第六章計(jì)數(shù)原理一、知識(shí)點(diǎn)回顧計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種方法，…，在第n類(lèi)辦法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱(chēng)加法原理)分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法．排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合的定義合成一組排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么；(2)確定是先分類(lèi)后分步，還是先分步后分類(lèi)；(3)弄清分步、分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是什么；(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)和不同點(diǎn)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類(lèi)、相加分步、相乘每類(lèi)方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類(lèi)類(lèi)獨(dú)立,不重不漏步步相依,缺一不可二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理（3）二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)，，．．．,，2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱(chēng)性增減性二項(xiàng)式系數(shù)最大值當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)和取得最大值二項(xiàng)式系數(shù)求和eq\o([常用結(jié)論])1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.2．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.3.若二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1，2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見(jiàn)結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)；(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)；(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)；(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng)．[注意](1)項(xiàng)數(shù)為n＋1；(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n；(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n．二、題型匯總考點(diǎn)01有關(guān)排列數(shù)的計(jì)算與證明考點(diǎn)02元素（位置）有限制的排列問(wèn)題考點(diǎn)03相鄰問(wèn)題的排列問(wèn)題考點(diǎn)04不相鄰排列問(wèn)題考點(diǎn)5有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明考點(diǎn)06組合計(jì)數(shù)問(wèn)題考點(diǎn)07分組分配問(wèn)題考點(diǎn)08排列、組合綜合考點(diǎn)09：利用分配系數(shù)求指定項(xiàng)或系數(shù)考點(diǎn)10：二項(xiàng)式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值考點(diǎn)11三項(xiàng)式展開(kāi)式中特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題三、題型通關(guān)考點(diǎn)1有關(guān)排列數(shù)的計(jì)算與證明例11.n∈N?，n<20，則21?n?100?n等于（A．A100?n80 B．A100?n20?n C．A例12.不等式3Ax3A．3,4,5 B．3,4,5,6 C．x∣3≤x≤5 D．x∣3≤x≤6例13.不等式A8A．2,8 B．2,6 C．7,12 D．8例14.解下列方程或不等式．(1)A2n3=2An+1考點(diǎn)2元素（位置）有限制的排列問(wèn)題例21.從6人（包含甲）中選派出3人參加A，B，C這三項(xiàng)不同的活動(dòng)，且每項(xiàng)活動(dòng)有且僅有1人參加，若甲不參加A和B活動(dòng)，則不同的選派方案有（

）A．60種 B．80種 C．90種 D．150種例22.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品需經(jīng)過(guò)一，二，三，四共4道工序，現(xiàn)要從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果員工A不能安排在第四道工序，則不同的安排方法共有（

）A．360種 B．300種 C．180種 D．120種例23.某高校派出5名學(xué)生去三家公司實(shí)習(xí)，每位同學(xué)只能前往一家公司實(shí)習(xí)，并且每個(gè)公司至少有一名同學(xué)前來(lái)實(shí)習(xí)，已知甲乙兩名同學(xué)同時(shí)去同一家公司實(shí)習(xí)，則不同的安排方案有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．18種考點(diǎn)3相鄰問(wèn)題的排列問(wèn)題例31.有5本不同的書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本．若將其隨機(jī)擺放到書(shū)架的同一層上，則相同科目的書(shū)相鄰的排法有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種例32.春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過(guò)海選，現(xiàn)有6個(gè)自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對(duì)這6個(gè)節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（

）A．240種 B．188種 C．144種 D．120種例33.為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某校開(kāi)設(shè)了陶藝、剪紙、插花等5門(mén)課程.分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，其中陶藝課不排在周一，剪紙和插花課相鄰的課程的安排方案種數(shù)為（

