專題03平行四邊形的性質(zhì)與判定

一、【知識回顧】

【思維導(dǎo)圖】

有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四

邊形，相對的邊稱為對邊，相對的角稱為

對角

平行四邊形的對邊相等，對角相等

平行四邊形的鄰角互補，對角線互相平分

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

[■兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

?判定.一組組對邊平行且相等的四邊形是平行四

,邊形

?對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第

中位線定理

三邊的一半

平行四邊形定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

矩形的四個角都是直角，矩形對角線相等

:貝直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半

個角是直角的四邊形是矩形

對角線相等的平行四邊形是矩形

定義有一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形叫作菱形

菱形的四條邊相等

^■1菱形對角線互相垂直，每-條對角線平分

一組內(nèi)角

判方對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

刊無四條邊相等的四邊形是菱形

宏▽有一組領(lǐng)邊相等且有一個角是直角的平行

■■四邊形是正方形

正方形

對邊平行，四邊相等，四個角為90°

性質(zhì)對角相等，相互垂直且相互平分

【平行四邊形性質(zhì)與判定知識清單】

平行四邊形的性質(zhì)：幾何表達式舉例：

???是平行四邊形

[(1)兩組對邊分別平行；(1)ABCD

AAB//CDAD/7BC

(2)兩組對邊分別相等；

(2)??,ABCD是平行四邊形

因為ABCD是平行四邊形n(3)兩組對角分別相等；

.\AB=CDAD=BC

(4)對角線互相平分；

[(5)鄰角互補.(3)???ABCD是平行四邊形

JNABC=NADC

ZDAB=ZBCD

(4)??,ABCD是平行四邊形

.\0A=0C0B=0D

(5)???ABCD是平行四邊形

.\ZCDA+ZBAD=180°

平行四邊形的判定：幾何表達式舉例：

(1)兩組對邊分別平行'(1)VAB/7CDAD/7BC

四邊形是平行四邊形

(2)兩組對邊分別相等ABCD

(2)：AB=CDAD=BC

(3)兩組對角分別相等ABCD是平行四邊形

四邊形ABCD是平行四邊形

(4)一組對邊平行且相等

(3)VZA=ZBZC=ZD

(5)對角線互相平分

四邊形ABCD是平行四邊形

(4)：AB=CDAB//CD

四邊形是平行四邊形

三角形中位線定理：ABCD

,

三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.(5),.0A=0C0B=0D

四邊形ABCD是平行四邊形

二、【考點類型】

考點1:平行四邊形的邊，角性質(zhì)

典例1：(22-23八年級下?浙江杭州?期中)如圖，在平行四邊形力BCD中，4E平分NB4D交BC于點E,

若AE=CD=6,BC=3CE,貝妹。=()

A.6V3B.10C.3A/7D.3V5

【答案】C

【分析】先證AABE是等邊三角形，得NBAE=48=60。，過點4作4H，BC于H,從而2

/.BAE=30°,BH=.=3,在RtAABH和在Rt△4HC中，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=C。=6,AD||BC,

：.^DAE=^BEA,

丁/E平分4840,

：.Z.BAE=Z.DAE,

：./.BEA=乙BAE,

：.BE=AB=6,

：.AE=BE=AB=6,

**.△ZBE是等邊三角形，

：.^BAE=^B=60°,

過點/作1BC于H,

i1

=-乙BAE=30°,BH=-BE=3,

22

在中,

AH=7AB2-BH2=3V3,

?；BC=3CE,

：.CE=BH=EH=3,

CH=6,

在RtZkZHC中,

2

AC=y/AH2+CH2=(3V3)+62=3V7.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義,

熟練掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】(2024.河南開封.一模)如圖，2(0,3),B(—2,0),C(3,0腳是因4BCD的頂點，若將回4BCD沿

x軸向右平移，使AB邊的中點E的對應(yīng)點？恰好落在y軸上，則點。的對應(yīng)點。'的坐標(biāo)是()

C.(6,3)D.(4,3)

【答案】C

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，首先根據(jù)平移及平行四邊形的性質(zhì)確定。(5,3),

利用中點坐標(biāo)公式得出？根據(jù)三角形中位線的判定確定點E'是線段4。邊的中點，繼而得到

E'(0,|),從而確定回2BCD向右平移1個單位，據(jù)此得解.

