章末總結(jié)一、運(yùn)動(dòng)的合成和分解1.小船渡河的兩類典型問題設(shè)河寬為d、水流的速度為v水(方向：沿河岸指向下游)、船在靜水中的速度為v船(方向：船頭指向).圖1(1)最短時(shí)間船頭垂直于河岸行駛，tmin＝eq\f(d,v船)，與v水的大小無(wú)關(guān).船向下游偏移：x＝v水tmin(如圖1甲所示).(2)最短航程①若v船>v水，則xmin＝d，此時(shí)船的航向垂直于河岸，船頭與上游河岸成θ角，滿足cosθ＝eq\f(v水,v船)(如圖乙所示).②若v船<v水，此時(shí)船頭指向應(yīng)與上游河岸成θ′角，滿足cosθ′＝eq\f(v船,v水)，則xmin′＝eq\f(d,cosθ′)＝eq\f(v水,v船)d(如圖丙所示).2.繩、桿關(guān)聯(lián)速度問題繩、桿等連接的兩個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中，其速度通常是不一樣的，但兩者的速度是有聯(lián)系的(一般兩個(gè)物體沿繩或桿方向的速度大小相等)，我們稱之為“關(guān)聯(lián)”速度.解決此類問題的一般步驟如下：第一步：先確定合運(yùn)動(dòng)，物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng)；第二步：確定合運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)實(shí)際作用效果，一是沿牽引方向的平動(dòng)效果，改變速度的大??；二是沿垂直于牽引方向的轉(zhuǎn)動(dòng)效果，改變速度的方向；第三步：按平行四邊形定則進(jìn)行分解，作好運(yùn)動(dòng)矢量圖；第四步：根據(jù)沿繩(或桿)牽引方向的速度相等列方程.例1如圖2所示，兩次渡河時(shí)船頭指向均垂直于岸，且船相對(duì)水的速度大小不變.已知第一次實(shí)際航程為A至B，位移為x1，實(shí)際航速為v1，所用時(shí)間為t1.由于水速增大，第二次實(shí)際航程為A至C，位移為x2，實(shí)際航速為v2，所用時(shí)間為t2.則()圖2A.t2>t1，v2＝eq\f(x2v1,x1) B.t2>t1，v2＝eq\f(x1v1,x2)C.t2＝t1，v2＝eq\f(x2v1,x1) D.t2＝t1，v2＝eq\f(x1v1,x2)答案C解析設(shè)河寬為d，船自身的速度為v，則t1＝t2；對(duì)合運(yùn)動(dòng)，過河時(shí)間t＝eq\f(x1,v1)＝eq\f(x2,v2)，故C正確.針對(duì)訓(xùn)練1(多選)某河寬為600m，河中某點(diǎn)的水流速度v與該點(diǎn)到較近河岸的距離d的關(guān)系如圖3所示.船在靜水中的速度為4m/s，要想使船渡河的時(shí)間最短，下列說(shuō)法正確的是()圖3A.船在航行過程中，船頭應(yīng)與河岸垂直B.船在河水中航行的軌跡是一條直線C.渡河的最短時(shí)間為240sD.船離開河岸400m時(shí)的速度大小為2eq\r(5)m/s答案AD解析若船渡河的時(shí)間最短，船在航行過程中，必須保證船頭始終與河岸垂直，選項(xiàng)A正確；因水流的速度大小發(fā)生變化，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，船在河水中航行的軌跡是一條曲線，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；渡為tmin＝eq\f(d,v船)＝eq\f(600,4)s＝150s，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；船離開河岸400m時(shí)的水流速度大小與船離開河岸200m時(shí)的水流速度大小相等，即v水＝eq\f(3,300)×200m/s＝2m/s，則船的速度大小為v′＝eq\r(v\o\al(船,2)＋v\o\al(水,2))＝eq\r(42＋22)m/s＝2eq\r(5)m/s，選項(xiàng)D正確.例2(多選)如圖4所示，人在岸上拉船，已知船的質(zhì)量為m，水的阻力恒為Ff，當(dāng)輕繩與水面的夾角為θ時(shí)，船的速度為v，人的拉力大小為F，則此時(shí)()圖4A.人拉繩行走的速度為vcosθB.人拉繩行走的速度為eq\f(v,cosθ)C.船的加速度為eq\f(Fcosθ－Ff,m)D.船的加速度為eq\f(F－Ff,m)答案AC解析船的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了兩個(gè)效果：一是使滑輪與船間的繩縮短，二是使繩繞滑輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，因此將船的速度按如圖所示進(jìn)行分解，人拉繩行走的速度v人＝v∥＝vcosθ，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；繩對(duì)船的拉力等于人拉繩的力，即繩的拉力大小為F，與水平方向成θ角，因此Fcosθ－Ff＝ma，解得a＝eq\f(Fcosθ－Ff,m)，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.針對(duì)訓(xùn)練2如圖5所示，水平面上有一汽車A，通過定滑輪用繩子拉同一水平面上的物體B，當(dāng)拉至圖示位置時(shí)，兩繩子與水平面的夾角分別為α、β，二者速度分別為vA和vB，則vA和vB的比值為多少？圖5答案cosβ∶cosα解析物體B實(shí)際的運(yùn)動(dòng)(合運(yùn)動(dòng))水平向右，根據(jù)它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果可知，兩分運(yùn)動(dòng)分別為沿繩方向的分運(yùn)動(dòng)(設(shè)其速度為v1)和垂直繩方向的分運(yùn)動(dòng)(設(shè)其速度為v2).