2025年長沙市初中學(xué)業(yè)考試試卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1．答題前，請考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考

證號、考室和座位號：

2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；

3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；

4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；

5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6．本學(xué)科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題

意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學(xué)家已經(jīng)探明一年之中地球與太陽之間的距離隨時間變化而變

化，地球與太陽之間的平均距離約為149600000km，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)149600000表示為（）

A.1.496109B.1.496108C.1.496107D.14.96107

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中

1a10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點

移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值1時，n是負(fù)數(shù)．熟記相關(guān)結(jié)論即可．

【詳解】解：∵1496000001.496108，

故選：B．

2.下圖是由五個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查三視圖，左視圖即為從左面看到的圖形，據(jù)此即可解答．

【詳解】解：它的左視圖是．

故選：A．

3.在實際生活中，常用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量．如果把向東走80米記作80米，那么向西走

60米記作（）

A.60米B.80米C.90米D.60米

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)表示相反意義的量．根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，向東記為正數(shù)，則向西記為

負(fù)數(shù)，據(jù)此即可求解．

【詳解】解：將向東走80米記作80米，說明“向東”為正方向，與之相反的“向西”應(yīng)為負(fù)方向．因此，

向西走60米應(yīng)記作60米．

故選：A．

4.下列運算正確的是（）

A.2aa22a3B.6a2ba6b

7

C.aba7b7D.19613

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了整式的運算和二次根式的加法運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．

【詳解】解：A：2a與a2不是同類項，無法合并，故A錯誤；

B：6a2ba中，6a2b與a的字母部分不同，無法合并，故B錯誤；

7

C：根據(jù)積的乘方法則，ab=a7b7，等式成立，故C正確；

D：19、6、13均非同類二次根式，無法直接相減，故D錯誤；

故選：C

5.2020年，我國承諾，力爭于2030年前實現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年前實現(xiàn)“碳中和”．倡導(dǎo)低碳生活是每

個公民的社會責(zé)任．某班環(huán)保小組為了解同學(xué)們?nèi)ツ旮髯约彝ピ缕骄疤甲阚E”的情況，收集了本組8名

同學(xué)的家庭月平均用電產(chǎn)生的耗碳量（單位：千克）數(shù)據(jù)，依次為：76，78，77，79，78，75，78，80．則這組數(shù)

據(jù)的眾數(shù)是（）

A.77B.78C.79D.80

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了眾數(shù)的求解，根據(jù)眾數(shù)的定義，即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計各數(shù)值出現(xiàn)

的次數(shù)即可求解；

【詳解】解：∵78出現(xiàn)的次數(shù)最多（3次），

∴眾數(shù)為78，

故選：B

6.智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機器人．某品牌智能機器人的一個機械手平均每分鐘采摘10個蘋果．若該機器人

搭載m個機械手（m1），則該機器人平均每分鐘采摘的蘋果個數(shù)為（）

A.6mB.m10C.60mD.10m

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，每個機械手每分鐘采摘10個蘋果，m個機械手同時工作時，總采摘數(shù)

為每個機械手的效率之和．

【詳解】解：當(dāng)機器人搭載m個機械手時，總效率為每個機械手效率的累加，即：總采摘數(shù)10m10m，

故選：D．

7.如圖，AB∥CD，直線EF與直線AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，直線EG與直線CD交于點G．若∠170，

250，則GEF的度數(shù)為（）

A.50B.60C.65D.70

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角的和差．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AEG250，進而根據(jù)角的和

