2025年云南省昆明市五華區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共15小題，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題2分，共30分）

1.（2分）下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）

兀1,—

A.-B.-4C.3V27D.0.13133

23

2.（2分）中國國家大劇院位于人民大會堂西側(cè)，西長安街以南，由主體建筑及南北兩側(cè)的水下長廊、人

工湖、綠地等組成，其中人工湖面積約35500川.將35500用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.355X102B.35.5X103C.3.55X105D.3.55X104

3.（2分）下列計(jì)算正確的是（）

A.X2+X3=2X5B.（2y3）2=2y6

C.（-y）2.y3=-y5D.X54-X2=X3

4.（2分）二次根式6二孩在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

??11〉??11?

A.-1012B.-1012

??1?1i?.

C.-1012D.-1012

5.（2分）“月壤核”是我國科學(xué)家模擬月壤成分燒制而成的一種建筑材料，擬用于未來建造月球基地.據(jù)

介紹，“月壤磚”呈梯卯結(jié)構(gòu)，密度與普通磚塊相當(dāng)，抗壓強(qiáng)度卻是普通磚的三倍以上.如圖是一種“月

壤磚”及其主視圖，左視圖與俯視圖，則它的三種視圖中是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

俯視圖

A.主視圖B.左視圖

C.俯視圖D.以上都不對

6.（2分）己知Na=24°50,，則它的余角為（）

A.65°10'B.65°50'C.155°10,D.155°50'

7.（2分）如圖，用一條足夠長的矩形紙條，打一個(gè)結(jié)，然后輕輕拉緊、壓平、連線，就可以得到如圖所

示的正五邊形ABCQE,其中/COE的度數(shù)為（）

D.120°

8.（2分）密碼學(xué)是研究編制和破譯密碼的規(guī)律的一門學(xué)科，它與數(shù)學(xué)有密切關(guān)系.英語字母表中字母的

順序：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz,將這26個(gè)英文字母依次對應(yīng)自然數(shù)1,2,3,…，26.

密文密文與明文之間的關(guān)系明文

718381930171當(dāng)密文中的數(shù)字x為奇數(shù)時(shí),

50明文對應(yīng)的序號為尤+1；

當(dāng)密文中的數(shù)字x為偶數(shù)時(shí),

X

明文對應(yīng)的序號為一.

2

將密文破譯成用英文字母表示的明文，則明文對應(yīng)的學(xué)科是（）

A.語文B.歷史C.英語D.物理

1

9.（2分）如圖，在△ABC中，AC=6,BC=4f分別以點(diǎn)A和點(diǎn)5為圓心，大于548的長為半徑作弧,

兩弧交于E,尸兩點(diǎn)，作直線E/交AC于點(diǎn)。，連接8Q,則△BCD的周長為（)

C.10D.12

10.（2分）如圖，點(diǎn)A、B、。在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.△ABC是直角三角形B.sinB=-g-

C.D.tanC=2

11.（2分）為了解去年半程馬拉松的比賽情況，數(shù)學(xué)興趣小組對參賽選手進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查.根據(jù)調(diào)查數(shù)

據(jù)繪制了如下所示不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.則下列說法正確的是（）

組別參賽者成績頻數(shù)

A70Wx<804

B80WxV90m

C90^x<10012

D100^x<11012

EHOW尤<1207

\

2標(biāo))

A.抽樣數(shù)據(jù)的樣本容量是60

B.E組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角度數(shù)為51。

C.抽樣數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組

D.抽樣數(shù)據(jù)的平均值是96

12.（2分）如圖，RtaABC中，90°,AB=5,BC=2,若把直角三角形繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)

一周，則所得幾何體的表面積等于（）

A.2V217TB.10-rtC.12TtD.14it

13.（2分）如圖，△043是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,0）,若反比例函數(shù)y=［（/cW0）圖象的一

14.（2分）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,。。的半徑為3,ZZ）=120°,則麻的長是（）

2

A.nB.C.2TlD.4n

15.（2分）如圖1,在口45。。中，NAC8=90°,AC=2BC.點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿A3向點(diǎn)3勻速運(yùn)動，

到點(diǎn)B停止.過點(diǎn)M作MN1AC交CD于點(diǎn)N,連接AN,CM.設(shè)AM^x,AN+CM^y,y與尤的函

數(shù)圖象如圖2所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（2,5）B.（V5,2V5）C.（2,4）D.（V5,5）

二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）

16.（2分）甲，乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動員10次測試成績（單位：加）的平均數(shù)是元甲=6.01,%=6.01；方差是s

中乙z

甲2=0.01,S乙2=0.02.如果要從這兩名運(yùn)動員中選一名成績較穩(wěn)定的參加比賽，那么應(yīng)選.（填

“甲”或"乙”）

17.（2分）因式分解：4a2b-4ab+b^.