【詳解】解：4(0,3),8(—2,0),C(3,0)者B是因的頂點，

：.AB=CD,ABWCD,3-(-2)=5,

即線段4B沿x軸向右平移5個單位得到線段CD,點。是點4的對應(yīng)點，點C是點B的對應(yīng)點，

D(5,3),

:點E是線段48邊的中點，

點E的坐標(biāo)為(三史,等)，即(一1,|)，

過點E作EF1y軸，

J.^AE'E=90°,

?.ZOB=90°,

：./.AE'E=Z.AOB,

：.EE'\\BC,

...點是線段4。邊的中點，

.3(0,|),

:將團力BCD沿x軸向右平移，使4B邊的中點E的對應(yīng)點所恰好落在y軸上，

又0-(-1)=1,

回4BCD沿x軸向右平移1個單位，

...D'(6,3).

【變式2】(23-24八年級下?浙江溫州?階段練習(xí))如圖，回ABCD中，4E平分NBA。，AB=5,BC=

8,DE=4,貝U4E的長是()

A.5V3B.3V10C.5V5D.4V5

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角的平分線定義，得到AB=DC=BE=5,BC=AD=8,EC=

BC—BE=3,利用勾股定理的逆定理得到NDEC=90°,繼而得到乙4DE=90°,勾股定理計算即可，

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】,：^ABCD,AB=5,BC=8,

：.AB=DC=5,BC=AD=8,BC||AD,

C.Z-ADE=4DEC,乙BEA=Z.EAD,

平分NBA。，

：.Z.BAE=Z.EAD,

：.ABAE=NBE力，

：.AB=BE=5,

EC=BC-BE=3,

'：DE=4,EC2+DE2=9+16=25=DC2

:.乙DEC=90°,

C./.ADE=90°,

'.AE—y/AD2+DE2—4V5,

故選：D.

【變式3］（2024?安徽合肥?一模）如圖，在12ABe。中，Z.B=40°,AB=AC,將△ADC沿對角線4c翻

折，AF交BC于點E,點。的對應(yīng)點為點凡貝IU4EC的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等

腰三角形性質(zhì)得到N4CB=NB=40°,利用平行四邊形性質(zhì)推出=乙4cB=40°,由翻折的性

質(zhì)可知，NR4c=/.DAC=40°,最后根據(jù)乙4EC=180°-^FAC-/.ACB,即可解題.

【詳解】解：：Z.B=40°,AB=AC,

：.Z.ACB=Z.B=40°,

,??四邊形4BCD為平行四邊形，

.-.ADWBC,

???Z.DAC=^ACB=40°,

由翻折的性質(zhì)可知，/.FAC=^DAC=40°,

ZXEC=180°-ZFXC-乙4cB=100°,

故選：C.

【變式4］（22-23八年級下?浙江杭州?期中）如圖，BD為平行四邊形4BCD的對角線，乙DBC=45。,

DE1BC于點E,BF1CD于點F,DE,BF相交于點H,直線BF交線段4D的延長線于點G,下列結(jié)論：

①Z_C=45。；②4A=4BHE；③乙BHD=KBDG；@BH2+BG2^AG2.其中正確的結(jié)論有.

【答案】②④

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)等

知識點，靈活利用平行四邊形的性質(zhì)尋找條件證全等是解題的關(guān)鍵.

利用全等三角形的判定證出ABE"三△DEC,可得到CE和ED的長短關(guān)系，即可判斷①；利用角的等

量代換可判斷②和③；利用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)證出AABG為直角三角形，再利用

勾股定理建立式子即可判斷④.

【詳解】解：'：DE1BC,BF1CD,

:.乙BEH=乙DEC=乙CFB=90°,

J./.C+Z.CBH=90°,4BHE+4CBH=9?！?