差即可求解．

【詳解】解：∵AB∥CD，

∴AEG250，

∵∠170，

∴GEF1801AEG180705060．

故選：B

8.如圖，AC，BC為O的弦，連接OA，OB，OC．若AOB40,OCA30，則BCO的

度數(shù)為（）

A.40B.45C.50D.55

【答案】C

【解析】

1

【分析】該題考查了圓周角定理，根據(jù)同弧所對圓周角等于圓心角的一半得出ACBAOB20，

2

即可求解．

【詳解】解：∵AOB40,OCA30，

1

∴ACBAOB20，

2

∴BCOOCAACB302050，

故選：C．

9.如圖，將VABC沿折痕AD折疊，使點B落在AC邊上的點E處，若AB4,BC5,AC6，則CDE

的周長為（）

A.5B.6C.6.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)得到AEAB4，DEDB，從而

，從而CCECDDECECB即可解答．

CEACAE2CDE

【詳解】解：由折疊可得AEAB4，DEDB，

∴CEACAE642，

∴．

CCDECECDDECECDDBCECB257

故選：D．

10.中國式現(xiàn)代化取得了彪炳史冊的偉大成就，極大地提升了我國的綜合國力與國際影響力．據(jù)世界銀行公

布的2024年各國GDP數(shù)據(jù)，可知2024年中國GDP總量為18.53萬億美元．

附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國家數(shù)據(jù)表

國家GDP總量（單位：萬億美元）國家GDP總量（單位：萬億美元）

德國4.59巴西2.33

印度3.93俄羅斯2.05

英國3.49韓國1.76

法國3.13瑞士0.93

預(yù)計2025年中國GDP總量的增長率為5%左右，請你根據(jù)以上信息估算：

2025年中國GDP的增．長．量．與下列哪個國家2024年GDP總量最接近？（）

A.法國B.瑞士C.巴西D.英國

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，計算2025年中國GDP的增長量即可求解；

【詳解】解：2025年中國GDP的增長量為：18.535%18.530.050.9265萬億美元．

∴瑞士的GDP總量0.93萬億美元與增長量0.9265萬億美元最接近；

故選：B

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：mx2my______．

【答案】mx2y

【解析】

【分析】本題考查了提公因式法分解因式，注意計算的準(zhǔn)確性即可；

【詳解】解：mx2mymx2y，

故答案為：mx2y

12.為了解某校學(xué)生利用全國中小學(xué)智慧教育平臺輔助學(xué)習(xí)的情況，從該校全體3600名學(xué)生中，隨機調(diào)查

了100名學(xué)生，統(tǒng)計結(jié)果顯示僅有3名學(xué)生從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)．由此，估計該校全體學(xué)生中，從未

使用該平臺輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有______名．

【答案】108

【解析】

【分析】本題考查了由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量，計算出樣本中從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生所

占比例即可求解．

3

【詳解】解：∵3600108，

100

∴估計該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有108名．

故答案為：108．

32

13.分式方程的解為______．

x12x1

5

【答案】x

4

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化為整式方程，解整式方程求出未知數(shù)的值，再

把求出的值代入最簡公分母檢驗是否增根即可．

32

【詳解】解：，

x12x1

去分母得：32x12x1，

去括號得：6x32x2，

移項得：6x2x32，

合并同類項得：4x5，

5

系數(shù)化為1得：x，

4

5

檢驗：當(dāng)x時，

4

559627

可得：x12x11210，

44448

5

x是原分式方程的解．

4

5

故答案為：x．

4

14.如圖，AB為O的弦，OCAB于點C，連接OA，OB，若ABOA，AC3，則OA的長為______．

【答案】6

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形，由題意得VAOB是等邊三角形；得出OAC60，根據(jù)

AC

OA6即可求解．

cos60

【詳解】解：∵ABOA，OAOB，

∴ABOAOB，

∴VAOB是等邊三角形；

∴OAC60；

∵AC3，

AC

∴OA6，

cos60

故答案為：6．

15.如圖，五邊形ABCDE中，B120，C110，D105，則AE______°．

【答案】205

【解析】

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和求法，根據(jù)其公式解題即可．

【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和為180(n2)，

∴五邊形ABCDE的內(nèi)角和為180(52)540，

AE540BCD540120110105205，

故答案為：205．

16.衣服穿戴整不整齊，系好第一粒扣子很重要．青少年邁開人生第一步就要走正道，要嚴(yán)格遵守國家法律

法規(guī)．同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守數(shù)學(xué)中的基本法則．

例如：下面命題的推理過程所得出的錯誤結(jié)論就是由于不遵守數(shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的．

命題：如果a，b，c為實數(shù)，且滿足abc．那么21．

推理過程如下：

第一步：根據(jù)上述命題條件有abc；①

第二步：根據(jù)七年級學(xué)過的整式運算法則有a2aa,b2bb,c2cc；②

第三步：把②代入①，可得2aa2bb2cc；③

第四步：把③兩邊利用移項、去括號法則、加法交換律等，變形可得2abcabc；④

第五步：把④兩邊同時除以abc，得21．⑤

請你判斷上述推理過程中，第______步是錯誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則．

【答案】⑤

【解析】

【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論即可．

【詳解】解：∵等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，或是等式左右兩邊同時乘方，等式仍然成立．

∴對于等式2abcabc；

當(dāng)abc0時，該等式恒成立；

當(dāng)abc0，兩邊同時除以abc，得21；

∵abc，

∴abc0

∴上述推理過程中，第⑤步是錯誤的；

故答案為：⑤．

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，

第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟）

1

120

17.計算：2213π2028．

5

【答案】22

【解析】

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，注意計算的準(zhǔn)確性即可．

【詳解】解：原式22153122

12xx6,

18.解不等式組：

4x3x2.