18.（2分）如圖，正方形ABC。的對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在0D上，連

接EE若/歹￡。=45°,則也磔的值為_____________________.

S&BOC

19.（2分）求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題，中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載了求兩

個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的一種方法一一“更相減損術(shù)”.原文意思是，要求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)，先

用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當(dāng)減數(shù)與差相

等時(shí)，此時(shí)的差（或減數(shù)）即為這兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù).

例如：求168與72的最大公約數(shù)，運(yùn)算步驟如下：

第一步：168-72=96；

第二步：96-72=24；

第三步：72-24=48；

第四步：48-24=24.

經(jīng)過上述四步運(yùn)算，求得168和72的最大公約數(shù)是24.

若兩個(gè)正整數(shù)經(jīng)過“更相減損術(shù)”的三步運(yùn)算，所求得的最大公約數(shù)為。，且這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)大于另

一個(gè)的3倍，則這兩個(gè)正整數(shù)中較大的數(shù)是.（用含。的代數(shù)式表示）

三、解答題（本大題共8小題，共62分）

20.（7分）計(jì)算：V12+（^）-1-（7T-3.14）°+|2-V3|-2cos30°.

21.（6分）如圖，點(diǎn)、B,F,C,E在一條直線上，AB=DE,BF=CE,ZA=ZD=90°.求證：AABC

m4DEF.

22.（7分）“一池翠湖水，半部昆明史.”位于昆明市五華區(qū)繁華街區(qū)旁的翠湖，被作家汪曾祺稱作“昆明

的眼睛”.他在《翠湖心影》中寫道：“沒有翠湖，昆明就不成其為昆明翠湖周邊分布著“云南陸軍

講武堂舊址”“朱德舊居紀(jì)念館”“翠湖公園”“國立西南聯(lián)合大學(xué)舊址”等眾多景點(diǎn).記“云南陸軍講

武堂舊址”為4“朱德舊居紀(jì)念館”為2、“翠湖公園”為C、“國立西南聯(lián)合大學(xué)舊址”為D.

(1)從這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，則這個(gè)景點(diǎn)是“云南陸軍講武堂舊址”的概率

是;

(2)從這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇兩個(gè)景點(diǎn)游覽，求這兩個(gè)景點(diǎn)中有“翠湖公園”的概率P.(請用列表法

或畫樹狀圖法中的一種方法)

23.(6分)學(xué)校開展“生活中的數(shù)學(xué)問題”學(xué)習(xí)活動，某小組選擇“汽車輪胎換位問題”為研究方向.

【問題背景】隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購置了小汽車.大多數(shù)小汽車是前輪驅(qū)動和轉(zhuǎn)向的，

所以前輪的磨損程度比后輪嚴(yán)重.如果前輪報(bào)廢，換上新輪胎，而后輪繼續(xù)使用原來的輪胎，那么汽車

行駛的安全性和乘坐的舒適性都將大打折扣；如果同時(shí)更換前后輪的輪胎，用車成本又會提高.為了解

決這個(gè)問題，一般的汽車使用手冊上都有定期給前后輪的輪胎換位的建議.

【數(shù)據(jù)信息】①汽車前輪輪胎一般應(yīng)在汽車行駛達(dá)到6萬公里時(shí)報(bào)廢，而后輪輪胎應(yīng)在汽車行駛達(dá)到8

萬公里時(shí)報(bào)廢.

②輪胎的磨損量等于汽車行駛的單位路程的磨損量乘以汽車行駛的路程.

