章末總結(jié)一、解決天體運(yùn)動(dòng)問題的思路解決天體運(yùn)動(dòng)的基本思路(1)將天體運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．(2)萬有引力提供向心力，根據(jù)已知條件靈活選擇合適的表達(dá)式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r.(3)關(guān)于地球衛(wèi)星的問題，有時(shí)還會(huì)應(yīng)用GM＝gR2做代換．例1我國成功發(fā)射探月衛(wèi)星“嫦娥三號(hào)”，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t，月球半徑為R0，月球表面處重力加速度為g0.(1)請(qǐng)推導(dǎo)出“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；(2)已知地球和月球的半徑之比為eq\f(R,R0)＝4，表面重力加速度之比為eq\f(g,g0)＝6，試求地球和月球的密度之比．答案(1)eq\r(3,\f(g0R\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0(2)3∶2解析(1)由題意知，“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星的周期為T＝eq\f(t,n)設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬有引力提供向心力得：Geq\f(Mm,R0＋h2)＝m(R0＋h)(eq\f(2π,T))2又：Geq\f(Mm′,R\o\al(2,0))＝m′g0聯(lián)立解得：h＝eq\r(3,\f(g0R\o\al(2,0)t2,4π2n2))－R0(2)設(shè)星球的密度為ρ，由Geq\f(Mm′,R2)＝m′g得GM＝gR2ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)聯(lián)立解得：ρ＝eq\f(3g,4πGR)設(shè)地球、月球的密度分別為ρ0、ρ1，則：eq\f(ρ0,ρ1)＝eq\f(g·R0,g0·R)將eq\f(R,R0)＝4，eq\f(g,g0)＝6代入上式，解得ρ0∶ρ1＝3∶2例2如圖1所示，A是地球的同步衛(wèi)星，另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地球表面的高度為h，已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．圖1(1)求衛(wèi)星B的運(yùn)行周期．(2)如果衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(O、A、B在同一直線上)，則至少經(jīng)過多長時(shí)間，它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱看鸢?1)2πeq\r(\f(R＋h3,gR2))(2)eq\f(2π,\r(\f(gR2,R＋h3))－ω0)解析(1)由萬有引力定律和牛頓第二定律得Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,B))(R＋h)①Geq\f(Mm,R2)＝mg②聯(lián)立①②解得TB＝2πeq\r(\f(R＋h3,gR2)) ③(2)由題意得(ωB－ω0)t＝2π ④由③得ωB＝eq\r(\f(gR2,R＋h3)) ⑤代入④得t＝eq\f(2π,\r(\f(gR2,R＋h3))－ω0).二、人造衛(wèi)星穩(wěn)定運(yùn)行量、各運(yùn)動(dòng)參量的分析由eq\f(GMm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，即隨著軌道半徑的增大，衛(wèi)星的向心加速度、線速度、角速度均減小，周期增大．例3太陽系八大行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道可粗略地認(rèn)為是圓，各行星的半徑、日星距離和質(zhì)量如下表所示：行星名稱星球半徑/106m日星距離/1011m質(zhì)量/1024kg水星2.440.580.33金星6.051.084.87地球6.381.506.00火星3.402.280.64木星71.47.781900土星60.2714.29569天王星25.5628.7186.8海王星24.7545.04102則根據(jù)所學(xué)的知識(shí)可以判斷下列說法中正確的是()A．太陽系的八大行星中，海王星的圓周運(yùn)動(dòng)速率最大B．太陽系的八大行星中，水星的圓周運(yùn)動(dòng)周期最大C．若已知地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，萬有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，再利用地球和太陽間的距離，則可以求出太陽的質(zhì)量D．若已知萬有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，并忽略地球的自轉(zhuǎn)，利用地球的半徑以及地球表面的重力加速度g＝10m/s2，則可以求出太陽的質(zhì)量答案C解析設(shè)太陽的質(zhì)量為M，行星的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，運(yùn)動(dòng)周期為T，線速度為v.由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝m(eq\f(2π,T))2r，知v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，則行星的軌道半徑越大，周期越大，線速度越?。院Ｍ跣侵芷谧畲?