【答案】7x2

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小

取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．

12xx6①

【詳解】解：

4x3x2②

解不等式①，得x7．

解不等式②，得x2．

∴不等式組的解集為7x2．

19.如圖，在VABC中，ABAC,B72，以點C為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交CA于點M，交CB

1

于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于

2

點D．

（1）求BCD的度數(shù)；

（2）若BC2.5，求AD的長．

【答案】（1）36

（2）AD2.5

【解析】

【分析】本題考查了角平分線、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論即可.

（1）由題意得ACBB72，根據(jù)CD是ACB的角平分線即可求解；

（2）求出BDC180BBCD72，得到CDCB；求出

ABDCACD723636．AACD．推出ADCD．即可求解；

【小問1詳解】

解：ABAC,B72，

ACBB72．

由作圖可知，CD是ACB的角平分線，

1

BCDACDACB36．

2

【小問2詳解】

解：在△BCD中，由三角形內(nèi)角和定理得BDC180BBCD72，

BDCB，

CDCB，

在ACD中，BDCAACD,ACD36，

ABDCACD723636．

AACD．

ADCD．

ADBC．

BC2.5，

AD2.5．

20.2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學(xué)閱讀教育論壇在長沙舉行．論壇聚焦美育與閱讀融合．為探

索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識競賽，競賽成績以等級式呈

現(xiàn)，隨機抽取了部分參賽學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，得到如下兩幅待完善的統(tǒng)計圖表．（A代表優(yōu)秀、B代表良

好、C代表一般、D代表合格．）

等頻

頻率

級數(shù)

A20m

B300.30

Cn0.44

D60.06

根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查隨機抽取了______名學(xué)生的成績；表中m______，n______；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“A等”所對應(yīng)的扇形的圓心角為______度；

（3）若該校八年級一班和二班恰好各有2名學(xué)生的參賽成績是“A等”，從這4名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)

生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級閱讀分享活動，請用列表法或樹狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好

來自同一個班級的概率．

【答案】（1）100；0.20；44

（2）72

1

（3）見解析，

3

【解析】

【分析】本題考查了頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)問題，以及概率問題，旨在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能

力．

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表求出總?cè)藬?shù)即可求解；

（2）根據(jù)A等級所占比例即可求解；

（3）畫出樹狀圖，確定可能出現(xiàn)的所有結(jié)果以及滿足條件的結(jié)果數(shù)，即可求解．

【小問1詳解】

解：由頻數(shù)分布表可得，總?cè)藬?shù)為：300.3100（人）；

20

∴m0.20，n1000.4444，

100

故答案為：100；0.20；44

【小問2詳解】

20

解：“A等”所對應(yīng)的扇形的圓心角為：36072，

100

故答案為：72

【小問3詳解】

解：記“選出的2名學(xué)生恰好來自同一個班級”為事件A，設(shè)一班的2名學(xué)生為甲和乙，二班的2名學(xué)生為

丙和丁，畫出樹狀圖：

一共有12種等可能的結(jié)果，其中事件A包含4種可能的結(jié)果．

41

PA．

123

21.如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BEDF．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）連接EF，若BC12，BE5，求EF的長．

【答案】（1）見解析（2）237

【解析】

【分析】該題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識

點．

（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB∥CD且ABCD．結(jié)合BEDF，得出AECF．結(jié)合

AE∥CF，即可證明四邊形AECF是平行四邊形．

（2）過點E作EHCD于點H．根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BC12，得出

CDBC12,BBCD90．結(jié)合EHC90，證出四邊形EBCH是矩形．得出

EBHC5,EHBC12．結(jié)合DFBE5，得出HF2．在Rt△EHF中，由勾股定理求出EF．

【小問1詳解】

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD且ABCD．

又BEDF，

ABBECDDF．

∴AE=CF．

又AE∥CF．

∴四邊形AECF是平行四邊形．

【小問2詳解】

解：過點E作EHCD于點H．

∵四邊形ABCD是正方形，BC12，

CDBC12,BBCD90．

又EHC90，

∴四邊形EBCH是矩形．

EBHC5,EHBC12．

又DFBE5，

HFCDDFCH12552．

在Rt△EHF中，由勾股定理得EFEH2FH212222148237．

22.為落實科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場需求，

該食品企業(yè)將收購的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級的農(nóng)產(chǎn)品對外銷售，已知銷售6千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和4