【問題解決】

(1)若每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為1,則安裝在前輪的輪胎每行駛1萬公里的磨損量

為;

(2)如果在輪胎的使用壽命內(nèi)只交換一次前、后輪輪胎，那么應(yīng)在汽車行駛里程達(dá)到多少萬公里時(shí)，

交換前、后輪輪胎，能使汽車的兩對輪胎同時(shí)報(bào)廢？(同時(shí)報(bào)廢：兩對輪胎的總磨損量均為1)

24.(8分)如圖1,將一張矩形紙片A8CD沿著對角線8。向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處過點(diǎn)。作。G〃

BE,交8c于點(diǎn)G,如圖2.

(1)求證：四邊形8FDG是菱形；

(2)若AO=A8+4,BD=4瓜求四邊形BFDG的面積.

EE

圖2

25.(8分)某校計(jì)劃購買A,8兩種書架，已知購買1個(gè)A種書架比購買1個(gè)B種書架的價(jià)格高20%,用

18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個(gè).

(1)每個(gè)A種書架、每個(gè)8種書架的價(jià)格分別是多少元？

(2)該校計(jì)劃購買A、8兩種書架共20個(gè)，且A種書架數(shù)量不少于8種書架數(shù)量的芯設(shè)購買A種書

架a個(gè)，為使購買書架總費(fèi)用W(單位：元)最低，應(yīng)購買A種書架和8種書架各多少個(gè)？購買書架

的總費(fèi)用最低為多少元？

26.(8分)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,2),并且經(jīng)過點(diǎn)(2,11).

(1)求拋物線表示的二次函數(shù)的解析式；

(2)已知點(diǎn)ACm,n')在拋物線上，K=。曹5g*一船,且相與K均為整數(shù)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

27.(12分)如圖1,在銳角NMON內(nèi)找一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作于點(diǎn)8,以為直徑作OP,過點(diǎn)A

作AC，。N于點(diǎn)C,延長。1交。尸于點(diǎn)。，連接8D

(1)若NMON=40°,則NA2￡)=°；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在OP的延長線上，求證：ON是O尸的切線;

FC

(3)如圖3,連接04若CPJ_OA于點(diǎn)尸，且/MON=45°,求一的值.

2025年云南省昆明市五華區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共15小題，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題2分，共30分）

1.（2分）下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）

A.-B.C.V27D.0.13133

23

71

【解答】解：4、5是無理數(shù)，符合題意；

B、-/是分?jǐn)?shù)，不是無理數(shù)，不符合題意；

C、g=3是整數(shù)，不是無理數(shù)，不符合題意；

D、0.13133是小數(shù)，不是無理數(shù)，不符合題意，

故選：A.

2.（2分）中國國家大劇院位于人民大會堂西側(cè)，西長安街以南，由主體建筑及南北兩側(cè)的水下長廊、人

工湖、綠地等組成，其中人工湖面積約35500層.將35500用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.355X102B.35.5X103C.3.55X105D.3.55X104

【解答】解：35500=3.55X104.

故選：D.

3.（2分）下列計(jì)算正確的是（）

A.^+x>—2x'B.（2y3）2=2y6

C.（-y）2"=_D.尤-無2=尤3

【解答】解：根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析判斷如下：

A、兩者不是同類項(xiàng)不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、（2y3）2=4y6*2y6,故該選項(xiàng)不符合題意；

C、（-y）-y5,故該選項(xiàng)不符合題意；

D、X5-rX2=X3,故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

4.（2分）二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)尤的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

——?-----1-------1------1------>—?------1--------1------1------>

A.-1012B.-1012

??1--1------>1?I--1------>

C.-1012D.-1012

【解答】解：二次根式代區(qū)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,

則1-尤20,

解得：尤W1,

則實(shí)數(shù)尤的取值范圍在數(shù)軸上表示為：

I1I-----1---->

-1012

故選：C.

5.（2分）“月壤磚”是我國科學(xué)家模擬月壤成分燒制而成的一種建筑材料，擬用于未來建造月球基地.據(jù)

介紹，“月壤磚”呈柳卯結(jié)構(gòu)，密度與普通磚塊相當(dāng)，抗壓強(qiáng)度卻是普通磚的三倍以上.如圖是一種‘'月

壤磚”及其主視圖，左視圖與俯視圖，則它的三種視圖中是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

俯視圖

A.主視圖B.左視圖

C.俯視圖D.以上都不對

【解答】解：主視圖是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，符合題意；而左視圖與俯視圖既是軸對稱圖

形，又是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：A.

