經(jīng)濟數(shù)學(xué)4試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2+1\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.不定積分\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)4.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則\(|A|\)等于（）A.1B.2C.0D.-15.線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是（）A.\(|A|\neq0\)B.\(|A|=0\)C.\(A\)可逆D.\(A\)滿秩6.若事件\(A\)與\(B\)互斥，且\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.4\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.0.12B.0.7C.0.3D.0.47.已知隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，則\(P(X\leq0)\)等于（）A.0.5B.0C.1D.0.258.設(shè)函數(shù)\(y=e^{2x}\)，則\(y'\)是（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(e^x\)D.\(2e^x\)9.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-1010.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個事件，且\(P(A|B)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(AB)\)等于（）A.0.3B.0.1C.0.6D.0.5二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\cosx\)2.下列哪些是求導(dǎo)公式（）A.\((x^n)'=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)'=\cosx\)C.\((e^x)'=e^x\)D.\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)3.矩陣\(A\)可逆的充要條件有（）A.\(|A|\neq0\)B.\(A\)滿秩C.存在矩陣\(B\)使得\(AB=BA=E\)D.\(A\)可經(jīng)過初等變換化為單位矩陣4.線性方程組\(Ax=b\)有解的情況是（）A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(r(A)\ltr(A|b)\)C.\(r(A)\gtr(A|b)\)D.\(A\)是方陣且\(|A|\neq0\)5.下列屬于概率的基本性質(zhì)的是（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\Omega)=1\)C.\(P(\varnothing)=0\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)6.隨機變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)具有的性質(zhì)有（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.\(F(x)\)單調(diào)不減7.下列積分運算正確的是（）A.\(\intkdx=kx+C\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)D.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)8.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階矩陣，則（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(|AB|=|A||B|\)D.\((A^{-1})^{-1}=A\)9.下列哪些事件是互斥事件（）A.拋一枚硬幣，“正面朝上”與“反面朝上”B.擲一顆骰子，“點數(shù)為1”與“點數(shù)為2”C.射擊一次，“命中10環(huán)”與“命中8環(huán)”D.從一副牌中抽一張，“抽到紅桃”與“抽到黑桃”10.已知隨機變量\(X\)服從二項分布\(B(n,p)\)，則\(E(X)\)和\(D(X)\)分別為（）A.\(E(X)=np\)B.\(E(X)=np(1-p)\)C.\(D(X)=np\)D.\(D(X)=np(1-p)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）4.線性方程組\(Ax=0\)只有零解，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)。（）5.概率為0的事件是不可能事件。（）6.若\(A\)，\(B\)為兩個事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）7.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)及積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)。（）8.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征值。（）9.設(shè)\(X\)是隨機變量，\(a\)，\(b\)為常數(shù)，則\(E(aX+b)=aE(X)+b\)。（）10.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的導(dǎo)數(shù)是\(y'=2\sinx\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(y'=3x^2-6x\)，令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)，\(y'\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)，\(y'\lt0\)；\(x\gt2\)，\(y'\gt0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計算行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\4&9&16\end{vmatrix}\)。答案：根據(jù)三階行列式計算法則，原式\(=1\times(3\times16-4\times9)-1\times(2\times16-4\times4)+1\times(2\times9-3\times4)=2\)。3.簡述矩陣可逆的定義。答案：對于\(n\)階方陣\(A\)，如果存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)（\(E\)為\(n\)階單位矩陣），則稱矩陣\(A\)是可逆的，矩陣\(B\)稱為\(A\)的逆矩陣。4.已知隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。答案：對于正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，期望\(E(X)=\mu\)，方差\(D(X)=\sigma^2\)。已知\(X\)服從\(N(1,4)\)，所以\(E(X)=1\)，\(D(X)=4\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與間斷點。答案：對\(y=\frac{1}{x-1}\)求導(dǎo)得\(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0\)（\(x\neq1\)），在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。\(x=1\)時函數(shù)無定義，是間斷點，且為無窮間斷點。2.討論線性方程組\(Ax=b\)無解、有唯一解、有無窮多解的條件，并舉例說明。答案：當(dāng)\(r(A)\ltr(A|b)\)時無解；\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）有唯一解；\(r(A)=r(A|b)\ltn\)有無窮多解。例如\(\begin{cases}x+y=1\\x+y=2\end{cases}\)無解；\(\begin{cases}x+y=1\\x-y=0\end{cases}\)有唯一解；\(\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\end{cases}\)有無窮多解。3.討論概率在實際生活中的應(yīng)用，并舉例。答案：概率在風(fēng)險評估、保險、質(zhì)量控制等方面有應(yīng)用。如保險中，通過計算不同人群患病概率來制定保費。在產(chǎn)品質(zhì)量控制中，利用抽樣檢測產(chǎn)品不合格概率判斷生產(chǎn)是否正常，如抽樣100個產(chǎn)品，不合格概率過高說明生產(chǎn)可能有問題。4.討論如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上二階可導(dǎo)。若\(f''(x)\gt0\)，\(x\inI\)，則\(f(x)\)的圖形在\(I\)上是凹的；若\(f''(x)\lt0\)，\(x\inI\)，則\(f(x)\)的圖形在\(I\)上是凸的。例如\(y=x^2\)，\(y'=2x\)，\(y''=2\gt0\)，圖形是凹的