1.1集合的含義及其表示教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生理解集合的含義，知道常用集合及其記法；2．使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系和集合相等的意義，初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義；3．使學(xué)生初步掌握集合的表示方法，并能正確地表示一些簡(jiǎn)單的集合．教學(xué)重點(diǎn)：集合的含義及表示方法．教學(xué)難點(diǎn)：集合表示法的恰當(dāng)選擇.教學(xué)過程：一、問題情境1．情境：新生自我介紹：介紹家庭、原畢業(yè)學(xué)校、班級(jí)．2．問題．在介紹的過程中，常常涉及像“家庭”、“學(xué)?！薄ⅰ鞍嗉?jí)”、“男生”、“女生”等概念，這些概念與“學(xué)生×××”相比，它們有什么共同的特征？答：都是反映個(gè)體和群體的關(guān)系，群體是有個(gè)體組成的.二、學(xué)生活動(dòng)1．介紹自己；2．列舉生活中的集合實(shí)例；3．分析、概括各集合實(shí)例的共同特征．三、數(shù)學(xué)建構(gòu)集合論的創(chuàng)始者康托爾（G.Cantor.1845-1918,德國(guó)數(shù)學(xué)家、集合論創(chuàng)始人，他于1895年談到“集合”一詞）曾說過：“集合是我們直覺或思維的并且是確定的彼此可以識(shí)別的對(duì)象的一個(gè)群體.”顯然這僅是給出一個(gè)描述性的說明.集合的概念是數(shù)學(xué)中不定義的原始概念.集合的含義：一般地，一定范圍內(nèi)確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合（set）．構(gòu)成集合的每一個(gè)個(gè)體都叫做集合的一個(gè)元素（element）．“element中的字母”構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素是__________________.為了書寫方便，我們通常用大寫拉丁字母表示集合，例如“集合、集合”．元素與集合的關(guān)系及符號(hào)表示：屬于，不屬于．集合的元素一般具有下列特點(diǎn)和性質(zhì)：確定性：對(duì)于一個(gè)已知集合，它的元素是確定的.所謂確定性就是：任何一個(gè)事物或者是的元素，或者不是的元素，二者必居其一，即或有且只有一個(gè)成立.這是證明集合之間關(guān)系特別是相等關(guān)系時(shí)，經(jīng)常使用的重要依據(jù).互異性：一個(gè)集合中的所含元素不允許重復(fù)，確切的說，集合中的相同元素不能算作不同元素，而必須作為同一個(gè)元素看待.無(wú)序性：集合中的元素可以任意變動(dòng)次序.自然語(yǔ)言描述如{15的正整數(shù)約數(shù)}數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述規(guī)范格式為{x|p自然語(yǔ)言描述如{15的正整數(shù)約數(shù)}數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述規(guī)范格式為{x|p(x)}列舉法描述法圖示法列舉法：將集合中的元素一一列舉出來，并置于花括號(hào)“”內(nèi).用這種方法表示集合，元素之間要用逗號(hào)分隔，但列舉時(shí)與元素的次序無(wú)關(guān).如果兩個(gè)集合所含元素完全相同（即中的元素都是中元素，中元素也都是中的元素），那么稱這兩個(gè)集合相等.描述法：把集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)的方法，期一般形式是.圖示法（Venn圖法）：畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合.有時(shí)用Venn圖表示集合，更加形象直觀.常用數(shù)集的記法常用集合簡(jiǎn)稱記法全體非負(fù)整數(shù)的集合非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)除0的集合正整數(shù)集或全體整數(shù)的集合整數(shù)集全體有理數(shù)的集合有理數(shù)即全體實(shí)數(shù)的集合實(shí)數(shù)集有限集，無(wú)限集與空集．一般地，含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限極.我們不含任何元素的集合稱為空集，記作.