千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級農(nóng)產(chǎn)品共收入68元．（不考慮

加工損耗）

（1）求每千克A等級農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價分別為多少元？

（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購進6000千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對外銷售，要求總利潤不低于16000元，

則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品多少千克？

【答案】（1）A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為12元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為10元

（2）要求總利潤不低于16000元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品2000千克

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式在實際問題中的應(yīng)用，正確理解題意即可．

（1）設(shè)A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為x元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為y元，由題意得

6x4y112,

即可求解；

4x2y68.

（2）設(shè)需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品m千克，則需加工B等級農(nóng)產(chǎn)品6000m千克，由題意得

128m1086000m16000．即可求解；

【小問1詳解】

解：設(shè)A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為x元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為y元，

6x4y112,x12,

由題意得解得

4x2y68.y10.

答：A等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為12元，B等級農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價為10元．

【小問2詳解】

解：設(shè)需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品m千克，則需加工B等級農(nóng)產(chǎn)品6000m千克，

由題意得128m1086000m16000．

解得m2000，

答：要求總利潤不低于16000元，則至少需加工A等級農(nóng)產(chǎn)品2000千克．

23.如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a，b交于點M，景點A，B在道路a上，景點C在道路b上．為

了進一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會在道路b上又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點D．經(jīng)測得景點C位于景點B的

北偏東60方向上，位于景點A的北偏東30方向上，景點B位于景點D的南偏西45方向上．已知

AB800m．

（1）求ACB的度數(shù)；

（2）求景點C與景點D之間的距離．（結(jié)果保留根號）

【答案】（1）30

（2）12004003m

【解析】

【分析】本題主要考查了直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．

（1）由題意可得CBE60,CAF30,BDM45,BMDM，BE∥AF∥DM．從而得出

BCMCBE60,ACMCAF30，根據(jù)ACBBCMACM即可求解．

（2）根據(jù)CBE60，得出CBM30．由（1）得ACB30．則ABCACB30，

故ABAC800．在RtACM中，解直角三角形求出AM，CM，從而求出BM．再根據(jù)

BDM45,BMDM，求出DMBM1200，即可求解．

【小問1詳解】

解：如圖，由題意可得CBE60,CAF30,BDM45,BMDM，BE∥AF∥DM．

BCMCBE60,ACMCAF30．

ACBBCMACM603030．

【小問2詳解】

解：CBE60，

CBM90CBE906030．

由（1）得ACB30．

ABCACB30．

又AB800，

ABAC800．

AMCM

在RtACM中，sinACM，cosACM，

ACAC

1

AMACsinACM800sin30800400，

2

3

CMACcosACM800cos308004003．

2

BMBAAM8004001200．

BDM45,BMDM，

DMBM1200．

DCDMCM12004003m．

∴景點C與景點D之間的距離為12004003m．

我們約定：當(dāng)滿足22，且時，稱點x,y與點x,y

24.x1,y1,x2,y2x1y2x2y10x1y101122

為一對“對偶點”．若某函數(shù)圖象上至少存在一對“對偶點”，就稱該函數(shù)為“對偶函數(shù)”．請你根據(jù)該

約定，解答下列問題：

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”）：

k

①函數(shù)y（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無數(shù)對“對偶點”；（）

x

②函數(shù)y2x1一定不是“對偶函數(shù)”；（）

③函數(shù)yx2x1的圖象上至少存在兩對“對偶點”．（）

（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)yk1xb1與yk2xb2（b1,b2都是常數(shù)，且b1b20）均是“對偶函數(shù)”，

求這兩個函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積之和；

（3）若關(guān)于x的二次函數(shù)y2ax21是“對偶函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

【答案】（1）①（√）；②（√）；③（×）

1

（）22

2b1b2

2

3

（3）a

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題目中給出的“對偶點”，“對偶函數(shù)”的定義結(jié)合反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)

的性質(zhì)進行分析得出結(jié)果；

y1k1x1b1

（2）由題意可得x2y1，y2x1，得出從而求出k11，k21，得出兩個一次函

x1k1y1b1

數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形是有公共直角頂點的分別位于二、四象限的兩個等腰直角三角形，

