第18章平行四邊形小結(jié)課（第1課時(shí)）初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊1.平行四邊形的定義定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.ABCD表示方法如圖所示，平行四邊形用“”表示，平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.知識(shí)梳理2.平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)1平行四邊形的對邊相等.性質(zhì)2平行四邊形的對角相等.性質(zhì)3平行四邊形的對角線互相平分.ABCDO3.平行四邊形的判定平行四邊形的判定1（定義法）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定2

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定3兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定5一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.4.

兩條平行線之間的距離兩條平行線之間的距離

兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.abA┐B5.三角形的中位線及其定理定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.ABCDE1.已知平行四邊形ABCD中，∠A=60?，則∠B，∠C，∠D的度數(shù)分別是（）.60?，120?，120?B.120?，120?，60?C.120?，100?，80?D.120?，60?，120?D重難點(diǎn)1：平行四邊形的性質(zhì)重點(diǎn)解析平行四邊形的對角相等.2.已知平行四邊形ABCD中，AB=7，AD=4，AE平分∠BAD，則EC的長為（）.4B.7C.3D.11DABCEC解析：∵平行四邊形ABCD中，AB=7，AD=4,DABCE∴AB//CD，CD=AB=7,∵AE平分∠BAD,

∴∠DEA=∠BAE.

∴∠DEA=∠DAE,∴

EC=CDDE=74=3.

∴DE=AD=4,∴∠DAE=∠BAE.

1.四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD.從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有（）.A.3種B.4種C.5種D.6種B重難點(diǎn)2：平行四邊形的判定重點(diǎn)解析（1）①②得一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（2）①③得△AOD≌△COB，則有AD=BC.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（3）①④得△AOD≌△COB，則有AD=BC.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（4）②③不能得出四邊形是平行四邊形.（5）②④不能得出四邊形是平行四邊形.（6）③④得兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.2.已知：平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，求證：BE=DF.ABCDEF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD//BC.∵點(diǎn)E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn).

∴四邊形BFDE是平行四邊形，BE=DF.（1）如果EF=5，那么BC=

；如果AB=12，那么DF=

；如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn).（2）如果∠A=35?，那么∠DFC=

；如果∠CDF=55?，那么∠B=

；ABCEFD10655?35?重難點(diǎn)3：三角形的中位線重點(diǎn)解析∴AB=AF，BD=DF，又E是BC的中點(diǎn)，

F∴ED是△BCF的中位線，技巧點(diǎn)撥：構(gòu)造三角形的中位線解決問題中位線具有平移角度、倍分轉(zhuǎn)化的功能.當(dāng)已知條件中有中點(diǎn)時(shí)，常取某一邊的中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線，或延長某線段，構(gòu)造中點(diǎn)，運(yùn)用三角形的中位線定理解決問題.3.已知：如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，以AC為一邊向外作等邊△ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DE.（1）求證：DE//CB.（2）當(dāng)AC和AB滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形？ABCDE證明：（1）連接CE,ABCDE∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),

∵△ACD是等邊三角形,∴AD=CD,

∵在△ADE和△CDE中

，AD=CD，DE=DE，AE=CE,∴△ADE≌△CDE（SSS），∵∠DCB=150?,∴∠EDC+∠DCB=180?,∴DE//CB.∴∠ADE=∠CDE=30?.

ABCDE

∴∠B=30?.∵∠DCB=150?,∴∠B+∠DCB=180?,∴DC//BE.又∵DE//CB,∴四邊形DCBE是平行四邊形.4.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，且AD=9cm，BC=6cm，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P,Q出發(fā)幾秒后直線PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形？分析：兩種情況討論：構(gòu)成平行四邊形APQB時(shí)，BQ=AP；構(gòu)成平行四邊形CQPD時(shí)，CQ=PD.解：設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.依據(jù)題意有CQ=2tcm，BQ=(62t)cm，AP=tcm，PD=(9t)cm.（1）當(dāng)BQ=AP時(shí)，四邊形APQB是平行四邊形，即62t=t，解得t=2.分兩種情況討論：（2）當(dāng)CQ=PD時(shí)，四邊形CQPD是平行四邊形，即2t=9t，解得t=3.所以當(dāng)點(diǎn)P,Q出發(fā)2s或3s后，直線PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形.本題由于受圖形的影響，容易漏掉（2）的情形..動(dòng)點(diǎn)問題的求解方法解決動(dòng)點(diǎn)問題的基本思路就是變“動(dòng)”為“靜”，要用“靜”去理解“動(dòng)”.在動(dòng)態(tài)問題中判斷平行四邊形，可根據(jù)已知的一個(gè)條件，去找另外一個(gè)條件，同時(shí)要注意分類討論.第18章平行四邊形小結(jié)課（第2課時(shí)）初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊一、矩形1.定義和性質(zhì)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.特殊性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角；②對角線相等；③軸對稱圖形.直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.知識(shí)梳理2.判定判定1（定義法）：

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.判定2：

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.判定3：

對角線相等的平行四邊形是矩形.二、菱形1.定義、性質(zhì)、面積定義：

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.特殊性質(zhì)：①四條邊都相等；②對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；③軸對稱圖形.面積：①菱形的面積=底×高；②菱形的面積=對角線長的乘積的一半.2.判定判定1（定義法）：