如圖甲所示，有v1＝vBcosβ①汽車A實(shí)際的運(yùn)動(dòng)(合運(yùn)動(dòng))水平向右，根據(jù)它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果，兩分運(yùn)動(dòng)分別為沿繩方向的分運(yùn)動(dòng)(設(shè)其速度為v3)和垂直繩方向的分運(yùn)動(dòng)(設(shè)其速度為v4).如圖乙所示，則有v3＝vAcosα②又因二者沿繩子方向上的速度相等，即v1＝v3③由①②③式得vA∶vB＝cosβ∶cosα.二、解決平拋運(yùn)動(dòng)的三個(gè)突破口1.把平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間作為突破口平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，各物理量都與時(shí)間有聯(lián)系，所以只要求出拋出時(shí)間，其他的物理量都可輕松解出.2.把平拋運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角作為突破口如圖6可得tanθ＝eq\f(gt,v0)＝eq\f(2h,x)(推導(dǎo)：tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)＝eq\f(gt2,v0t)＝eq\f(2h,x))tanα＝eq\f(h,x)，所以有tanθ＝2tanα.從以上各式可以看出偏轉(zhuǎn)角和其他各物理量都有關(guān)聯(lián)，通過偏轉(zhuǎn)角可以確定其他的物理量.圖63.把平拋運(yùn)動(dòng)的一段軌跡作為突破口圖7平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條拋物線，已知拋物線上的任意一段，就可求出水平初速度和拋出點(diǎn)，其他物理量也就迎刃而解了.設(shè)圖7為某小球做平拋運(yùn)動(dòng)的一段軌跡，在軌跡上任取兩點(diǎn)A和B，E為AB的中間時(shí)刻.設(shè)tAE＝tEB＝T由豎直方向上的勻變速直線運(yùn)動(dòng)得eq\x\to(FC)－eq\x\to(AF)＝gT2，所以T＝eq\r(\f(Δy,g))＝eq\r(\f(\x\to(FC)－\x\to(AF),g))由水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)得v0＝eq\f(\x\to(EF),T)＝eq\x\to(EF)eq\r(\f(g,\x\to(FC)－\x\to(AF))).例3如圖8所示，在傾角為37°的斜面上從A點(diǎn)以6m/s的初速度水平拋出一個(gè)小球，小球落在B點(diǎn)，求：(g取10m/s2)圖8(1)A、B兩點(diǎn)間的距離和小球在空中飛行的時(shí)間；(2)小球剛碰到斜面時(shí)的速度方向與水平方向夾角的正切值.答案(1)6.75m0.9s(2)eq\f(3,2)解析(1)如圖所示，設(shè)小球落到B點(diǎn)時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角為α，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.則tan37°＝eq\f(h,x)＝eq\f(gt2,2v0t)＝eq\f(5,6)t又因?yàn)閠an37°＝eq\f(3,4)，解得t＝0.9s由x＝v0t＝5.4m則A、B兩點(diǎn)間的距離l＝eq\f(x,cos37°)＝6.75m(2)在B點(diǎn)時(shí)，tanα＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)＝eq\f(3,2).三、圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題1.分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，明確圓周軌道在怎樣的一個(gè)平面內(nèi)，確定圓心在何處，半徑是多大.2.分析物體的受力情況，弄清向心力的來(lái)源，跟運(yùn)用牛頓第二定律解直線運(yùn)動(dòng)問題一樣，解圓周運(yùn)動(dòng)問題，也要先選擇研究對(duì)象，然后進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖.3.由牛頓第二定律F＝ma列方程求解相應(yīng)問題，其中F是指向圓心方向的合外力(向心力)，a是向心加速度，即eq\f(v2,r)或ω2r或用周期T來(lái)表示的形式.例4如圖9所示，兩根長(zhǎng)度相同的輕繩(圖中未畫出)，連接著相同的兩個(gè)小球，讓它們穿過光滑的桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中O為圓心，兩段細(xì)繩在同一直線上，此時(shí)，兩段繩子受到的拉力之比為多少？圖9答案3∶2解析對(duì)兩小球受力分析如圖所示，設(shè)每段繩子長(zhǎng)為l，對(duì)球2有F2＝2mlω2對(duì)球1有：F1－F2＝mlω2由以上兩式得：F1＝3mlω2故eq\f(F1,F2)＝eq\f(3,2).針對(duì)訓(xùn)練3如圖10所示，一根細(xì)線下端拴一個(gè)金屬小球P，細(xì)線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔的水平桌面上.小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺).現(xiàn)使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圖上未畫出)，兩次金屬塊Q都保持在桌面上靜止.則后一種情況與原來(lái)相比較，下面的判斷中正確的是()圖10A.Q受到桌面的靜摩擦力變大B.Q受到桌面的支持力變大C.小球P運(yùn)動(dòng)的角速度變小D.小球P運(yùn)動(dòng)的周期變大答案A解析金屬塊Q保持在桌面上靜止，對(duì)金屬塊和小球研究，豎直方向上沒有加速度，根據(jù)平衡條件得知，Q受到桌面的支持力等于兩個(gè)物體的總重力，保持不變，故B錯(cuò)誤.