...wd......wd......wd...第一章三角形的證明【單元分析】本章是八年級上冊第七章《平行線的證明》的繼續(xù)，在“平等線的證明〞一章中，我們給出了8條基本領(lǐng)實，并從其中的幾條基本領(lǐng)實出發(fā)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論。運用這些基本領(lǐng)實和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的定理，我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論。在這之前，學(xué)生已經(jīng)對圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)展了大量的探索，探索的同時也經(jīng)歷過一些簡單的推理過程，已經(jīng)具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，從而為本章進(jìn)一步嚴(yán)格證明三角形有關(guān)定理打下了根基?！締卧繕?biāo)】1.知識與技能〔1〕等腰三角形的性質(zhì)和判定定理；〔2〕直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

2.過程與方法〔1〕會運用等腰三角形的性質(zhì)和判定定理解決相關(guān)問題；〔2〕直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單的實際問題；

3.情感態(tài)度與價值觀〔1〕經(jīng)歷由情景引出問題，探索掌握有關(guān)數(shù)學(xué)知識，再運用于實踐的過程，培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識與能力；〔2〕感受數(shù)學(xué)文化的價值和中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國與熱愛祖國悠久文化的思想感情。【單元重點】在證明過程中，進(jìn)一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論，能夠借助數(shù)學(xué)符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理?！締卧y點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等。【教學(xué)思路】1.對于已有命題的證明，教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生回憶過去的探索、說理過程，從中獲取嚴(yán)格證明的思路；對于新增命題，教學(xué)過程中要重視學(xué)生的探索、證明過程，關(guān)注該命題與其他已有命題之間的關(guān)系；對于整章的命題，注意關(guān)注將這些命題納入一個命題系統(tǒng)，關(guān)注命題之間的關(guān)系，從而形成對相關(guān)圖形整體的認(rèn)識。2.對于證明的方法，除了注重啟發(fā)和回憶，還應(yīng)注意關(guān)注證明方法的多樣性，力圖通過學(xué)生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在對比中選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?.證明過程中注意提醒蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、歸納、類比等。4.作為初中階段幾何證明的最后階段，教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生掌握綜合法和分析法證明命題的基本要求，掌握標(biāo)準(zhǔn)的證明表述過程，達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)對證明表述的要求?！締卧n時安排】課題課時1.1等腰三角形4課時1.2直角三角形2課時1.3線段的垂直平分線2課時1.4角平分線2課時回憶與思考2課時1.1等腰三角形【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能理解作為證明根基的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理。2．過程與方法經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜測－證明〞的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要開展，開展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力。3．情感態(tài)度與價值觀啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系?！窘虒W(xué)重點】經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)一一猜測——證明〞的過程?！窘虒W(xué)難點】用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論?！窘虒W(xué)方法】講授法【課時安排】4課時第一課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能能夠借助數(shù)學(xué)符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理。2．過程與方法經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜測－證明〞的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要開展，開展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力。3．情感態(tài)度與價值觀啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系?！窘虒W(xué)重點】探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法?！窘虒W(xué)難點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：回憶舊知導(dǎo)出公理提請學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過的8條基本領(lǐng)實中的5條：1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔SAS〕；4.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔ASA〕；5.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔SSS〕；在此根基上回憶全等三角形的另一判別條件：1.〔推論〕兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等〔AAS〕，并要求學(xué)生利用前面所提到的公理進(jìn)展證明；2.回憶全等三角形的性質(zhì)。：如圖，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A=∠D,∠B=∠E〔〕，又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°〔三角形內(nèi)角和等于180°〕，∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F〔等量代換〕。又BC=EF〔〕，∴△ABC≌△DEF〔ASA〕。第二環(huán)節(jié)：折紙活動探索新知在提問：“等腰三角形有哪些性質(zhì)以前是假設(shè)何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質(zhì)嗎并根據(jù)折紙過程，得到這些性質(zhì)的證明嗎〞的根基上，讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學(xué)生先單獨折紙觀察、探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)展交流，互相彌補(bǔ)缺乏。→→→→第三環(huán)節(jié)：明晰結(jié)論和證明過程在學(xué)生小組合作的根基上，教師通過分析、提問，和學(xué)生一起完成以上兩個個性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個學(xué)生板演證明,其余學(xué)生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學(xué)生明晰證明過程?！?〕等腰三角形的兩個底角相等；〔2〕等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合第四環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)穩(wěn)固新知學(xué)生自主完成P4第2題：如圖〔圖略〕,在△ABD中,C是BD上的一點，且AC⊥BD，AC=BC=CD，〔1〕求證：△ABD是等腰三角形；〔2〕求∠BAD的度數(shù)。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)讓學(xué)生暢談收獲，包括具體結(jié)論以及其中的思想方法等。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)課本第4頁習(xí)題1.1第2、3題【板書設(shè)計】1.1等腰三角形〔一〕證明：∵∠A=∠D,∠B=∠E〔〕，又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°〔三角形內(nèi)角和等于180°〕，∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F〔等量代換〕。又BC=EF〔〕，∴△ABC≌△DEF〔ASA〕。【教學(xué)反思】第二課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性。2．過程與方法讓學(xué)生進(jìn)一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要開展，開展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力。3．情感態(tài)度與價值觀體驗數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性?！窘虒W(xué)重點】用面積法驗證勾股定理。