例如，集合就是空集.6．有關(guān)集合知識(shí)的歷史簡(jiǎn)介．四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1．典例分析例1求不等式的解集.分析這是一個(gè)無(wú)限集，所以選用描述法表示.例2求方程所有實(shí)數(shù)解的集合.分析運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)可以知道，其解集是空集.例3如何表示方程組的解集呢？分析這是一個(gè)熟悉的問題，但在集合的觀點(diǎn)下，如何正確表示是一個(gè)關(guān)鍵.例4寫出的解集.分析解集含兩個(gè)元素，所以寫解集時(shí)要注意和例3的區(qū)別.例5完成下列各題：（1）若集合，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)．分析考察集合和元素之間的關(guān)系.2．課堂練習(xí)（1）用列舉法表示下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（2）用描述法表示下列集合：①奇數(shù)的集合；②正偶數(shù)的集合；③.五、回顧小結(jié)（1）集合的概念——集合、元素、屬于、不屬于、有限集、無(wú)限集、空集；（2）集合的表示——列舉法、描述法以及Venn圖；（3）集合的元素與元素的個(gè)數(shù)；（4）常用數(shù)集的記法．六、作業(yè)課本第7頁(yè)練習(xí)3，4兩題．集合論簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)的一個(gè)基本的分支學(xué)科，研究對(duì)象是一般集合。集合論在數(shù)學(xué)中占有一個(gè)獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。集合論或集論是研究集合（由一堆抽象物件構(gòu)成的整體）的數(shù)學(xué)理論，包含集合、元素和成員關(guān)系等最基本數(shù)學(xué)概念。在大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公式化中，集合論提供了要如何描述數(shù)學(xué)物件的語(yǔ)言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)的公理化基礎(chǔ)，以未定義的“集合”與“集合成員”等術(shù)語(yǔ)來形式化地建構(gòu)數(shù)學(xué)物件。在樸素集合論中，集合是被當(dāng)做一堆物件構(gòu)成的整體之類的自證概念。在公理化集合論中，集合和集合成員并不直接被定義，而是先規(guī)范可以描述其性質(zhì)的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成員是有如在歐式幾何中的點(diǎn)和線，而不被直接定義。對(duì)集合論的異議一開始，有些數(shù)學(xué)家拒絕將集合論當(dāng)做數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，認(rèn)為這只是一場(chǎng)含有奇幻元素的游戲。埃里特·比修普駁斥集合論是“上帝的數(shù)學(xué)，應(yīng)該留給上帝”。而且，路德維?！ぞS特根斯坦特別對(duì)無(wú)限的操作有疑問，這也和策梅羅-弗蘭克爾集合論有關(guān)。維特根斯坦對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的觀點(diǎn)曾被保羅·貝奈斯所批評(píng)，且被克里斯平·賴特等人密切研究過。對(duì)集合論最常見的反對(duì)意見來自結(jié)構(gòu)主義者，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是和計(jì)算些微相關(guān)著的，但樸素集合論卻加入了非計(jì)算性的元素。拓樸斯理論曾被認(rèn)為是傳統(tǒng)公理化集合論的另一種選擇。拓樸斯理論可以被用來解譯各種集合集的替代方案，如結(jié)構(gòu)主義、模糊集合論、有限集合論和可計(jì)算集合論等。集合論（Settheory）作用按現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)各分支的研究對(duì)象或者本身是帶有某種特定結(jié)構(gòu)的集合如群、環(huán)、拓?fù)淇臻g，或者是可以通過集合來定義的（如自然數(shù)、實(shí)數(shù)、函數(shù)）。