:.乙BHE=ZC,

又：NDBC=45。，

:.乙EDB=90°-乙DBC=45°,

:.BE=DE,

在ABE"和△DEC中,

NBEH=乙DEC

乙BHE=ZC

、BE=DE

：.△BEH=△DEC(AAS),

：.EH=EC,

：.CEWDE,

???“W45。,故①錯誤；

;四邊形為平行四邊形，

Z-A—Z.C,

：.^A=^BHE,故②正確；

'：BC\\AG,

：.zG=Z.CBG<Z.CBD,

VzBWD=90°+ACBG,4BDG=9Q0+乙BDE,

:.乙BDG>乙BHD,故③錯誤；

?：ABEH三ADEC,AB=CD,

：.BH=CD=AB,

\'AB\\CD,

：.AB1BG,

.?.在RtAABG中：AB2+BG2=AG2,

：.BH2+BG2^AG2,故④正確；

故答案為：②④.

【變式5】(23-24八年級下?浙江溫州?階段練習(xí))如圖，EL4BCD中，乙4DB=20。,411BC于及，卜E交

8。于點F,若=則黑的值為.

【答案】安W

44

【分析】本題主要考查對三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，平行

四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，含30度角的直角三角形和勾股定理等知識點.取DF的中

點。，連接4Q,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出4F，力。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NB4E=30。，

根據(jù)含30度角的直角三角形和勾股定理求出4E=與AB,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖，取DF的中點。，連接4Q,

：.AD\\BC,

:?乙CBD=^ADB=20°,

,CAELBC,

：.AF1AD,

：.DF=2AQ=2DQ,

\9DF=2AB,

：.AQ=AB,

Z-AQB=Z-ABD,

,：AQ=DQ,

：.^.QAD=Z.ADQ=20°,

/.ABD=Z.AQB=Z.QAD+^ADQ=40°,

：.Z-ABE=60°,

：.ABAE=30°,

：.BE=-AB,

2

：.AE=7AB2-BE?=&B,

2

?AE_^2AB_V3

?.FD_2AB~4'

故答案為：

【變式6］（23-24九年級下.廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，EF過平行四邊形48CD對角線的交點。，交AD

于點E,交BC于點F,若平行四邊形ABCD的周長是36,OE=3,則四邊形4BFE的周長為.

【答案】24

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證

明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

先由ASA證明△ZOE三△COF,得0E=OF,AE=CF,再求得ZB+BC=18,由平行四邊形4BFE的

周長=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+20E,即可求得答案.

【詳解】解：???四邊形為平行四邊形，對角線的交點為。，

??.AB=CD,AD=BC,OA=OC,AD||BC,

???Z-EAO=Z.FCO,

2EA0=乙FCO

在△40E和△COF中，OA=OC,

^AOE=Z.COF

AOE=ACOF(ASA),

??.OE=OF,AE=CF,

???平行四邊形/BCD的周長為36,

AB+BC=-x36=18,

2

???四邊形48FE的周長=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+20E=4B+8C+2x3=18+6=

24,

故答案為：24.

【變式7](2024?江蘇淮安?一模)如圖，團4BCD中，AB=10,BC=7,進行如下操作：①以點4

為圓心，任意長為半徑作弧，分別交4。、4B于M、N兩點；②分別以點M、N為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L

度為半徑作弧，兩弧交于點P；③作射線4P交DC于點E,貝ICE的長為.

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作角平分線，平行四邊形的性質(zhì)，等角對等邊等，根據(jù)角平分

線的定義以及平行四邊形的性質(zhì)，即可得到DE,CD的長，進而得到CE的長.理解并掌握相關(guān)圖形的

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知，4E平分NB4D,

：.^DAE=^EAB,

,/四邊形4BCD是平行四邊形，

：.AB||CD,AB=CD=10,AD=BC=7,

：.Z.DEA=Z.EAB,

：.Z.DEA=ADAE,

：.AD=DE=7,

：.CE=CD—DE=3,

故答案為：3.

考點2：平行四邊形的對角線性質(zhì)

典例2：（23-24八年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，回4BCD的對角線AC,BD相交于點O,EF,G”過

點O,且點E,H在邊力B上，點G,尸在邊CD上，則陰影部分的面積與團4BCD的面積比值是（）.

