2022-2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編

數(shù)列章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2024北京清華附中高一下期末）已知4，出，%，%成等比數(shù)列，且其中兩項(xiàng)分別為1，9,則

。5的最小值為（）

A.-81B.-27

C「D.±

8127

2.（2024北京清華附中高一下期末）若｛4“｝是無(wú)窮數(shù)列，貝廠｛4｝為等比數(shù)列”是“｛%｝滿足

%-%+3=4+14+2（〃€河）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023北京海淀高一下期末）已知等差數(shù)列｛%｝中，4=19,%+外=26,則數(shù)列｛4｝的前5項(xiàng)和為

（）

A.35B.40C.45D.80

4.（2023北京海淀高一下期末）已知等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為其中q>0,貝廣%>%”是"S“無(wú)最

大值”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2022北京清華附中高一下期末）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.若52<邑<。，則下列結(jié)論中正

確的是（）

A.g<°B./-<0

C.a2+a3<0D.a4>-a5

二、填空題

6.（2024北京清華附中高一下期末）設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且q=l,an+I=a?+2,則數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)

和^10

（2022北京清華附中高一下期末）在數(shù)列｛%｝中各項(xiàng)均為正數(shù)，且匕-4+]=%5=123,?）,給出下

列四個(gè)結(jié)論:

①對(duì)任意的〃..2,都有%>1

②數(shù)列｛%｝不可能為常數(shù)列

③若0<%<2,則數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

④若％>2,則當(dāng)九.2時(shí)，2<an<al

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

8.（2022北京清華附中高一下期末）已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168。-4=42,則/=.

三、解答題

9.（2024北京清華附中高一下期末）對(duì)給定的正整數(shù)〃23,設(shè)數(shù)列A:如外,…，4,若存在

使得4=%，則將數(shù)列A進(jìn)行操作變換T,得到數(shù)列8,且8為

%，〃2，…，苗一1，生一LQ，+i，…，Qj—i,aj+1,,回^Q],〃2，…，％一1,4+1，勾+i,…，Q,_i，〃/_LQj+i，…，,記Jy

B=T（A）.設(shè)4：0,0,...,。（〃個(gè)0）,從4開(kāi)始進(jìn)行機(jī)次操作變換T,依次得到數(shù)列A，4,…,4,即

A=T（AT）,/=1,

（1）當(dāng)〃=4時(shí)，分別判斷從4開(kāi)始進(jìn)行機(jī)次操作變換T,是否可以得到如下數(shù)列？若不可以，直接判斷即

可；若可以，請(qǐng)寫出相應(yīng)的m及A，4,…，4.1；

①2,0,0,-2；②2,1,0,-2；③3,0,-1,-2；

（2）當(dāng)〃=5時(shí)，從4開(kāi)始進(jìn)行機(jī)次操作變換T,是否可能得到數(shù)列4“：羽1，。，-1，-2?若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理

由；若可以，求出x與機(jī)的所有可能取值.

（3）給定正奇數(shù)“25,為使4的各項(xiàng)均不相同，求操作變換次數(shù)的最小值相

10.（2024北京清華附中高一下期末）已知數(shù)列｛《｝滿足％=|,且

⑴求證：數(shù)列1是等比數(shù)列，并求出｛4“｝的通項(xiàng)公式；

（2）若,+,++—<2025,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

.2冊(cè)

11.（2024北京東城高一下期末）設(shè)〃為正整數(shù)，集合4=｛崗&=（/1/2，...,乙）,/”｛0,1｝,左=1,2,...,〃｝.對(duì)

于集合于中的任意元素a=（和5和￡=（%,%）,定義a*P=（xl-yl,x2-y2,...,xn-yn）,

?月=（卜一％|，卜2一%|，…，氏-%|），以及悶=占+匕+….

（1）若〃=5,&=（1,1,1,0,1）,々*力=（0,1,1,0,1）,期=4,求出

（2）若〃=9,422）均為A“中的元素，且㈤=3（14區(qū)人），,*%|=0（lVi<jWA）,求女的最

大值；

（3）若%（無(wú)22）均為A（心5）中的元素，其中%|=0,㈤=〃,且滿足

\oc；%+1|=〃-2（04，4一1）,求％的最小值.

12.（2023北京海淀高一下期末）已知首項(xiàng)為。的無(wú)窮等差數(shù)列｛%｝中，%,a3,%+1成等比數(shù)列.

⑴求｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

⑵記bn=。+，求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和耳.

2冊(cè),“為偶數(shù)

13.（2023北京101中學(xué)高一下期末）已知有窮數(shù)列A：4,%,,ON（N€N*,N23）滿足

=?,N).給定正整數(shù)相，若存在正整數(shù)sj(s4),使得對(duì)任意的左w｛0,l,2,,，根-1｝,都

有as+k=a,+k,則稱數(shù)列A是加連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.

