PAGE1PAGE2（提優(yōu)卷）期末滿分沖刺模擬卷一-【考點培優(yōu)尖子生專用】2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練滬教版（提優(yōu)卷）期末滿分沖刺模擬卷一（原卷版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題(共30分)1．（2021·全國高一課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（）A．隨機事件的概率與頻率是一樣的B．在試驗中，某事件發(fā)生的頻率的取值范圍是C．必然事件的概率是1D．不可能事件的概率是02．（2021·上海市大同中學(xué)）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過人”，根據(jù)過去天甲、乙、丙、丁四地新增病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（）A．甲地：總體均值為，總體方差為 B．乙地：總體均值為，中位數(shù)為C．丙地：總體均值為，總體方差大于 D．中位數(shù)為，總體方差為3．（2021·寶山·上海交大附中高二期中）交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對新法規(guī)“開車不喝酒，喝酒不開車”的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查，假設(shè)四個社區(qū)總?cè)藬?shù)為，其中甲社區(qū)有駕駛員96人，若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取人數(shù)分別為12，21，25、43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為（）A．101 B．808 C．1212 D．21214．（2021·上海浦東新·華師大二附中高二月考）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點．設(shè)AM與平面BB1D1D的交點為O，則（）A．三點D1，O，B共線，且OB=2OD1B．三點D1，O，B不共線，且OB=2OD1C．三點D1，O，B共線，且OB=OD1D．三點D1，O，B不共線，且OB=OD15．（2021·上海市七寶中學(xué)高二月考）如圖、用斜二測畫法作△的直觀圖得△，其中，是邊上的中線，由圖形可知，在△（是的中點）中，下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．6．（2021·上海市吳淞中學(xué)高二月考）已知空間直線不在平面內(nèi)，則“”是“直線上有兩個點到平面的距離相等”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件7．（2021·上海浦東新·華師大二附中）用長度分別是2，3，5，6，9（單位：）的五根木棒連接（只允許連接，不允許折斷），組成共頂點的長方體的三條棱，則能夠得到的長方體的最大表面積為（）A． B． C． D．8．（2021·上海黃浦·格致中學(xué)高三月考）已知三棱錐的頂點都在半徑為的球面上，，，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．9．（2021·上海楊浦·復(fù)旦附中高二期中）連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB，CD的長度分別等于?，M，N分別為AB，CD的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：①弦AB，CD可能相交于點M；②弦AB，CD可能相交于點N；③MN的最大值為5；④MN的最小值為1；其中真命題的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2021·上海市松江二中高二月考）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個數(shù)為（）①當(dāng)時，S為四邊形；②當(dāng)時，S為等腰梯形；③當(dāng)時，S與的交點滿足；④當(dāng)時，S為六邊形；A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題(共24分)11．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)）已知一組數(shù)據(jù)，，3，5的中位數(shù)為7，平均數(shù)為8，則______．12．（2021·上海市七寶中學(xué)高三）為迎接2022年北京冬奧會，某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，二等品，三等品.從這批雪車中隨機抽取一件雪車檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.93，抽到一等品或三等品的概率為0.85，則抽到一等品的概率為___________.13．（2021·上海市松江二中高二月考）圓錐底面半徑為，母線長為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角___________.14．（2021·上海市亭林中學(xué)高二期末）有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．15．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高二月考）如圖，在長方體中，，，、分別是和的中點，則與所成的角為___________.16．（2021·上海市松江二中高二月考）山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是，一人沿直道CD行走了600米后，升高了_______________米.