A-1B-1D-1

【答案】C

【分析】

本題主要考查了平行四邊形的對稱性，將陰影部分的面積進行合理的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得△OEH和△OFG關(guān)于點。中心對稱，即可S4OEN=S^OFN，再根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)即可解答.

【詳解】

解：二.四邊形4BCD為平行四邊形,

；.△。后”和4OFG關(guān)于點O中心對稱,

??SAOEH=S^OFG>

,S陰影部分=S〉COD=~^ABCD^

陰影部分的面積與團4B8的面積比值是土

故選：C.

【變式1］（23-24八年級上?福建泉州?期末）如圖，在EL48CD中，CE-.DE=3:1,A20E的面積等于

3cm2.根據(jù)作圖痕跡，計算出回48CD的面積為（

2C.10cm2D.8cm2

【答案】A

【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到4。=0C,得到SACOE=SAAOE=3,得到S-CE=6,根據(jù)

CE:DE=3:1,得到SMDE=2,得到S“CD=8,得到S團—CD=16.

本題主要考查了線段垂直平分線，平行四邊形，三角形面積.熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)，平行四

邊形性質(zhì)，等高三角形面積比等于底邊比，是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】由作圖知，0E垂直平分/C,

??AO=0C,

?,^LCOE=S“OE=3，

?,S*CE=S2COE+^AAOE=6,

U?LACE'-^ADE=CE:DE=3:1,

,?SFDE=2,

**S〉A(chǔ)CD=S-CE+S—DE=8,

??,團是中心對稱圖形，對稱中心是點O,

J.^ACD=△CAB,

?,^ABCD=2SAACD=16?

故選：A.

【變式2】（2023八年級下?浙江?專題練習(xí)）如圖，團ABCO的對角線4:、8。交于點O,AE平分

交BC于點E,且NHDC=60。，AB=1BC,連接。E.下列結(jié)論：①4E=CE；②S“BC=AB?AC；

③SAABE=2s“CE；?0E1AC,成立的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì).利用平行四邊形的性質(zhì)

可得乙4BC=NADC=60。，^BAD=120°,利用角平分線的性質(zhì)證明△ABE是等邊三角形，然后推

出4E=BE=：BC,再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角、三線合一進行推理解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：四邊形48CD是平行四邊形，

：.AABC=AADC=60°,4BAD=120°,

平分/BAD,

：.^BAE=LEAD=60°,

是等邊三角形，

：.AE=AB=BE,乙AEB=60°,

i

9：AB=-BC,

2

1

：.AE=BE=-BC,

2

：.AE=CE,故①正確;

J./.EAC=A.ACE=30°,

J.^BAC=90°,

?'?SAABC=\AB?AC,故②錯誤；

,:BE=EC,

為BC中點，

*',^AABE=SucE，故③錯誤；

'：OA=OC,AE=EC,

：.OE1AC,故④正確；

故正確的個數(shù)為2個，

故選：B.

【變式3】（22-23八年級下?北京海淀?階段練習(xí)）如圖，團4BCD的對角線AC、BD交于點。，回力BCD的

周長為30,直線EF過點0,且與AD,BC分別交于點E,F,若OE=5,則四邊形4BFE的周長是（）

A.30B.25C.20D.15

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得力B=CD,AD=CB,AD||CB,OA=OC,貝此。4E=N0CF,進而

ciTffiAAOE=ACOF(ASA),貝lj0E=OF=5,AE=CF,貝l]EF=10,AE+BF=CF+BF=CB,

由24B+2CB=30,得4B+CB=15,貝MB+4E+BF+EF=AB+CB+EF,計算求解即可.

【詳解】解：???四邊形2BCD是平行四邊形，對角線力C、BD交于點0,

：.AB=CD,AD=CB,AD||CB,OA=OC,

C.Z.OAE=/.OCF,

'：AAOE=ACOF,OA=OC,乙OAE=LOCF,

：.AAOE=△COF(ASA),

.?.OE=OF=5,AE=CF,

??.EF=OE+OF=5+5=10,AE+BF=CF+BF=CB,

'：機4BCQ的周長為30,

2AB+2cB=30,

???AB+CB=15,

??.ZB+ZE+BF+EF=4?+CB+EF=15+10=25,

四邊形ABFE的周長是25,

故選：B.