【教學(xué)難點】用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的根基上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一第二環(huán)節(jié)：自主探究在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明。你可能得到哪些相等的線段你假設(shè)何驗證你的猜測你能證明你的猜測嗎試作圖，寫出、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法通過學(xué)生的自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測、測量驗證的根基上探究出：等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等．并對這些命題給予多樣的證明。如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等〞，學(xué)生得到了下面的證明方法：：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．求證：BD=CE．證法1：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)．∵∠1=EQ\F(1,2)∠ABC，∠2=EQ\F(1,2)∠ABC，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)證法2：證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠3=∠4．在△ABC和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習(xí)提請學(xué)生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等并在學(xué)生思考的根基上，研究課本“議一議〞：在課本圖1—4的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=EQEQ\F(1,3)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,4)∠ACB呢?由此，你能得到一個什么結(jié)論?(2)如果AD=EQ\F(1,2)AC，AE=EQ\F(1,2)AB，那么BD=CE嗎?如果AD=EQEQ\F(1,3)AC，AE=EQEQ\F(1,3)AB呢?由此你得到什么結(jié)論?第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)提請學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的根基上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°.：在ΔABC中，AB=BC=AC．求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C〔等量代換〕．又∵∠A+∠B+∠C＝180°〔三角形內(nèi)角和定理〕，∴∠A=∠B=∠C＝60°．學(xué)生一般都能得到這些定理的證明，能標(biāo)準(zhǔn)地寫出對于“等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°〞的證明過程：第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)及時穩(wěn)固在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的根基上，讓學(xué)生獨立完成以下練習(xí)。如圖,△ABC和△BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD活動意圖：在穩(wěn)固等邊三角形的性質(zhì)的同時，進(jìn)一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，標(biāo)準(zhǔn)證明的書寫格式。第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時小結(jié)本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)課本第7頁習(xí)題1.2第2、3題【板書設(shè)計】1.2等腰三角形〔二〕：在ΔABC中，AB=BC=AC．求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C〔等量代換〕．又∵∠A+∠B+∠C＝180°〔三角形內(nèi)角和定理〕，∴∠A=∠B=∠C＝60°．【教學(xué)反思】第三課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能探索等腰三角形判定定理。2．過程與方法理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進(jìn)展簡單的證明。3．情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。【教學(xué)重點】理解等腰三角形的判定定理?！窘虒W(xué)難點】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)引入通過問題串回憶等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨立思考后再進(jìn)交流。問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么這個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么問題2.我們是假設(shè)何證明上述定理的問題3.我們把性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立么如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等第二環(huán)節(jié)：逆向思考，定理證明教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來〞思考問題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑．例如“等邊對等角〞，反過來成立嗎?也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?[生]如圖，在△ABC中，∠B=∠C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了．[師]你是假設(shè)何想到的?[生]由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比方作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個全等的三角形．[師]很好．同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分組討論．[生]我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把△ABC分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)龋驗槲覀兊玫降臈l件是兩個三角形對應(yīng)兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的．后兩種方法是可行的．[師]那么就請同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來．(教師可讓兩個同學(xué)在黑板上演示，并對推理證明過程講評)(證明略)[師]我們用“反過來〞思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形．這一定理可以簡單表達(dá)為：等角對等邊．我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的對稱美．第三環(huán)節(jié)：穩(wěn)固練習(xí)將書中的隨堂練習(xí)提前到此，是為了及時穩(wěn)固判定定理。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展分析。：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠2=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角對等邊)．第四環(huán)節(jié)：適時提問導(dǎo)出反證法我們類比歸納獲得一個數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過來〞思考問題也獲得了一個數(shù)學(xué)結(jié)論．如果否認(rèn)命題的條件，是否也可獲得一個數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?我們一起來“想一想〞：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認(rèn)為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?有學(xué)生提出：“我認(rèn)為這個結(jié)論是成立的．因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發(fā)現(xiàn)，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等．但要像證明“等角對等邊〞那樣卻很難證明，因為它的條件和結(jié)論都是否認(rèn)的．〞確實如此．像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?我們來看一位同學(xué)的想法：如圖，在△ABC中，∠B≠∠C，此時AB與Ac要么相等，要么不相等．假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角〞定理可得∠C=∠B，但條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B〞與條件“∠B≠∠C〞相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°〞與“∠A+∠B+∠C=180°〞相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個直角．引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢?引出反證法。都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法．