（保留一位小數(shù)）17．（2021·上海徐匯·位育中學(xué)高二月考）如圖，在直角中，，，，現(xiàn)將其放置在平面的上面，其中點A，B在平面的同一側(cè)，點平面，與平面所成的角為，則點A到平面的最大距離是___________.18．（2021·上海復(fù)旦附中高三）有一組數(shù)據(jù)：，1，2，3，4，其平均數(shù)是2，則其標(biāo)準(zhǔn)差是__________.三、解答題(共46分)19．(本題8分)（2021·黑龍江大慶實驗中學(xué)高二開學(xué)考試）某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下個芒果，其質(zhì)量（單位：）分別在，，，，，中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)?中位數(shù)，四舍五入精確到整數(shù)位；（2）現(xiàn)按分層陏機抽樣的方法從質(zhì)量在，中的芒果中隨機抽取個，再從這個中隨機抽取個，求這個芒果來自不同質(zhì)量區(qū)間的概率.20．(本題8分)（2021·上海）某中學(xué)從高三男生中隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)進行整理，得到下側(cè)的頻率分布表.組號分組頻率第1組[160，165）0.05第2組0.35第3組0.3第4組0.2第5組0.1合計1.00（Ⅰ）為了能對學(xué)生的體能做進一步了解，該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進行體能測試，問第3，4，5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進行測試；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行引體向上測試，求第3組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率；（Ⅲ）試估計該中學(xué)高三年級男生身高的中位數(shù)位于第幾組中，并說明理由.21．(本題10分)（2021·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二月考）如圖1，矩形，，，點為的中點，將沿直線折起至平面平面（如圖2），點在線段上，平面.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若在棱，分別取中點，，試判斷點與平面的關(guān)系，并說明理由.22．(本題10分)（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二月考）如圖，是圓柱的一條母線，過底面圓心，是圓上一點.已知，.（1）求該圓柱的表面積；（2）求點到平面的距離；（3）將四面體繞母線所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積.23．(本題10分)（2021·上海高二專題練習(xí)）如圖，在多面體中，、、均垂直于平面，，，，，，分別是線段和上的點.（1）求與所成角的大?。唬?）求二面角的大?。唬?）求的最小值.PAGE1（提優(yōu)卷）期末滿分沖刺模擬卷一（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題(共30分)1．（2021·全國高一課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（）A．隨機事件的概率與頻率是一樣的B．在試驗中，某事件發(fā)生的頻率的取值范圍是C．必然事件的概率是1D．不可能事件的概率是0【答案】A【分析】依據(jù)頻率和概率，必然事件和不可能事件的定義，依次判斷即可【詳解】對于選項A，概率是唯一的確定的值，而頻率是統(tǒng)計出來的，通過一次次的試驗得到，因此隨機事件的概率與頻率是兩個不同的概念，故A錯誤；對于選項B，頻率是指是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值，故取值范圍是，故B正確；對于選項C，D，由必然事件和不可能事件的定義可知，說法正確.故選：A2．（2021·上海市大同中學(xué)）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過人”，根據(jù)過去天甲、乙、丙、丁四地新增病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（）A．甲地：總體均值為，總體方差為 B．乙地：總體均值為，中位數(shù)為C．丙地：總體均值為，總體方差大于 D．中位數(shù)為，總體方差為【答案】A【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差的計算公式以及含義，對四個選項逐一分析判斷即可；【詳解】解：對于A：假設(shè)至少有一天的疑似病例超過人，此時方差，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，故正確．對于B：平均數(shù)和中位數(shù)不能限制某一天的病例不超過7人，故不正確，對于C：當(dāng)總體方差大于0，不知道總體方差的具體數(shù)值，因此不能確定數(shù)據(jù)的波動大小，故不正確，對于D：中位數(shù)為，總體方差為，如，平均數(shù)為，方差，滿足題意，但是存在大于7的數(shù)，故D錯誤；故選：A3．（2021·寶山·上海交大附中高二期中）交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對新法規(guī)“開車不喝酒，喝酒不開車”的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查，假設(shè)四個社區(qū)總?cè)藬?shù)為，其中甲社區(qū)有駕駛員96人，若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取人數(shù)分別為12，21，25、43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為（）A．