【點睛】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明AAOEgZiCOF是

解題的關(guān)鍵.

【變式4］（2024八年級下?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在團4BCD中，對角線AC,BD交于點。，AC1CD,

過點0作。E1AC交4。于點E,連接CE.已知4C=6,BD=10,則4CDE的周長是.

【答案】4+2V13

【分析】

本題考查了平行四邊形與三角形綜合.熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定

理解直角三角形，是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形對角線的性質(zhì)，得到OC=3,00=5,Rt△C。。中根據(jù)勾股定理得CD=4,Rt△ACD

中利用勾股定理得=2V13,利用線段垂直平分線的性質(zhì)得4E=CE,推出△CDE周長等于4D+CD

即可.

【詳解】

?.?團4BCD中，AC=6,BD=10,

：.OC=OA^-AC=3,OD=OB=-BD=5,

22

'：AC1CD,

???乙4CD=90。，

ACD=yJOD2-OC2=4,

：.AD=y/AC2+CD2=2V13,

U

：OE1ACf

：.AE=CE,

：.CE+DEAE+DEAD2V13,

C^CDE=CD+DE+CE—4+2V13.

故答案為：4+2V13.

【變式5］（23-24八年級下?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖，在團4BCD中=4,BC=6,^ABC=30°,

對角線4C與BD交于點。，將直線/繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)，分別交4。、BC于點E、F,則四邊形

力BFE周長的最小值是.

【答案】12

【分析】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，確定四邊

形4BFE周長取最小值時點E、P的位置成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得△力。F三AEOC可得4E=EC,進而確定當(dāng)EF取最小值時，四邊形4BFE周

長的最小，即EF1BC；然后求得EF取最小值即可解答.

【詳解】解：?.?四邊形48CD是平行四邊形，

：.OA=OC,AD\\BC,

C./.OAF=乙ECO,

'：Z.AOF=Z.EOC,

△AOF=△EOC,

：.AE=EC,

：.四邊形ABFE周長為4F+AB+BE+EF=EC+AB+BE+EF=AB+BC+EF=10+EF,

.?.當(dāng)EF取最小值時，四邊形4BFE周長的最小，即EF_LBC,

如圖：過A點作4G18C,即4G的長為EF的最小值，

VZ4SC=30°,

：.AG=-AB=-x4=2,即EF的最小值為2

四邊形4BFE周長的最小值為10+2=12.

故答案為12.

【變式6】（23-24八年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，在團4BCD中，〃是對角線2C上一點，過點M分

別作EFIIAB,GH||BC,分別交邊AD,BC于點E,F,交邊力B,CD于點G,H.則S四邊形BFMG

S四邊形MHDE（填或“="）-

【答案】=

【分析】

此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，先證明AABCmACD4則

S〉A(chǔ)BC=S&DCA，問理可證明S-GM=^LMEA9^LCFM=LMHC9即可得到答案?

【詳解】

??,四邊形48co是平行四邊形，

:?AB=CD,BC=DA,AB||CD,BC||DAf乙B=,

：.△ABC=ACDA,

??SfBC=S^DCA.

U：EF||XB,GH||BC,

：.EF||AB||CD,GH||BC||AD,

???四邊形4GME是平行四邊形，四邊形MFCH是平行四邊形，

同理可證，ANGM三ZiMEZ,△CFM=△MHC,

,?S^AGM=^LMEA9^ACFM=LMHC，

**S&ABC~S—GM-=S4oc/-S^MEA-S^MHC

即S四邊形BFMG=S四邊形MHOE，

故答案為：=

【變式7］（22-23九年級上?山西運城期中）在平行四邊形/BCD中，對角線AC,80相交于點0,過

0的兩條直線分別交邊48,CD,AD,BC于點、E、F,G,H.且AB=3,4）=5,BE=DF=1,當(dāng)

AG=,使直線EF,G”把四邊形/BCD的面積四等分.

