作業(yè)01等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和等差數(shù)列的定義從第二項開始，后一項與前一項的差為同一個常數(shù)，這個數(shù)列是等差數(shù)列，這個常數(shù)是等差數(shù)列的公差，用表示數(shù)學(xué)表達式通項公式，，，等差數(shù)列通項公式與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列為一次函數(shù)等差中項若，，三個數(shù)成等差數(shù)列，則，其中叫做，的等差中項等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)（1）若，或（2）若，為等差數(shù)列，則，仍為等差數(shù)列等差數(shù)列前n項和或等差數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列前項和公式是無常數(shù)項的二次函數(shù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，，……仍成等差數(shù)列為等差數(shù)列推導(dǎo)過程：（一次函數(shù)）為等差數(shù)列證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等差數(shù)列（2）通項公式：（一次函數(shù)），前項和：（無常數(shù)項的二次函數(shù)）（3）若，則，，三個數(shù)成等差數(shù)列等比數(shù)列的定義從第二項開始，后一項與前一項的比為同一個常數(shù)，這個數(shù)列是等比數(shù)列，這個常數(shù)是等比數(shù)列的公比，用表示數(shù)學(xué)表達式通項公式，，，等比數(shù)列通項公式與函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列為指數(shù)型函數(shù)等比中項若，，三個數(shù)成等比數(shù)列，則,其中叫做，的等比中項等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)（1）若或（2）若，為等比數(shù)列，則，仍為等比數(shù)列等比數(shù)列前n項和等比數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列前項和公式是指數(shù)型函數(shù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1），，……仍成等比數(shù)列（2）證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等比數(shù)列（2）若,則，，三個數(shù)成等比數(shù)列一、單選題1．在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C． D．2．等差數(shù)列中，設(shè)前項和為，，則等于（

）A．80 B．85 C．90 D．953．在等比數(shù)列中，，且，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)數(shù)列和都為等差數(shù)列，記它們的前項和分別為和，滿足，則（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，滿足，，則（

）．A． B． C．2 D．4二、多選題6．已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，則（

）A． B．C． D．7．記為等差數(shù)列的前項和，公差，則下列表述一定正確的有（

）A．，，成等差數(shù)列B．，，成等比數(shù)列C．若等差數(shù)列的項數(shù)為，為所有奇數(shù)項的和，為所有偶數(shù)項的和，則D．若，則當(dāng)或時，取得最小值8．已知正項數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且滿足，，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若，則k=．10．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為.四、解答題11．已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.12．已知等比數(shù)列的公比，滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求的值．1．已知等差數(shù)列的前項和為,若，，則．2．（多選）公差為的等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B．C．中最大 D．3．（多選）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是遞減數(shù)列 B．，C． D．4．已知等比數(shù)列的前項和為，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．15．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．1．等比數(shù)列的公比為，其前項和記為，，則的取值范圍為.2．著名的“漢洛塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下、從小到大套著個中心帶孔的圓盤，將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作．設(shè)將個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則，．

3．在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.(1)求；(2)若，數(shù)列的前項和為，證明：.1．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．2．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．153．（2023·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．404．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．5．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．作業(yè)01等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和等差數(shù)列的定義從第二項開始，后一項與前一項的差為同一個常數(shù)，這個數(shù)列是等差數(shù)列，這個常數(shù)是等差數(shù)列的公差，用表示數(shù)學(xué)表達式通項公式，，，等差數(shù)列通項公式與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列為一次函數(shù)等差中項若，，三個數(shù)成等差數(shù)列，則，其中叫做，的等差中項等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)（1）若，或（2）若，為等差數(shù)列，則，仍為等差數(shù)列等差數(shù)列前n項和或等差數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列前項和公式是無常數(shù)項的二次函數(shù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，，……仍成等差數(shù)列為等差數(shù)列推導(dǎo)過程：（一次函數(shù)）為等差數(shù)列證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等差數(shù)列（2）通項公式：（一次函數(shù)），前項和：（無常數(shù)項的二次函數(shù)）（3）若，則，，三個數(shù)成等差數(shù)列等比數(shù)列的定義從第二項開始，后一項與前一項的比為同一個常數(shù)，這個數(shù)列是等比數(shù)列，這個常數(shù)是等比數(shù)列的公比，用表示數(shù)學(xué)表達式通項公式，，，等比數(shù)列通項公式與函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列為指數(shù)型函數(shù)等比中項若，，三個數(shù)成等比數(shù)列，則,其中叫做，的等比中項等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)（1）若或（2）若，為等比數(shù)列，則，仍為等比數(shù)列等比數(shù)列前n項和等比數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列前項和公式是指數(shù)型函數(shù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1），，……仍成等比數(shù)列（2）證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等比數(shù)列（2）若,則，，三個數(shù)成等比數(shù)列一、單選題1．在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)直接求解即可.【詳解】，，.故選：D.2．等差數(shù)列中，設(shè)前項和為，，則等于（

）A．80 B．85 C．90 D．95【答案】B【分析】由等差數(shù)列的前項和公式和等差中項的性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意可得，故選：B.3．在等比數(shù)列中，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，解得.故選：B.4．設(shè)數(shù)列和都為等差數(shù)列，記它們的前項和分別為和，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列前項和公式及下標(biāo)和定理計算即可．【詳解】數(shù)列和都為等差數(shù)列，且，則，故選：B．5．已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，滿足，，則（

）．A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可得出結(jié)果.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，，可得，即，數(shù)列是等比數(shù)列，，可得，可得，則．故選：B．二、多選題6．已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用題設(shè)等式進行等比數(shù)列的基本量運算，求得，代入公式即可一一判斷.【詳解】依題，，解得故A錯誤，B正確；則，，故C錯誤，D正確.故選：BD.7．記為等差數(shù)列的前項和，公差，則下列表述一定正確的有（