接著用“反過來〞思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊〞，最后結(jié)合實例了解了反證法的含義．第五環(huán)節(jié)：拓展延伸活動過程與效果：在一節(jié)課完畢之際，為培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性、靈活性特安排了2個練習(xí)。一個是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉(zhuǎn)換求圖形的周長。另一個是一個開放性的問題，考察學(xué)生多角度多維度思考問題的能力。學(xué)生在獨立思考的根基上再小組交流。NMCBAD1.如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠NMCBAD2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)?第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)〔1〕本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容〔2〕等腰三角形的判定方法有哪幾種〔3〕結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系．〔4〕舉例談?wù)動梅醋C法說理的基本思路第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)【板書設(shè)計】1.1等腰三角形〔三〕：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠2=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角對等邊)．【教學(xué)反思】第四課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。2．過程與方法經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建設(shè)初步的符號感，開展抽象思維。3．情感態(tài)度與價值觀在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉抑制困難的意志，建設(shè)自信心?！窘虒W(xué)重點】等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明。【教學(xué)難點】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課教師回憶前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的根基上，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢又假設(shè)何判別一個三角形是等腰三角形呢從而引入新課。開門見山，引入新課，同時回憶，也為后續(xù)探索提供了鋪墊。(教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時間)第二環(huán)節(jié)：自主探索學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結(jié)論，教師適時要求學(xué)生給出相對標(biāo)準(zhǔn)的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表：性質(zhì)判定的條件等腰三角形〔含等邊三角形〕等邊對等角等角對等邊“三線合一〞即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60°等邊三角形三個角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形經(jīng)歷定理的探究過程，即明確有關(guān)定理，同時提高學(xué)生的自主探究能力。第三環(huán)節(jié)：實際操作提出問題活動內(nèi)容：教師直接提出問題：我們還學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個假設(shè)何的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論說說你的理由．讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=EQ\F(1,2)AB．分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.延長BC至D，使CD=BC，連接AD(如以以以下圖)．∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)．∴BC=EQ\F(1,2)BD=EQ\F(1,2)AB．第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練穩(wěn)固新知直接提請學(xué)生思考剛剛命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°嗎?如果是，請你證明它．在師生分析的根基上，給出證明：：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=EQ\F(1,2)AB．求證：∠BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=EQ\F(1,2)BD．又∵BC=EQ\F(1,2)AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等邊三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．呈現(xiàn)例題，在師生分析的根基上，運用所學(xué)的新定理解答例題。等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高CD的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一個外角，而∠DAC=×15°=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=EQ\F(1,2)AC=EQ\F(1,2)×2a=a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)．第五環(huán)節(jié)：暢談收獲課時小結(jié)讓學(xué)生對課堂學(xué)習(xí)進(jìn)展小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識、結(jié)論，以及解決問題的方法和蘊(yùn)含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)【板書設(shè)計】1.1等腰三角形〔四〕：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=EQ\F(1,2)AB．求證：∠BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=EQ\F(1,2)BD．又∵BC=EQ\F(1,2)AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等邊三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．【教學(xué)反思】1.2直角三角形【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能〔1〕掌握直角三角形的性質(zhì)定理〔勾股定理〕及判定定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題。〔2〕結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立。2．過程與方法〔1〕進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建設(shè)初步的符號感，開展抽象思維．〔2〕進(jìn)一步掌握推理證明的方法，開展演繹推理的能力。3．情感態(tài)度與價值觀體驗生活中的數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。【教學(xué)重點】掌握直角三角形的性質(zhì)定理〔勾股定理〕及判定定理的證明方法?！窘虒W(xué)難點】應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題?！窘虒W(xué)方法】講授法【課時安排】2課時第一課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能掌握直角三角形的性質(zhì)定理〔勾股定理〕及判定定理的證明方法。2．過程與方法進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建設(shè)初步的符號感，開展抽象思維。3．情感態(tài)度與價值觀在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉抑制困難的意志，建設(shè)自信心?！窘虒W(xué)重點】掌握直角三角形的性質(zhì)定理〔勾股定理〕及判定定理的證明方法?！窘虒W(xué)難點】結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課通過問題1，讓學(xué)生在解決問題的同時，回憶直角三角形的一般性質(zhì)。[問題1]一個直角三角形房梁如以以以下圖，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分別是B1、C1，那么BC的長是多少?B1C1呢?解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm，∴BC＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)×10＝5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°又∵∠A+∠B＝90°∴∠BCB1＝∠A＝30°在Rt△ACB1中，BB1＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)×5＝EQ\F(5,2)cm＝2．5cm．∴AB1＝AB＝BB1＝10—2.5＝7.5(cm)．∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30°∴B1C1＝EQ\F(1,2)AB1＝EQ\F(1,2)×7.5＝3.75(cm)．解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“30°角的直角三角形的性質(zhì)〞．由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢?〞從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請同學(xué)們翻開課本P18，閱讀“讀一讀〞，了解一下利用教科書給出的公理和推導(dǎo)出的定理，證明勾股定理的方法．第二環(huán)節(jié)：講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀〞中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請有興趣的同學(xué)課后閱讀．〔1〕．勾股定理及其逆定理的證明．：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：延長CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，連接ED、AE(如圖)，則△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)．∴四邊形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝EQ\F(1,2)(a+b)(a+b)＝EQ\F(1,2)(a+b)2．∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB＝BE．∴S△ABE＝EQ\F(1,2)c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴EQ\F(1,2)(a+b)2＝EQ\F(1,2)c2+EQ\F(1,2)ab+EQ\F(1,2)ab,即EQ\F(1,2)a2+ab+EQ\F(1,2)b2＝EQ\F(1,2)c2+ab,∴a2+b2＝c2教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強(qiáng)調(diào)．具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．反過來，如果在一個三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形〞的結(jié)論．你能證明此結(jié)論嗎?師生共同來完成．：如圖：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求證：△ABC是直角三角形．分析：要從邊的關(guān)系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC與一個直角三角形全等，而得到∠A與對應(yīng)角(構(gòu)造的三角形的直角)相等，可證．證明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如圖)，則A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′〔SSS〕∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的對應(yīng)角相等)．因此，△ABC是直角三角形．總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．〔2〕．互逆命題和互逆定理．觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有假設(shè)何的關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎?通過觀察，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：上面兩個定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件．這樣的情況，在前面也曾遇到過．例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等〞，交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行〞．又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半〞．交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°〞。第三環(huán)節(jié)：議一議觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)展，最后在教師的引導(dǎo)下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學(xué)生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€命題寫出“如果……；那么……〞的形式，以及能夠?qū)懗鲆粋€命題的逆命題。活動中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生假設(shè)出現(xiàn)語言上不嚴(yán)謹(jǐn)時，要先讓這個疑問交給學(xué)生來剖析，然后再總結(jié)?；顒訒r可以先讓學(xué)生觀察下面三組命題：如果兩個角是對頂角，那么它們相等．如果兩個角相等，那么它們是對頂角．如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒．如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎．三角形中相等的邊所對的角相等．三角形中相等的角所對的邊相等．上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?與同伴交流．不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結(jié)論，第二個命題的結(jié)論是第一個命題的條件．在兩個命題中，如果一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題．再來看“議一議〞中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題．請同學(xué)們判斷每組原命題的真假．逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題．在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題．在第三組中，原命題和逆命題都是真命題．由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題．第四環(huán)節(jié)：想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題．請學(xué)生寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等〞的逆命題嗎?它們都是真命題嗎從而引導(dǎo)學(xué)生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎?并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理．能舉例說出我們已學(xué)過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等〞與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行〞．“全等三角形對應(yīng)邊相等〞和“三邊對應(yīng)相等的三角形全等〞、“等邊對等角〞和“等角對等邊〞等．第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)說出以下命題的逆命題，并判斷每對命題的真假;(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0[分析]互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生承受起來應(yīng)不會有什么困難，尤其是對以“如果……那么……〞形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，表達(dá)其逆命題有一定困難．可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫出逆命題．解：(1)多邊形是四邊形．原命題是真命題，而逆命題是假命題．(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．原命題與逆命題同為正．(3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命題是假命題，而逆命題是真命題．第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進(jìn)一步開展了演繹推理能力．第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習(xí)題1．5第1、2、3、4題【板書設(shè)計】1.2直角三角形〔一〕：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：延長CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，連接ED、AE(如圖)，則△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)．∴四邊形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝EQ\F(1,2)(a+b)(a+b)＝EQ\F(1,2)(a+b)2．∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB＝BE．∴S△ABE＝EQ\F(1,2)c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴EQ\F(1,2)(a+b)2＝EQ\F(1,2)c2+EQ\F(1,2)ab+EQ\F(1,2)ab,即EQ\F(1,2)a2+ab+EQ\F(1,2)b2＝EQ\F(1,2)c2+ab,∴a2+b2＝c2【教學(xué)反思】第二課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能能夠證明直角三角形全等的“HL〞的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性。2．過程與方法進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建設(shè)初步的符號感，開展抽象思維。3．情感態(tài)度與價值觀進(jìn)一步掌握推理證明的方法，開展演繹推理能力?！窘虒W(xué)重點】能夠證明直角三角形全等的“HL〞的判定定理。【教學(xué)難點】進(jìn)一步理解證明的必要性?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)提問1.