101 B．808 C．1212 D．2121【答案】B【分析】由甲社區(qū)抽取人數(shù)和總?cè)藬?shù)計算可得抽樣比，從而可根據(jù)抽取的人數(shù)計算得到駕駛員總?cè)藬?shù).【詳解】由題意可得抽樣比為：故選：B4．（2021·上海浦東新·華師大二附中高二月考）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點．設(shè)AM與平面BB1D1D的交點為O，則（）A．三點D1，O，B共線，且OB=2OD1B．三點D1，O，B不共線，且OB=2OD1C．三點D1，O，B共線，且OB=OD1D．三點D1，O，B不共線，且OB=OD1【答案】A【分析】利用平面基本事實證明點O在直線BD1上，再借助平行推比例式即得.【詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接AD1，BC1，如圖，，連BD1，平面平面，因M為棱D1C1的中點，則平面，而平面，即平面，又，則平面，因AM與平面BB1D1D的交點為O，則平面，于是得，即D1，O，B三點共線，顯然D1M∥AB且，于是得OD1＝BO，即OB＝2OD1，所以三點D1，O，B共線，且OB=2OD1.故選：A5．（2021·上海市七寶中學(xué)高二月考）如圖、用斜二測畫法作△的直觀圖得△，其中，是邊上的中線，由圖形可知，在△（是的中點）中，下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】還原，可知且，進而通過圖形可判斷出結(jié)果.【詳解】由直觀圖畫出如圖所示其中，A錯誤；，B錯誤；，C正確，D錯誤故選：C6．（2021·上海市吳淞中學(xué)高二月考）已知空間直線不在平面內(nèi)，則“”是“直線上有兩個點到平面的距離相等”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及線面平行的的性質(zhì)判斷即可.【詳解】若，則直線任意一點到平面的距離都相等，所以直線上有兩個點到平面的距離相等，正確；若直線上有兩個點到平面的距離相等，則兩點可能在平面異側(cè)，其中點在平面上即可，所以推不出，綜上知，“”是“直線上有兩個點到平面的距離相等”的充分不必要條件.故選：A7．（2021·上海浦東新·華師大二附中）用長度分別是2，3，5，6，9（單位：）的五根木棒連接（只允許連接，不允許折斷），組成共頂點的長方體的三條棱，則能夠得到的長方體的最大表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出長方體的三條棱的長度為，根據(jù)表面積公式求解出在何種條件下取得最大值，由此考慮長方體棱的長度，并計算出對應(yīng)的長方體的最大表面積.【詳解】設(shè)長方體的三條棱的長度為，所以長方體表面積，取等號時有，又由題意可知不可能成立，所以考慮當(dāng)?shù)拈L度最接近時，此時對應(yīng)的表面積最大，此時三邊長：，用和連接在一起形成，用和連接在一起形成，剩余一條棱長為，所以最大表面積為：.故選C.【點睛】本題考查基本不等式與長方體表面積最大值的綜合，難度一般.求解的最大值，根據(jù)可知最大值為，此時要注意取等號的條件是否成立，若取等號的條件不成立，則滿足條件的相差最小時可取得最大值.8．（2021·上海黃浦·格致中學(xué)高三月考）已知三棱錐的頂點都在半徑為的球面上，，，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理得到直角三角形，取中點，連接，結(jié)合球半徑可得的長，進而得的最大值．【詳解】解：如圖，設(shè)球心為，由，，可得為直角三角形，斜邊的中點為球小圓的圓心，連接，，則平面，由，可得，故三棱錐的最大體積為，故選：．【點睛】此題考查三棱錐體積最值的問題，還涉及外接球的體積公式、勾股定理、以及錐體的體積公式，難度適中．9．（2021·上海楊浦·復(fù)旦附中高二期中）連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB，CD的長度分別等于?，M，N分別為AB，CD的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：①弦AB，CD可能相交于點M；②弦AB，CD可能相交于點N；③MN的最大值為5；④MN的最小值為1；其中真命題的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先求解出的長度，然后根據(jù)長度的大小判斷①②；再通過分析三點共線求解出的最大值和最小值.【詳解】到的距離分別為，若兩弦交于，則，在中，有，符合條件，故①正確；若兩弦交于，則，在中，有，與條件矛盾，故②錯誤；當(dāng)共線時分別取最大值和最小值，最大值為，最小值為，故③④正確，故選：C.10．（2021·上海市松江二中高二月考）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個數(shù)為（）①當(dāng)時，S為四邊形；②當(dāng)時，S為等腰梯形；③當(dāng)時，S與的交點滿足；④當(dāng)時，S為六邊形；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】隨著的移動，依題意分別移動到四個位置，逐項分析判斷即可得解.【詳解】先確定臨界值點，當(dāng)，即為的中點時，截面交于，則界面為等腰梯形，故②正確；對①當(dāng)時，即移動到位置時，截面交線段于，所以截面為四邊形，故①正確；對③，當(dāng)時，在的位置，截面交的延長線于，延長交在的延長線于點，則，由，則，，又有，所以，又，所以，故③正確；對④，，點移動到位置，從圖上看，截面為五邊形，故④錯誤；共個正確，故選：C二、填空題(共24分)11．