）A．，，成等差數(shù)列B．，，成等比數(shù)列C．若等差數(shù)列的項數(shù)為，為所有奇數(shù)項的和，為所有偶數(shù)項的和，則D．若，則當(dāng)或時，取得最小值【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)分析A、C、D，由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)以及等比數(shù)列的定義分析B．【詳解】對于A，為等差數(shù)列的前項和，則，，，又，即，所以，，成等差數(shù)列，故A正確；對于B，，，，因為，即，所以，，成等差數(shù)列，因為，所以，即，故，，不成等比數(shù)列，故B錯誤；對于C，若等差數(shù)列的項數(shù)為，其中奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項，則，，所以，故C正確；對于D，若，即，則有，又由，則且單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)或時，取得最小值，故D正確．故選：ACD．8．已知正項數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列單調(diào)性可知A正確；利用可求得，知B正確；由基本不等式，結(jié)合等差等比數(shù)列的性質(zhì)可知C正確；當(dāng)時，可得，知D錯誤.【詳解】對于A，是遞增的等差數(shù)列，等差數(shù)列的公差為且，，即，A正確；對于B，，，，又，，即，，，B正確；對于C，，又，，C正確；對于D，，或；當(dāng)時，，，，D錯誤.故選：ABC.三、填空題9．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若，則k=．【答案】18【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.【詳解】由，所以，，即，即，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.故答案為：18.10．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為.【答案】/0.064【分析】根據(jù)條件求得，，當(dāng)時，有最小值，計算求得滿足此不等關(guān)系的項.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知且，則，解得，則，所以.易知當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最小值為.故答案為：四、解答題11．已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量的運算求得公差，即可求得，再利用等比數(shù)列基本量的運算求得公比，即可求得，從而求得.（2）結(jié)合等差數(shù)列求和公式及等比數(shù)列求和公式，根據(jù)分組求和思想求解即可.【詳解】（1）由數(shù)列是等差數(shù)列且，∴公差，∴，∵，∴∴數(shù)列的公比，∴，∴；（2）由得.12．已知等比數(shù)列的公比，滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)和列方程求解即可；（2）求出和，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，即可求出.【詳解】（1）由因為，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列的通項公式為；（2）因為，，由題意得：，即，所以．1．已知等差數(shù)列的前項和為,若，，則．【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意可得，求出、，即可求出，從而得到，再利用裂項相消法計算可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，所以，則，所以，所以.故答案為：2．（多選）公差為的等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B．C．中最大 D．【答案】CD【分析】由得，由得，則，即可判斷ABC；根據(jù)和等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，即可判斷D.【詳解】A：由，得，由，得，所以，所以，故A錯誤；B：由選項A的分析知，，故B錯誤；C：因為，，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，其前6項為正，從第7項起均為負(fù)，故最大，故C正確；D：由選項A的分析知，，，，所以，且，即，所以，故D正確.故選：CD3．（多選）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是遞減數(shù)列 B．，C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)得到，，即可判斷B、C，又判斷A，根據(jù)，判斷D.【詳解】，，∴，，∴，，∴，，且，故B、C正確；∴公差，等差數(shù)列是遞增數(shù)列，故A錯誤；因為，，所以時，取得最小值，所以，故D正確.故選：BCD.4．已知等比數(shù)列的前項和為，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用求出數(shù)列的公比，進而求出通項公式，求出數(shù)列的前項和，然后利用放縮法和恒成立問題的應(yīng)用求出的最大值，最后得到結(jié)果．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，即，因為，所以，解得，所以，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，所以.故選：C.5．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式即可求解；（2）由錯位相減法及等比數(shù)列前項和公式即可求解．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由已知得，，即，解得或（舍去），則．（2）數(shù)列的前項和，，上面兩式相減可得所以．1．等比數(shù)列的公比為，其前項和記為，，則的取值范圍為.【答案】【分析】由題意，可得，進而得到，由等比數(shù)列通項公式可得，解不等式組即可求解.【詳解】因為，即，所以，所以，所以，因為是公比為的等比數(shù)列，所以，解得，故.故答案為：.2．著名的“漢洛塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下、從小到大套著個中心帶孔的圓盤，將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作．設(shè)將個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則，．

【答案】7/【分析】假設(shè)木樁1上原有個圓盤，要將這個圓盤全部按要求套到木樁3上，所需的最少次數(shù)為,則有如下操作：先將個圓盤從木樁1套到木樁2上，所需最少次數(shù)為，再將最大的圓盤從木樁1套到木樁3上，需要1次，最后將木樁2上的個圓盤全部套到木樁3上，所需的最少次數(shù)為，由此推出通項公式.【詳解】根據(jù)題意假設(shè)木樁1上原有個圓盤，要將這個圓盤全部按要求套到木樁3上，所需的最少次數(shù)為,則有如下操作：先將個圓盤從木樁1套到木樁2上，所需最少次數(shù)為，再將最大的圓盤從木樁1套到木樁3上，需要1次，最后將木樁2上的個圓盤全部套到木樁3上，所需的最少次數(shù)為，則,,即,所以是以2為首項，1為公比的等比數(shù)列，所以,.故答案為:.3．在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.(1)求；(2)若，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）利用等差數(shù)列的求出公差，再求得首項后可得通項公式；（2）由裂項相消法及等差數(shù)列的前項和公式求得和后可證結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，，又，所以，所以，．（2）由（1）得，所以．1．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．【答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時，因為，所以，即，即，即，解得.故答案為：2．（2023·全國·高考真