從這個(gè)意義上說，集合論可以說是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。歷史集合論作為數(shù)學(xué)中最富創(chuàng)造性的偉大成果之一，是在19世紀(jì)末由德國(guó)的康托爾（1845－1918）創(chuàng)立起來的。但是，它萌發(fā)、孕育的歷史卻源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，至少可以追溯到兩千多年前。無(wú)窮集合的早期研究概念集合論是關(guān)于無(wú)窮集合和超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論。集合作為數(shù)學(xué)中最原始的概念之一，通常是指按照某種特征或規(guī)律結(jié)合起來的事物的總體。例如美國(guó)國(guó)會(huì)圖書館的全部藏書，自然數(shù)的全體以及直線上所有點(diǎn)的總體等等。集合論的全部歷史都是圍繞無(wú)窮集合而展開的。創(chuàng)立之前早在集合論創(chuàng)立之前兩千多年，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們就已經(jīng)接觸到了大量有關(guān)無(wú)窮的問題，古希臘的學(xué)者最先注意并考察了它們。公元前5世紀(jì)，埃利亞學(xué)派的芝諾（約公元前490－前430），一共提出45個(gè)悖論，其中關(guān)于運(yùn)動(dòng)的四個(gè)悖論：二分法悖論、阿基里斯追龜悖論、飛矢不動(dòng)悖論與運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論尤為著名，前三個(gè)悖論都與無(wú)窮直接有關(guān)。芝諾在悖論中雖然沒有明確使用無(wú)窮集合的概念，但問題的實(shí)質(zhì)卻與無(wú)窮集合有關(guān)。在數(shù)理哲學(xué)中，有兩種無(wú)窮方式歷來為數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家所關(guān)注，一種是無(wú)窮過程，稱為潛在無(wú)窮，一種是無(wú)窮整體，稱為實(shí)在無(wú)窮。希臘哲學(xué)家亞里士多德（前384－前322）最先提出要把潛在的無(wú)窮和實(shí)在的無(wú)窮加以區(qū)別，這種思想在當(dāng)今仍有重要意義。他認(rèn)為只存在潛在無(wú)窮，如地球的年齡是潛在無(wú)窮，但任意時(shí)刻都不是實(shí)在無(wú)窮。他承認(rèn)正整數(shù)是潛在無(wú)窮的，因?yàn)槿魏握麛?shù)加上1總能得到一個(gè)新數(shù)。對(duì)他來說，無(wú)窮集合是不存在的。哲學(xué)權(quán)威亞里士多德把無(wú)窮限于潛在無(wú)窮之內(nèi)，如同下了一道禁令，誰(shuí)敢冒天下之大不韙，以至于影響對(duì)無(wú)窮集合的研究達(dá)兩千多年之久。創(chuàng)立過程公元5世紀(jì)，拜占庭的普羅克拉斯（410－485）是歐幾里德《幾何原本》的著名評(píng)述者。他在研究直徑分圓問題時(shí)，注意到圓的一根直徑分圓成兩個(gè)半圓，由于直徑有無(wú)窮多，所以必須有兩倍無(wú)窮多的半圓。為了解釋這個(gè)在許多人看來是一個(gè)矛盾的問題，他指出：任何人只能說有很大很大數(shù)目的直徑或者半圓，而不能說一個(gè)實(shí)實(shí)在在無(wú)窮多的直徑或者半圓，也就是說，無(wú)窮只能是一種觀念，而不是一個(gè)數(shù)，不能參與運(yùn)算。其實(shí)，他這里是接受了亞里士多德的潛無(wú)窮的概念，而否認(rèn)實(shí)無(wú)窮的概念，對(duì)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系采用了回避的態(tài)度。到了中世紀(jì)，隨著無(wú)窮集合的不斷出現(xiàn)，部分能夠同整體構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)這個(gè)事實(shí)也就越來越明顯地暴露出來。例如，數(shù)學(xué)家們注意到把兩個(gè)同心圓上的點(diǎn)用公共半徑聯(lián)結(jié)起來，就構(gòu)成兩個(gè)圓上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。近代科學(xué)的開拓者伽利略（1564－1642）注意到：兩個(gè)不等長(zhǎng)的線段上的點(diǎn)可以構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)。