關(guān)于N?S方程的推導(dǎo)

1.切向應(yīng)力互等定律

將作用與六面體上的所有表面力和質(zhì)量力得對(duì)通過(guò)六面體中心點(diǎn)M

且與Z軸平行的軸線取矩。

扁+A

dx

￡M=—T、、dxdd-cryx+-4-dy>dxdz~~

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有

￡M=Ja

J=pd.drdXd)2

J-流體微團(tuán)對(duì)通過(guò)中心點(diǎn)M且與Z軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,kg.

a-角加速度，1/s

dr.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量半徑。m

合并(1)(2)(3)的

。7r)Tddd

(T「Qdaa+(告山--棄4)二一=pddd\drya

ox&y'2

(4)

(r9-T^)dxdydz=0

(5)

2?廣義牛頓內(nèi)摩擦定律

dx

剪變形角速度。用｛%.%.%｝表示流體微團(tuán)在yz面、xz面、xy面

內(nèi)某一直角在單位時(shí)間內(nèi)改變量的一半則有

1,duSu、

%=一(—：+—-)

2

1,du.du、

%=一(一+一)(6)

2dzdx

1Su、

%=一(—+—-)

2dydx

剪變形角速度是流體微團(tuán)中某一直角的減小速度的一半，下標(biāo)

XYZ表示剪切變形的法線方向其中的下標(biāo)與偏微分方向可以

按

y的順序。

根據(jù)(6)式可知，其中垂直于Z軸的平面上的角變形速度為

cdu、da

2z=-----1-----⑺

dxdy

因此，切向應(yīng)力

T=Zy=2〃/(8)

由牛頓內(nèi)摩擦定律和(6)(7)(8)式可以得

Qudu

=7"=U(——-T-----

dydx

,dudv

=M--+-)⑼

dydz

Qudu、

=M—L+—-)

dxdz

「1dadrdr、dv

f+—(—+—+—-)=--

pdydzdxdt

(14)

c14odrdrdu

f+—(—+—+—^)=—￡

'pdzexdydt

將切向應(yīng)力和法向應(yīng)力的關(guān)系式(9)(10)代入(13)得

du1dvdu+犯

ci1d5c。+皿)d____￡

-=f+—^-----〃+2〃--+——u+——ux)

dtp[dxdx\dydx次Jdzdzdx

c1dp//.6~ud~vd沁、(辿+逛du、

=f-------+—(—+—2+—￡)++L)

pdxpdx~dy~dz~pdx8xdyoz

(15)

根據(jù)不可壓流體的連續(xù)方程(11),上面(15)等號(hào)右端的第四

項(xiàng)為零，故得

dt?1dp(du.?！辍Ａ?

-----fx----------FV-----1-------1------(16)

dtpdxydx2dy2dy2,

同理可得

du、c1Ql、球u。七、

=fy―一+M-+--+--)

dtpdx2dy2dz2

(17)

da力1/dl：d2u0"

——=fz——+v(——+——+——)

dtpdx2dy2dz2

這就是N-S方程

3.N-S方程的物理意義和幾何意義

基于N-S方程的水泵管道動(dòng)態(tài)分析

一.工程實(shí)際問(wèn)題的描述

二.在管道運(yùn)輸過(guò)程中，管道存在各種非恒定定流動(dòng)，水泵運(yùn)

行時(shí)也面臨各種各樣的暫態(tài)過(guò)程，這些笆態(tài)過(guò)程會(huì)對(duì)水泵及水泵站

的經(jīng)濟(jì)及安全造成一定的影響。對(duì)于暫態(tài)過(guò)程的研究即水泵管道動(dòng)態(tài)