判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種2.一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，假設(shè)何畫同學(xué)們相互交流。3、有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎如果其中一個角是直角呢請證明你的結(jié)論。我們曾從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角〞。那么我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明“等邊對等角〞．要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過程如下：：在△ABC中，AB=AC．求證：∠B=∠C．證明：過A作AD⊥BC，垂足為C，∴∠ADB=∠ADC=90°又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴∠B=∠C〔全等三角形的對應(yīng)角相等〕在實際的教學(xué)過程中，有學(xué)生對上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點在于“在證明△ABD≌△ACD時，用了“兩邊及其中一邊的對角對相等的兩個三角形全等〞．而我們在前面學(xué)習(xí)全等的時候知道，兩個三角形，如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的．可以畫圖說明．(如以以以下圖在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD與△ABC不全等)〞．也有學(xué)生認(rèn)同上述的證明。教師順?biāo)浦?，詢問能否證明：“在兩個直角三角形中，直角所對的邊即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．〞，從而引入新課。第二環(huán)節(jié)：引入新課〔1〕．“HL〞定理．由師生共析完成：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′證明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)．又∵在Rt△A'B'C'中，A'C'=A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理)．AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)．教師用多媒體演示：定理斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊〞或“HL〞表示．從而肯定了第一位同學(xué)通過作底邊的高證明兩個三角形全等，從而得到“等邊對等角〞的證法是正確的．練習(xí)：判斷以下命題的真假，并說明理由：(1)兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；(3)兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．對于〔1〕、〔2〕、〔3〕一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在了問題〔4〕，學(xué)生感覺是真命題，一時有無法直接利用的定理支持，教師引導(dǎo)學(xué)生證明．：R△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線且BD—B'D'(如圖)．求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．證明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C'(HL定理)．CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵BC=B'C'，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．通過上述師生共同活動，學(xué)生板書推理過程之后可發(fā)動學(xué)生去糾錯，教師最后再總結(jié)。第三環(huán)節(jié)：做一做問題你能用三角尺平分一個角嗎?請同學(xué)們用手中的三角尺操作完成，并在小組內(nèi)交流，用自己的語言清楚表達(dá)自己的想法．〔設(shè)計做一做的目的為了讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)結(jié)論在實際中的應(yīng)用，教學(xué)中就要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的語言清楚地表達(dá)自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來?！车谒沫h(huán)節(jié)：議一議如圖，∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，還需要什么條件?把它們分別寫出來．這是一個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已學(xué)過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨立思考的根基上，通過同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的答案．(教師一定要提供時間和空間，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn))第五環(huán)節(jié)：例題學(xué)習(xí)如圖，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分別分別是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求證：△ABC≌△A'B'C'．分析：要證△ABC≌△A'B'C'，由中找到條件：一組邊AC=A'C'，一組角∠ACB=∠A'C'B'．如果尋求∠A=∠A'，就可用ASA證明全等；也可以尋求么∠B=∠B'，這樣就有AAS；還可尋求BC=B'C'，那么就可根據(jù)SAS．……注意到題目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．觀察圖形，這里有三對三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此證明∠A=∠A'就可行．證明：∵CD、C'D'分別是△ABC△A'B'C'的高()，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'()，CD=C'D'()，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的對應(yīng)角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'(已證)，AC=A'C'()，∠ACB=∠A'C'B'()，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等．而當(dāng)一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，而且開展了同學(xué)們演繹推理的能力．同學(xué)們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值得繼續(xù)發(fā)揚(yáng)廣闊．第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)習(xí)題1．6第3、4、5題【板書設(shè)計】1.2直角三角形〔二〕：R△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線且BD—B'D'(如圖)．求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．證明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C'(HL定理)．CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵BC=B'C'，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．【教學(xué)反思】1.3線段的垂直平分線【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理.2．過程與方法經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步開展學(xué)生的推理證明能力．豐富對幾何圖形的認(rèn)識。3．情感態(tài)度與價值觀通過小組活動，學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果?！窘虒W(xué)重點】運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題?！窘虒W(xué)難點】垂直平分線的性質(zhì)定理在實際問題中的運用。【教學(xué)方法】講授法【課時安排】2課時第一課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點。2．過程與方法經(jīng)歷猜測、探索，能夠作出符合條件的三角形。3．情感態(tài)度與價值觀學(xué)會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果?！窘虒W(xué)重點】探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法?！窘虒W(xué)難點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?其中“到兩個倉庫的距離相等〞，要強(qiáng)調(diào)這幾個字在題中有很重要的作用．線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等〞利用此性質(zhì)就能完成．進(jìn)一步提問：“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結(jié)論嗎?〞第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明教師鼓勵學(xué)生思考，想方法來解決此問題。通過討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析并寫出、求證的內(nèi)容。：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點．求證：PA=PB．