【3.2.1函數(shù)的單調(diào)性與最值】總覽總覽題型梳理【知識(shí)點(diǎn)總覽】一、函數(shù)單調(diào)性的定義1.增函數(shù)與減函數(shù)的定義2.嚴(yán)格單調(diào)性與非嚴(yán)格單調(diào)性二、單調(diào)區(qū)間的概念 注意： 單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集；三、函數(shù)單調(diào)性的判定方法1.定義法（證明單調(diào)性的核心方法） 步驟： ③變形：通過因式分解、通分、配方等方法將差式化簡； ⑤結(jié)論：根據(jù)定義得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性。2.圖像法（直觀判斷） 若函數(shù)圖像在區(qū)間上從左到右上升，則為增函數(shù)；若圖像下降，則為減函數(shù)。3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（“同增異減”原則）4.常見函數(shù)的單調(diào)性（高一階段重點(diǎn)） |函數(shù)類型|表達(dá)式|單調(diào)性描述| |||| 四、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與應(yīng)用1.性質(zhì) 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同。2.應(yīng)用場景 求函數(shù)最值：若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)，則最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得（增函數(shù)最大值在右端點(diǎn)，最小值在左端點(diǎn)；減函數(shù)相反）。五、易錯(cuò)點(diǎn)與注意事項(xiàng)2.分段函數(shù)的單調(diào)性：需分別判斷各段的單調(diào)性，再考慮整體是否單調(diào)（注意分段點(diǎn)處的函數(shù)值大小關(guān)系）。3.定義法證明時(shí)的變形技巧：作差后常需因式分解（如二次函數(shù)）、通分（如分式函數(shù)）或配方（如二次函數(shù)），確保能明確差式的正負(fù)。題型題型分類知識(shí)講解與?？碱}型【題型1：定義法證明函數(shù)的單調(diào)性】例題精選例題精選【答案】證明見解析【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法，即可證明【答案】單調(diào)遞增【分析】根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明即可.相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】答案見解析【題型2：求函數(shù)的單調(diào)性】例題精選例題精選【答案】C故選：C【答案】B【分析】利用分段函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性求解.故選：B.【分析】利用分段函數(shù)思想，來作出圖象，即可得單調(diào)增區(qū)間.畫出函數(shù)圖象，如圖所示，相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】（2）（4）【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析即可得出答案.故（1）錯(cuò)誤，（2）正確；故（3）錯(cuò)誤，（4）正確；故答案為：（2）（4）.圖象如圖所示【題型3：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍（+分段函數(shù)）】例題精選例題精選【答案】A故選：A.【答案】B故選：B.【答案】BD【分析】根據(jù)一次分式型函數(shù)的單調(diào)性，即可得到兩參數(shù)的范圍.故選：BD.相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】故答案為：.【分析】根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解即可.【題型4：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性】例題精選例題精選【答案】D【分析】現(xiàn)根據(jù)解析式有意義的條件求的定義域，然后在定義域內(nèi)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則求得結(jié)果.故選：D.【答案】D【分析】求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.故選：D.【答案】B故選:B．相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】C【分析】求出原函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)法可得出原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.故選：C.【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減【題型5：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域或最值】例題精選例題精選【答案】ACD相似練習(xí)相似練習(xí)(2)最小值為，最大值為【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法，即可證明；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.【答案】(1)證明過程見解析；(2)最小值為，最大值為.(3)畫出函數(shù)圖象并求出其值域【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析；(2)最大值為，最小值為；（2）由（1）的結(jié)論即可利用單調(diào)性求出最大值和最小值.【題型6：由解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性】例題精選例題精選A．函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性 B．函數(shù)無最小值【答案】BCD相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】【分析】先求得題設(shè)函數(shù)的定義域，再分析得其單調(diào)性，從而得解.故答案為：.【題型7：根據(jù)單調(diào)性比較大小】例題精選例題精選【答案】B故選：B.【答案】D故選：D【答案】A【分析】利用函數(shù)單調(diào)性和不等式的性質(zhì)求解.故選：A．相似練習(xí)相似練習(xí)【答案】A【分析】運(yùn)用嚴(yán)格增函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式性質(zhì)解題即可.故選：A.【分析】由函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)即可求解.【題型8：抽象函數(shù)的單調(diào)性（與解不等式）】例題精選例題精選【答案】C【答案】C故選：C相似練習(xí)相似練習(xí)【分析】（1）利用賦值法直接求解即可；（2）轉(zhuǎn)化不等式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性直接求解.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性化歸為顯性的不等式來求解，方法是：【課后強(qiáng)化練習(xí)】一、單選題二、填空題三、解答題(1)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)的最大值和最小值.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明：參考答案題號(hào)12345答案ACBAB1．A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.故選：A．2．C3．B故選：B4．A故選：A.5．B【分析】由對稱軸與區(qū)間的關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.故選：B【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合反比例函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性列出不等式組求解.9．(1)答案見解析(2)最大值為4，最小值為【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷并證明.（2）根據(jù)單調(diào)性即可求解.10．(1)證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.（2）借助函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式求解.11．(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)果；12．(1)增函數(shù)，證明見解析(2)最大值是1，最小值是0；