分析對(duì)整個(gè)工程具有重要意義。

三.彈性水體的水錘理論

由于某種原因突然改變管道系統(tǒng)的水流速度，將引起管道系統(tǒng)中的

壓力發(fā)生變化，壓力變化以速度沿著壓力管道傳播，壓力波從一

端傳播到另一端的時(shí)間，同時(shí)考慮到水具有一定的壓縮性和管壁的

彈性，當(dāng)壓力升高，此時(shí)會(huì)引起水的體積減小，管到膨脹，反之也

成立。在壓力管道的末端，壓力波將向相反方向反射，然后再與波源

處所產(chǎn)生的壓力波疊加

三.題的解決

1.直接水擊

假設(shè)管道中的壓力波動(dòng)是由于門關(guān)閉產(chǎn)生的，如果閥門關(guān)閉時(shí)間T

小于一個(gè)水擊相，即T<2L/v,也就是反射波到達(dá)閥門時(shí)，閥門已經(jīng)

全部關(guān)閉，這是將在管道末端產(chǎn)生直接水擊，水擊壓力將作用于管

道末端。

由于水的可壓縮性及管道的彈性，管道中將產(chǎn)生壓力波，在時(shí),

流速突然由vO變化到0,流速的突然變化將引起非常大的壓力沖擊，

壓力波將以速度v傳播到管道上游側(cè)。而且，由于水的可壓縮性及管

道的彈性，壓力管道的斷面積增加，水的體積減少，關(guān)于壓力波的

動(dòng)量方程式如下

(/7++&)-pS=psv[v-(V-Vo)](1)

忽略微小量上式可以改寫(xiě)為

dp=pvv()(2)

2.間接水擊

如果閥門關(guān)閉時(shí)間t大于一個(gè)水擊相即t>2L/V此時(shí)反射波到達(dá)管道

末端時(shí)閥門還未關(guān)閉，那么就會(huì)在管道末端產(chǎn)生間接水擊，此時(shí)的

過(guò)程比較復(fù)雜，為了研究這種狀態(tài)，我們從N—S方程和連續(xù)方程推

導(dǎo)出適合于管道動(dòng)態(tài)分析的連續(xù)方程形式。

N—S方程原形

1dp(d2Vxd2Vx32s

dtpdx(dx^dy~dy

du、?1@552u52u

--=f——+v(--+--+--x)

dt八pydx2辦2面)

dvz,1,d2Vzd2Vzd2u2.

dtjzpdx2dy2dz2

管道流動(dòng)是一維的，且大多數(shù)情況下有壓管道流動(dòng)可以忽略質(zhì)

量力，因此N—S方程為

dvdvdv1dpd2v/八

—=—+V—=-----—+V—(4)

dtdtdxpdxdx~7

表示粘性力的作用，在有管道流動(dòng)中，可以認(rèn)為是管壁切應(yīng)力的

作用，由于切應(yīng)力與V的方向總是相反可以把它改寫(xiě)成下列形式

上一吼

沈22D

于是，管道動(dòng)態(tài)流動(dòng)的流體運(yùn)動(dòng)方程為

dvdv18pfvlvl

dtdvpdx2￡）

是比高價(jià)的微量，可略去不計(jì)，得到：

蟲(chóng)+!曳+弛=o

dtpd%2D

如果忽略水力損失，則得到理想流體的管道流體運(yùn)動(dòng)方程形式如下：

包+，曳=0

次pdx

2.2.2管道動(dòng)態(tài)流動(dòng)的流體連續(xù)性方程

連續(xù)的方程的原型如下：

3仿匕［。仿幻J（夕工）=o

dtdxdy8z

管道流動(dòng)是一維的，因此連續(xù)性方程為：

曳+皿二迦"+U以二。

dtdxdt8%dx

又因?yàn)闉閤.t的函數(shù)，即，所以

女二次+『迦

drdt57

所以連續(xù)性方程可寫(xiě)為

dpdv

—+p——=0

dtdx

又因?yàn)閴毫Φ淖兓c密度的變化有如下關(guān)系:

K女“農(nóng)

edtdt

所以連續(xù)性方程可寫(xiě)為：

dpdvdpdpvdv門

dt'dxdtdxedX

是比高階的微量，略去不計(jì)，所以，連續(xù)性方程可寫(xiě)為：

迦+K更=0

dted%

將代入上式，最終得到管道動(dòng)態(tài)流動(dòng)