∴，解得；綜上，運(yùn)動(dòng)分鐘或分鐘或48分鐘后，，，這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，以及角平分線的定義，能夠計(jì)算出任一時(shí)刻時(shí)針與分針之間的角度是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)分針轉(zhuǎn)一圈再回到秒針左側(cè)時(shí)，秒針再次平分時(shí)針與分針夾角，此時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間最少，分針每分鐘走，時(shí)針每分鐘走，根據(jù)題意得：，經(jīng)過(guò)m分鐘后，，，列出方程，即可得出答案．【詳解】解：

∵3點(diǎn)整時(shí)，秒針正好是時(shí)針與分針夾角的角平分線，分針在秒針的左側(cè)，秒針不動(dòng)，∴當(dāng)分針轉(zhuǎn)一圈再回到秒針左側(cè)時(shí)，秒針再次平分時(shí)針與分針夾角，此時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間最少，分針每分鐘走，時(shí)針每分鐘走，根據(jù)題意得：，經(jīng)過(guò)m分鐘后，，，∵平分，∴，∴，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的定義，正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．15．(1)(2)(3)18或54秒【分析】（1）根據(jù)，求出、即可．（2）設(shè)t秒后第三次重合，由題意得，解方程求出t，進(jìn)一步即可求出的度數(shù)．（3）先用t的代數(shù)式表示和，然后根據(jù)求出t的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：當(dāng)秒時(shí)，∴，，∴；（2）解：設(shè)t秒后第三次重合，由題意得，解得，．答：的度數(shù)為；（3）解：在與第一次重合前，直線不可能平分；在與第一次重合后第二次重合前，，依題意有，解得；在與第二次重合后第三次重合前，直線不可能平分；在與第三次重合后第四次重合前，，，依題意有，解得．故當(dāng)或秒時(shí)，直線平分．故答案為：18或54秒．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．16．(1)30°(2)(3)分鐘【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可得出答案；（2）根據(jù)題意分類討論，分為射線OC在∠AOB內(nèi)部和外部?jī)煞N情況計(jì)算即可；（3）根據(jù)鐘表轉(zhuǎn)動(dòng)求出時(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，再根據(jù)分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度-時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度=∠AOB增加的度數(shù)，建立方程解出答案即可．【詳解】（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴；（2）當(dāng)射線OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴，∴；當(dāng)射線OC在∠AOB外部時(shí)，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴，∴；綜上所述，∠MON的度數(shù)為；（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°∴設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°，∵分針OB的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：，時(shí)針OA的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：，∴，解得，所以經(jīng)過(guò)分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，分類討論思想，一元一次方程的應(yīng)用之行程問(wèn)題，分類討論思想和方程思想是本題的關(guān)鍵．17．①②④【分析】根據(jù)，，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)是的平分線，得到，再根據(jù)角之間的和差，倍數(shù)關(guān)系，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴；故①正確；∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；∵，，∴；故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算．正確的識(shí)圖，理清角度之間的和差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．18．C【分析】根據(jù)角平分線的定義和角的和差逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴OB、OC分別平分∠AOC、∠BOD，故正確；B、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∴∠AOD=∠AOB+∠AOC，故正確；C、∵∠BOC═∠AOC-∠AOB，∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=∠AOD，∴∠BOC=∠AOD-∠AOB，故錯(cuò)誤；D、∵∠AOB=∠COD，∴∠COD=∠AOD-∠BOC-∠AOB，∴2∠COD=∠AOD-∠BOC，∴∠COD=(∠AOD-∠BOC)，故正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義和角的和差是解題的關(guān)鍵．19．B【分析】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角平分線的定義，熟練的運(yùn)用角的和差關(guān)系探究角與角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．先求解利用角平分線的定義再求解從而可得答案．【詳解】解：平分故選：B．20．①②④【分析】①根據(jù)平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結(jié)論；②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出，得出，即可得出結(jié)論；③無(wú)法證明；④根據(jù)，得出，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，∴，故①正確；②∵，∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯(cuò)誤；④根據(jù)解析②可知，，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出，是解題的關(guān)鍵．21．(1)，(2)①；②【分析】本題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，求解即可；（2）①根據(jù)角平分線的定義可得，，根據(jù)列方程，求出的值，再根據(jù)計(jì)算即可；②分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別根據(jù)角平分線的定義，角的和差計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，又；（2）①恰好平分，，，為的平分線，，，，，，；②分情況討論：當(dāng)時(shí)，