(1)判斷數(shù)列4：1,-1。-1，0,-1」是否是3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(2)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；

⑶若數(shù)列，心不是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列A：q,g,,即，-1，數(shù)列4：%，%，即,。與數(shù)列

4:%,的,,都是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列,且4=0,求%,的值.

14.(2023北京北師大附中高一下期末)已知有限數(shù)列｛%｝共M項(xiàng)(V24),其任意連續(xù)三項(xiàng)均為某等腰

三角形的三邊長(zhǎng)，且這些等腰三角形兩兩均不全等.將數(shù)列｛?！埃母黜?xiàng)和記為S.

⑴若4w｛l,2｝(〃=l,2,L,M),直接寫出M,S的值;

⑵若qe｛l,2,3｝m=l,2,L,M),求M的最大值；

(3)若a”eN*(n=l,2,L,M),M=16,求S的最小值

15.(2022北京清華附中高一下期末)設(shè)數(shù)列A：qs，Ly中每一項(xiàng)都是正整數(shù)，如果',?，，第兩兩

不同，則稱數(shù)列A為乙-數(shù)列.設(shè)G(A)=｛aJ14注科，并且記G⑷中的元素個(gè)數(shù)為|G(A)|.

⑴判斷數(shù)列A：L3,L4與數(shù)列4：1,2,2,4是否為乙一數(shù)列，并說(shuō)明理由；

⑵若數(shù)列A為乙-數(shù)列，且"=9,求證：|G(A)|的最小值為4；

⑶若數(shù)列4：。1，。2，，“32為數(shù)列，且|G(AJ=6,求證：4+“2+…+組22132.

16.(2022北京清華附中高一下期末)已知公差不為0的等差數(shù)列｛冊(cè)｝滿足％=1,且4,%,%成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列5｝的通項(xiàng)公式;

17

(2)設(shè)2=2刃+-----,北為他,｝的前〃項(xiàng)和，求證：Tn<-.

aa

nn+\6

參考答案

1.B

【分析】結(jié)合題意，應(yīng)取最小值時(shí)為負(fù)數(shù)，且。4=9,利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.

【詳解】若相鄰兩項(xiàng)為1和9,則公比為正數(shù)，每一項(xiàng)都為正數(shù)，舍去；

若奇數(shù)項(xiàng)為1和9,則奇數(shù)項(xiàng)均為正數(shù)，舍去；

由題意，要使應(yīng)最小，則6，。3，。5都是負(fù)數(shù)，貝1和為選擇1和9,

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q(q<0),

當(dāng)q=9時(shí)，a2=l,所以U=q~=9,所以<7=-3,

所以。5=%x4=9x(—3)=-27；

當(dāng)能=1時(shí)，。2=9,所以幺=如=：,所以q=_1,

所以%=/xq=I'(_§)=；

綜上可得，名的最小值為-27.

故選:B

2.A

【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合特值法可解.

【詳解】若｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，〃+(〃+3)=(〃+1)+(〃+2),

則運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)知道風(fēng)?an+3=%*(neN*)；

若%+3=an+l-an+2(〃eN*),則｛q｝可以為全部為0的常數(shù)列，不能說(shuō)它是等比數(shù)列.

故”｛a,,｝為等比數(shù)列”是“｛。"｝滿足an-〃"+3=.”〃+2(〃wN*)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，利用首項(xiàng)和公差，結(jié)合題意，建立方程，解得公差，利用前〃項(xiàng)和的計(jì)算

公式，可得答案.

【詳解】由等差數(shù)列｛4｝,可設(shè)其公差為d,

3

%+。8=%+〃+%+7d=38+8d=26,解得"二一^,

數(shù)歹U｛q｝的前5項(xiàng)和怎=5”生)=5x('+4")=5x(19：9-6)=

故選：D

4.A

【分析】由等比數(shù)列｛%｝中%>4等價(jià)于公比q<T或4>1,結(jié)合前"項(xiàng)和公式單調(diào)性的判定可得其是否

具有充分性，必要性方面舉反例發(fā)現(xiàn)s,無(wú)最大值不一定推得g>%,繼而選項(xiàng)可定.

【詳解】充分性：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

。3>4，>0,

2

/.a{q>%,

.?./>i可得"—I或〃>i,

4

又s〃=(j")_ai(q,T，

1一9q—i

當(dāng)"T時(shí)’若"為奇數(shù)，S"=含"1)=言(一行+言，

產(chǎn)>0,(-4)>1,.?.當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)S“單調(diào)增，則S“無(wú)最大值，

1-q7

當(dāng)4>1時(shí)S〃=-^—[q"-1),

q-i

g>0,。>1,二S“單調(diào)增，則S“無(wú)最大值；

q-i

必要性：當(dāng)4=1時(shí)，S"="%,又％>0,則S“無(wú)最大值.