6.（2分）已知/a=24°50',則它的余角為（）

A.65°10'B.65°50'C.155010D.155°50

【解答】解：根據(jù)余角的概念可得：

90°-Za=90°-24°50'=65°10,，

故選：A.

7.（2分）如圖，用一條足夠長的矩形紙條，打一個(gè)結(jié)，然后輕輕拉緊、壓平、連線，就可以得到如圖所

示的正五邊形其中/CDE的度數(shù)為（

A

BE

A.100°B.108°C.112°D.120°

【解答】解：：多邊形為正五邊形，

1

依據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得：MDE=1x（5-2）x180°=108°；

故選：B.

8.（2分）密碼學(xué)是研究編制和破譯密碼的規(guī)律的一門學(xué)科，它與數(shù)學(xué)有密切關(guān)系.英語字母表中字母的

順序：abedefghijklmnopqrstuvwxyz,將這26個(gè)英文字母依次對應(yīng)自然數(shù)1,2,3,…，26.

密文密文與明文之間的關(guān)系明文

71838193017當(dāng)密文中的數(shù)字尤為奇數(shù)時(shí)，?

50明文對應(yīng)的序號為X+1；

當(dāng)密文中的數(shù)字X為偶數(shù)時(shí)，

X

明文對應(yīng)的序號為,

將密文破譯成用英文字母表示的明文，則明文對應(yīng)的學(xué)科是（）

A.語文B.歷史C.英語D.物理

【解答】解：根據(jù)題中所給密文與明文之間的對應(yīng)關(guān)系可得：

當(dāng)“密文”為7時(shí)，7+1=8,

所以“密文”數(shù)字7對應(yīng)的“明文”為‘7”；

同理可得，“密文”數(shù)字18對應(yīng)的“明文”為“廣；

“密文”數(shù)字38對應(yīng)的“明文”為“s”；

“密文”數(shù)字19對應(yīng)的“明文”為“f”；

“密文”數(shù)字30對應(yīng)的“明文”為

“密文”數(shù)字17對應(yīng)的“明文”為。”；

“密文”數(shù)字50對應(yīng)的“明文”為“y”；

所以“明文”為用stop即歷史.

故選：B.

1

9.（2分）如圖，在△ABC中，AC=6,BC=4,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于aAB的長為半徑作弧,

兩弧交于E,尸兩點(diǎn)，作直線EF交AC于點(diǎn)。，連接8。，則△BC。的周長為（）

【解答】解：由作圖過程可知，直線EF為線段A8的垂直平分線，

C.AD^BD,

；.ABCD的周長為BC+CD+BD=BC+CD+AD^BC+AC^4+6^10.

故選：C.

10.（2分）如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.ZVIBC是直角三角形B.sinB=恪

C.cosC=等

D.tanC=2

【解答】解：由勾股定理得：AB=,22+22=2V2,AC=Vl2+l2=&,BC=Vl2+32=V10,

：.BC2=AB2+AC2,

.?.△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,

ACV2,V5ACV2,V5AB242

sinBcosC=r__^2,

航=m=寫'點(diǎn)=南=耳'tanC==

故選：C.

n.（2分）為了解去年半程馬拉松的比賽情況，數(shù)學(xué)興趣小組對參賽選手進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查.根據(jù)調(diào)查數(shù)

據(jù)繪制了如下所示不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.則下列說法正確的是（）

組別參賽者成績頻數(shù)

70Wx<80

80?90

90?100

100W尤<110

110W尤<120

c

24%

A.抽樣數(shù)據(jù)的樣本容量是60

B.E組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角度數(shù)為51°

C.抽樣數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組

D.抽樣數(shù)據(jù)的平均值是96

【解答】解：抽取的總?cè)藬?shù)為：12+24%=50,即樣本容量為50,故選項(xiàng)A錯誤，不符合題意;

7

—X100%x360°=50.4°,故選項(xiàng)8錯誤，不符合題意；

由于7+12+12=31,故中位數(shù)落在C組，故選項(xiàng)C正確，符合題意;

"z=50-4-12-12-7=15,

故選：C.