畫出圖形得出結(jié)果；

y2ax21①

1121

（3）由題意可得a0，且x1y1時，有，整理得到2axx10，利

2②11

x12ay112a

用關(guān)于x1的一元二次方程必有實數(shù)根，分別根據(jù)判別式等于零和大于零求解即可．

【小問1詳解】

解：22，且2，2，

x1y2x2y10x1y20x2y10

2，2，

x1y20x2y10

x1y2，x2y1，

k

①函數(shù)y（k是非零常數(shù)）的圖象上，xyxy，

x1122

滿足x1y2，x2y1，故①正確；

②由題意可得x2y1，y2x1，

則點x1,y1與點y1,x1且x1y1是一對“對偶點”，

函數(shù)y2x1的圖像如下圖：

函數(shù)y2x1中不存在“對偶點”，一定不是“對偶函數(shù)”，故②正確；

2

215

函數(shù)yxx1x的圖象上如下圖，

24

由題意可得x2y1，y2x1，

則點x1,y1與點y1,x1且x1y1是一對“對偶點”，

圖中不存在“對偶點”，故③錯誤；

故答案為：①（√）；②（√）；③（×）

【小問2詳解】

由題意可得x2y1，y2x1，點x1,y1與點y1,x1且x1y1是一對

“對偶點”，由于yk1xb1是“對偶函數(shù)”，則其圖象上必存在一對“對偶點”．

y1k1x1b1

從而有，兩式相減可得k11，同理可得k21．

x1k1y1b1

兩個一次函數(shù)為yxb1，yxb2，由于b1，b2都是常數(shù)，且b1b20，

兩個一次函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形是有公共直角頂點的分別位于二、四象限的兩個等

腰直角三角形，如下圖所示

1

求得其面積之和22；

Sb1b2

2

【小問3詳解】

2①

y12ax11

由題意可得a0，且x1y1時，有，

2②

x12ay11

1

以上兩式相減可得xy，

112a

1

從而將yx，

112a

1

代入①整理可得2ax2x10，

112a

此關(guān)于x1的一元二次方程必有實數(shù)根，

12

由于Δ18a138a0時，xy（不符合題意）．

2a113

3

從而必有Δ38a0，解得a．

8

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，一次函

數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理為解題關(guān)鍵．

25.如圖1，點O是以AB為直徑的半圓的圓心，AD與BC均為該半圓的切線，C，D均為直徑AB上方

的動點，連接CD，且始終滿足CDADBC．

（1）求證：CD與該半圓相切；

22ab

（2）當(dāng)半徑r2時，令A(yù)Da，BCb，m，n，比較m與n的大

2a2b1a1b

小，并說明理由；

（3）在（1）的條件下，如圖2，當(dāng)半徑r1時，若點E為CD與該半圓的切點，AC與BD交于點G，

41

連接EG并延長交AB于點F，連接AE，BE，令EGx，CDy，求y關(guān)于x的函

AEBEFG

數(shù)解析式．（不考慮自變量x的取值范圍）

【答案】（1）見解析（2）mn，理由見解析

3

（3）y

x

【解析】

【分析】（1）如圖3，連接CO，并延長交DA的延長線于點M，過點O作OECD于點E．

根據(jù)AD與BC均為該半圓的切線，得出ADAB,BCAB，則AD∥BC，可得M1．證明

△OAM≌△OBC，得出AMBC．根據(jù)CDADBC，得出CDADAMDM．則M2，

可得12，即CO平分BCD．又OECD,OBCB，得出OEOB，即可證明CD與該半圓相

切．

（2）如圖4，過點C作CMAD，交AD于點M，在VCDM中，由勾股定理可得CD2DM2CM2，

根據(jù)CDADBCab,DMab,CM2r，列等式得出r2ADBCab2，代入可得

22ababba

mn．

2a2babaabb1b1a

（3）如圖5，根據(jù)CD,AD,BC均為該半圓的切線，則DADE,CBCE，證明DAG∽BCG，得出

CGCBCECGCE

，從而得出，證明△ACD∽△GCE，得出ADCGEC，得出

GAADEDCACD

FGAFFGBFFGFG

EG∥AD∥BC,FG∥AD∥BC．得出，，則1，即可得

BCABADABBCAD

111111

．同理可得，得出FGEGx，由（2）可知