設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，細(xì)線的拉力大小為FT，細(xì)線的長(zhǎng)度為L(zhǎng).P球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，如圖，則有FT＝eq\f(mg,cosθ)，mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，周期T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(Lcosθ,g))，現(xiàn)使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，θ增大，cosθ減小，則得到細(xì)線拉力FT增大，角速度增大，周期T減小.對(duì)Q，由平衡條件知，F(xiàn)f＝FTsinθ＝mgtanθ，知Q受到桌面的靜摩擦力變大，故A正確，C、D錯(cuò)誤.故選A.四、圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題1.臨界狀態(tài)：當(dāng)物體從某種特性變化為另一種特性時(shí)發(fā)生質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)，通常叫做臨界狀態(tài)，出現(xiàn)臨界狀態(tài)時(shí)，既可理解為“恰好出現(xiàn)”，也可理解為“恰好不出現(xiàn)”.2.輕繩類：輕繩拴球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，過最高點(diǎn)時(shí)，臨界速度為v＝eq\r(gr)，此時(shí)3.輕桿類：(1)小球能過最高點(diǎn)的臨界條件：v＝0；(2)當(dāng)0＜v＜eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)為支持力；(3)當(dāng)v＝eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)＝0；(4)當(dāng)v＞eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)為拉力.4.汽車過拱形橋：如圖11所示，當(dāng)壓力為零時(shí)，即G－meq\f(v2,R)＝0，v＝eq\r(gR)，這個(gè)速度是汽車能正常過拱形橋的臨界速度.v＜eq\r(gR)是汽車安全過橋的條件.圖115.摩擦力提供向心力：如圖12所示，物體隨著水平圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于靜摩擦力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)速度也達(dá)到最大，由Fm＝meq\f(v\o\al(m,2),r)得vm＝eq\r(\f(Fmr,m))，這就是物體以半徑r做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度.圖12例5如圖13所示，AB為半徑為R的光滑金屬導(dǎo)軌(導(dǎo)軌厚度不計(jì))，a、b為分別沿導(dǎo)軌上、下兩表面做圓周運(yùn)動(dòng)的小球(可看做質(zhì)點(diǎn))，要使小球不脫離導(dǎo)軌，則a、b在導(dǎo)軌最高點(diǎn)的速度va、vb應(yīng)滿足什么條件？圖13答案va＜eq\r(gR)vb＞eq\r(gR)解析對(duì)a球在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mag－FNa＝maeq\f(v\o\al(a,2),R)①要使a球不脫離軌道，則FNa＞0②由①②得：va＜eq\r(gR)對(duì)b球在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mbg＋FNb＝mbeq\f(v\o\al(b,2),R)③要使b球不脫離軌道，則FNb＞0④由③④得：vb＞eq\r(gR).針對(duì)訓(xùn)練4如圖14所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的小物體A、B、C能隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B、C的質(zhì)量分別為3m、2m、m，A與B、B與轉(zhuǎn)臺(tái)、C與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，B、C離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離分別為r、1.5r.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.以下說(shuō)法正確的是()圖14A.B對(duì)A的摩擦力一定為3μmgB.C與轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力大于A與B間的摩擦力C.轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度一定滿足：ω≤eq\r(\f(2μg,3r))D.轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度一定滿足：ω≤eq\r(\f(μg,3r))答案C解析對(duì)A受力分析，受重力、支持力以及B對(duì)A的靜摩擦力，靜摩擦力提供向心力，有Ff＝3mω2r，由此可知隨著角速度的增大，摩擦力也增大，只有當(dāng)A要滑動(dòng)時(shí)B對(duì)A的摩擦力才為3μmg，故A錯(cuò)誤；由A與C轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，都是由摩擦力提供向心力，對(duì)A有Ff＝3mω2r，對(duì)C有FfC＝mω21.5r，由此可知C與轉(zhuǎn)臺(tái)間的