第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式課標(biāo)要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tanx.2.能利用單位圓中的對稱性推導(dǎo)出π2±α,【知識梳理】1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.(2)商數(shù)關(guān)系:sinαcosα=tan2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+ααπαπ2π2+正弦sinαsinαsinαsinαcosαcosα余弦cosαcosαcosαcosαsinαsinα正切tanαtanαtanαtanα

口訣奇變偶不變,符號看象限[常用結(jié)論與微點提醒]1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;sinα=tanα·cosα.2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變,符號看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變是指函數(shù)名稱的變化3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時,若開方,要特別注意判斷符號.【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)若α,β為銳角,則sin2α+cos2β=1.()(2)sin(π+α)=sinα成立的條件是α為銳角.()(3)若α∈R,則tanα=sinαcosα恒成立.(4)若sin(kπα)=13(k∈Z),則sinα=13.(答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)對任意的角α,sin2α+cos2α=1.(2)中對于任意α∈R,恒有sin(π+α)=sinα.(3)中當(dāng)α的終邊落在y軸上時,商數(shù)關(guān)系不成立.(4)當(dāng)k為奇數(shù)時,sinα=13當(dāng)k為偶數(shù)時,sinα=132.(湘教必修一P168例5改編)已知α是第三象限角,sinα=35,則tanα=(A.34 B.C.43 D.答案B解析由題意得cosα=45故tanα=sinαcosα3.(人教A必修一P195T5改編)已知sin7π2+α=35,那么cosA.45B.BC.35 D.答案B解析因為sin7π2+α=cosα所以cosα=354.(北師大必修二P24例8(3)改編)求值:sin5π6cos-π4+sin11π6答案2解析sin5π6cos-π4+sin=sin-π6+πcosπ4+=sinπ6cos=2×12×22=考點一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式角度1切弦互化例1(1)(2025·濟(jì)南質(zhì)檢)若2sinθ-cosθsinθ+2cosθ=A.425 B.4C.325 D.答案C解析∵2sinθ-cosθsinθ∴tanθ=43則cosθ(1-2si=1-2×sin=1-tan2=325(2)(2023·全國乙卷)若θ∈0,π2,tanθ=12,則sinθcosθ=答案5解析由tanθ=sinθ解得sinθ=55,cosθ=2思維建模同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法(1)利用sin2α+cos2α=1可實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用sinαcosα=tan(2)當(dāng)分式中分子與分母是關(guān)于sinα,cosα的齊次式時,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求解.角度2“和”“積”轉(zhuǎn)換例2(多選)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=15,則下列結(jié)論正確的是(A.sinθ=45B.cosBθ=C.tanθ=34D.sinDθcosθ=答案ABD解析由題意知sinθ+cosθ=15∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125∴2sinθcosθ=2425<0又∵θ∈(0,π),∴π2<θ<π∴sinθcosθ>0,∴sinθcosθ=1-2sin=1--2425=49∴sinθ=45,cosθ=3∴tanθ=43,∴A,B,D正確思維建模正弦、余弦“sinα±cosα,sinαcosα”的應(yīng)用:sinα±cosα與sinαcosα通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起,即(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,sinαcosα=(sinα+cosα)2-12,sin訓(xùn)練1(1)已知x∈-π2,0,sin4x+cos4x=12,則sinxcosA.2B.B2 C.22D.D答案B解析因為sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)22sin2xcos2x=12sin2xcos2x=12所以sin2xcos2x=14又x∈-π所以sinx<0,cosx>0,sinxcosx<0,所以sinxcosx=12sinxcosx=(sin=1-2sin=1-2×-12(2)(2025·徐州調(diào)研)若θ∈0,π2,sinθcos2θ=sinθ-cos答案5解析因為sinθcos所以sinθcos所以sinθcos即sin2θsinθcosθcos2θ=0,因為θ∈0,π2,所以cosθ≠0,tanθ所以tan2θtanθ1=0,得tanθ=5+1考點二誘導(dǎo)公式例3(1)已知cosπ6-θ=a(|a|≤1),則cos5π6+θ+答案0解析由題知cos5π6+=cosπ6-θsin2π3-=cosπ6-θ∴cos5π6+θ+sin(2)化簡:sin400°sin230°cos850°tan50°=.答案sin40°解析sin400°sin230°=sin(360°+40°)sin(360°-130°)=-sin40°sin130°cos130°tan50°==-sin40°sin50°=sin40°.思維建模1.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0~2π內(nèi)的角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù).2.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用(1)求值:負(fù)化正,大化小,化到銳角為終了.(2)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.訓(xùn)練2(1)已知α∈R,則下列等式恒成立的是()A.sin(3πα)=sinαB.sinπ-α2=cosC.cos=sin5π2+3αD.cos=sin3π2-2α答案D解析sin(3πα)=sin(πα)=sinα,sinπ-α2=sinπ2-cos5π2+3α=cosπ2+3αcos3π2-2α=sin(2)求值:tan780°cos(1140°)sin1560°·cos(1050°)=.