他又注意到：正整數(shù)與它們的平方可以構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，這說明無(wú)窮大有不同的“數(shù)量級(jí)”，不過伽利略認(rèn)為這是不可能的。他說，所有無(wú)窮大量都一樣，不能比較大小。到了十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家把無(wú)窮小量引進(jìn)數(shù)學(xué)，構(gòu)成所謂“無(wú)窮小演算”，這就是微積分的最早名稱。所謂積分法無(wú)非是無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量加在一起，而微分法則是兩個(gè)無(wú)窮小量相除。由于無(wú)窮小量運(yùn)算的引進(jìn)，無(wú)窮大模大樣地進(jìn)入數(shù)學(xué)，雖然它給數(shù)學(xué)帶來前所未有的繁榮和進(jìn)步，它的基礎(chǔ)及其合法性仍然受到許多數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑，他們對(duì)無(wú)窮仍然心存疑慮，這方面以“數(shù)學(xué)家之王”高斯（1777—1855）的意見為代表。高斯是一個(gè)潛在無(wú)窮論者，他在1831年7月12日給他的朋友舒馬赫爾的信中說“我必須最最強(qiáng)烈地反對(duì)你把無(wú)窮作為一完成的東西來使用，因?yàn)檫@在數(shù)學(xué)中是從來不允許的。無(wú)窮只不過是一種談話方式，它是指一種極限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些則容許沒有限制地增加。”這里極限概念只不過是一種潛在的無(wú)窮過程。這里高斯反對(duì)那些哪怕是偶爾用一些無(wú)窮的概念，甚至是無(wú)窮的記號(hào)的人，特別是當(dāng)他們把它當(dāng)成是普通數(shù)一樣來考慮時(shí)。法國(guó)大數(shù)學(xué)家柯西（1789－1857）也同他的前人一樣，不承認(rèn)無(wú)窮集合的存在。他認(rèn)為部分同整體構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)是自相矛盾的事。過程艱辛科學(xué)家們接觸到無(wú)窮，卻又無(wú)力去把握和認(rèn)識(shí)它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰(zhàn)。正如大衛(wèi)·希爾伯特（1862－1943）在他的1926年《論無(wú)窮》的講演中所說的那樣：“沒有任何問題象無(wú)窮那樣深深地觸動(dòng)人的情感，很少別的觀念能象無(wú)窮那樣激勵(lì)理智產(chǎn)生富有成果的思想，然而也沒有任何其它概念能象無(wú)窮那樣需要加以闡明”。面對(duì)“無(wú)窮”的長(zhǎng)期挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)家們不會(huì)無(wú)動(dòng)于衷，他們?yōu)榻鉀Q無(wú)窮問題而進(jìn)行的努力，首先是從集合論的先驅(qū)者開始的。集合論的誕生先驅(qū)數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的先驅(qū)波爾查諾（1781－1848）也是一位探索實(shí)無(wú)窮的先驅(qū)，他是第一個(gè)為了建立集合的明確理論而作出了積極努力的人。他明確談到實(shí)在無(wú)窮集合的存在，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)集合等價(jià)的概念，也就是后來的一一對(duì)應(yīng)的概念。他知道，無(wú)窮集合的一個(gè)部分或子集可以等價(jià)于其整體，他認(rèn)為這個(gè)事實(shí)必須接受。例如0到5之間的實(shí)數(shù)通過公式y(tǒng)=12x/5可與0到12之間的實(shí)數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，雖然后面的集合包含前面的集合。為此，他為無(wú)窮集合指定超限數(shù)，使不同的無(wú)窮集合，超限數(shù)不同。不過，后來康托爾指出，波爾查諾指定無(wú)窮集合的超限數(shù)的具體方法是錯(cuò)誤的。另外，他還提出了一些集合的性質(zhì)，并將他們視為悖論。因此，他關(guān)于無(wú)窮的研究哲學(xué)意義大于數(shù)學(xué)意義。應(yīng)該說，他是康托爾集合論的先驅(qū)。