添加輔助線專題復習人教版八年級下冊數學期末復習1.如圖，順次連接四邊形ABCD各邊的中點.求證：所得的中點四邊形EFGH是平行四邊形.

∵點E，H是中點，

∴四邊形EFGH是平行四邊形.∴EH

FG. ∴EH

BD.同理FG

BD，

證明：如圖，連接BD，

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為邊AD的中點，過點C作AB的垂線交AB于點E.求證：EM＝MC.∴∠QAM＝∠CDM.∴△QAM≌△CDM(ASA).∴QM＝CM.∵∠QEC＝90°，∴EM＝MC.證明：如圖，延長BA，CM交于點Q.∵AM＝MD，∠QMA＝∠CMD，且QB∥CD，3.如圖，在四邊形ABCD中，點M，N分別是AD，BC的中點.若AB＝10，CD＝8，求MN長度的取值范圍.∴ME＝5，NE＝4，∴ME－NE＜MN＜ME＋NE∴1＜MN＜9.則ME

AB，NE

DC，解：如圖，取BD的中點E，連接EM，EN，4.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，且∠B＝2∠D，AB＝3，BC＝5，求CD的長.∴∠D＝∠ABE.∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC.∵∠ABC＝2∠D，∴∠CBE＝∠BEC.∴CE＝CB＝5.∵四邊形ADEB為平行四邊形，∴AB＝DE＝3.∴CD＝DE＋CE＝3＋5＝8.解：如圖，作BE∥AD，則四邊形ADEB是平行四邊形.5.如圖，在△ABC中，點D為邊BC的中點，AB＝5，AD＝6，AC＝13.求證：AB⊥AD.解：如圖，延長AD至點F，使得AD＝DF，再連接CF，BF，∵D為BC的中點，∴CD＝BD.∴四邊形ABFC為平行四邊形.∴AF＝2AD＝12，BF＝AC＝13.∴AB2＝25，AF2＝144，BF2＝169.∴AB2＋AF2＝BF2.∴∠BAF＝90°.∴AB⊥AD.6.如圖，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，點E為BC的中點，求DE的長.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.∵AD＝AD，∴△ABD≌△AFD(ASA).∴AF＝AB＝6，BD＝DF.∴FC＝4.∵點D，E分別為BF，BC的中點，∴DE＝

CF，∴DE＝2.解：如圖，延長BD交AC于點F.7.如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，點M，N分別為AC，BC上的點，且DM⊥DN.(1)求證：CM＋CN＝BD；∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，AC＝BC，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∠A＝∠DCB＝45°.∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.又∵∠MDC＋∠ADM＝90°，∴∠ADM＝∠CDN.∴△AMD≌△CND(ASA).∴CN＝AM.∴CM＋CN＝AC＝

BA＝

BD＝BD；(1)證明：如圖1，連接CD.(2)如圖2，若點M，N分別在AC，CB的延長線上，探究CM，CN，BD之間的數量關系.∠CDM＝∠BDN，CD＝BD，∠DCM＝∠DBN，則△CDM≌△BDN(ASA).如圖2，連接CD，∴CM＝BN.∴CN－CM＝CN－BN＝CB＝BD.(2)解：CN－CM＝BD.證明如下：8.如圖，在△ABC中，點M為BC的中點，AD為△ABC的外角平分線，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，求DM的長.∵AD是△ABC的外角平分線，∴∠FAD＝∠BAD.∵AD⊥BD，∴∠ADF＝∠ADB.∵AD＝AD，∴△FDA≌△BDA(ASA).∴AF＝AB＝12，DF＝BD.∵M是BC的中點，∴CF＝12＋18＝30.∴DM＝

FC＝15.解：如圖，延長CA，交BD的延長線于點F.9.如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是BC上的任意一點.求證：BD2＋CD2＝2AD2.如圖，作AE⊥BC交BC于點E.∴BD2＋CD2＝2AD2.設BD＝b，AB＝a，則BE＝AE＝

，DE＝

－b.∴AD2＝AE2＋DE2＝

＝a2＋b2－ab，BD2＋CD2＝b2＋

＝2b2＋2a2－2ab.證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．∴ED

BC，MN

BC. 證明：(1)如圖，連接ED，MN. 10.如圖，BD，CE分別為△ABC的中線，BD，CE交于點G，點M，N分別是BG，CG的中點.求證：(1)EM∥DN；∵E，D，M，N均是中點，

∴ED是△ABC的中位線，MN是△BGC的中位線.

∴四邊形DEMN是平行四邊形.∴EM∥DN；∴ED

MN. (2)CG＝2EG. 證明：(2)由(1)知四邊形DEMN是平行四邊形，∴EG＝GN. 又∵CG＝2GN，∴CG＝2EG. 11.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D，F分別在線段BC，AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC. (1)求證：四邊形EFCD是平行四邊形；

(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠EFB＝60°，

∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥DC，

∵EF＝DC，

∴四邊形EFCD是平行四邊形；

(2)解：如圖，連接BE，(2)連接BE，若BE＝EF，AD＝6，求AE的長度.∵BE＝EF，∠EFB＝60°，

∴△EFB是等邊三角形，∴∠FBE＝60°，

∵DC＝EF，∴EB＝DC，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，AB＝AC，∴∠ABE＝∠ACD，∴△AEB≌△ADC(SAS)，∴AE＝AD＝6. 在△AEB和△ADC中，12.如圖，已知在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E. (1)求證：BE＝CD；

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，

∴BE＝CD；

證明：(2)如圖，連接AC，DE.(2)若BF恰好平分∠ABE，連接AC，DE.求證：四邊形ACED是平行四邊形.

∵BE＝AB，BF平分∠ABE，

∴△ADF≌△ECF(ASA)，∴DF＝CF，

又∵AF＝EF，∴四邊形ACED是平行四邊形.

∴AF＝EF，在△ADF和△ECF中，13.如圖，用兩張等寬且對邊平行的紙條交叉重疊地放在一起，重合的四邊形ABCD是一個菱形嗎？為什么？

如圖，過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AE⊥CD于點E.解：四邊形ABCD是菱形.理由如下：

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∴∠ABF＝∠ADE. ∴△ABF≌△ADE(AAS).∴AB＝AD. ∴?ABCD是菱形.

在△ABF和△ADE中，14.如圖，ABCD是一塊正方形場地，小華和小芳在AB邊上取定了一點E，測量知，EC＝30m,EB＝10m.這塊場地的面積和對角線長分別是多少？解：如圖，連接AC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B＝90°，AB＝BC.

∵EC＝30m，EB＝10m，

答：這塊場地的面積為800m2，對角線長為40m.∴BC＝(m).

∴AB＝BC＝20m.

∴S正方形ABCD＝AB·BC＝20×20＝800(m2).

正方形的對角線長為＝40(m).15.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點，連接OE，AE，過點C作CF∥BD交OE的延長線于點F，連接DF.

(1)求證：四邊形OCFD是矩形；

(1)證明：∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE. ∵E是CD中點，∴CE＝DE. ∴△ODE≌△FCE(ASA).∴OE＝FE. ∴四邊形OCFD是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°. ∴四邊形OCFD是矩形；在△ODE和△FCE中，

(2)若DF＝2，CF＝3，求AE的長.

(2)解：如圖，過點E作EG⊥AC于點G，

∵DF＝2，

∴OA＝OC＝DF＝2.∴OG＝1.∴AG＝OA＋OG＝3.

在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，

則EG＝

CF＝

×3＝

，OG＝

OC.即AE2＝32＋

，解得AE＝

(負值已舍去).

∴AE的長為

.16.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上任意一點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的角平分線CF于點F