可得“%>%”不是“S"無(wú)最大值”的必要條件；

由此可知“%>%”是“S"無(wú)最大直’的充分不必要條件.

故選：A.

5.D

【分析】根據(jù)S2<S3<。，可得。3>0，%<0,從而可判斷AB,舉出反例即可判斷C,根據(jù)等差數(shù)列的

性質(zhì)結(jié)合基本不等式即可判斷D.

【詳解】解：因?yàn)镾2<S3<。，

所以S3-S2=%>。，故A錯(cuò)誤；

S3=3a2<0,所以％<0,

則公差d=〃3-。2=。2-％>°，故B錯(cuò)誤；

所以等差數(shù)列｛q｝為遞增數(shù)列，

貝U/>0,%>0，“3?！?，

貝U%+%>?%，

所以2a4=%+%>2da3-a5,

所以。，故D正確；

對(duì)于C,當(dāng)q=-3,d=2時(shí),

—

%——1,%=1，§2=一4<§3—3<0o

此時(shí)%+%=°，故c錯(cuò)誤.

故選：D.

6.100

【分析】依題意可得4+-4=2,即可求出公差d,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)椤=?！?2,所以，-%=2,

所以｛%｝的公差d=2,又4=1,

所以Ho=10q+lOx（；OT）d=[0x]+lOx（；OT）x2=]00.

故答案為：100

7.①③④

【分析】結(jié)合數(shù)列遞推式研究數(shù)列的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：對(duì)于①，在數(shù)列｛%｝中，<1-??+1=??,則一（a./-1）=q,

又對(duì)于任意的“eN*都有為>0,則?！?「1>0,即—>1,

即對(duì)于任意的都有。,,>1,故①項(xiàng)正確；

對(duì)于②，不妨設(shè)數(shù)列｛%｝可能為常數(shù)列，則%=。向，

又建+「4,+i=4,,則。；一耳=?！?，貝11%=2，

即4=2時(shí)，數(shù)列｛%｝為常數(shù)列，故②項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于③，a?+i~a?=2an+l-a；1+1=an+l（2-a?+1）

又0</<2,貝U0<Q；—%v2,即1<%<2,

同理，當(dāng)〃N2,都有〃“<2,即4+「4=2a〃+i—=〃〃+i（2—4+1）>。，

即。川>4,即數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，故③項(xiàng)正確；

對(duì)于④，4>2,則靖-%>2,即%>2,

同理，當(dāng)“22,都有%>2,

又all+l-a?=2“用一q"=（2一）<。，即數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，

即當(dāng)〃22時(shí)，2<an<a1,故④項(xiàng)正確.

故答案為：①③④.

8.3

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,根據(jù)已知條件利用等比數(shù)列的定義計(jì)算可得4=；,4=96,即可求

得0的值.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,q^O,由題意4X1,

因?yàn)榍?項(xiàng)和為168,故/+4+43=%。4）=168,

i-q

又W-%~=axq（1一/）,

所以4=；，%=96,

貝lja6=axc[=96x%=3.

故答案為：3.

9.⑴①可以，m=4,A：1,O,O,—1,4：1」,—1,—1,Ai:2,0,—1,-1；②不可以；③不可以

（2）x=2,m=5

⑶個(gè)

24

【分析】（1）直接根據(jù)操作變換的定義判斷并證明；

（2）利用每次變換后各項(xiàng)之和以及各項(xiàng)的平方和的變化規(guī)律即可證明尤=2,m=5,然后給出符合條件的

例子即可；

3_

（3）利用每次變換后各項(xiàng)之和以及各項(xiàng)的平方和的變化規(guī)律證明機(jī)22二，

24

再證明可以由數(shù)列4經(jīng)過(guò)次操作變換得到一個(gè)各項(xiàng)互不相同的數(shù)列，即可得到操作變換次數(shù)的最小

值為

24

【詳解】（1）對(duì)于①，可令〃?=4,且4：1,0,0,-1,4：1,1,T,T,A：2,0,-l,-l,A4:2,0,0,-2,即可得

到所求數(shù)列；

對(duì)于②，顯然無(wú)論怎樣變換，數(shù)列的各項(xiàng)之和是不變的，因此從4開(kāi)始進(jìn)行有限次變換后，數(shù)列的各項(xiàng)之

和必定為零，

故②中的2,1,0,-2不可能得到；

對(duì)于③，假設(shè)當(dāng)”=4時(shí)，4通過(guò)若干次變換后得到了包含3的數(shù)列，那么設(shè)數(shù)列&第一次出現(xiàn)3,

由于這個(gè)3必定是由2變得的，從而A-必定包含兩個(gè)2.