【分析】過。作KL14B于點K,交CD于點L,過點。作PQ，4。于點°,交BC于點P,則KL=

20K,PQ=20Q,由平行四邊形的面積求出案=:再證"BOE=SA40G，然后由三角形面積得落=

AG=l，即可得出結(jié)論.本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形、四邊形的面積問題，熟練掌握平

行四邊形的性質(zhì)，證明SABOE=SUOG是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過。作KL14B于點K,交CD于點3過點。作PQ14D于點。，交BC于點尸，

由平行四邊形是中心對稱圖形可知，KL=20K,PQ=20Q,

：s平行四邊形ABCD-AB-KL-AD-PQ,

：.3x20K=5x20Q,

.OK_5

??——，

0Q3

■:S^AOB=[S平行四邊形ABC。'S四邊形/EOG=]S平行四邊形.co'

^SLAOB=S四邊形/EOG，

??S^BOE=S^AOG,

111

：SABOE=/E?OK=5X1XOK,SAW=-AG-OG,

11

A-x1xOK=-AG-OG,

22

：.—=AG=A

OQ3

,:BE=DF=1,

.?.當(dāng)AG=CH=|時，直線EF,GH把四邊形4BCD的面積四等分,

故答案為：

考點3：平行四邊形的判定

典例3：（22-23八年級下?江蘇?期中）在四邊形ABCD中，AB||CD,給出下列4組條件：①AB=CD,

②AD=BC,③40IBC,?^ABC=^ADC.其中，不熊得至!四邊形4BCD是平行四邊形”的條件

是.（只填序號）

【答案】②

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定直接判斷即可.

【詳解】①48=CD,則一組對邊平行且相等，可得到四邊形48CD是平行四邊形，不符合題意；

②4D=BC,無法得到四邊形4BCD是平行四邊形，符合題意；

③4DIIBC,兩組對邊分別平行，可得到四邊形4BCD是平行四邊形，不符合題意；

@^ABC=AADC,則此兩角都是ABAC的補角，而NB力C與"BC為同旁內(nèi)角互補，可推出4DUBC,

兩組對邊分別平行，可得到四邊形4BCD是平行四邊形，不符合題意；

故答案為：②

【點睛】此題考查平行四邊形的判定定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握所有平行四邊形的判定定理.

【變式1】（22-23八年級上?山東淄博?階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在BC、

AD上，若想使四邊形AFCE為平行四邊形，須添加一個條件：①AF=CF；②AE=CF；③NBAE=

ZFCD；④NBEA=NFCE.這個條件可以是.

【答案】③④

【分析】由平行四邊形的判定依次判斷，即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,AB=CD,ZB=ZD,AD〃BC,AD=BC,

如果AF=CF,

則無法證明四邊形AFCE是平行四邊形，

故①不合題意；

如圖，作AM_LBC交BC于點M,FN_LBC交BC于點N,

；.AM=FN,

；AE=CF,

.".△AME^AFNC(HL)

/.NAEM=NFCN,

，AE〃FC,

四邊形AFCE為平行四邊形，

若點E在BM上，四邊形AFCE為梯形，

故②不符合題意；

如果NBAE=NFCD,

貝lUABE0ZkDFC(ASA)

；.BE=DF,

.".AD-DF=BC-BE,

即AF=CE,

：AF〃CE,

四邊形AFCE是平行四邊形；

故③符合題意；

如果NBEA=NFCE,

貝UAE〃CF,

VAF//CE,

四邊形AFCE是平行四邊形；

故④符合題意；

故答案為：③④

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定.解題的關(guān)鍵是選擇適宜的證明方法：此題③采用一組

對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；④采用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

【變式2](22-23八年級下?北京?期中)已知,如圖，四邊形2BCD,AC,BD交于點0,請從給定四個

條件①4B=CD；?AD//BC-,?^BAD=ZBCD；④B。=。。中選擇兩個，使得構(gòu)成四邊形可判定為

平行四邊形.你的選擇是.