分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等．證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)．；∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．教師用多媒體完整演示證明過程．第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?這個命題不是“如果……那么……〞的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果……那么……〞的形式，逆命題就容易寫出．鼓勵學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點〞．結(jié)論是“這個點到線段兩個端點的距離相等〞．此時，逆命題就很容易寫出來．“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．〞寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．引導(dǎo)學(xué)生分析證明過程，有如下四種證法：證法一：：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PA=PB．求證：P點在AB的垂直平分線上．證明：過點P作線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，即P點在AB的垂直平分線上．證法二：取AB的中點C，過PC作直線．∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P點在AB的垂直平分線上．證法三：過P點作∠APB的角平分線．∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P點在線段AB的垂直平分線上．證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC．∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分線上．從同學(xué)們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．第四環(huán)節(jié)：穩(wěn)固應(yīng)用在做完性質(zhì)定理和判定定理的證明以后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展總結(jié)：〔1〕線段的垂直平分線可以看成是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合?！?〕到一條線段兩個端點的距離相等個點在這條線段的垂直平分線上．因此只需做出這樣的兩個點即可做出線段的垂直平分線。例題：：如圖1-18，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC。．證明：∵AB=AC，∴點A在線段BC的垂直平分線上〔到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上〕.同理，點O在線段BC的垂直平分線上.∴直線AO是線段BC的垂直平分線〔兩點確定一條直線〕.學(xué)生是第一次證明一條直線是線段的垂直平分線，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程。第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)課本P23；習(xí)題1.7：第1、2題第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些新的收獲還有哪些困惑第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習(xí)題l.7第3、4題【板書設(shè)計】1.3線段的垂直平分線〔一〕：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PA=PB．求證：P點在AB的垂直平分線上．證明：過點P作線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，【教學(xué)反思】第二課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點。2．過程與方法經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步開展學(xué)生的推理證明意識和能力．體驗解決問題的方法，開展實踐能力和創(chuàng)新意識。3．情感態(tài)度與價值觀體驗數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性?！窘虒W(xué)重點】能夠證明與線段垂直平分線相關(guān)的結(jié)論?！窘虒W(xué)難點】證明三線共點。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆一、情景引入教師提問：“[利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，當(dāng)作完此題時你發(fā)現(xiàn)了什么?(教師可用多媒體演示作圖過程)〞“三角形三邊的垂直平分線交于一點．〞、“這一點到三角形三個頂點的距離相等．〞等都是學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)的直觀性質(zhì)。下面請同學(xué)們剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流．教師質(zhì)疑：“這只是用我們的眼睛觀察到的，看到的一定是真的嗎我們還需運用公理和已學(xué)過的定理進(jìn)展推理證明，這樣的發(fā)現(xiàn)才更有意義．〞這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)探索和線段垂直平分線有關(guān)的結(jié)論．上述活動中，教師要注意多畫幾種特殊的三角形讓學(xué)生親自體驗和觀察結(jié)論的正確性。二、例題解析〔1〕教師引導(dǎo)學(xué)生分析，尋找證明方法。我們要從理論上證明這個結(jié)論，也就是證明“三線共點〞，但這是我們沒有遇到過的．不妨我們再來看一下演示過程，或許你能從中受到啟示．通過演示和啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)同：“兩直線必交于一點，那么要想證明‘“三線共點’，只要證第三條直線過這個交點或者說這個點在第三條直線上即可．〞雖然我們已找到證明“三線共點〞的突破口，詢問學(xué)生假設(shè)何知道這個交點在第三邊的垂直平分線上呢?師生共析，完成證明〔2〕討論完畢后，學(xué)生書寫證明過程。教師點評，注意幾何符號語言的標(biāo)準(zhǔn)性。：在△ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點P，連接AP，BP，CP．求證：P點在AC的垂直平分線上．證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)．同理PB=PC．∴PA=PC．∴P點在AC的垂直平分線上(到線段兩個端點距離相等的點.在這條線段的垂直平分線上)．∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點P．進(jìn)一步設(shè)問：“從證明三角形三邊的垂直平分線交于一點，你還能得出什么結(jié)論?〞〔交點P到三角形三個頂點的距離相等．〕〔3〕多媒體演示我們得出的結(jié)論：定理三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等(1)三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?(2)等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?(3)等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個?學(xué)生通過小組討論，并嘗試作出草圖，驗證自己的結(jié)論。由學(xué)生思考可得：(1)三角形的一條邊及這條邊上的高，能作出三角形，并且能作出無數(shù)多個，如以以以以下圖：：三角形的一條邊a和這邊上的高h(yuǎn)求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h_()__()_1_A_D_C_B_A_a_h從上圖我們會發(fā)現(xiàn)，先作線段BC=a；然后再作BC邊上的高h(yuǎn)，但垂足不確定,我們可將垂足取在線段BC上或其所在直線上的任意一點D，過此點作BC邊的垂線，最后以D為端點在垂線上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，連接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都滿足條件，所以這樣的三角形有無數(shù)多個．觀察還可以發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等．〔見幾何畫板課件〕(2)如果等腰三角形的底邊，用尺規(guī)作出等腰三角形，這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，因為只要作等腰三角形底邊的垂直平分線，取它上面的任意一點，和底邊的兩個端點相連接，都可以得到一個等腰三角形．另外有學(xué)生補(bǔ)充：“不是底邊垂直平分線上的任意一點都滿足條件，如底邊的中點在底邊上，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)將這一點從底邊的垂直平分線上挖去．〞〔3〕如果底邊和底邊上的高都一定，這樣的等腰三角形應(yīng)該只有兩個，并且它們是全等的，分別位于底邊的兩側(cè)．〔5〕例題學(xué)習(xí)底邊及底邊上的高，求作等腰三角形．：線段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；2．作線段Bc的垂直平分線MN交BC于D點；3．以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點；4．連接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如以以以下圖)．〔6〕做一做：課本第25頁：教師引導(dǎo)學(xué)生分析作出草圖，注意對學(xué)生作法表達(dá)的準(zhǔn)確性加以更正。四、動手操作〔1〕例題：直線l和l上一點P，用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P.學(xué)生先獨立思考完成，然后交流：說出做法并解釋作圖的理由。