，水星線速度最大，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期T，軌道半徑R，可知Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，解得太陽質(zhì)量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，選項(xiàng)C正確；同時(shí)看出地球的重力加速度與太陽質(zhì)量無關(guān)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.針對(duì)訓(xùn)練澳大利亞科學(xué)家近日宣布，在離地球約14光年的紅矮星wolf1061周圍發(fā)現(xiàn)了三顆行星b、c、d，它們的公轉(zhuǎn)周期分別是5天、18天、67天，公轉(zhuǎn)軌道可視為圓，如圖2所示．已知萬有引力常量為G.下列說法不正確的是()圖2A．可求出b、c的公轉(zhuǎn)半徑之比B．可求出c、d的向心加速度之比C．若已知c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出紅矮星的質(zhì)量D．若已知c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出紅矮星的密度答案D解析行星b、c的周期分別為5天、18天，均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第三定律公式eq\f(r3,T2)＝k，可以求解出軌道半徑之比，選項(xiàng)A正確；根據(jù)萬有引力等于向心力列式，對(duì)行星c、d，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，故可以求解出c、d的向心加速度之比，選項(xiàng)B正確；已知c的公轉(zhuǎn)半徑和周期，根據(jù)牛頓第二定律，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可以求解出紅矮星的質(zhì)量，但不知道紅矮星的體積，故無法求解紅矮星的密度，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．三、人造衛(wèi)星的發(fā)射、變軌與對(duì)接1．發(fā)射問題要發(fā)射人造衛(wèi)星，動(dòng)力裝置在地面處要給衛(wèi)星一很大的發(fā)射初速度，且發(fā)射速度v＞v1＝7.9km/s，人造衛(wèi)星做離開地球的運(yùn)動(dòng)；當(dāng)人造衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道區(qū)域后，再調(diào)整速度，使F引＝F向，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，從而使衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道．2．變軌問題如圖3所示，一般先把衛(wèi)星發(fā)射到較低軌道1上，然后在P點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星加速，讓衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入軌道2，到達(dá)Q點(diǎn)后，再使衛(wèi)星加速，進(jìn)入預(yù)定軌道3.回收過程：與發(fā)射過程相反，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，使衛(wèi)星減速，衛(wèi)星由軌道3進(jìn)入軌道2，當(dāng)?shù)竭_(dá)P點(diǎn)時(shí)，再讓衛(wèi)星減速進(jìn)入軌道1，再減速到達(dá)地面．圖33．對(duì)接問題如圖4所示，飛船首先在比空間站低的軌道運(yùn)行，當(dāng)運(yùn)行到適當(dāng)位置時(shí)，再加速運(yùn)行到一個(gè)橢圓軌道．通過控制使飛船跟空間站恰好同時(shí)運(yùn)行到兩軌道的相切點(diǎn)，便可實(shí)現(xiàn)對(duì)接．圖4例4(多選)2016年中國發(fā)射了“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室和“神舟十一號(hào)”載人飛船.2017年4月中國發(fā)射的“天舟一號(hào)”貨運(yùn)飛船與“天宮二號(hào)”交會(huì)對(duì)接．長征運(yùn)載火箭將天宮二號(hào)送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，B點(diǎn)距離地面的高度為h，地球的中心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．“天宮二號(hào)”飛行幾周后進(jìn)行變軌進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖5所示．已知“天宮二號(hào)”在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，引力常量為G，地球半徑為R.則下列說法正確的是()圖5A．“天宮二號(hào)”從B點(diǎn)沿橢圓軌道向A點(diǎn)運(yùn)行的過程中，引力為動(dòng)力B．“天宮二號(hào)”在橢圓軌道的B點(diǎn)的向心加速度大于在預(yù)定圓軌道上B點(diǎn)的向心加速度C．“天宮二號(hào)”在橢圓軌道的B點(diǎn)的速度大于在預(yù)定圓軌道上的B點(diǎn)的速度D．根據(jù)題目所給信息，可以計(jì)算出地球質(zhì)量答案AD解析“天宮二號(hào)”從B點(diǎn)沿橢圓軌道向A點(diǎn)運(yùn)行的過程中，速度在變大，故受到的地球引力為動(dòng)力，所以A正確．在B點(diǎn)“天宮二號(hào)”的向心加速度都是由萬有引力產(chǎn)生的，因?yàn)橥贐點(diǎn)萬有引力大小相等，故不管在哪個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)時(shí)萬有引力產(chǎn)生的向心加速度大小相等，故B錯(cuò)誤．“天宮二號(hào)”在橢圓軌道的B點(diǎn)加速后做離心運(yùn)動(dòng)才能進(jìn)入預(yù)定圓軌道，