答案2解析原式=tan(2×360°+60°)cos(3×360°60°)sin(4×360°+120°)cos(3×360°+30°)=tan60°cos(60°)sin120°cos30°=3×1232×32考點三基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例4已知f(α)=sinπ(1)化簡f(α);(2)若fπ3-α=13,求cos2π3+解(1)由題意得,f(α)=cosα·(-cosα)(2)fπ3-α=13,即cos∴cos2π6+α=sin2π3-α=1cos2π3-cos2π3+=cosπ3-α∴cos2π6+α+cos2π3+α思維建模1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時,關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進(jìn)行變形.2.注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響.訓(xùn)練3(1)(2025·麗水模擬)已知sin2π7+α=15,那么tanA.15 B.±26C.265 D.答案B解析因為sin2π7+α所以cos3π14-=sin2π7+α則sin3π14-α=±1-co所以tan3π14-α=sin(2)(2024·衡水模擬)已知sin3π2-α+cos(πα)=sinα,則2sin2αsinαcosαA.2110 B.C.32 D.答案D解析由誘導(dǎo)公式可得sinα=sin3π2-α+cos(πα)=2cosα,所以tanα因此,2sin2αsinαcosα=2sin2α-sinαcos一、單選題1.sin600°=()A.12 B.C.32 D.答案C解析sin600°=sin(240°+360°)=sin240°=sin(180°+60°)=sin60°=322.(2025·成都聯(lián)考)若角α的頂點在坐標(biāo)原點,始邊為x軸的非負(fù)半軸,終邊位于第二象限,且sinα=12,則sinπ2+A.12B.B1C.32D.D答案D解析因為角α的終邊位于第二象限,則cosα=1-sin2α所以sinπ2+α=cosα3.(2025·合肥質(zhì)檢)已知cosα1-sinα=2,則tanαA.43 B.3C.43D.D答案B解析法一因為cosα1-sin所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0,所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α=co=1+4tanα+4ta所以1+4tanα+4tan2α=4(1+tan2α),即4tanα=3,所以tanα=34法二因為cosα1-sin所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0,所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α=4,即4sinαcosα=3cos2α,所以tanα=344.(2025·張家口模擬)已知cosπ4+α=13,則sinA.13 B.1C.223D.答案A解析sin5π4-=cosπ4+α5.(2025·信陽聯(lián)考)已知cosα+π12+cosα+7π12=15A.2325 B.23C.2425 D.答案C解析因為cosα+π12+cosα所以cosα+π12sinα則cos=12cosα+π12sinα則sin2α+π故cos2α+=sin2α+π6.(2025·衡陽聯(lián)考)已知α∈0,π4,cos2α+3π2=817,A.14 B.1C.2 D.4答案A解析由cos2α+3π2=817得sin所以2sinαcosα=817,則2sinαcosαsin2α解得tanα=4或tanα=14又α∈0,π4,所以0<tanα所以tanα=147.(2025·?？谠\斷)若α∈(0,π),且cosαsinα=12,則tanα=(A.4+75 B.C.4+73 D答案D解析∵cosαsinα=12∴(cosαsinα)2=14即12sinαcosα=14∴sinαcosα=38,∴sinαcos得tanα1+tan∴3tan2α8tanα+3=0,∴tanα=4-73或tanα=∵α∈(0,π),且cosαsinα=12>0∴α∈0,π4,∴0<tanα故tanα=4-78.定義θ與φ都是任意角,若滿足θ+φ=π2,則稱角θ與φ“廣義互余”.已知sinα=14,下列角β中,可能與角α“廣義互余”的是(A.sinβ=154B.cosB(π+β)=C.tanβ=155D.tanDβ=答案A解析若α+β=π2則cosβ=cosπ2-α=sinαsinβ=sinπ2-α=cosα對于A,sinβ=154,符合對于B,cos(π+β)=cosβ=14∴cosβ=14,不符合對于C,tanβ=155,即sinβ=155cos又sin2β+cos2β=1,∴cosβ=±104,不符合對于D,tanβ=1515,即15sinβ=cosβ又sin2β+cos2β=1,∴sinβ=±14,不符合二、多選題9.在△ABC中,下列結(jié)論正確的是()A.sin(A+B)=sinCB.sinB+C2C.tan(A+B)=tanCCD.cos(A+B)=cosC答案ABC解析在△ABC中,有A+B+C=π,則sin(A+B)=sin(πC)=sinC,A正確;sinB+C2=sinπ2-A2tan(A+B)=tan(πC)=tanCC≠π2,cos(A+B)=cos(πC)=cosC,D錯誤.10.(2025·福州調(diào)研)已知下列等式的左右兩邊都有意義,則下列等式恒成立的是()A.=cosxB.=1+sinC.sin(53°x)=cos(37°+x)D.sin(60°x)=cos(480°+x)答案ABC解析對于A,cosx1+sinx=cosx(1-sinx)(1+sinx)(1-sinx對于B,1+sin2xsinxcosx=(sin對于C,sin(53°x)=sin[90°(37°+x)]=cos(37°+x),故C正確;對于D,cos(480°+x)=cos(120°+x)=cos[180°(60°x)]=cos(60°x),故D錯誤.11.已知sinα+cosαsinα-cosα=3,π2<A.tanα=2 B.sinαcosα=5C.sin4αcos4α=35 D.=1-2sin答案ACD解析因為sinα+cosαsin所以tanα=2>0,且π2<α<π所以0<α<π2,所以sinα>0,cos