問題出現(xiàn)黎曼（1826－1866）是在1854年的就職論文《關(guān)于用三角級(jí)數(shù)表示函數(shù)的可能性》中首次提出“唯一性問題”的。大意是：如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)除間斷點(diǎn)外所有點(diǎn)上都能展開為收斂于函數(shù)值的三角級(jí)數(shù)，那么這樣的三角級(jí)數(shù)是否是唯一的？但他沒有給予回答。1870年海涅（1821－1881）證明：當(dāng)f（x）連續(xù)，且它的三角級(jí)數(shù)展開式一致收斂時(shí)，展開式是唯一的。進(jìn)一步的問題是：當(dāng)f（x）具有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，唯一性能否成立？康托爾就是通過對(duì)唯一性問題的研究，認(rèn)識(shí)到無(wú)窮集合的重要性，并開始從事無(wú)窮集合的一般理論研究。奠定基礎(chǔ)早在1870年和1871年，康托爾兩次在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文，證明了函數(shù)f（x）的三角級(jí)數(shù)表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個(gè)間斷點(diǎn)處不收斂，定理仍然成立。1872年他在《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)表了一篇題為《三角級(jí)數(shù)中一個(gè)定理的推廣》的論文，把海涅的一致收斂的嚴(yán)酷條件推廣到允許間斷點(diǎn)是某種無(wú)窮的集合的情形。為了描述這種集合，他首先定義了點(diǎn)集的極限點(diǎn)，然后引進(jìn)了點(diǎn)集的導(dǎo)集和導(dǎo)集的導(dǎo)集等有關(guān)重要概念。這是從唯一性問題的探索向點(diǎn)集論研究的開端，并為點(diǎn)集論奠定了理論基礎(chǔ)。集合論誕生1873年11月29日康托爾在給戴德金（1831－1916）的一封信中，終于把導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的問題明確地提了出來：正整數(shù)的集合（n）與實(shí)數(shù)的集合（x）之間能否把它們一一對(duì)應(yīng)起來。同年12月7日，康托爾寫信給戴德金，說他已能成功地證明實(shí)數(shù)的“集體”是不可數(shù)的，也就是不能同正整數(shù)的“集體”一一對(duì)應(yīng)起來。這個(gè)時(shí)期應(yīng)該看成是集合論的誕生日。集合拓?fù)溟_始1874年，康托爾發(fā)表了這個(gè)證明，不過論文題目換成另外一個(gè)題目“論所有實(shí)代數(shù)數(shù)集體的一個(gè)性質(zhì)，”因?yàn)榭寺鍍?nèi)克（1823－1891）根本就反對(duì)這種論文，他認(rèn)為這種論文根本沒有內(nèi)容，無(wú)的放矢。該文提出了“可數(shù)集”概念，并以一一對(duì)應(yīng)為準(zhǔn)則對(duì)無(wú)窮集合進(jìn)行分類，證明了如下重要結(jié)果：（1）一切代數(shù)數(shù)是可數(shù)的；（2）任何有限線段上的實(shí)數(shù)是不可數(shù)的；（3）超越數(shù)是不可數(shù)的；（4）一切無(wú)窮集并非都是可數(shù)的，無(wú)窮集同有窮集一樣也有數(shù)量（基數(shù)）上的區(qū)別。1874年1月5日，康托爾給戴德金寫信，提出下面的問題：是否能把一塊曲面（如包含邊界在內(nèi)的正方形）一意地映射到一條線（如包含端點(diǎn)在內(nèi)的線段），使得面上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)線上一點(diǎn)而且反過來線上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)面上一點(diǎn)？1877年6月20日，他給戴德金寫信，這次他告訴他的朋友這個(gè)問題答案是肯定的理由，雖然幾年以來他都認(rèn)為答案是否定的。信中說“我看到了它，但我簡(jiǎn)直不能相信它”。關(guān)于這一成果的論文1878年發(fā)表后，吸引人們研究度量空間維數(shù)的本質(zhì)，很快出現(xiàn)一批論文。這批論文標(biāo)志集合拓?fù)涞拈_始。