但由于數(shù)列的各項(xiàng)之和必定為零，故另外兩項(xiàng)或者都是-2,或者包含一個(gè)不大于-3的項(xiàng).

若另外兩項(xiàng)都是-2,則可以不妨設(shè)A1：2,2,-2,-2（因?yàn)楦黜?xiàng)的順序并不重要），

直接驗(yàn)證即知，從該數(shù)列中任意挑選一項(xiàng)加1,再任意挑選另一項(xiàng)減1后，得到的兩個(gè)新項(xiàng)不可能相等，

所以4-：2,2,-2,-2不可能由某個(gè)數(shù)列變換得到，這導(dǎo)致矛盾；

所以另外兩項(xiàng)必定包含一個(gè)不大于-3的項(xiàng)，這就說(shuō)明，若4通過(guò)若干次變換后得到了包含3的數(shù)列，

則在第一次出現(xiàn)3之前就必定已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)-3.

但同理可證，若4通過(guò)若干次變換后得到了包含-3的數(shù)列，則在第一次出現(xiàn)-3之前就必定已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)3.

所以二者結(jié)合即知，3和-3都是不可能出現(xiàn)的，故③中的3,0,-1,-2不可能得到.

（2）當(dāng)〃=5時(shí)，若能從數(shù)列4經(jīng)過(guò)有限次變換得到數(shù)列4：尤0,-1,-2,由于在變換的過(guò)程中數(shù)列的各

項(xiàng)之和保持不變，

故x+1+O-1-2=0,從而必有九=2,故4：.

由于(4+1)2+伍-1)2=(〃+4)+2,故在每次變換后，數(shù)列的各項(xiàng)平方和會(huì)比變換之前增加2,

而4的各項(xiàng)平方和為0,4：的各項(xiàng)平方和為10,故必定有2m=10,即根=5.

下面的變換過(guò)程表明兀=2,根=5能夠?qū)崿F(xiàn)：

4:0,0,0,0,0,A;1,0,0,0,—1,4:1』,0,—1,—1,A:2,0,0,—1,—1,A4;2,0,0,0,—2,24s:2,1,0,—1,—2.

故X與機(jī)的所有可能取值為X=2,"2=5.

(3)先證明一個(gè)公式：對(duì)正整數(shù)d,有3+22+...+屋

6

證明：考慮在L2,…,d+2中從小到大取出三個(gè)不同的數(shù)<v<vv)的取法數(shù)目.

一方面，取法顯然有C3=("2),(d+l”=d(d+l)(d+2)種;

66

另一方面，V的全部可能選擇為2,3,...,1+1,當(dāng)V取定為左+1(左=1,2,...")后，說(shuō)有七種可能的選擇，

d

W有d+1種可能的選擇，且a和w的選擇互不影響，故所有的取法一共有ZM4+1-左)種.

k=l

綜合兩方面就得到

也中型=%("—)=t((d+l)—2)=(d+l)力一引=(〃+1).當(dāng)初一%2,

°k=lk=lk=\k=\/k=l

所以*=(d+l)”(d+l)，("1)("2)=13+/屋」"

M26122J\623y326

這就得到F+2?+…+屋」屋+工屋+L=2屋+3/="("1)(2"1.

32666

回到原題.

對(duì)正奇數(shù)“25,設(shè)4“：4,外,…,%,由于在變換的過(guò)程中數(shù)列的各項(xiàng)之和保持不變，且在每次變換后，

數(shù)列的各項(xiàng)平方和會(huì)比變換之前增加2,故4+出+…+。“=0，2m=a^+al+...+a；.

若力,〃2,…,4兩兩不等，不妨設(shè)4>%>...>%,由于+=。，故%，。2,???，“”不可能都非負(fù)，也

不可能都非正，

所以一定存在ke{1,2,...,I},使得%20>-1?aM.

由于4,出,…，4,都是整數(shù)，故有

at>ak+{k-i)>k-i>G(y<i<k),%<ak+i-(z-Z:-l)<-l-(z-A:-l)<O(A:+l<i<.

