工科離散數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列關(guān)于集合的描述，錯(cuò)誤的是（）

A.集合中的元素互不相同

B.集合中的元素有順序性

C.集合中的元素是確定的

D.集合中的元素是有限的

2.在集合的笛卡爾積中，若集合A有3個(gè)元素，集合B有4個(gè)元素，則集合A×B的元素個(gè)數(shù)是（）

A.3

B.4

C.12

D.16

3.下列關(guān)于函數(shù)的描述，正確的是（）

A.函數(shù)的定義域可以包含無窮多個(gè)元素

B.函數(shù)的值域可以包含無窮多個(gè)元素

C.函數(shù)的定義域和值域必須相等

D.函數(shù)的定義域和值域可以有交集

4.設(shè)A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A∩B的結(jié)果是（）

A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{1,2,4}

D.空集

5.下列關(guān)于關(guān)系的描述，正確的是（）

A.關(guān)系可以包含多個(gè)元素

B.關(guān)系可以包含無窮多個(gè)元素

C.關(guān)系必須是一個(gè)集合

D.關(guān)系可以是任意的元素

6.下列關(guān)于圖的概念，正確的是（）

A.圖的邊可以是有向的，也可以是無向的

B.圖的頂點(diǎn)可以表示不同的元素

C.圖的邊和頂點(diǎn)是有順序的

D.圖的邊和頂點(diǎn)可以沒有聯(lián)系

7.在圖的鄰接矩陣中，如果兩個(gè)頂點(diǎn)之間有邊相連，則它們對應(yīng)的矩陣元素是（）

A.0

B.1

C.2

D.無意義

8.下列關(guān)于樹的描述，正確的是（）

A.樹是一種無環(huán)連通圖

B.樹的根節(jié)點(diǎn)可以有多個(gè)子節(jié)點(diǎn)

C.樹的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在一條路徑

D.樹的葉子節(jié)點(diǎn)可以有多個(gè)父節(jié)點(diǎn)

9.下列關(guān)于圖遍歷算法的描述，正確的是（）

A.深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索是圖遍歷算法的兩種主要方法

B.深度優(yōu)先搜索只能遍歷無向圖

C.廣度優(yōu)先搜索只能遍歷有向圖

D.深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索都需要遍歷所有的節(jié)點(diǎn)

10.下列關(guān)于算法的描述，正確的是（）

A.算法是一系列操作步驟

B.算法具有唯一性

C.算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度是評價(jià)算法性能的重要指標(biāo)

D.以上都是

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列關(guān)于離散數(shù)學(xué)中邏輯運(yùn)算的描述，正確的是（）

A.邏輯或運(yùn)算中，只要有一個(gè)操作數(shù)為真，結(jié)果就為真

B.邏輯與運(yùn)算中，只有當(dāng)兩個(gè)操作數(shù)都為真時(shí)，結(jié)果才為真

C.邏輯非運(yùn)算將操作數(shù)的真值取反

D.邏輯與運(yùn)算中，至少有一個(gè)操作數(shù)為假，結(jié)果就為假

E.邏輯或運(yùn)算中，至少有一個(gè)操作數(shù)為假，結(jié)果就為真

2.下列關(guān)于圖論中路徑和回路的概念，正確的是（）

A.路徑是指圖中頂點(diǎn)之間的有序序列

B.回路是指起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的路徑

C.環(huán)路是指起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的回路

D.簡單路徑是指路徑中不包含重復(fù)的頂點(diǎn)

E.簡單回路是指回路中不包含重復(fù)的頂點(diǎn)

3.下列關(guān)于組合數(shù)學(xué)中的排列組合原理，正確的是（）

A.排列是指從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有不同排列方式的數(shù)量

B.組合是指從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有不同組合方式的數(shù)量

C.排列的順序是重要的

D.組合的順序是重要的

E.排列和組合都可以使用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算

4.下列關(guān)于算法設(shè)計(jì)中的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度的描述，正確的是（）

A.時(shí)間復(fù)雜度描述了算法執(zhí)行的時(shí)間長度與輸入規(guī)模的關(guān)系

B.空間復(fù)雜度描述了算法執(zhí)行過程中所需內(nèi)存空間的大小

C.時(shí)間復(fù)雜度通常用大O符號表示

D.空間復(fù)雜度通常用大O符號表示

E.時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度越高，算法的效率越低

5.下列關(guān)于數(shù)理邏輯中的命題邏輯和謂詞邏輯的描述，正確的是（）

A.命題邏輯只處理簡單命題

B.謂詞邏輯可以處理更復(fù)雜的命題

C.命題邏輯中的命題是基本的邏輯單位

D.謂詞邏輯中的謂詞可以表示關(guān)系和屬性

E.命題邏輯和謂詞邏輯都是離散數(shù)學(xué)中的重要分支

三、填空題（每題4分，共20分）

1.在集合論中，兩個(gè)集合的笛卡爾積A×B是指所有可能的有序?qū)?，其中第一個(gè)元素來自集合A，第二個(gè)元素來自集合B。若集合A有n個(gè)元素，集合B有m個(gè)元素，則A×B的元素個(gè)數(shù)是______。

2.在圖論中，如果一個(gè)圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在一條路徑，則稱該圖為______圖。