）A．18 B．24 C．36 D．42考點(diǎn)4不相鄰排列問(wèn)題例41.一位語(yǔ)文老師在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)了四書(shū)五經(jīng)各一套，四書(shū)指《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》，五經(jīng)指《詩(shī)經(jīng)》《尚書(shū)》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書(shū)整齊地放在同一層書(shū)架上，若四書(shū)，五經(jīng)必須分別排在一起，且《大學(xué)》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數(shù)為（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472例42.由0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰，則滿(mǎn)足條件的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．60 B．108 C．132 D．144考點(diǎn)5有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明例51.C63+A．315 B．330 C．345 D．360例52.已知Cn+15?CnA．11 B．10 C．9 D．8例53.關(guān)于x的方程C112x=A．x=3 B．x=4 C．x=3且x=4 D．x=3或x=4例54.若Cn4>CnA．6,7,8,9 B．6,7,8C．n|n≥6,n∈N? 考點(diǎn)6組合計(jì)數(shù)問(wèn)題例61.某校計(jì)劃在五四青年節(jié)期間舉行歌唱比賽，高二年級(jí)某班從本班5名男生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學(xué)校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（

）A．80種 B．90種 C．100種 D．120種例62.若一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字之和為4，則稱(chēng)該四位數(shù)為“F數(shù)”，這樣的“F數(shù)”有（

）A．17個(gè) B．19個(gè) C．20個(gè) D．21個(gè)例63.學(xué)校夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)需要從4名男生和3名女生中選取4名志愿者，則選出的志愿者中至少有2名女生的不同選法種數(shù)為（

）A．20 B．30 C．22 D．40考點(diǎn)7分組分配問(wèn)題例71.甲、乙等5人去A,B,C三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（

）A．112 B．114 C．132 D．160例72.將5名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)當(dāng)村官.每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同分配方案有（

）A．240種 B．150種 C．60種 D．180種考點(diǎn)8排列、組合綜合例81.現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；(2)4名男學(xué)生互不相鄰，男學(xué)生甲不能在兩端；(3)2名老師之間必要有男女學(xué)生各1人．例82.某學(xué)校舉行男子乒乓球團(tuán)體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩支決賽的隊(duì)伍依次進(jìn)行三場(chǎng)比賽，其中前兩場(chǎng)為男子單打比賽，第三場(chǎng)為男子雙打的比賽，每位出場(chǎng)隊(duì)員在決賽中只能參加一場(chǎng)比賽.某進(jìn)入決賽的球隊(duì)共有五名隊(duì)員，現(xiàn)在需要提交該球隊(duì)決賽的出場(chǎng)陣容，即三場(chǎng)比賽的出場(chǎng)的隊(duì)員名單.(1)一共有多少種不同的出場(chǎng)陣容？(2)若隊(duì)員A因?yàn)榧夹g(shù)原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場(chǎng)陣容？例83.從A，B，C等8人中選出5人排成一排.（1）A必須在內(nèi)，有多少種排法？（2）A，B，C三人不全在內(nèi)，有多少種排法？（3）A，B，C都在內(nèi)，且A，B必須相鄰，C與A，B都不相鄰，都多少種排法？（4）A不允許站排頭和排尾，B不允許站在中間（第三位），有多少種排法？考點(diǎn)09：利用分配系數(shù)求指定項(xiàng)或系數(shù)A．第3項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第6，7項(xiàng) D．第5，7項(xiàng)A．120 B．252 C．210 D．45A． B． C． D．A．60 B．80 C．100 D．120考點(diǎn)10：二項(xiàng)式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值展開(kāi)式系數(shù)最大（一道題破解所有）正規(guī)方法：原則：系數(shù)最大的這一項(xiàng)，即比前一項(xiàng)大，也比后一項(xiàng)大，從而列不等式組.①在系數(shù)符號(hào)相同的前提下，求系數(shù)的最大（最小）值只需比較兩組相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小.②當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)相間時(shí)，求系數(shù)的最大值應(yīng)在系數(shù)都為正的各項(xiàng)系數(shù)間構(gòu)造不等式考點(diǎn)11三項(xiàng)式展開(kāi)式中特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題例111.(x－3y＋2)5的展開(kāi)式中，常