所以

2"=才+。；+…+a：=+￡a：住一^十.㈠_(，_%_功？

z=li=li=k+li=li=k+l

knk-\-1k-1

=Z(l)2+3(-i+^=?2+￡/=

z=li=k+lj=0j=—n+kj=—n+k

k-i

從而2加2￡f,且

j^-n+k

k-\

2m>Z/=(_〃+左y+(_〃+左+])2+…+(左_2『+(%_I)2

j=—n+k

k-[

22

=(k-l)+(k-2)+...+(-n+k+iy+(-n+kf='(2^-H-1-J)2.

j=-n+k

將兩個(gè)不等式相加，得到

k-\k-1k-1.

2

4m>Z『+Z(2左—〃—1—?2=XQ(2k-n-1-j)j

j=—n+kj=—n+kj^-n+k

ik-T.、1

=|s(「+(2J--用+—

乙j=—n+k2

1k—1,\1k-l

)2)+彳Z

2j-n+k2j-n+k

ik—\.

=~±\j2+(^k-n-1-jy-2j(2k-n-1-j

Lj=—n+k

1I?

=-X(2^-n-l-J-J)

'j=-n+k

左一1

2￡

j^-n+k

所以就得到

k-1(Y2

2m>Z女-+Tl—1+…+

j=—n+k\

+—I+…+

n-1〃+l

--------------n3

22J一〃.

624

24

下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)正奇數(shù)〃之5,可以對(duì)數(shù)列4：0,0,0,…,0,0,0（〃個(gè)0）進(jìn)行―1次變換,

24

?n—1n—3n—5n—5n—3n-1

得到各項(xiàng)互不相同的數(shù)列4Z

222,

24

當(dāng)〃=5時(shí)，令4:0,0,0,0,0,\:1,0,0,0,-1,:1,1,0,—1,-1,Ai:2,0,0,—1,-1,A4:2,0,0,0,—2,

A:2,1,0,-1,-2.

則對(duì)數(shù)列4進(jìn)行5次變換后得到了各項(xiàng)互不相同的數(shù)列A:2,1,0,-1,-2.

故結(jié)論對(duì)〃=5成立.

對(duì)正奇數(shù)"27,假設(shè)結(jié)論已經(jīng)對(duì)〃-2成立，則根據(jù)歸納假設(shè)，可以對(duì)數(shù)列4：0,0,0,…,0,0,0(〃個(gè)0)進(jìn)

(〃2)一("2)次變換,

行

24

,八n-3〃一5n-5n-3

得到數(shù)列：。,〒，亍---,----k,°

24一一22

然后繼續(xù)進(jìn)行如下變換過(guò)程:

n—3n—5n—5n—3

A63(：1,---,~~,...,3,2,1,-1,—1,-2,—3,,0

(〃-2)-2).2222

24

n—3n—5n-5

A9X3/：2,---,---,3,2,0,—1,—1,—2,—3,—0

5-2)-("a2222'2'

24

-n—3n—5/八_n—5上0

A:3,---,---3,1,0,—1,—1,—2,—3,...,—

(〃-2)3一(〃一2)13222'2'

24

n-3n-3n-7n-5〃一3

A()3-(n-2)n-3

n2?-;~,，U

22222

242

n-1n—5n—7n—5n—3

2^?，

(n—2)3—(n—2)n—\…,2,1,0,—1,—1,—2,—3,—,0

24+〒22222

n—1H-5〃一7一y八八--cn—5n—3八

A3---，…,2,1,0,0,—2,—2,—3,...,-------,--------,0

(〃-2)-(〃-2)?〃一1?]~2~222

242

n-1n-5n-7n-5n—3

A,...,2,1,1,—1,-2,—2,-3,...,—,0

(〃-2)3-(〃-2)1r-11222222

242

n—in—5〃一7

A,2,2,0,—1,—2,—2,—3,...,--,--------,0

5-2)3-(〃-2)?22222

24

A—'三,三一2'一2'一3,…，一三，一三，°

(n—2)3-(n—2)n—1n-3

2422

n—1n—3n—1n—5n—3

A,2』,0,—1,—2,—2,—3,...,—,0

(〃-2)3-(〃-2)建心22222

2

以此類推，可得

n-1n-3n-5n—9n—11n-5n-3

^(n—2)3-(n-2),0

I,n-1~2~

-+3-----222222

242

n-1n—3n—5n—7n-11n—13n—5n—3

A,...,2,l,0,-l,-2,-3,-45-4,-5,..)--,0

(〃-2)3(〃—2)?4邛T222222

242

n—\n—3n—5n-5n-3n—3_

A

3,,3,2,0,-1,-2,—3,—4,-5,...F°

(n—2)—(n—2)n-3n-12，2，2'2'2，

2422

然后繼續(xù)進(jìn)行如下變換:

n—1n—3n—5n—5n—3n—3r

A

32,1,-1,—2,—3,—4,—5,.,--—,-l

(n—2)-(n—2)n—3n-1,'~T",，

------------+12''2'12'22

2422

An—1n—3n—5n—5n—3n—3-

,~―…,3,2,1,0,—2,—3,—4,—5,...-------2

(〃-21—(fn-3n-11c'2''2'2，

2422

n—1n—3n—5n—5n—3n—3.