點(diǎn)集論體系建立從1879年到1883年，康托爾寫了六篇系列論文，論文總題目是“論無(wú)窮線形點(diǎn)流形”，其中前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數(shù)學(xué)成果，特別是涉及集合論在分析上的一些有趣的應(yīng)用。第五篇論文后來以單行本出版，單行本的書名《一般集合論基礎(chǔ)》。第六篇論文是第五篇的補(bǔ)充?！兑话慵险摶A(chǔ)》在數(shù)學(xué)上的主要成果是引進(jìn)超窮數(shù)。該文從內(nèi)容到敘述方式都同現(xiàn)代的樸素集合論基本一致，所以該書標(biāo)志著點(diǎn)集論體系的建立。遭遇挫折1884年，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)長(zhǎng)期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克的尖銳對(duì)立，精神上屢遭打擊，5月底，他支持不住了，第一次精神崩潰。他的精神沮喪，不能很好地集中研究集合論，從此深深地卷入神學(xué)、哲學(xué)及文學(xué)的爭(zhēng)論而不能自拔。不過每當(dāng)他恢復(fù)常態(tài)時(shí)，他的思想總變得超乎尋常的清晰，繼續(xù)他的集合論的工作?？低袪柕呢暙I(xiàn)《對(duì)超窮集合論基礎(chǔ)的貢獻(xiàn)》是康托爾最后一部重要的數(shù)學(xué)著作?！敦暙I(xiàn)》分兩部分，第一部分是全序集合的研究，于1895年5月在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表。第二部分于1897年5月在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表?！敦暙I(xiàn)》的發(fā)表標(biāo)志集合論已從點(diǎn)集論過渡到抽象集合論。但是，由于它還不是公理化的，而且它的某些邏輯前提和某些證明方法如不給予適當(dāng)?shù)南拗票銜?huì)導(dǎo)出悖論，所以康托爾的集合論通常成為古典集合論或樸素集合論。出現(xiàn)悖論導(dǎo)致懷疑不過，康托爾的集合論并不是完美無(wú)缺的，一方面，康托爾對(duì)“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”和“良序性定理”始終束手無(wú)策；另一方面，19和20世紀(jì)之交發(fā)現(xiàn)的布拉利－福蒂悖論、康托爾悖論和羅素悖論，使人們對(duì)集合論的可靠性產(chǎn)生了嚴(yán)重的懷疑。加之集合論的出現(xiàn)確實(shí)沖擊了傳統(tǒng)的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家所接受，遭到了許多人的反對(duì)，其中反對(duì)的最激烈的是柏林學(xué)派的代表人物之一、構(gòu)造主義者克羅內(nèi)克?？肆_內(nèi)克認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對(duì)象必須是可構(gòu)造出來的，不可用有限步驟構(gòu)造出來的都是可疑的，不應(yīng)作為數(shù)學(xué)的對(duì)象，他反對(duì)無(wú)理數(shù)和連續(xù)函數(shù)的理論，同樣嚴(yán)厲批評(píng)和惡毒攻擊康托爾的無(wú)窮集合和超限數(shù)理論不是數(shù)學(xué)而是神秘主義。他說康托爾的集合論空空洞洞毫無(wú)內(nèi)容。集合論的悖論出現(xiàn)之后，他們開始認(rèn)為集合論根本是一種病態(tài)，他們以不同的方式發(fā)展為經(jīng)驗(yàn)主義、半經(jīng)驗(yàn)主義、直覺主義、構(gòu)造主義等學(xué)派，在基礎(chǔ)大戰(zhàn)中，構(gòu)成反康托爾的陣營(yíng)。得到肯定康托爾的集合論得到公開的承認(rèn)和熱情的稱贊應(yīng)該說首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上表現(xiàn)出來。瑞士蘇黎世理工大學(xué)教授胡爾維茨（1859－1919）在他的綜合報(bào)告中，明確地闡述康托爾集合論對(duì)函數(shù)論的進(jìn)展所起的巨大推動(dòng)作用，這破天荒第一次向國(guó)際數(shù)學(xué)界顯示康托爾的集合論不是可有可無(wú)的哲學(xué)，而是真正對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起作用的理論工具。在分組會(huì)上，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（1865－1963），也報(bào)告康托爾對(duì)他的工作的重要作用。