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)）已知一組數(shù)據(jù)，，3，5的中位數(shù)為7，平均數(shù)為8，則______．【答案】135【分析】先由平均數(shù)為8，求出，然后分和討論，當(dāng)時，不妨設(shè)，再分，和三種情況討論即可【詳解】因為一組數(shù)據(jù)，，3，5的平均數(shù)為8，所以，解得，若，則，此時四個數(shù)為，顯然中位數(shù)不是7，不妨設(shè)，若，則，此時4個數(shù)排列為，中位數(shù)為4，不合題意，若時，則，此時4個數(shù)排列為，顯然中位數(shù)不是7，若，則4個數(shù)排列為，則中位數(shù)為，解得，則，所以，故答案為：13512．（2021·上海市七寶中學(xué)高三）為迎接2022年北京冬奧會，某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，二等品，三等品.從這批雪車中隨機抽取一件雪車檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.93，抽到一等品或三等品的概率為0.85，則抽到一等品的概率為___________.【答案】0.78【分析】由互斥事件的概率加法公式進行求解即可．【詳解】解：設(shè)抽到一等品，二等品，三等品的事件分別為，，，則，解得，所以抽到一等品的概率為0.78.故答案為：0.78.13．（2021·上海市松江二中高二月考）圓錐底面半徑為，母線長為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角___________.【答案】；【分析】根據(jù)圓的周長公式易得圓錐底面周長，也就是圓錐側(cè)面展開圖的弧長，利用弧長公式可得圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角的大小.【詳解】因為圓錐底面半徑為，所以圓錐的底面周長為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角，故答案為：.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關(guān)圓錐側(cè)面展開圖的問題，解題思路如下：（1）首先根據(jù)底面半徑求得底面圓的周長；（2）根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長就是底面圓的周長，結(jié)合母線長，利用弧長公式求得圓心角的大小.14．（2021·上海市亭林中學(xué)高二期末）有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】由題意拼成一個三棱柱,分3種情況求出表面積；拼成一個四棱柱,3種情況分別求出表面積,然后求出a的范圍.【詳解】①拼成一個三棱柱時,有三種情況：將上下底面對接,其全面積為：；3a邊可以合在一起時,；4a邊合在一起時，.②拼成一個四棱柱,有三種情況：就是分別讓邊長為3a,4a,5a所在的側(cè)面重合,其上下底面積之和都是，但側(cè)面積分別為:,,，顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為：.由題意得：，解得：.故答案為：【點睛】（1）求解以由多個幾何體構(gòu)成組合體的體積的關(guān)鍵是確定組合體的形狀以及組合體圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．15．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高二月考）如圖，在長方體中，，，、分別是和的中點，則與所成的角為___________.【答案】【分析】連接，證明，，可得即為與所成的角或補角，在中，求得，從而可得出答案.【詳解】解：連接，因為、分別是和的中點，所以，在長方體中，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為與所成的角或補角，在中，，則，所以，即與所成的角為.故答案為：.16．（2021·上海市松江二中高二月考）山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是，一人沿直道CD行走了600米后，升高了_______________米.（保留一位小數(shù)）【答案】【分析】根據(jù)示意圖，結(jié)合所給條件，解兩個直角三角形，即可得解.【詳解】如圖，作出示意圖，不妨設(shè)此人從行走到共走了600米，作水平面于，于，連接，則，由，所以，由，所以.故答案為：.17．（2021·上海徐匯·位育中學(xué)高二月考）如圖，在直角中，，，，現(xiàn)將其放置在平面的上面，其中點A，B在平面的同一側(cè)，點平面，與平面所成的角為，則點A到平面的最大距離是___________.【答案】30【分析】過作,交于，過作,交于，然后判斷出當(dāng)四點共面時，點到的距離最大，進而算出AC，最后得到答案.【詳解】如圖，過作,交于，過作,交于，因為在中，，則，當(dāng)四點共面時，點到的距離最大.因為，所以是與平面所成的角，則，則，于是，，即到的最大距離為30.故答案為：30.18．（2021·上海復(fù)旦附中高三）有一組數(shù)據(jù)：，1，2，3，4，其平均數(shù)是2，則其標(biāo)準(zhǔn)差是__________.【答案】【分析】根據(jù)平均數(shù)求出的值，再計算方差和標(biāo)準(zhǔn)差．【詳解】解：數(shù)據(jù)，1，2，3，4的平均數(shù)是2，，解得；所以該組數(shù)據(jù)的方差是，標(biāo)準(zhǔn)差是．故答案為：．三、解答題(共46分)19．(本題8分)（2021·黑龍江大慶實驗中學(xué)高二開學(xué)考試）某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下個芒果，其質(zhì)量（單位：）分別在，，，，，中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)?