3,2,1,0,—1,—3,~4,—5,...-------3

(〃-2戶-(〃-2)?n-3n—\^,F、'F'’2''2'2，2，

,n-ln-3n-53210T_3-4_巴2一土二.土口一土3

)

(n-2)-(n-2!n-3n-11n-32222222

24222

n-1n-3n—5n—7n—5n—3n—\

A/c、3/c、,~9~~，…，3,2,1,。，-1,—2,—3,-4,…，~~~~

(n-2)-(n-2)?n-3n-1?n-12222222.

24222

最終就得到了滿足條件的數(shù)列A(，T-(L2)尸3fl.

24222

而由于(〃-2)3一(〃—2)n—3n—1n—1n3—bn1+12n-8—n+2+6n2-24n+18+12n-12n3—n

24F2~2424

n—1yi—3n—5n—5n—3n—1

故最終就得到數(shù)列4;-,...,3,2,1,0,-1-2,-3,...,一――,———,一—

-----乙乙乙乙乙乙

24

從而結(jié)論對(duì)，也成立.

綜上，對(duì)正奇數(shù)“25,可以對(duì)數(shù)列4：0,0,0,...,0,0,。(〃個(gè)0)進(jìn)行次變換，

24

n—1n—3n—5n—5n—3n—\

得到各項(xiàng)互不相同的數(shù)列A4”0：丁廠,一^-,=一，…,一一廠,一——＞一——.

-----乙乙乙乙乙乙

24

3

所以，操作變換次數(shù)加的最小值m=

n24

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于尋找變換前后數(shù)列的相應(yīng)特征的變化規(guī)律，從而得到相應(yīng)的限定條

件，并解決問(wèn)題.

7"

10.⑴證明見(jiàn)解析，an=^—

2"+1

（2）2024

【分析】（1）先取倒數(shù)，然后通過(guò)構(gòu)造法可得答案；

（2）由（1）求數(shù)列［:一4的通項(xiàng)，然后可得的通項(xiàng)，最后分組求和可得答案.

2g1+111

【詳解】（1）因?yàn)?。?七7,所以一=不—=5+「，

a

4,+1n+l2a,22an

—1

可得」---1=\即號(hào)」二；,

~23)--1，

%

q22

所以數(shù)列，一1-J是以3為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)歹U,

所以—“「一

（2）由（1）得工=仕］+1,

所以…+」=〃+L4+「+”+2（，

%&42222"」

2

=n+l--

2"

顯然〃+1-5是單調(diào)遞增數(shù)列，

當(dāng)"=2024時(shí)，2024+1一擊＜2025,

當(dāng)”=2025時(shí)，2025+1-擊＜2026,

所以滿足條件的最大整數(shù)〃為2024.

11.（1）（0,1,1,1,1）

⑵3

⑶3

【分析】（1）設(shè)夕=（%,%,%，〃，%），然后直接根據(jù)定義解得H，%，%，M，%的值即可；

（2）根據(jù)已知條件考慮內(nèi),4，…,%中所有等于1的分量的個(gè)數(shù)，得到左＜3,再對(duì)々=3構(gòu)造符合條件的例

子；

（3）直接通過(guò)反證法說(shuō)明人=2不可能成立，然后對(duì)我=3構(gòu)造符合條件的例子.

【詳解】（1）設(shè)力=（%,%，為，%，%），則由a=（U,l,0,l）,a*，=（O」,l,O,l）,知

。飛,1f，1?%，＞%”5）=（°，1，1，°，1）?

所以（％%,%，。，%）=（04，1,0,1），得用=（。,1,1,%，1）.

而儂=4,故0+1+1+%+1=4,從而％=1.

所以尸=（0,1,1,1,1）.

(2)由已知有同=3(l＜iV左)，左)，

這些條件的含義是，必，4，…,%都恰有3個(gè)分量等于1,且任意兩個(gè)不同向量沒(méi)有同時(shí)為1的分量.

由于〃=9,故一共只有9個(gè)分量，這表明全體%,啊,…，怎的所有分量中，至多有9個(gè)1.

而顯然一共有女個(gè)1,故弘49,得443.

顯然%=(,1』,0,0,。,。,。,。),4=(0,0,0,1,1,1,0,0,0),%=(0,0,0,0,0,0,1,1,1)滿足條件，此時(shí)左=3.

這就說(shuō)明上的最大值是3.

