第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列運算正確的是(

)A.a4?a3=a6 B.2.我國古代有很多關于數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A.B.C.D.3.2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”.某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀念品連續(xù)六天的銷售量(單位：套)分別為：136，140，129，180，136，154，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(

)A.136，136 B.138，136 C.136，129 D.136，1384.一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是(

)A.7

B.8

C.6

D.55.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具.某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為(

)A.8000(1+2x)=1200

B.8000(1+x)2=12000

C.8000+8000(1+x)+8000(1+x6.已知關于x的分式方程x+kx?4?2k4?x=3解為負數(shù)，則A.k<?4 B.k>?4

C.k<?4且k≠?43 D.k>?47.為促進學生德智體美勞全面發(fā)展，某校計劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動，其中足球80元/個，籃球120元/個，共有多少種購買方案(

)A.6 B.7 C.4 D.58.如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B都在雙曲線y=kx(k≠0)上，且點A在點B的右側(cè)，點A的橫坐標為?1，∠AOB=∠ABO=45°，則k的值為(

)A.2B.?52

C.9.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點D、E分別在邊AB和BC上，且AD=4，CE=3，連接DE，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN，則MN的長度為(

)A.52

B.125

C.2

10.如圖，在正方形ABCD中，點F在BC邊上(不與點B、C重合)，點E在CB的延長線上，且BE=BF，連接AC、AE、AF，過點E作EG⊥AF于點G，分別交AB、AC、DC于點M、H、N.則下列結(jié)論：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN?BF=EC?HN；④若BF：FC=3：4，則tan∠FAC=25；⑤圖中共有5A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。11.電影《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠?，好評如潮，截至2025年4月22日，總票房已超157億元，再次刷新中國電影票房紀錄.將數(shù)據(jù)157億用科學記數(shù)法表示為______．12.在函數(shù)y=1x+3中，自變量x的取值范圍是______．13.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件______，使平行四邊形ABCD為菱形．14.如圖，隨機閉合開關K1、K2、K3中的兩個，能讓兩盞燈泡L1、L15.關于x的不等式組2x?3≤0x?a>0恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是______．16.如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，AC是直徑，∠BAC=35°，∠P=______．17.若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為______．18.如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=9，點M是△ABC內(nèi)部一點，連接AM、BM、CM，若CM=3，則AM+13BM19.如圖，在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD=60°，點E是邊CD的中點，點F是對角線AC上一動點，作點C關于直線EF的對稱點P，若PE⊥AC，則CF的長為______．20.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?12x+3交x軸于點A，交y軸于點B.四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，?都是正方形，頂點A1，A2，A3，A4，?都在x軸上，頂點B1，B2，B3，B4，?都在直線y=?12x+3上，連接BA1，B1A2，B2A3，三、解答題：本題共8小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.(本小題5分)

先化簡，再求值：1a2?1?22.(本小題6分)

如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(2,?1)，B(1,?3)，C(3,?4)．

(1)將△ABC向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；

(2)畫出△A1B1C1繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°23.(本小題6分)

如圖，拋物線y=x2+bx+c交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A在點B的左側(cè)，頂點坐標為(3,?4)．

(1)求b與c的值．

(2)在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積與△ABC的面積相等.若存在，請直接寫出點24.(本小題7分)

2025年6月5日是中國的第11個環(huán)境日，育華中學八年級學生積極參加公益活動，為了解活動時間(單位：?)，張老師隨機抽取了該校八年級m名學生進行問卷調(diào)查，用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

(1)m=______，扇形統(tǒng)計圖中a=______，并補全條形統(tǒng)計圖；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，求參加公益活動時間為7?所對應扇形圓心角的度數(shù)；

(3)若育華中學八年級共有學生1200人，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計育華中學八年級參加公益活動的時間是10?的學生有多少人？

25.(本小題8分)

一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達B地后立即原路原速返回C地(卸貨時間忽略不計).兩車同時出發(fā)，轎車比貨車晚13?到達終點，兩車均按各自速度勻速行駛.如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y(單位：km)與轎車的行駛時間x(單位：?)之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)圖中a的值是______，b的值是______；

(2)在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y(單位：km)與行駛時間x(單位：?)之間的函數(shù)解析式；

(3)直接寫出轎車出發(fā)多長時間與貨車相距40km26.(本小題8分)

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，設∠BAC=α，點D是直線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AE，連接DE、BE，過點E作EF⊥BC，交直線BC于點F.探究如下：

(1)若α=60°時，

如圖①，點D在CB延長線上時，易證：BF=DF+BC；

如圖②，點D在BC延長線上時，試探究線段BF、DF、BC之間存在怎樣的數(shù)量關系，請寫出結(jié)論，并說明理由．

(2)若α=120°，點D在CB延長線上時，如圖③，猜想線段BF、DF、BC之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出結(jié)論，不需要證明．27.(本小題10分)

2024年8月6日，第十二屆世界運動會口號“運動無限，氣象萬千”在京發(fā)布，吉祥物“蜀寶”和“錦仔”亮相.第一中學為鼓勵學生積極參加體育活動，準備購買“蜀寶”和“錦仔”獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學生.已知購買3個“蜀寶”和1個“錦仔”共需花費332元，購買2個“蜀寶”和3個“錦仔”共需380元．