3.在離散數(shù)學(xué)中，一個(gè)圖的無向連通分量是指圖中不包含任何斷點(diǎn)的______。

4.在組合數(shù)學(xué)中，從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的所有不同排列方式的數(shù)量用符號______表示。

5.在數(shù)理邏輯中，命題邏輯和謂詞邏輯是離散數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要分支，其中______邏輯可以處理更復(fù)雜的命題。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算以下集合的笛卡爾積：A={1,2,3}，B={a,b}。

2.設(shè)有圖G，其頂點(diǎn)集合V={v1,v2,v3,v4}，邊集合E={e1=(v1,v2),e2=(v2,v3),e3=(v3,v4),e4=(v4,v1)}。請繪制出圖G，并計(jì)算其度序列。

3.給定一個(gè)集合A={1,2,3,4,5}，從中任取3個(gè)元素，求所有可能的組合數(shù)量。

4.設(shè)計(jì)一個(gè)算法，用于計(jì)算兩個(gè)非空集合A和B的對稱差集。假設(shè)集合A和B中的元素都是整數(shù)，并且集合A和B的大小分別為m和n。

5.設(shè)有一個(gè)圖G，其頂點(diǎn)集合V={v1,v2,v3,v4}，邊集合E={e1=(v1,v2),e2=(v2,v3),e3=(v3,v4),e4=(v4,v1),e5=(v1,v4)}。請使用深度優(yōu)先搜索（DFS）算法從頂點(diǎn)v1開始遍歷圖G，并輸出遍歷的順序。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.B。集合中的元素是無序的，互不相同，且是確定的。

2.C。集合A×B的元素個(gè)數(shù)為3×4=12。

3.A。函數(shù)的定義域可以是有限的，也可以是無限的；值域同樣可以是有限的或無限的；函數(shù)的定義域和值域可以有交集。

4.B。A∩B為集合A和B的交集，包含共有的元素，即{2,3}。

5.A。關(guān)系可以是任意的元素對，不一定是集合。

6.B。圖中的頂點(diǎn)可以表示不同的元素，邊可以是有向的或無向的。

7.B。在圖的鄰接矩陣中，如果兩個(gè)頂點(diǎn)之間有邊相連，則它們對應(yīng)的矩陣元素為1。

8.A。樹是一種無環(huán)連通圖，根節(jié)點(diǎn)可以有多個(gè)子節(jié)點(diǎn)，但任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在一條路徑。

9.A。深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索是圖遍歷算法的兩種主要方法。

10.D。算法是一系列操作步驟，具有唯一性，其性能可以通過時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度來評價(jià)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.A、B、C。邏輯或運(yùn)算至少有一個(gè)操作數(shù)為真，結(jié)果就為真；邏輯與運(yùn)算只有兩個(gè)操作數(shù)都為真，結(jié)果才為真；邏輯非運(yùn)算將操作數(shù)的真值取反。

2.A、B、D。路徑是頂點(diǎn)之間的有序序列，回路是起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的路徑，簡單路徑不包含重復(fù)的頂點(diǎn)。

3.A、B、C、E。排列是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有不同排列方式的數(shù)量；組合是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有不同組合方式的數(shù)量；排列的順序是重要的；組合的順序不重要；排列和組合都可以使用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。

4.A、B、C、D。時(shí)間復(fù)雜度描述了算法執(zhí)行的時(shí)間長度與輸入規(guī)模的關(guān)系；空間復(fù)雜度描述了算法執(zhí)行過程中所需內(nèi)存空間的大??；時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度通常用大O符號表示；時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度越高，算法的效率越低。

5.A、B、C、D。命題邏輯只處理簡單命題；謂詞邏輯可以處理更復(fù)雜的命題；命題邏輯中的命題是基本的邏輯單位；謂詞邏輯中的謂詞可以表示關(guān)系和屬性。

三、填空題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.nm。集合A×B的元素個(gè)數(shù)為集合A和集合B元素個(gè)數(shù)相乘。

2.連通。一個(gè)圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在一條路徑，則稱該圖為連通圖。

3.無向連通分量。無向連通分量是指圖中不包含任何斷點(diǎn)的子圖。

4.C(n,r)。從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的所有不同排列方式的數(shù)量用符號C(n,r)表示。

5.謂詞。謂詞邏輯可以處理更復(fù)雜的命題。

四、計(jì)算題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.A×B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）}。

2.圖G的度序列為（2，2，2，1，2）。繪制圖G如下：

```

v1---v2

||

v3---v4

```

3.所有可能的組合數(shù)量為C(5,3)=10。

4.對稱差集算法：

-初始化一個(gè)空集合result。

-遍歷集合A，將所有元素添加到result中。

-遍歷集合B，從result中移除所有屬于B的元素。

-返回result作為對稱差集。

5.深度優(yōu)先搜索（DFS）算法從頂點(diǎn)v1開始遍歷圖G，遍歷順序?yàn)関1->v2->v3->v4->v1。遍歷過程如下：

-從v1開始，訪問v1，標(biāo)記為已訪問。

-訪問v1的鄰接頂點(diǎn)v2，訪問v2，標(biāo)記為已訪問。

-訪問v2的鄰接頂點(diǎn)v3，訪問v3，標(biāo)記為已訪問。

-訪問v3的鄰接頂點(diǎn)v4，訪問v4，標(biāo)記為已訪問。

-回到v1