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.判定2

：

四條邊相等的四邊形是菱形.判定3

：

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.三、正方形1.定義和性質(zhì)定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.特殊性質(zhì)：①對邊平行，四邊相等；②四個(gè)角都是直角；③兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；④軸對稱圖形.判定1：對角線互相垂直的矩形是正方形.判定2：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.判定3：對角線相等的菱形是正方形.判定4：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.2.判定四邊形平行四邊形正方形菱形矩形四條邊都相等兩組對邊分別平行(或兩組對邊分別相等或一組對邊平行且相等)兩條對角線互相平分有一組鄰邊相等(或?qū)蔷€互相垂直)有一個(gè)角是直角(或?qū)蔷€相等)兩組對角分別相等有一個(gè)角是直角(或?qū)蔷€相等)有一組鄰邊相等(或?qū)蔷€互相垂直)有三個(gè)角是直角1.如果矩形ABCD的對角線AC=10，一邊AB=6，則它的另一邊BC及周長是多少？ABCD解：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90?.

四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=6+8+6+8=28.重難點(diǎn)1：矩形的性質(zhì)及判定重點(diǎn)解析2.已知矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH為矩形.ABCDEFGHO證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO.∵AE=BF=CG=DH，OE=OAAE，OF=OBBF，

OG=OCCG，OH=ODDH,∴OE=OF=OG=OH,∴四邊形EFGH是矩形.ABCDEFGHO

DDABCO重難點(diǎn)2：菱形的性質(zhì)及判定重點(diǎn)解析

∵AC+BD=6，∴AO+BO=3,

DABCO2.如圖，在三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D,E,F分別是三角形ABC三邊的中點(diǎn).求證：四邊形ADEF是菱形.證明：∵點(diǎn)D,E,F分別是三角形ABC三邊的中點(diǎn),

∴四邊形ADEF是平行四邊形.∵AB=AC

,

∴四邊形ADEF是菱形.ABCDEF∴DE=EF,1.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，BE=CF，則圖中與∠AEB相等的角的個(gè)數(shù)是（）.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

CABCDFE△ABE≌△BCF，AD//BC，AB//CD∠AEB=∠BFC=∠DAE=∠ABF重難點(diǎn)3：正方形的性質(zhì)及判定重點(diǎn)解析2.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90?，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選擇兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（）.ABCDBA.①②B.②③C.①③D.②④②③只能判斷四邊形ABCD為矩形1.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF.（1）線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說明理由.DABCEF深化練習(xí)解：（1）BD=CD.∵AF//CB,∴∠AFE=∠DCE.

∵E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE.

∵在△AEF和△DEC中

，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE,∴△AEF≌△DEC（AAS）,∴AF=CD.∵AF=BD,∴BD=CD.DABCEF（2）當(dāng)△ABC滿足AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形.∵AF//BD，AF=BD,∴四邊形AFBD是平行四邊形.∵AB=AC，BD=CD,∴∠ADB=90?,∴四邊形AFBD是矩形.DABCEF2.如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點(diǎn)，連接AE，CF.求證：四邊形AECF是矩形.分析：根據(jù)題意可知四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”進(jìn)行證明.ABCDFE證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD//BC，AD=BC，AB=BC.∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形.∵E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點(diǎn),

∴AF//EC，AF=EC,∴四邊形AECF是平行四邊形.∵∠AEC=90?,∴四邊形AECF是矩形.

ABCDFE3.如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60?，折疊菱形紙片ABCD，使點(diǎn)C落在DP（P為AB的中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過點(diǎn)D的折痕DE，則∠DEC的度數(shù)為（）.78?B.75?C.60?D.45?B解析：如圖，連接BD.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB.∵∠A=60?，∴△DAB為等邊三角形.

∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∴DP⊥AB.∵DC//AB

，∴∠PDC=∠DPA=90?.∵△DEC'是△DEC沿DE折疊得到的,

在△DEC中，∠DEC=180?∠CDE∠C=75?.從主要條件入手找解法在解決與菱形有關(guān)的問題時(shí)，主要考慮其“邊”的性質(zhì)和“對角線”的性質(zhì)，因?yàn)楸绢}中沒有對角線，所以應(yīng)考慮其“邊”的性質(zhì)，即菱形的四邊相等，又因?yàn)閳D中有60°的角，所以可考慮構(gòu)造等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.4.如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交BC于點(diǎn)F.（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，求證：四邊形EBFD是菱形.ABCDEFO（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC.∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC,∴∠ABE=∠CDF.∵∠A=∠C，AB=CD，∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF（ASA）.ABCDEFO（2）證明：∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD//BC，AD=BC,∴DE//BF，DE=BF,∴四邊形EBFD是平行四邊形.∵BD⊥EF,∴四邊形EBFD是菱形.ABCDEFO5.在矩形ABCD中，AD=2CD，E是AD的中點(diǎn)，BF//CE，CF//BE.求證：四邊形BECF是正方形.

證明：∵BF//CE，CF//BE,ABCDEF∴

四邊形BECF是平行四邊形.∵在矩形ABCD中，AD=2CD，E是AD的中點(diǎn)