(3)由聞=0,知%=(0,0,0,…,0,0),ak=(1,1,1,...,1,1).

而條件|必弓」=〃-2(0＜，＜a-1)的含義是，在序列a。,%,%,...,%中，任意一對(duì)相鄰的向量

%,%(0V注左一1)都恰有n-2個(gè)分量不相等.

根據(jù)題目?jī)?nèi)容，己有％22.

若左=2,則%=(0,0,0,...,0,0),?2=(1,1,1,...,1,1),且4,%恰有〃一2個(gè)分量不相等，%,a?恰有“一2個(gè)分

量不相等.

換言之，%，?恰有2個(gè)分量相等，%，%恰有2個(gè)分量相等.

而力25,故一定存在14區(qū)〃，使得外,%的第I個(gè)分量不相等，%，%的第I個(gè)分量也不相等.

這就表明％,%的第/個(gè)分量相等,但%=(0,0,0,…,0,0),%=(LU，…』,1)，它們沒(méi)有相等的分量，矛盾;

這就表明上23.

注意到%=(0,0,0,0,0,0,…,0,0,0,0),?1=(0,1,0,1,1,1,...,1,1,1,1),a2=(1,1,0,0,0,0,...,0,0,0,0),

%=(U,l,LU,…,11,1,1)滿足全部條件，此時(shí)左=3.

所以上的最小值是3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及構(gòu)造性地給出符合條件的例子.

12.(1)4="1；

r\2n+\_Q

⑵&

【分析】(1)等差數(shù)列｛g｝的公差為d,由等比數(shù)列的性質(zhì)列式可得d=o或4=1,驗(yàn)證可得〃=1,根據(jù)

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

:：一二:申粕，由分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解?

2"，〃為偶數(shù)

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因?yàn)椤?，〃3，%+1成等比數(shù)列，所以。2(%+1)=依，

即d(3d+1)=(2dJ,即12=日，解得d=O或d=l.

若d=o,貝IJ%=0,則。2，%不能是等比數(shù)列中的項(xiàng)，故4=0不符合題意.

所以d=l,q=0+(〃—=〃—1,

可得%=1〃3=2,4+1=4,符合〃2，“3,%+1成等比數(shù)列,

所以?！?〃T.

_\an+1,〃為奇數(shù)〃為奇數(shù)

⑵〃=12%,偽偶數(shù)=12小,偽偶數(shù)，

所以<〃=4+，2+4+，4++41+4〃

=01+4+分++)2〃一1)+僅2+〃4+%++2〃)

=(1+3+5++2n-l)+(2J+23+25+.+22"-1)

二［1+(2〃-1小2x(l4")_入2筋+「2.

21-43

02"+10

所以以=/+;^.

13.(1)是，理由見(jiàn)解析；

⑵11;

(3)0.

【分析】(1)根據(jù)新定義直接驗(yàn)證數(shù)列A:1,-1,0,-1,0,-1,1作答.

(2)先根據(jù)新定義證明N211時(shí)，數(shù)列A一定是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，再驗(yàn)證“V10時(shí)，A不是2-連續(xù)等項(xiàng)

數(shù)列即可.

(3)由4,覆都是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列可得4=%-2，％+i=%，%2=%，％+3=T，

aaaa

j=N-2，如1=須-1，j+2=N，勺+3=°，七=aN_2,4+1=aN_t,%2=aN,ak+3=l,再由反證法證得

min{z,j,A;}=l,即可得出叫,的值.

【詳解】(1)數(shù)列A是3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，理由如下：

數(shù)列A：1,—1,0,—1,0,—1,1中,。2=%=—1，“3="5=°，％="6=—1’

即有出+1t=%+式上=0』,2),所以數(shù)列A是3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.

(2)設(shè)集合5={(尤,例尤儀-1,0,1},)^{-1,0」}},則5中的元素個(gè)數(shù)為32=9,

因?yàn)樵跀?shù)列A中a,e{T0,l}a=l,2,,N),所以(如的)eS(i=1,2,,N-1),

若NNH,則N—l110>9,所以在(4,4)，(。2M3)，(/，4)，，(%-”%)這N-1個(gè)有序數(shù)對(duì)中,

至少有兩個(gè)有序數(shù)對(duì)相同，即存在正整數(shù)sj(swf),使得4=4，4+|="小，

所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)NN11時(shí)，數(shù)列A一定是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，

若N=3,數(shù)列。,0,1不是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=4,數(shù)列0,0,1」不是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=5,數(shù)列0,0,LLO不是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=6,數(shù)列0,0,LLO,-1不是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=7,數(shù)列0,0,1,1,0,-1,1不是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=8,數(shù)列0,0,1,1,0,-LL-1不是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=9,數(shù)列0,0,LLO,-M,-1,-1不是2—連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；

若N=10,數(shù)列0,0,1,1,0,-M,T-1,0不是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列,

所以N的最小值為11.