12.（2分）如圖，RtAABCZACB=90°,AB=5,BC=2,若把直角三角形繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)

一周，則所得幾何體的表面積等于（）

CB

A.2V217rB.IOTTC.12nD.14n

【解答】解：圓錐表面積為：Ttr/+7tr=7rX2X5+TrX22=14n,

故選：D.

13.（2分）如圖，△OAB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,0）,若反比例函數(shù)y=（（kH0）圖象的一

為等邊三角形，

：.0C=^0A=1,BC=V22-I2=V3,

-11

**?^LBOC=qBC-CO=2xV3x1=V3,

：SAB℃=粵，且反比例函數(shù)圖象在第二象限，

k——2-\/3,

故選：C.

14.（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O。，。。的半徑為3,ZZ）=120°,則松的長是（）

An

B「C

2

A.KB.-TIC.2nD.4n

【解答】解：???四邊形ABC。內(nèi)接于OO,ZD=120°,

：.ZB=60°,

ZAOC=2ZB=120°,

12071X3

???瑟的長==2K.

180

故選：c.

15.(2分)如圖1,在口48。中，ZACB=90°,AC=2BC.點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿A8向點(diǎn)8勻速運(yùn)動,

到點(diǎn)8停止.過點(diǎn)M作MNLAC交C。于點(diǎn)N,連接AN,CM.設(shè)AN+CM=y,y與尤的函

數(shù)圖象如圖2所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(2,5)B.(V5,2V5)C.(2,4)D.(V5,5)

【解答】解：在口48。中，ZACB=90°,MNLAC交CD于點(diǎn)、N,如圖，延長ZM到E,使AE=ZM,

連接EM,BE,連接C￡交AB于點(diǎn)P,

E圖1

CD//AB,AD//BC,AD=BC,MN//BC,

J.MN//AD//BC,

???四邊形AMND是平行四邊形,

:.MN=AD,

:?AE=MN=BC,

???四邊形AEMN是平行四邊形,

:?EM=AN,AE//MN,

：.AE//BCf

：.ZEAC=90°,

???四邊形A防。是矩形，

1

：.EF=AF=CF=》B,CE=AB；

當(dāng)E,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，AN+CM=EM+CM最小，即當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)廠重合時(shí)，A7V+CM最小，最小值為

線段CE的長；

由圖2知，當(dāng)x=0時(shí)，y=6,此時(shí)M與A重合，N與Z）重合，

：.AD+AC=6；

\UAC=2BC=2AD.

：.ADUAD=6,

：.AD=2,

：.BC=2,AC=4；

在直角三角形ABC中，由勾股定理得：CE=AB=7BC?+ZC2=2而;

1

：.AM=AF=^AB=V5,

即當(dāng)％=而時(shí)，⑷V+CAf最小值為2瓶；

即函數(shù)圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2V5）；

故選：B.

二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）

16.（2分）甲，乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動員10次測試成績（單位：相）的平均數(shù)是無甲=6.01,%z=6.01；方差是s

甲2=0.01,s乙2=0.02.如果要從這兩名運(yùn)動員中選一名成績較穩(wěn)定的參加比賽，那么應(yīng)選甲.（填

"甲''或"乙”）

【解答】解：由題意知，元甲=元乙=6.01,s%Vs；,

因此甲的成績比乙的成績穩(wěn)定，應(yīng)選甲去參加比賽，

故答案為：甲.

17.（2分）因式分解：4a2/?-4ab+b=b（2a-I）2.

【解答】解：原式=b（4172-4o+l）

—b(2a-1)2.

故答案為：6(2a-1)2

18.（2分）如圖，正方形ABC。的對角線AC,3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在0D上，連

接右?若NFEO=45°,則的值為7

SABOC—4一

【解答】解：-：AD=BC,AD//BC,OA=OD,OALOD,

9：ZFEO=45°,

；?NEFO=NFEO=45°,

，OE=OF,

1

TOE=?。4

1

：.OF=.00,

即點(diǎn)尸是線段0。的中點(diǎn)，

???E/是△04。的中位線，

1

J.EF||ADfEF=^AD,

9：AD//BC,AD=BC,

1

：.EF||BC,EF=近,

.?.△OEFs^oCB,

.S>EOF產(chǎn)F：1

??—（）——,

S^BOCBC，4

故答案為：y.

