專升本高數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\geq1\)C.\(x\neq1\)D.\(x\lt1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.1B.3C.\(\frac{1}{3}\)D.03.函數(shù)\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(3x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x^2+C\)5.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)6.下列級數(shù)中，收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\)7.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)是\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.曲線\(y=x^2+1\)與\(x\)軸，\(x=1\)，\(x=2\)所圍成的面積為（）A.\(\frac{7}{3}\)B.\(\frac{10}{3}\)C.\(\frac{13}{3}\)D.\(\frac{16}{3}\)9.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,k)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(k=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.2D.-210.方程\(x^2+y^2-2x+4y=0\)表示的圖形是（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\sinx\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可微的充要條件是（）A.\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)B.\(\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)\)（\(A\)為常數(shù)）C.\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)D.\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處有定義4.下列積分計算正確的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)D.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)5.設(shè)\(z=f(x,y)\)，則（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}\)表示固定\(y\)時\(z\)對\(x\)的變化率B.\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)（在二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件下）C.\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)D.\(z\)對\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)與\(y\)無關(guān)6.下列級數(shù)收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\)7.向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(-1,1,-2)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(0,-1,1)\)B.\(\vec{a}\cdot\vec=-9\)C.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{14}\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為鈍角8.曲線\(y=x^3-3x\)的極值點有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)9.下列方程中，是一階線性微分方程的有（）A.\(y'+y=x\)B.\(y''+y=0\)C.\(xy'+y=\sinx\)D.\(y'=y^2\)10.直線\(L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}\)與直線\(L_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}\)的位置關(guān)系可能是（）A.平行B.相交C.異面D.重合三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2-1}\)是偶函數(shù)。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）3.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值。（）4.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=3x^2\)，所以\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增的。（）5.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（\(f(x)\)為奇函數(shù)）。（）6.設(shè)\(z=x^2+y^2\)，則\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=0\)。（）7.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)，反之也成立。（）8.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與向量\(\vec=(0,1,0)\)垂直。（）9.方程\(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z=0\)表示一個球。（）10.微分方程\(y'=2x\)的通解是\(y=x^2+C\)（\(C\)為任意常數(shù)）。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=1+x^2\)，則\(y=\lnu\)。\(y'=\frac{1}{u}\cdotu'=\frac{2x}{1+x^2}\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}\)。3.求函數(shù)\(f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y\)的極值。答案：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(f_x=2x-2\)，\(f_y=2y+4\)。令\(f_x=0\)，\(f_y=0\)，得\(x=1\)，\(y=-2\)。\(A=f_{xx}=2\)，\(B=f_{xy}=0\)，\(C=f_{yy}=2\)，\(AC-B^2=4\gt0\)且\(A\gt0\)，所以\(f(1,-2)=1+4-2-8=-5\)為極小值。4.求微分方程\(y'+y=e^{-x}\)的通解。答案：這是一階線性非齊次微分方程，先求對應(yīng)的齊次方程\(y'+y=0\)的通解\(y=Ce^{-x}\)。再用常數(shù)變易法設(shè)\(y=C(x)e^{-x}\)，代入原方程得\(C(x)=x+C\)，所以通解為\(y=(x+C)e^{-x}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與凹凸性。答案：定義域\(x\neq1\)。\(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0\)，在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。\(y''=\frac{2}{(x-1)^3}\)，當(dāng)\(x\lt1\)時，\(y''\lt0\)，曲線下凸；當(dāng)\(x\gt1\)時，\(y''\gt0\)，曲線上凸。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性與\(p\)的關(guān)系。答案：當(dāng)\(p\gt1\)時，根據(jù)\(p-\)級數(shù)性質(zhì)，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂；當(dāng)\(p=1\)時，為調(diào)和級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)，發(fā)散；當(dāng)\(p\lt1\)時，通過比較判別法可知級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散。3.討論多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在某點處可微、可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）、連續(xù)之間的關(guān)系。答案：可微能推出可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）且連續(xù)；可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）不一定可微，也不一定連續(xù)；連續(xù)不一定可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在），更不一定可微?？晌⑹亲顝?qiáng)條件，其次是可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）和連續(xù)。4.討論直線與平面的位置關(guān)系有哪些情況，并說明判斷方法。答案：位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交。判斷方法：設(shè)直線\(L\)的方向向量為\(\vec{s}\)，平面\(\Pi\)的法向量為\(\vec{n}\)。直線在平面內(nèi)：\(\vec{s}\cdot\vec{n}=0\)且直線上一點在平面內(nèi)；直線與平面平行：\(\vec{s}\cdot\vec{n}=0\)且直線上一點