(3)因?yàn)锳，4與4都是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，

所以存在兩兩不等的正整數(shù)。j,k(i,j,k<N-1)，使得q=aN_2,aM=aN_r,ai+2=aN,ai+3=-l,

aj=aN-2>aj+l=aN-l>aj+2=aN，aj+3=°，4-=aN-2，%+l="N-1，4+2=°N，幺+3=1>

下面用反證法證明min{/,/同=1,

假設(shè)min{i,j,k}>l,因?yàn)椋?勺一,ak_vaN_3e{-1,0,1},

所以%,,a-,aN_3中至少有兩個(gè)數(shù)相等，

不妨設(shè)?,-1=%,則%==%，aM=aj+1,ai+2=aj+2,

所以A是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，與題設(shè)矛盾，所以min{ijQ=l,

所以=ai+2=aj+2=ak+2==0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問(wèn)題，一般先要讀懂定義內(nèi)容，第一問(wèn)一般是給具體的函數(shù)或數(shù)列驗(yàn)證是

否滿足所給定義，只需要結(jié)合新定義，驗(yàn)證即可，在驗(yàn)證過(guò)程中進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)新定義的理解，第二步一般

在第一步強(qiáng)化理解的基礎(chǔ)上，所給函數(shù)或數(shù)列更加一般或復(fù)雜，進(jìn)一步利用新定義處理，本題第三問(wèn)根據(jù)

A，4與&都是4一連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列得出弓=aN_2,aM=aN_x,ai+2=aN,ai+3=-1,

aaaaaaa

j=N-2，j+i=，j+2=N，j+3=°，處="N-2，4+i=，4+2=N，4+3=1，利用反證法求min{i,j,左}=1是

關(guān)鍵點(diǎn).

14.(1)M=4,S=7；

(2)8；

(3)50

【分析】(1)直接列舉出數(shù)列{%},即可求得M,S；

(2)先構(gòu)造數(shù)列使M=8,再說(shuō)明不同的等腰三角形只有6個(gè)，故“46+2=8,即可求得M的最大值；

(3)先構(gòu)造數(shù)列使S=50,再設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，得3s=7+2弓+246+的+45,歹!J

舉出不同的等腰三角形，使T和24+2<7]6+。2+45最小，進(jìn)而得到SN50,即可求解.

【詳解】(1)邊長(zhǎng)為1或2的等腰三角形只有1,1,1；1,2,2；2,2,2；若前三項(xiàng)為1,1,1,則該

數(shù)列只有3項(xiàng)，不合題意；

若前三項(xiàng)為1,2,2,該數(shù)列只有4項(xiàng)，該數(shù)列只能為1,2,2,2；若前三項(xiàng)為2,2,2,該數(shù)列只有4

項(xiàng),該數(shù)列只能為2,2,2,1；

綜上：M=4,S=7；

(2)①構(gòu)造數(shù)列：1,2,2,2,3,3,3,1,此時(shí)"=8.

②當(dāng)存在連續(xù)三項(xiàng)為1,1,1時(shí)，本題中有兩條邊為1,1的等腰三角形僅有1,1,1,即數(shù)列只有3項(xiàng)，

與MN4矛盾，舍去.

③當(dāng)不存在連續(xù)三項(xiàng)為1,1,1時(shí)，連續(xù)三項(xiàng)(不考慮這三項(xiàng)的順序)共以下6種可能：

1,2,2；1,3,3；2,2,2；2,2,3；2,3,3；3,3,3.

又相鄰的4項(xiàng)組成的2個(gè)等腰三角形中間2項(xiàng)是共用的，則總的項(xiàng)數(shù)為不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)加上首尾

2項(xiàng)，所以A/W6+2=8.

④由①②③，M的最大值為&

(3)①構(gòu)造數(shù)列：1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,3,3,1,此時(shí)S=50.

②設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，則

T=(q+a,+q)+(“2+%+%)++(43++卬5)+(q4+%5+^16)

=3(%+/++_2G_&_45_2弓6，即3S=T+2%+2%6++%$.

③連續(xù)三項(xiàng)(不考慮這三項(xiàng)的順序)及這三項(xiàng)的和(標(biāo)注在下面的括號(hào)內(nèi))有以下可能：

2,2,1(5);2,2,2(6);2,2,3(7);

3,3,1⑺;3,3,2(8);3,3,3(9);;3,3,5(11);

4,4,1(9);4,4,2(10);4,4,3(11);...;4,4,7(1