...wd......wd......wd...絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本卷須知：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試完畢后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1.A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡復(fù)數(shù)，即得結(jié)果.詳解：選D.點(diǎn)睛：此題考察復(fù)數(shù)除法法則，考察學(xué)生根本運(yùn)算能力.2.集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】分析：根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點(diǎn)個(gè)數(shù).詳解：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以共有9個(gè)，選A.點(diǎn)睛：此題考察集合與元素關(guān)系，點(diǎn)與圓位置關(guān)系，考察學(xué)生對概念理解與識別.3.函數(shù)的圖像大致為A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路〔1〕由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．4.向量，滿足，，則A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因?yàn)樗赃xB.點(diǎn)睛：向量加減乘：5.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點(diǎn)睛：雙曲線方程求漸近線方程：.6.在中，，，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因?yàn)樗?，選A.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而到達(dá)解決問題的目的.7.為計(jì)算，設(shè)計(jì)了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此累加量為隔項(xiàng).詳解：由得程序框圖先對奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此在空白框中應(yīng)填入，選B.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考察，側(cè)重于對流程圖循環(huán)構(gòu)造的考察.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇構(gòu)造、循環(huán)構(gòu)造、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).8.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和〞，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先確定不超過30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)椋噪S機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點(diǎn)睛：古典概型中根本領(lǐng)件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的根本領(lǐng)件的探求.對于根本領(lǐng)件有“有序〞與“無序〞區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素根本領(lǐng)件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.9.在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破〞：第一，破“建系關(guān)〞，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)〞，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)〞，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)〞.10.假設(shè)在是減函數(shù)，則的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值詳解：因?yàn)?，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.11.是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．假設(shè)，則A.B.0C.2D.50【答案】C【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考察求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)展變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．12.，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因?yàn)闉榈妊切危?，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建設(shè)關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】分析：先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.詳解：點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線〞與“在點(diǎn)P處的切線〞的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).14.假設(shè)滿足約束條件則的最大值為__________．【答案】9【解析】分析：先作可行域，再平移直線，確定目標(biāo)函數(shù)最大值的取法.詳解：作可行域，則直線過點(diǎn)A(5,4)時(shí)取最大值9.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)展比照，防止出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.15.，，則__________．【答案】【解析】分析：先根據(jù)條件解出再根據(jù)兩角和正弦公式化簡求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，，所以，因此點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的三種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將式求得的函數(shù)值代入，從而到達(dá)解題的目的.(3)給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值〞，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.16.圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，假設(shè)的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．【答案】【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為點(diǎn)睛：此題考察線面角，圓錐的側(cè)面積，三角形面積等知識點(diǎn)，考察學(xué)生空間想象與運(yùn)算能力三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。〔一〕必考題：共60分。17.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．〔1〕求的通項(xiàng)公式；〔2〕求，并求的最小值．【答案】〔1〕an=2n–9，〔2〕Sn=n2–8n，最小值為–16．【解析】分析：〔1〕根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，〔2〕根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：〔1〕設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．〔2〕由〔1〕得Sn=n2–8n=〔n–4〕2–16．所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.18.以以以下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境根基設(shè)施投資額〔單位：億元〕的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境根基設(shè)施投資額，建設(shè)了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)〔時(shí)間變量的值依次為〕建設(shè)模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)〔時(shí)間變量的值依次為〕建設(shè)模型②：．〔1〕分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境根基設(shè)施投資額的預(yù)測值；〔2〕你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠并說明理由．【答案】〔1〕利用模型①預(yù)測值為226.1，利用模型②預(yù)測值為256.5，〔2〕利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．【解析】分析：〔1〕兩個(gè)回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2018時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果，〔2〕根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個(gè)有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預(yù)測.詳解：〔1〕利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境根基設(shè)施投資額的預(yù)測值為=–30.4+13.5×19=226.1〔億元〕．利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境根基設(shè)施投資額的預(yù)測值為=99+17.5×9=256.5〔億元〕．〔2〕利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．理由如下：〔i〕從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建設(shè)的線性模型①不能很好地描述環(huán)境根基設(shè)施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境根基設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開場環(huán)境根基設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建設(shè)的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境根基設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．〔ii〕從計(jì)算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境根基設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比照合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．點(diǎn)睛：假設(shè)回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)測值；假設(shè)回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點(diǎn)求參數(shù).19.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．〔1〕求的方程；〔2〕求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【答案】(1)y=x–1,(2)或．【解析】分析：(1)根據(jù)拋物線定義得，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代入求出斜率，即得直線的方程；〔2〕先求AB中垂線方程，即得圓心坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)圓心到準(zhǔn)線距離等于半徑得等量關(guān)系，解方程組可得圓心坐標(biāo)以及半徑，最后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.詳解：〔1〕由題意得F〔1，0〕，l的方程為y=k〔x–1〕〔k>0〕．設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由得．，故．所以．由題設(shè)知，解得k=–1〔舍去〕，k=1．因此l的方程為y=x–1．〔2〕由〔1〕得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為〔3，2〕，所以AB的垂直平分線方程為，即．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為〔x0，y0〕，則解得或因此所求圓的方程為或．點(diǎn)睛：確定圓的方程方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法①假設(shè)條件與圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值；②假設(shè)條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值．20.如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．〔1〕證明：平面；〔2〕假設(shè)點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】分析：(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，(2)根據(jù)條件建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.詳解：〔1〕因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且.連結(jié).因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，且?由知.由知平面.〔2〕如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系.由得取平面的法向量.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為.由得，可取，所以.由得.所以.解得〔舍去〕，.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破〞：第一，破“建系關(guān)〞，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)〞，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)〞，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)〞.21.函數(shù)．〔1〕假設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；〔2〕假設(shè)在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．【答案】〔1〕見解析〔2〕詳解：〔1〕當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．〔2〕設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．〔i〕當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；〔ii〕當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①假設(shè)，即，在沒有零點(diǎn)；②假設(shè)，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③假設(shè)，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由〔1〕知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)別離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕.〔1〕求和的直角坐標(biāo)方程；〔2〕假設(shè)曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率．【答案】〔1〕當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為．〔2〕【解析】分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，此時(shí)要注意分與兩種情況.(2