19.（2分）求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題，中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載了求兩

個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的一種方法一一“更相減損術(shù)”.原文意思是，要求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)，先

用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當(dāng)減數(shù)與差相

等時(shí)，此時(shí)的差（或減數(shù)）即為這兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù).

例如：求168與72的最大公約數(shù)，運(yùn)算步驟如下：

第一步：168-72=96；

第二步:96-72=24；

第三步：72-24=48；

第四步：48-24=24.

經(jīng)過上述四步運(yùn)算，求得168和72的最大公約數(shù)是24.

若兩個(gè)正整數(shù)經(jīng)過“更相減損術(shù)”的三步運(yùn)算，所求得的最大公約數(shù)為。，且這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)大于另

一個(gè)的3倍，則這兩個(gè)正整數(shù)中較大的數(shù)是上j.（用含。的代數(shù)式表示）

【解答】解：設(shè)兩個(gè)正整數(shù)中較小的數(shù)為6,則較大的數(shù)為46,按照“更相減損術(shù)”進(jìn)行三步運(yùn)算可得：

根據(jù)題意得：4b-b=3b,

3b-b=2b,

2b-b=b；

則b=a,

???較大的數(shù)為4〃.

故答案為：4a.

三、解答題（本大題共8小題，共62分）

20.（7分）計(jì)算：V12+（I）-1-（7T-3.14）°+|2-V3|-2cos30°.

【解答】解：V12+—（rt—3.14）°+|2——2cos30。

=2V3+5—1+2—V3—2X

=6+V3—V3

=6.

21.（6分）如圖，點(diǎn)8,F,C,片在一條直線上，AB=DE,BF=CE,ZA=ZD=90°.求證：△ABC

公LDEF.

【解答】證明：由條件可知8C=M,

VZA=ZD=90°,

???AABC和△ObE均為直角三角形.

在RtAABC和RtADFE中,

(BC=FE

=DE'

：.RtAABC^Rt/\DEF(HL).

22.(7分)“一池翠湖水，半部昆明史.”位于昆明市五華區(qū)繁華街區(qū)旁的翠湖，被作家汪曾祺稱作“昆明

的眼睛”.他在《翠湖心影》中寫道：“沒有翠湖，昆明就不成其為昆明翠湖周邊分布著“云南陸軍

講武堂舊址”“翠湖公園”“國立西南聯(lián)合大學(xué)舊址”等眾多景點(diǎn).記“云南陸軍講

武堂舊址”為A、為8、“翠湖公園”為C、“國立西南聯(lián)合大學(xué)舊址”為。.

1

(1)從這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，則這個(gè)景點(diǎn)是“云南陸軍講武堂舊址”的概率是一；

—4—

(2)從這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇兩個(gè)景點(diǎn)游覽，求這兩個(gè)景點(diǎn)中有“翠湖公園”的概率P.(請用列表法

或畫樹狀圖法中的一種方法)

【解答】解：(1)從這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，則這個(gè)景點(diǎn)是“云南陸軍講武堂舊址”的概

率是二；

4

1

故答案為：:；

4

(2)從這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇兩個(gè)景點(diǎn)游覽，列表如下：

ABCD

A一ABACAD

BBA一BCBD

CCACB一CD

DDADBDC—

由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩個(gè)景點(diǎn)中有“翠湖公園”的結(jié)果有6種，

這兩個(gè)景點(diǎn)中有“翠湖公園”的概率是'=

122

23.(6分)學(xué)校開展“生活中的數(shù)學(xué)問題”學(xué)習(xí)活動，某小組選擇“汽車輪胎換位問題”為研究方向.

【問題背景】隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購置了小汽車.大多數(shù)小汽車是前輪驅(qū)動和轉(zhuǎn)向的，

所以前輪的磨損程度比后輪嚴(yán)重.如果前輪報(bào)廢，換上新輪胎，而后輪繼續(xù)使用原來的輪胎，那么汽車

行駛的安全性和乘坐的舒適性都將大打折扣；如果同時(shí)更換前后輪的輪胎，用車成本又會提高.為了解

決這個(gè)問題，一般的汽車使用手冊上都有定期給前后輪的輪胎換位的建議.

