甘肅二診理科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的是（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=x^3\)

C.\(f(x)=x^4\)

D.\(f(x)=|x|\)

2.已知\(a^2+b^2=1\)，則\(\sin^2(a+b)\)的最大值為（）

A.1

B.\(\frac{1}{2}\)

C.\(\frac{3}{4}\)

D.\(\frac{1}{3}\)

3.若\(f(x)=\log_2(x+1)-\log_2(x-1)\)，則\(f(3)\)的值為（）

A.1

B.2

C.0

D.-1

4.已知\(x^2+y^2=1\)，則\(x^2+2xy+y^2\)的值為（）

A.2

B.0

C.1

D.-1

5.若\(a>b>0\)，則下列不等式中正確的是（）

A.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)

B.\(a^2<b^2\)

C.\(\sqrt{a}<\sqrt\)

D.\(a^3<b^3\)

6.已知\(x+y=5\)，\(x-y=1\)，則\(x^2+y^2\)的值為（）

A.10

B.14

C.15

D.16

7.若\(x^2+2x+1=0\)，則\(x^3+3x^2+3x+1\)的值為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

8.已知\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，則\(abc\)的最大值為（）

A.36

B.48

C.60

D.72

9.若\(x^2-3x+2=0\)，則\(x^3-3x^2+2x\)的值為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=27\)，則\(abc\)的最小值為（）

A.9

B.18

C.27

D.36

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的？（）

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x}\)

C.\(f(x)=|x|\)

D.\(f(x)=\sin(x)\)

E.\(f(x)=x^2\)

2.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=9\)，\(abc=27\)，則下列哪些結(jié)論是正確的？（）

A.\(a,b,c\)均為正數(shù)

B.\(a,b,c\)均為負(fù)數(shù)

C.\(a,b,c\)中至少有一個(gè)數(shù)為0

D.\(a,b,c\)中至少有一個(gè)數(shù)大于1

E.\(a,b,c\)中至少有一個(gè)數(shù)小于1

3.已知\(f(x)=x^3-3x+2\)，則\(f(x)\)的極值點(diǎn)為（）

A.\(x=-1\)

B.\(x=0\)

C.\(x=1\)

D.\(x\)無(wú)極值點(diǎn)

E.\(x\)有兩個(gè)極值點(diǎn)

4.下列哪些函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的？（）

A.\(f(x)=2x+1\)

B.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

C.\(f(x)=x^2\)

D.\(f(x)=\sqrt{x}\)

E.\(f(x)=\log_2(x)\)

5.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=27\)，\(abc=81\)，則下列哪些結(jié)論是正確的？（）

A.\(a,b,c\)均為正數(shù)

B.\(a,b,c\)均為負(fù)數(shù)

C.\(a,b,c\)中至少有一個(gè)數(shù)為0

D.\(a,b,c\)中至少有一個(gè)數(shù)大于3

E.\(a,b,c\)中至少有一個(gè)數(shù)小于3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若\(f(x)=\log_2(x+1)\)，則\(f(3)\)的值為_(kāi)______。

2.已知\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，則\(abc\)的最大值為_(kāi)______。

3.若\(x^2-3x+2=0\)，則\(x^3-3x^2+2x\)的值為_(kāi)______。

4.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=27\)，\(abc=81\)，則\(a,b,c\)的公比為_(kāi)______。

5.已知\(x^2+y^2=1\)，則\(x^2+2xy+y^2\)的值為_(kāi)______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列極限：

\[

\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}

\]

2.解下列方程：

\[

2x^3-6x^2+9x-3=0

\]

3.已知\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=9\)，\(abc=27\)，求\(a,b,c\)的值。

4.解下列不等式：

\[

3x^2-4x-5<0

\]

5.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)，求\(f(x)\)在區(qū)間\([1,3]\)上的最大值和最小值。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.B（奇函數(shù)滿足\(f(-x)=-f(x)\)，只有\(zhòng)(x^3\)滿足此條件。）

2.C（利用三角恒等變換，\(\sin^2(a+b)=\sin^2a\cos^2b+\cos^2a\sin^2b\leq\frac{1}{2}\)。）

3.A（利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，\(\log_2(3+1)-\log_2(3-1)=\log_2(4)-\log_2(2)=2-1=1\)。）

4.C（利用平方和公式，\(x^2+y^2=1\)，則\(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=1^2=1\)。）

5.D（由于\(a>b>0\)，則\(a^3>b^3\)，其他選項(xiàng)不成立。）

6.B（利用平方差公式，\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\cdot1=14\)。）

7.A（利用完全平方公式，\(x^3-3x^2+2x=(x-1)^3\)，當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(f(x)=0\)。）

8.B（由于\(a,b,c\)是等差數(shù)列，則\(b=\frac{a+c}{2}\)，代入\(abc=27\)得\(a^2c=27\)，\(b^2=\frac{27}{a}\)，\(b\)最大時(shí)\(a\)最小，\(c\)最大，所以\(b\)最大值為\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)。）

9.B（利用因式分解，\(x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)=0\)，則\(x=0,1,2\)，代入\(x^3-3x^2+2x\)得\(f(3)=1\)。）

10.D（由于\(a,b,c\)是等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)，代入\(a+b+c=27\)和\(abc=81\)得\(b^3=27\)，\(b=3\)，所以\(a,b,c\)中至少有一個(gè)數(shù)大于3。）

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.BDE（對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。）

2.ADE（等差數(shù)列中項(xiàng)的平方大于等于0，且等比數(shù)列中項(xiàng)的立方大于等于0。）

3.ABE（極值點(diǎn)滿足導(dǎo)數(shù)為0或不存在，\(f'(x)=3x^2-6x+2=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)，但\(x=\frac{2}{3}\)不在定義域內(nèi)。）

4.ADE（一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。）

5.ADE（等比數(shù)列中項(xiàng)的平方大于等于0，且等比數(shù)列中項(xiàng)的立方大于等于0。）

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.\(f(3)=1\)（對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。）

2.\(abc\)的最大值為\(3\sqrt{3}\)（等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)。）

3.\(x^3-3x^2+2x=0\)，解得\(x=1,2,\frac{1}{2}\)（因式分解。）

4.\(b^2=\frac{27}{a}\)，\(b\)最大時(shí)\(a\)最小，\(c\)最大，所以\(b\)最大值為\(3\sqrt{3}\)（等比數(shù)列的性質(zhì)。）

5.\(x^2+y^2=1\)，則\(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=1^2=1\)（平方和公式。）

四、計(jì)算題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0\)（利用三角函數(shù)的有界性和極限的性質(zhì)。）

2.\(2x^3-6x^2+9x-3=0\)，解得\(x=1,2,\frac{3}{2}\)（因式分解。）

3.\(a,b,c\)的值為\(3,3,3\)（等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)。）

4.\(3x^2-4x-5<0\)，解得\(x\in\left(\frac{5}{3},1\right)\)（一元二次不等式的解法