隨著時(shí)間的推移，人們逐漸認(rèn)識(shí)到集合論的重要性。希爾伯特高度贊譽(yù)康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類純粹智力活動(dòng)的最高成就之一”，“是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特高度評(píng)價(jià)了康托爾工作的重要性，并把康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀(jì)初有待解決的23個(gè)重要數(shù)學(xué)問題之首。當(dāng)康托爾的樸素集合論出現(xiàn)一系列悖論時(shí)，克洛內(nèi)克的后繼者布勞威爾（1881－1966）等人借此大做文章，希爾伯特用堅(jiān)定的語(yǔ)言向他的同代人宣布：“沒有任何人能將我們從康托爾所創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來”。集合論的發(fā)展成為系統(tǒng)的學(xué)科1899年第一篇點(diǎn)集論的論文在《德國(guó)數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)年報(bào)》上發(fā)表，這篇論文是德國(guó)數(shù)學(xué)家舍恩弗利斯（1853－1928）寫的。他本人在其后還為德國(guó)《數(shù)學(xué)科學(xué)百科全書》中撰寫有關(guān)條目。20世紀(jì)初他繼續(xù)研究康托爾留下的問題，特別是維數(shù)不變性問題。大約同時(shí)，德國(guó)數(shù)學(xué)家豪斯道夫（1868－1942）對(duì)集合論進(jìn)行一系列研究，特別是序型及序集理論。1914年出版《集合論大綱》更是集合論及點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的經(jīng)典著作，他的體系是后來研究的基礎(chǔ)及出發(fā)點(diǎn)。從此集合論成為系統(tǒng)的學(xué)科。確立地位從非歐幾何的產(chǎn)生開始的對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)矛盾性（相對(duì)無(wú)矛盾性）的證明把整個(gè)數(shù)學(xué)解釋為集合論，集合論成了數(shù)學(xué)無(wú)矛盾性的基礎(chǔ)，集合論在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論地位就逐步確立起來。集合論公理化19和20世紀(jì)之交人們發(fā)現(xiàn)了一系列集合論悖論，表明集合論是不協(xié)調(diào)的，這使得人們對(duì)數(shù)學(xué)推理的正確性和結(jié)論的真理性產(chǎn)生了懷疑，觸發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。為了克服悖論所帶來的困難，人們開始對(duì)集合論進(jìn)行改造，即對(duì)康托爾的集合定義加以限制，“從現(xiàn)有的集合論成果出發(fā)，反求足以建立這一數(shù)學(xué)分支的原則。這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾，另一方面，又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來”（策梅羅語(yǔ)）。這就是集合論公理化方案。1908年策梅羅（1871－1953）提出第一個(gè)公理集合論系統(tǒng)，后經(jīng)德國(guó)－以色列數(shù)學(xué)家弗蘭克爾（1891－1965）和挪威數(shù)學(xué)家斯科蘭姆（1887－1963）的補(bǔ)充和修正，得到現(xiàn)在公認(rèn)的策梅羅－弗蘭克爾公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)記為ZF,ZF如果另加選擇公理（AC），則所得的公理系統(tǒng)簡(jiǎn)記為ZFC.1925年大數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼（1903－1957）開創(chuàng)了另一套公理系統(tǒng)，后經(jīng)伯奈斯（1888－1977）及哥德爾（1906－1978）的改進(jìn)形成了NBG公理系統(tǒng)。已經(jīng)證明，ZF對(duì)于發(fā)展集合論是足夠了,它能避免已知的集合論悖論，并在