〔2〕拓展：如果點P是直線l外一點，那么假設(shè)何用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P呢說說你的作法，并與同伴交流.五、隨堂練習(xí):：習(xí)題1.8第1、2題。六、課時小結(jié)本節(jié)課通過推理證明了“到三角形三個頂點距離的點是三角形三條邊的垂直平分線的交點，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點〞的結(jié)論，并能根據(jù)此結(jié)論“等腰三角形的底和底邊的高，求作等腰三角形〞．七、課后作業(yè)習(xí)題1．8第3、4題【板書設(shè)計】1.3線段的垂直平分線〔二〕定理三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，因為只要作等腰三角形底邊的垂直平分線，取它上面的任意一點，和底邊的兩個端點相連接，都可以得到一個等腰三角形．【教學(xué)反思】1.4角平分線【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能會證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。2．過程與方法經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步開展學(xué)生的推理證明能力．豐富對幾何圖形的認(rèn)識。3．情感態(tài)度與價值觀通過小組活動，學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果?！窘虒W(xué)重點】運用幾何符號語言證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆命題?！窘虒W(xué)難點】角平分線的性質(zhì)定理在實際問題中的運用。【教學(xué)方法】講授法【課時安排】2課時第一課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能會證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。2．過程與方法進(jìn)一步開展學(xué)生的推理證明意識和能力，培養(yǎng)學(xué)生將文字語言．轉(zhuǎn)化為符號語言、圖形語言的能力。3．情感態(tài)度與價值觀經(jīng)歷探索，猜測，證明使學(xué)生掌握研究解決問題的方法?！窘虒W(xué)重點】正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明?！窘虒W(xué)難點】正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明。【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆一、情境引入我們曾用折紙的方法探索過角平分線上的點的性質(zhì)，步驟如下：從折紙過程中，我們可以得出CD=CE，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等．你能證明它嗎?二、探究新知〔1〕引導(dǎo)學(xué)生證明性質(zhì)定理請同學(xué)們自己嘗試著證明上述結(jié)論，然后在全班進(jìn)展交流．：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．求證：PD=PE．證明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．(教師在教學(xué)過程中對有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo))我們用公理和已學(xué)過的定理證明了我們折紙過程中得出的結(jié)論．我們把它叫做角平分線的性質(zhì)定理。(用多媒體演示)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．〔2〕你能寫出這個定理的逆命題嗎?我們在前面學(xué)習(xí)線段的垂直平分線時，已經(jīng)歷過構(gòu)造其逆命題的過程，我們可以類比著構(gòu)造角平分線性質(zhì)定理的逆命題．引導(dǎo)學(xué)生分析結(jié)論后完整地表達(dá)出角平分線性質(zhì)定理的逆命題：在一個角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上．它是真命題嗎?你能證明它嗎?沒有加“在角的內(nèi)部〞時，是假命題．(由學(xué)生自己獨立思考完成，在全班討論交流，對困難學(xué)生可個別輔導(dǎo))證明如下：：在么AOB內(nèi)部有一點P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點P在么AOB的角平分線上．證明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)．逆命題利用公理和我們已證過的定理證明了，那么我們就可以把這個逆命題叫做原定理的逆定理．我們就把它叫做角平分線的判定定理?！?〕用直尺和圓規(guī)畫角的平方線及作圖的依據(jù)討論。三、穩(wěn)固練習(xí)綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解決問題。進(jìn)一步開展學(xué)生的推論證明能力。在學(xué)生獨立完成推理過程的根基上，教師要給出書寫示范例題：在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.〔4〕課本例題學(xué)習(xí)四、隨堂練習(xí)課本第29頁1、2題。五、課堂小結(jié)這節(jié)課證明了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，在有角的平分線〔或證明是角的平分線〕時，過角平分線上的點向兩邊作垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)則使問題迅速得到解決。六、布置作業(yè)習(xí)題1．9第1，2，3,4題．【板書設(shè)計】1.4角平分線〔一〕：在么AOB內(nèi)部有一點P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點P在么AOB的角平分線上．證明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)．【教學(xué)反思】第二課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論。2．過程與方法經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步開展學(xué)生的推理證明意識和能力．體驗解決問題的方法，開展實踐能力和創(chuàng)新意識。3．情感態(tài)度與價值觀在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉抑制困難的意志，建設(shè)自信心。【教學(xué)重點】三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)。【教學(xué)難點】角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問題，搭建探究平臺問題l習(xí)題1．8的第1題作三角形的三個內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么?能證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定正確嗎于是，首先證明“三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點〞．教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展邏輯上的證明。第二環(huán)節(jié)：展示思維過程，構(gòu)建探究平臺：如圖，設(shè)△ABC的角平分線．BM、CN相交于點P，證明：P點在∠BAC的角平分線上．證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上)．∴△ABC的三條角平分線相交于點P．在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點外，還有什么“附帶〞的成果呢?〔PD=PE=PF，即這個交點到三角形三邊的距離相等．〕于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等．通過列表來對比三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理〔板書〕問題2如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互穿插的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處你假設(shè)何發(fā)現(xiàn)的?要求學(xué)生思考、交流。實況如下：[生]有一處．在三條公路的交點A、B、C組成的△ABC三條角平分線的交點處．因為三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三邊的距離相等．而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等．這一點剛好符合．[生]我找到四處．(同學(xué)們很吃驚)除了剛剛同學(xué)找到的三角形ABC內(nèi)部的一點外，我認(rèn)為在三角形外部還有三點．作∠ACB、∠ABC外角的平分線交于點P1(如以以以以下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點P1在∠CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等．同理還有∠BAC、∠BCA的外角的角平分線的交點P3；因此滿足條件共4個，分別是P、P1、P2、P3第三環(huán)節(jié)：例題講解[例1]如圖，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．(1)CD=4cm，求AC的長；(2)求證：AB=AC+CD．分析：本例需要運用前面所學(xué)的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識和方法，并能綜合運用它們解決問題．第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長．第(2)問中，求證AB=AC+CD．這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE．(1)解：∵AD是△ABC的角平分線，∠C=90°，DE⊥AB．∴DE=CD=4cm(角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等)．∵∠AC=∠BC∴∠B=∠BAC(等邊對等角)．