中位數(shù)，四舍五入精確到整數(shù)位；（2）現(xiàn)按分層陏機抽樣的方法從質(zhì)量在，中的芒果中隨機抽取個，再從這個中隨機抽取個，求這個芒果來自不同質(zhì)量區(qū)間的概率.【答案】（1）275，263；（2）.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解；（2）利用分層陏機抽樣在中的芒果有2個，記為A，B，在中的芒果有3個，記為a，b，c，利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知：該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是275，設(shè)其中位數(shù)是x，則，解得；（2）利用分層陏機抽樣的方法從質(zhì)量在，中的芒果中隨機抽取個，在中的芒果有2個，記為A，B，中的芒果有3個，記為a，b，c，從這個中隨機抽取個有共10種，這個芒果來自不同質(zhì)量區(qū)間的有：，共6種，所以這個芒果來自不同質(zhì)量區(qū)間的概率是.20．(本題8分)（2021·上海）某中學(xué)從高三男生中隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)進行整理，得到下側(cè)的頻率分布表.組號分組頻率第1組[160，165）0.05第2組0.35第3組0.3第4組0.2第5組0.1合計1.00（Ⅰ）為了能對學(xué)生的體能做進一步了解，該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進行體能測試，問第3，4，5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進行測試；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行引體向上測試，求第3組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率；（Ⅲ）試估計該中學(xué)高三年級男生身高的中位數(shù)位于第幾組中，并說明理由.【答案】（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3組【詳解】分析：（Ⅰ）由分層抽樣方法可得第組：＝人；第組：＝人；第組：＝人；（Ⅱ）利用列舉法可得個人抽取兩人共有中不同的結(jié)果，其中第組的兩位同學(xué)至少有一位同學(xué)被選中的情況有種，利用古典概型概率公式可得結(jié)果；（Ⅲ）由前兩組頻率和為，中位數(shù)可得在第組.詳解：（Ⅰ）因為第3，4，5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組學(xué)生人數(shù)分別為：第3組：＝3人；第4組：＝2人；第5組：＝1人.所以第3，4，5組分別抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）設(shè)第3組3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組2位同學(xué)為B1，B2，第5組1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽兩位同學(xué)的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15種.其中第4組的兩位同學(xué)至少有一位同學(xué)被選中的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12種可能.所以，第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率為0.8.答：第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率為0.8.（Ⅲ）第3組點睛：本題主要考查分層抽樣以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于難題，利用古典概型概率公式求概率時，找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.21．(本題10分)（2021·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二月考）如圖1，矩形，，，點為的中點，將沿直線折起至平面平面（如圖2），點在線段上，平面.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若在棱，分別取中點，，試判斷點與平面的關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）平面【分析】（1）結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證得.（2）結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得平面平面.（3）通過證明四點共面來判斷點與平面的關(guān)系.【詳解】（1）設(shè)，則，由于平面，平面，平面平面，所以，所以，即.（2），所以，平面平面，且交線為，所以平面，由于平面，所以平面平面.（3）延長，使，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以.由于分別是的中點，所以，所以，所以四點共面.在三角形中，是中線，是中線，兩者的交點為重心，由（1）可知，所以，所以平面，即平面.22．(本題10分)（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二月考）如圖，是圓柱的一條母線，過底面圓心，是圓上一點.已知，.（1）求該圓柱的表面積；（2）求點到平面的距離；（3）將四面