【答案】②④

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法選擇兩個條件并證明即可.

【詳解】選擇②④，理由如下：

'：AD//BC,

???Z.ADO=Z-CBO.

/.ADO=乙CBO

在△ZOO和△COB中，OD=OB

Z.AOD=乙COB

???△/OO=△COB（ASA）

AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形.

故答案為：②④.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式3】（22-23八年級下?河南許昌?期中）如圖，在平行四邊形4BCD中，BD是對角線，E,F是

對角線上的兩點，要使四邊形4FCE是平行四邊形，還需添加一個條件（只需添加一個）是.

【答案】BF=DE（答案不唯一）

【分析】連接對角線AC,利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行求解即可.

【詳解】解：添加的條件為8尸=?！?理由如下：

證明：連接AC交8。于點。，如圖所示：

?..四邊形ABCO為平行四邊形,

：.AO=CO,BO=DO,

,:BF=DE,

：.BO-BF=DO-DE,

即OF=OE,

四邊形ABCE為平行四邊形，

故答案為：BF=DE（答案不唯一）.

【點睛】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵.

【變式4】(2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測)如圖，點E、E是四邊形4BCD的對角線4c上的兩點，AF=

CE,DF=BE,DF||BE.

(1)求證：4AFD34CEB

(2)四邊形力BCD是平行四邊形嗎？請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)四邊形2BCD是平行四邊形，理由見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)與判定；

(1)先由平行線的性質(zhì)得到NDF力=乙BEC,再利用SAS證明△力FDdCEB即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得到力。=CB,A.DAF=Z.BCE,進而證明4。||CB,由此即可證明四邊形

4BCD是平行四邊形.

【詳解】(1)證明：???DF||BE,

???Z-DFA=乙BEC

在△/F。和4中

DF=BE

Z-DFA=乙BEC,

、AF=CE

??.△AFD=△CEB(SAS)

(2)解：四邊形是平行四邊形，理由如下：

???△AFD=△CEB

??.AD=CB,Z.DAF=乙BCE

--AD||CB,

四邊形ABC。是平行四邊形.

【變式5](23-24九年級下?江蘇南通?階段練習(xí))如圖，在MBCD中，E、F為對角線BD上兩點，BE=

DF.求證：四邊形AECF是平行四邊形.

AD

BC

【答案】見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，結(jié)合條件活用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題

的關(guān)鍵.連接4C,交BD于點0,利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明.

【詳解】如圖，連接4C,交BD于點。，

,/四邊形2BCD是平行四邊形，

0A—0C,0B—0D,

YBE=DF,

???DO-DF=OB-BE,

??.0E=OF,

V0A=0C,

四邊形2ECF是平行四邊形.

【變式6］（23-24八年級下?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，四邊形48CD對角線交于點O,且。為4C中

點，AE=CF,DF||BE,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

E

1sxzD

【答案】見詳解

【分析】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行四

邊形的判定方法，證明三角形全等得出對應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵.

由已知條件和平行線的性質(zhì)得出。E=0F,LE=ZF,由ASA證明△B0E幺D0F,得出對應(yīng)邊相等

OB=0D,即可證出四邊形28。。是平行四邊形.

【詳解】證明：為4C中點，

???0A—0C,

vAE=CF,

0E=OF,

???DF||BE,

???Z-E=ZF,

Z-E=Z-F

在△BOE和△OOF中，OE=OF,

Z-BOE=乙DOF

/.△BOE三△OOF(ASA),

OB=OD,

又???OA=OC9

???四邊形ABC。是平行四邊形.

【變式7](22-23八年級下?浙江溫州?階段練習(xí))如圖，在團4BCD中，點E在4B上，點F在CD上，且

AE=CF.

(1)求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

(2)若DE為N4DC的角平分線，S.AD=6,EB=4,求團4BCD的周長.

【答案】(1)證明見解析

(2)32

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AB||CD,AB=CD,結(jié)合題意可得BE=DF,

根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；

(2)根據(jù)角平分線的定義可得N4DE=NCDE,根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得IICD,根據(jù)兩直

線平行，內(nèi)錯角相等可得乙4ED=NCDE,推得=根據(jù)等角對等邊可得4E=2D=6,

求得4B=4E+BE=10,即可求解.