，，為的平分線，，，；當(dāng)時(shí)，

，，為的平分線，，，；綜上所述，．22．【分析】由余角的定義可求得，再由角平分線的定義可得，即可求的度數(shù)．【詳解】解：，，，平分，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查余角，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．23．(1)(2)【分析】（1）由已知得出，由角平分線定義得出，，即可得出答案；（2）由已知得出，由角平分線定義得出，即可得出答案．【詳解】（1）∵，∴，∵為的角平分線，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵為的角平分線，∴，即，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算以及角平分線定義；弄清各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．(1)180，140，70，160(2)正確，理由見(jiàn)解析，或(3)或【分析】（1）根據(jù)平角定義和角平分線的定義補(bǔ)充即可；（2）由題意，還有在的外部時(shí)的情況，根據(jù)平角定義求解即可；（3）由題意，，，分在的內(nèi)部和在的外部，由求出即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)O在直線上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴，故答案為：180；140；70；160；（2）解：正確，理由如下：當(dāng)在的外部時(shí)，如圖所示：

∵點(diǎn)O在直線上，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，綜上所述，或；（3）解：∵，，∴，，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如圖，

∵，∴平分，∴，即∴，解得：；當(dāng)在的外部時(shí)，如圖，

∵，∴，∵，∴，解得：，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查角的運(yùn)算、角平分線的有關(guān)計(jì)算、平角定義，能根據(jù)圖形進(jìn)行角度運(yùn)算，能利用分類討論思想解決問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．25．6或10或16【分析】由于沒(méi)有圖形，故四點(diǎn)相對(duì)位置不確定，分：點(diǎn)C在B的左側(cè)、右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)、右側(cè)等，不同情況畫(huà)圖分別求解即可．【詳解】解：I．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

，，，，II．當(dāng)點(diǎn)C在B的右側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

，III．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的左側(cè)時(shí)，如圖：

，點(diǎn)A、D重合，不合題意，IV．當(dāng)點(diǎn)C在B的左側(cè)，點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，如圖：

，點(diǎn)A、D重合，不合題意，綜上所述：的長(zhǎng)為6或10或16故答案為：6或10或16．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論、利用線段之間的和差關(guān)系得到的長(zhǎng)度．26．(1)6(2)6.75cm(3)3.75cm或9.75cm【分析】（1）根據(jù)線段的定義找出線段即可；（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)和兩條線段的和的定義，求出結(jié)果；（3）由于點(diǎn)在直線上的具體位置不確定，故應(yīng)分點(diǎn)在點(diǎn)的左邊和點(diǎn)在點(diǎn)的右邊兩種情況分別求解．【詳解】（1）圖中有6條線段，它們是線段，，，，，．故答案為：6．（2）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，，故答案為：3.75cm或9.75cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義和線段和差的定義，熟練掌握各線段之間的和差以及倍數(shù)關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．27．(1)或9(2)；(3)線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為或．【分析】（1）①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，則，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，，于是得到結(jié)論；（3）線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則，，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵，∴，∴線段或9；故答案為：7或9；（2）解：設(shè)，則，∵點(diǎn)P、Q分別為、的中點(diǎn)，∴，，∴；（3）解：線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則，∴或，，∵點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴或，解得：或．故線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，依據(jù)線段的和差關(guān)系列方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．28．C6或14【分析】（1）由折中點(diǎn)的含義、線段和差關(guān)系，可得，即可確定答案；（2）分兩種情況：點(diǎn)D在線段上與點(diǎn)D在線段上，利用中點(diǎn)的意義及折中點(diǎn)的含義即可求解．【詳解】（1）解：由折中點(diǎn)含義得：，而，，∴，∴，即點(diǎn)D與點(diǎn)C重合；故選：C；（2）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，則，∴；∵E為線段中點(diǎn)，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖，

則，∴；∵E為線段中點(diǎn)，，∴，∴；綜上，的長(zhǎng)為或；故答案為：6或14．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差運(yùn)算，線段中點(diǎn)，新定義折中點(diǎn)等知識(shí)，分類討論，結(jié)合圖形利用線段的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵．29．(1)(2)的度數(shù)為24°或120°(3)170°或140°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可求解；（2）分情況討論當(dāng)射線在上方和下方，即可求解；（3）【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴；（2）解：①如圖1，當(dāng)射線在上方時(shí)，，

∵，∴，∴；②如圖2，當(dāng)射線在下方時(shí)，，

∵，∴，∴；∴的度數(shù)為24°或120°．（3）解：170°或140°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的倍數(shù)關(guān)系等．根據(jù)題意進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．30．或【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)；②當(dāng)在的外部時(shí)，分別求解即可得到答案．【詳解】解：①如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，

，，，；②如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，

，，，；綜上可知，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的和差計(jì)算，利用分類討論的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．31．或或【分析】分當(dāng)在外部，在內(nèi)部時(shí)，當(dāng)在外部，在外部時(shí)，當(dāng)在內(nèi)部，在外部時(shí)，三種情況畫(huà)出圖形求解即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)在外部，在內(nèi)部時(shí)，，，，，；如圖所示，當(dāng)在外部，在外部時(shí)，，，，，；如圖所示，當(dāng)在內(nèi)部，在外部時(shí)，，，，，；綜上所述，的度數(shù)