【數(shù)據(jù)信息】①汽車前輪輪胎一般應(yīng)在汽車行駛達(dá)到6萬公里時(shí)報(bào)廢，而后輪輪胎應(yīng)在汽車行駛達(dá)到8

萬公里時(shí)報(bào)廢.

②輪胎的磨損量等于汽車行駛的單位路程的磨損量乘以汽車行駛的路程.

【問題解決】

(1)若每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為1,則安裝在前輪的輪胎每行駛1萬公里的磨損量為7；

(2)如果在輪胎的使用壽命內(nèi)只交換一次前、后輪輪胎，那么應(yīng)在汽車行駛里程達(dá)到多少萬公里時(shí),

交換前、后輪輪胎，能使汽車的兩對輪胎同時(shí)報(bào)廢？(同時(shí)報(bào)廢：兩對輪胎的總磨損量均為1)

【解答】解：(1)由條件可知前輪在行駛1萬公里時(shí)的磨損量為三；

6

,1

故答案為：

6

(2)設(shè)行駛尤萬公里時(shí)，前后輪交換后兩對輪胎同時(shí)報(bào)廢，前輪剩余的磨損量為1-春x,后輪剩余的

磨損量為1-

O

1—1%1--X

根據(jù)交換后兩對輪胎報(bào)廢的時(shí)間相同得：-T-=

86

解得：*=號=3.42857(萬公里)；

答：應(yīng)在汽車行駛里程達(dá)到3.42857萬公里時(shí)，交換前、后輪輪胎，能使汽車的兩對輪胎同時(shí)報(bào)廢.

24.(8分)如圖1,將一張矩形紙片A2C。沿著對角線向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處過點(diǎn)。作。G〃

BE,交于點(diǎn)G,如圖2.

(1)求證：四邊形8FDG是菱形；

(2)若AO=A2+4,BD=4后求四邊形BEDG的面積.

【解答】(1)證明：如圖1,根據(jù)折疊可知：NDBC=/DBE,

\'AD//BC,

：.ZDBC=ZADB,

：.ZDBE=ZADB,

：.DF=BF,

...△2。尸是等腰三角形；

:四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

J.FD//BG,

又,：DG〃BE,

四邊形BFDG是平行四邊形，

,:DF=BF,

四邊形BEDG是菱形；

(2)解：在中，AD=AB+4,BD=4店,BD2=AD2+AB2,

/.80=(AB+4)2+AB2,

：.AB=4(負(fù)值舍去)，

；.4。=8,

?.*BF2=AF2+AB2,

：.DF2^(8-DF)2+16,

：.DF=5,

：.四邊形BFDG的面積=5X4=20.

25.(8分)某校計(jì)劃購買A,8兩種書架，已知購買1個(gè)A種書架比購買1個(gè)B種書架的價(jià)格高20%,用

18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個(gè).

(1)每個(gè)A種書架、每個(gè)8種書架的價(jià)格分別是多少元？

(2)該校計(jì)劃購買A、2兩種書架共20個(gè)，且A種書架數(shù)量不少于2種書架數(shù)量的|.設(shè)購買A種書

架。個(gè)，為使購買書架總費(fèi)用W(單位：元)最低，應(yīng)購買A種書架和8種書架各多少個(gè)？購買書架

的總費(fèi)用最低為多少元？

【解答】解：(1)設(shè)每個(gè)8種書架的價(jià)格為x元，根據(jù)題意得：

180009000

-----------------------=6,

(1+20%)%%

解得：x=1000,

經(jīng)檢驗(yàn)尤=1000是原方程的解，且符合題意，

則每個(gè)A種書架的價(jià)格為(1+20%)X1000=1200(元)；

答：每個(gè)A種書架、每個(gè)8種書架的價(jià)格分別是1200元、1000元；

(2)由題意購買B種書架(20-a)個(gè)，

7

則a2耳(20—a),

解得：。28；

而W=2004+20000,其中o\8,

當(dāng)200>0時(shí)，