高中數(shù)學(xué)人民教育出版社A版選擇性必修第二冊第四章數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項和（第二課時）問題1

推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法是什么？錯位相減法引入新課問題2

等比數(shù)列的前n項和公式是什么？引入新課問題3：設(shè){an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{nan}的前n項和.解析：引入新課(1)(2)由題意知，(1)-(2)：解答：設(shè)正方形ABCD的面積為a1，后續(xù)各正方形的面積依次為a2，a3，…，an則a1＝25，

由于第k＋1個正方形的頂點分別是第k個正方形各邊的中點，

如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．（1）求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？典例1引入新課幾何應(yīng)用如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．（1）求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？設(shè)

的前項和為Sn，

所以，前10個正方形的面積之和為

cm2．

典例1引入新課幾何應(yīng)用

Sn將趨近于50．

如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．（1）求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50．

典例1引入新課幾何應(yīng)用總結(jié)：與用等差數(shù)列的前n項和公式解決問題類似，

用等比數(shù)列的前n項和公式解決問題時：先發(fā)現(xiàn)問題情境中呈等比關(guān)系變化的量，并構(gòu)造一個等比數(shù)列來刻畫它，然后把求這個量的和的問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列和的問題

去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）．典例2引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋?＋（an－bn）

當(dāng)n＝5時，S5≈63.5，＝（a1＋a2＋?＋an）－（b1＋b2＋?＋bn）

所以，從今年起5年內(nèi)，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸．解：設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{bn}，每年以填埋方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{an-

bn}，n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn（單位：萬噸），依題知：an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用總結(jié)：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn為：Sn＝（a1＋b1）＋（a2＋b2）＋?＋（an＋bn）＝（a1＋a2＋?＋an）＋（b1＋b2＋?＋bn）

分組求和法

某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…（1）寫出一個遞推公式，表示cn＋1與cn之間的關(guān)系；解答：（1）由題意，得c1＝1200，并且cn＋1＝1.08cn－100．①典例3引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用

某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…（2）將（1）中的遞推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r為常數(shù)；（2）將cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k．②

所以（1）中的遞推公式可以化為cn＋1－1250＝1.08（cn－1250）典例3引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋?＋c10的值（精確到1）（3）由（2）可知，數(shù)列{cn－1250}是以－50為首項，1.08為公比的等比數(shù)列，則：（c1－1250）＋（c2－1250）＋（c3－1250）＋?＋（c10－1250）

所以S10＝c1＋c2＋c3＋?＋c10≈1250×10－724.8＝11775.7≈11776典例3引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用總結(jié)：在解決實際問題時，有時不容易發(fā)現(xiàn)呈等差關(guān)系或等比關(guān)系變化的量，但可以發(fā)現(xiàn)某些量的遞推關(guān)系．這時，往往可以先構(gòu)建一個用遞推關(guān)系表達(dá)的數(shù)列，再嘗試通過代數(shù)變換，把這個數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，或等差數(shù)列與等比數(shù)列的線性組合．對于數(shù)列{cn}滿足：cn＋1＝rcn＋m，先通過引入?yún)?shù)，建立一個含cn＋1與cn的等比關(guān)系，再求出其中的參數(shù)，這實際上是待定系數(shù)法，即：cn＋1－k＝r（cn－k），先求出數(shù)列{cn－k}的通項公式，進(jìn)而求得數(shù)列{cn}的通項公式．引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用鞏固練習(xí)一個乒乓球從100cm高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的0.61倍.（1）當(dāng)它第6次著地時，經(jīng)過的總路程是多少（精確到1cm）？（2）至少在第幾次著地后，它經(jīng)過的總路程能達(dá)到400cm？1.采用錯位相減法求等比數(shù)列前n項和2.等比數(shù)列前n項和在幾何中的應(yīng)用3.等比數(shù)列前n項和在實際生活中的應(yīng)用引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用鞏固練習(xí)課堂小結(jié)引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用鞏固練習(xí)課堂小結(jié)布置作業(yè)基礎(chǔ)型作業(yè)引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用鞏固練習(xí)課堂小結(jié)布置作業(yè)引入新課幾何應(yīng)用實際應(yīng)用鞏固練習(xí)課堂小結(jié)布置作業(yè)拓展型作業(yè)4.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健