(1)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要多少元？

(2)若學校計劃購買這兩種吉祥物共30個，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購買方案？

(3)設學校投入資金W元，在(2)的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？28.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，tan∠COA=3，OA的長是一元二次方程x2?3x?18=0的根，過點C作CQ⊥OA交OA于點Q，交對角線OB于點P.動點M從點O以每秒1個單位長度的速度沿OA向終點A運動，動點N從點B以每秒3個單位長度的速度沿BO向終點O運動，M、N兩點同時出發(fā)，設運動時間為t秒．

(1)求點P坐標；

(2)連接MN、PM，求△PMN的面積S關于運動時間t的函數(shù)解析式；

(3)當t=3時，在對角線OB上是否存在一點E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形

參考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.B

6.A

7.C

8.D

9.A

10.C

11.1.57×1012.x≠?3

13.AC⊥BD(答案不唯一)

14.1315.?2≤a<?1

16.70°

17.15π

18.519.3或9

20.(221.解：1a2?1?a2?2a+1a+1a

=1(a+1)(a?1)?(a?1)222.(1)如圖，△A1B1C1即為所求．

由圖可得，點C1的坐標為(4,1)．

(2)如圖，△A2B2C2即為所求．

由圖可得，點C2的坐標為(?1,4)．

23.(1)∵拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為(3,?4)，

∴y=(x?3)2?4=x2?6x+5，

∴b=?6，c=5；

(2)存在，理由如下：對于拋物線y=x2?6x+5，

當y=0，x2?6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，

當x=0，y=5，

∴OB=OC=5，AB=5?1=4，

∵∠COB=90°，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

過點B作x軸的垂線，在x軸上方的垂線上截取BD=BA=4，

連接AD與BC交于點E，則D(5,4)，

∴∠DBC=90°?∠OBC=45°=∠OBC，

∴BC⊥AD，ED=EA，

過點D作BC平行線與拋物線交點即為點P，S△BCA=12BC×AE，

∴S△BCA=S△BCP，

設直線BC：y=mx+n，

則5m+n=0n=5，

∴m=?1n=5，

∴直線BC：y=?x+5，

∵BC//PD，

∴設直線PD：y=?x+q，代入D(5,4)得：?5+q=4，

解得：24.(1)抽取了該校八年級學生有：m=20÷10%=200(名)，

a%=60200×100%=30%，

∴a=30；

故答案為：200，30；

9?的人數(shù)為：200×25%=50(名)，

補全條形統(tǒng)計圖：

(2)360°×30200=54°，

答：參加公益活動時間為7?所對應扇形圓心角的度數(shù)為54°；

(3)1200×40200=240(人25.(1)由圖象可知，A、B兩地之間的距離為180km，B、C兩地之間的距離為120km，

180+120=300(km)，

∴a=300，

轎車的速度為180÷1.5=120(km/?)，

300÷120=2.5(?)，

根據(jù)圖象，得1.5+(3?b)=2.5，

解得b=2．

故答案為：300，2．

(2)3?13=83(?)，

∴N(83,0)，

83÷2=43(?)，

∴M(43,120)，

貨車的速度為120÷43=90(km/?)，

y=120?90(x?43)=?90x+240，

∴在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y(單位：km)與行駛時間x(單位：?)之間的函數(shù)解析式為y=?90x+240(43≤x≤83).

(3)當0≤x≤43時，得(120+90)x+40=300，

解得x=2626.(1)①證明：∵AB=AC，∠BAC=α=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°，

∵∠BAC=∠EAD=α=60°，

∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠BAE=∠CAD，

∴在△ABE和△ACD中，

AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，

∴△ABE≌△ACD(SAS)，

∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=60°，

∴∠EBF=180°?∠ABE?∠ABC=180°?60°?60°=60°，

∵EF⊥BC，

∴在Rt△BEF中，BE=BFcos∠EBF=BFcos60°=2BF，

∵CD=BD+BC=BF+DF+BC，CD=BE=2BF，

∴2BF=BF+DF+BC，

∴BF=DF+BC；

②解：BF=DF?BC，理由如下：

∵AB=AC，∠BAC=α=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠BCA=60°，

∴∠ACD=180°?∠BCA=120°，

∵4∠BAC=∠EAD=α=60°，

∴∠BAC?∠EAC=∠EAD?∠EAC，即∠BAE=∠CAD，

∴在△ABE和△ACD中，

AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，

∴△ABE≌△ACD(SAS)，

∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=120°，

∴∠EBF=∠ABE?∠ABC=120°?60°=60°，

∵EF⊥BC，

∴在Rt△BEF中，BE=BFcos∠BEF=BFcos60°=2BF，

∵CD=BD?BC=BF+DF?BC，CD=BE=2BF，

∴2BF=BF+DF?BC，

∴BF=DF?BC；

(2)解：∵AB=AC，∠BAC=α=120°，

∴∠ABC=∠BCA=12(180°?∠BAC)=30°，

∵∠BAC=∠EAD=α=120°，

∴∠BAC?∠BAD=∠EAD?∠BAD，即∠DAC=∠EAB，

∴在△ABE和△ACD中，

AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，

∴△ABE≌△ACD(SAS)，

∴BE=CD27.(1)設購買一個“蜀寶”需要a元，購買一個“錦仔”需要b元．

根據(jù)題意，得3a+b=3322a+3b=380，

解得a=88b=68．

答：購買一個“蜀寶”需要88元，購買一個“錦仔”需要68元．

(2)設購買“蜀寶”x個，則購買“錦仔”(30?x)個．

根據(jù)題意，得88x+68(30?x)≥216088x+68(30?x)