∵∠C=90°，∴∠B=EQ\F(1,2)×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角對等邊)．在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=42cm(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．(2)證明：由(1)的求解過程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．[例2]：如圖，P是么AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D．求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線．證明：(1)P是∠AOB角平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．∴OC=OD(全等三角形對應(yīng)邊相等)．(2)又OP是∠AOB的角平分線，∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一〞定理)．思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢?第四環(huán)節(jié)：課時小結(jié)本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三角形各邊的距離相等．并綜合運用我們前面學(xué)過的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計算和證明問題．第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習(xí)題1．10第1、2題【板書設(shè)計】1.4角平分線〔二〕三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點交于三角形內(nèi)一點鈍角三角形交于三角形外一點直角三角形交于斜邊的中點交點性質(zhì)到三角形三個頂點的距離相等到三角形三邊的距離相等【教學(xué)反思】回憶與思考【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能在回憶與思考中建設(shè)本章的知識框架圖，復(fù)習(xí)有關(guān)定理的探索與證明，證明的思路和方法，尺規(guī)作圖等。2．過程與方法進(jìn)一步體會證明的必要性，開展學(xué)生的初步的演繹推理能力；進(jìn)一步掌握綜合法的證明方法，結(jié)合實例體會反證法的含義；提高學(xué)生用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言表達(dá)論證過程的能力。3．情感態(tài)度與價值觀通過積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)的證明產(chǎn)生好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣?！窘虒W(xué)重點】通過例題的講解和課堂練習(xí)對所學(xué)知識進(jìn)展復(fù)習(xí)穩(wěn)固是重點。【教學(xué)難點】本章知識的綜合性應(yīng)用?！窘虒W(xué)方法】講授法【課時安排】2課時第一課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能回憶與思考中建設(shè)本章的知識框架圖。2．過程與方法進(jìn)一步掌握綜合法的證明方法，結(jié)合實例體會反證法的含義。3．情感態(tài)度與價值觀經(jīng)歷探索，猜測，證明使學(xué)生掌握研究解決問題的方法?！窘虒W(xué)重點】建設(shè)本章的知識框架圖?！窘虒W(xué)難點】本章知識的綜合性應(yīng)用?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)問題情境，搭建“回憶與思考〞的平臺問題1：你能說說作為證明根基的幾條公理嗎教師通過學(xué)生答復(fù)并整理出六條公理如下：1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;3.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等;〔SAS〕4.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;〔ASA〕5.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;〔SSS〕6.全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.問題2：向你的同伴講述一兩個命題的證明思路和證明方法.①綜合法：從出發(fā)利用學(xué)過的公理和已證明的定理進(jìn)展合情推理和演繹推理；②反證法．〔教師可關(guān)注根基較差的學(xué)生，給于關(guān)注和指導(dǎo)〕問題3：你能說出一對互逆命題嗎它們的真假性假設(shè)何問題4：任意畫一個角，利用尺規(guī)將其二等分、四等分．：如圖，∠AOB求作：(1)射線OC，使∠AOC=∠BOC；(2)射線OD、OE，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB作法:(1)1、在OA和OB上分別分別截取OM、ON，使OM=ON．EDAＣBNEDAＣBNM3．作射線OC∴OC就是∠AOB的平分線．(2)同上，分別在AOC和BOC內(nèi)部作射線OD、OE．第二環(huán)節(jié)：建設(shè)本章的知識框架圖本章所證明的命題大多與等腰三角形和直角三角形有關(guān)，主要包括哪些呢等腰三角形〔含等邊三角形〕、直角三角形的性質(zhì)定理及判定定理；線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理；角平分線的性質(zhì)定理及判定定理．1．通過探索、猜測、計算、證明得到的定理：〔1〕與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的結(jié)論：性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，即等邊對等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；等腰三角形兩底角的平分線相等，兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等．等邊三角形的三條邊都相等，三個角都相等，并且每個角都等于60°；等邊三角形的三條角平分線、三條中線、三條高互相相等．判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形．〔2〕與直角三角形有關(guān)的結(jié)論：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；斜邊和一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．(HL)〔3〕與一般三角形有關(guān)的結(jié)論：在一個三角形中，兩個角不相等，它們所對的邊也不相等〔用反證法證明〕．2．命題的逆命題及其真假：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．一個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題．如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理．其中一個定理稱為另一個定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．3．尺規(guī)作圖線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理；用尺規(guī)作線段的垂直平分線；底邊和底邊上的高，用尺規(guī)作等腰三角形角平分線的性質(zhì)定理和判定定理；用尺規(guī)作角的平分線．第三環(huán)節(jié)：例題講解例1、：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F，且DE=DF.求證：△ABC是等腰三角形.分析：要證△ABC是等腰三角形，可證∠B=∠C.EDCAB例2、如圖，在EDCAB分析：由AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的長，利用方程的思想，需找另一個AB與BC的關(guān)系．第四環(huán)節(jié)：課時小結(jié)EEFCDAB通過本節(jié)課，你有那些新的收獲呢第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)課內(nèi)：A組題中的第3、4、5、6、7、8題；課外：A組題中的9題，B組題第1、2、3題.【板書設(shè)計】回憶與思考〔一〕通過探索、猜測、計算、證明得到的定理通過探索、猜測、計算、證明得到的定理與等腰三角形、等邊三角形有關(guān)的結(jié)論與直角三角形有關(guān)的結(jié)論與一般三角形有關(guān)的結(jié)論命題的逆命題及其真假尺規(guī)作圖線段的垂直平分線角的平分線【教學(xué)反思】第二課時【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能利用測試題穩(wěn)固本章知識點。2．過程與方法進(jìn)一步掌握本章知識，結(jié)合相關(guān)習(xí)題進(jìn)一步開展學(xué)生的推理證明意識和能力。3．情感態(tài)度與價值觀體驗解決問題的方法，開展實踐能力和創(chuàng)新意識?！窘虒W(xué)重點】利用習(xí)題穩(wěn)固本章知識?！窘虒W(xué)難點】本章知識的綜合性應(yīng)用?！窘虒W(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)隨筆一、根基練習(xí)1．如圖1,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃.那么最省事的方法是帶〔〕去配.A.①B.②C.③D.①和②2．以下說法中，正確的選項是〔〕.A．兩腰對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等B．兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．兩銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等D．面積相等的兩個三角形全等3．如圖2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC長為〔〕.A．4cmB．5cmC．8cmD．cm4．如圖3，在等邊中，分別是上的點，且，AD與BE相交于點P，則的度數(shù)是〔〕.A．B．C．