高三二模南京數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，若函數(shù)的圖像與直線$y=2$有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）

A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1)\cup(1,2)$

C.$(-1,1)\cup(2,+\infty)$

D.$(-1,2)\cup(2,+\infty)$

2.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=1$，$a_3=5$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$是（）

A.$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

B.$S_n=\frac{n(n+1)}{2}+1$

C.$S_n=\frac{n(n+1)}{2}-1$

D.$S_n=\frac{n(n+1)}{2}+2$

3.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q\neq1$，若$a_1=2$，$a_3=16$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$是（）

A.$S_n=2^n$

B.$S_n=2^{n+1}$

C.$S_n=2^{n-1}$

D.$S_n=2^{n-2}$

4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$是（）

A.$S_n=1-\frac{1}{n+1}$

B.$S_n=1-\frac{1}{n}$

C.$S_n=\frac{n}{n+1}$

D.$S_n=\frac{n+1}{n}$

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，若函數(shù)的圖像與直線$y=x$有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）

A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1)\cup(1,2)$

C.$(-1,1)\cup(2,+\infty)$

D.$(-1,2)\cup(2,+\infty)$

6.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=1$，$a_3=8$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$是（）

A.$S_n=2^n$

B.$S_n=2^{n+1}$

C.$S_n=2^{n-1}$

D.$S_n=2^{n-2}$

7.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$是（）

A.$S_n=1-\frac{1}{n+1}$

B.$S_n=1-\frac{1}{n}$

C.$S_n=\frac{n}{n+1}$

D.$S_n=\frac{n+1}{n}$

8.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，若函數(shù)的圖像與直線$y=x$有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）

A.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1)\cup(1,2)$

C.$(-1,1)\cup(2,+\infty)$

D.$(-1,2)\cup(2,+\infty)$

9.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=1$，$a_3=8$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$是（）

A.$S_n=2^n$

B.$S_n=2^{n+1}$

C.$S_n=2^{n-1}$

D.$S_n=2^{n-2}$

10.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$是（）

A.$S_n=1-\frac{1}{n+1}$

B.$S_n=1-\frac{1}{n}$

C.$S_n=\frac{n}{n+1}$

D.$S_n=\frac{n+1}{n}$

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列選項(xiàng)中，屬于三角函數(shù)的有（）

A.$y=\sinx$

B.$y=\cosx$

C.$y=\tanx$

D.$y=\lnx$

E.$y=x^2$

2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=\sqrt{x}$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

E.$f(x)=x^2$

3.下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的有（）

A.$a_n=2n+1$

B.$a_n=n^2$

C.$a_n=\frac{1}{n}$

D.$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$

E.$a_n=n^3$

4.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有（）

A.$a_n=2^n$

B.$a_n=\frac{1}{2^n}$

C.$a_n=n^2$

D.$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$

E.$a_n=n^3$

5.下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的有（）

A.$f(x)=2^x$

B.$f(x)=\frac{1}{2^x}$

C.$f(x)=\lnx$

D.$f(x)=e^x$

E.$f(x)=\frac{1}{e^x}$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______。

2.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3n-2$，則數(shù)列的前5項(xiàng)和$S_5$等于______。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，則第10項(xiàng)$a_{10}$等于______。

4.函數(shù)$f(x)=2^x-1$在定義域內(nèi)的單調(diào)性是______。

5.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，則數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$等于______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列極限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{x^3}

\]

2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并求$f'(x)$的零點(diǎn)。

3.解下列不等式：

\[

\frac{x^2-4}{x-2}>0

\]

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=4n^2+3n$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n$。

5.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)$a_1=3$，公比$q=\frac{1}{2}$，求該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$，并求出使$S_n>100$的最小正整數(shù)$n$。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.A

解題過程：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，又因?yàn)?f(1)=1^3-3\cdot1+1=0$，$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)+1=3$，所以$f(x)$與直線$y=2$有三個(gè)不同的交點(diǎn)。

2.B

解題過程：由等差數(shù)列的定義知，$a_2=a_1+d$，$a_3=a_1+2d$，代入$a_1=1$，$a_3=5$得$d=2$，所以$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\cdot2=2n-1$，前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=\frac{n(2n)}{2}=n^2$。

3.B

解題過程：由等比數(shù)列的定義知，$a_2=a_1q$，$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$，$a_3=16$得$q=2$，所以$a_n=a_1q^{n-1}=2\cdot2^{n-1}=2^n$，前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2^{n+1}-2$。

4.A

解題過程：由數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，可知$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$。

5.A

解題過程：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，令$f'(x)=0$得$x=0$，因?yàn)?x=0$不在函數(shù)的定義域內(nèi)，所以$f(x)$與直線$y=x$有三個(gè)不同的交點(diǎn)。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.ABC

解題過程：三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，選項(xiàng)A、B、C符合定義。

2.AD

解題過程：奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，選項(xiàng)A和D滿足條件。

3.ACD

解題過程：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，選項(xiàng)A、C、D符合定義。

4.AB

解題過程：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，選項(xiàng)A和B符合定義。

5.ABDE

解題過程：指數(shù)函數(shù)的通項(xiàng)公式為$f(x)=a^x$，其中$a>0$且$a\neq1$，選項(xiàng)A、B、D、E符合定義。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.(1,0)，(3,0)

解題過程：令$f(x)=x^2-4x+3=0$，解得$x=1$或$x=3$。

2.30

解題過程：$S_5=\sum_{k=1}^{5}a_k=\sum_{k=1}^{5}(3k-2)=3(1+2+3+4+5)-2\cdot5=15-10=5$。

3.21

解題過程：$a_{10}=a_1+9d=3+9\cdot2=3+18=21$。

4.單調(diào)遞增

解題過程：函數(shù)$f(x)=2^x-1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2^x\ln2$，因?yàn)?\ln2>0$，所以$f'(x)>0$，所以$f(x)$在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

5.$S_n=1-\frac{1}{n+1}$

解題過程：由數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，可知$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.$\frac{1}{3}$

解題過程：$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-2}{3x^2}=\frac{1}{3}\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-2}{x^2}=\frac{1}{3}\lim_{x\to0}\frac{-4\sin2x}{2x}=\frac{1}{3}\cdot(-2)=\frac{1}{3}$。

2.$f'(x)=3x^2-12x+9$，零點(diǎn)為$x=1$和$x=3$。

解題過程：$f'(x)=3x^2-12x+9=(3x-3)(x-3)$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=3$。

3.解集為$\{x|x<2\text{或}x>2\}$。

解題過程：不等式$\frac{x^2-4}{x-2}>0$等價(jià)于$x^2-4>0$且$x-2\neq0$，即$(x+2)(x-2)>0$且$x\neq2$，解得$x<2$或$x>2$。

4.$a_n=8n-7$

解題過程：$S_n=4n^2+3n$，$S_{n-1}=4(n-1)^2+3(n-1)$，$a_n=S_n-S_{n-1}=4n^2+3n-4(n-1)^2-3(n-1)=8n-7$。

5.$S_n=3\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$，$n=6$。

解題過程：$S_n=3\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$，令$S_n>