【詳解】(1)證明：：四邊形4BCD是平行四邊形，

J.AB||CD,AB=CD,

'：AE=CF,

：.BE=DF,且BE||DF,

：.四邊形DEBF是平行四邊形.

(2)解：:DE為乙4DC的角平分線，

J./-ADE=Z.CDE,

四邊形4BCD是平行四邊形，

J.AB||CD,

J.^AED=乙CDE,

J.Z.ADE=/.AED,

：.AE=AD=6,

,:BE=4,

：.AB=AE+BE=10,

.?.EMBCO的周長=2x(40+4B)=2x(6+10)=32.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，平行

四邊形的周長，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點4：平行四邊形判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用

典例4：(22-23八年級下?四川成都?期末)如圖，在團4BCD中，點E,尸在對角線2C上，且4尸=CE,

連接BE,DE,BF,DF.

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)若NB4C=80°,AB=AF,DC=DF,求NEBF的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)30°

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得力8=CD,對邊平行可得2B||CD,再根據(jù)兩直線平行，

內(nèi)錯角相等可得NB4F=WCE,然后利用“邊角邊”證明AABF三ACDE,故可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得48=BE,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題.

此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是得出AABF=ACDE,再由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在EL4BCD中，AB=CD,AB||CD,

：.Z.BAF=ADCE,

在AABF和ACDE中，

-AB=CD

Z.BAF=LDCE,

.AF=CE

：.△ABF父CDE(SAS),

:.BF=DE,/.DEF=Z.BFA,

：.ED||BF,

???四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)解：???四邊形BEDF是平行四邊形，

：.BE=DF,

'：AB=DC=OF,

：.AB=BE,

：.Z.BEA=乙BAC=80°,

:?乙ABE=180°-2x80°=20°,

U：AB=AF,

1

：.^ABF=Z.AFB=jx(180°-80°)=50°

:.乙EBF=4ABF-/LABE=50°-20°=30°.

【變式1](22-23八年級下?四川成都?期末)如圖，在△ABC中，點。，E分別是邊B4BC的中點,

連接點廠為C4延長線上一點，且連接FD,FE,AE.

⑴求證：四邊形4FDE是平行四邊形；

(2)若乙DEB=KDEF,求證：EF=EC；

(3)在(2)的條件下，若DE=笆,ZC=45°,求BC的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶BC=6

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，

熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)三角形中位線定理利用一組對邊平行且相等的四邊形即可證明四邊形4FDE是平行四邊形;

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)，證明NEFC=NC,即可解決問題；

(3)結(jié)合(2)證明AEFC是等腰直角三角形，即可解決問題.

【詳解】(1)證明：???點。，E分別是邊B4BC的中點，

DEWAC,DE=^AC,

1

???FA=-AC,

2

???DE=FA,

???四邊形/FDE是平行四邊形；

(2)???四邊形AFDE是平行四邊形，

???DEWAC,DFWAE,

???乙DEB=Z.C,乙DEF=Z-EFC,

乙DEB=乙DEF,

???Z.EFC=Z.C,

??.EF=EC；

(3)解：?；FA=DE=V2,

???AC=2DE=2V2,

???FC=FA+AC=3VL

???4EFC=ZC=45°,

??.△EFC是等腰直角三角形，

???EF2+EC2=FC2,

EF=EC=—FC=3,

2

BC=2EC=6.

【變式2](22-23八年級下?山西太原?階段練習(xí))己知：在回ABC。中，DE14C于點E.

(1)尺規(guī)作圖：作線段BF,使BF1AC交4c于點F；(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，連接OF,BE,求證：四邊形BED尸是平行四邊形；

(3)連接BE,若AD=4,AC=3A/3,^BCA=30°,貝UBE=.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

(3)77

【分析】(1)根據(jù)要求作出圖形即可;

(2)由BF1AC,DE1AC,可得BF||DE,再證明△ABF三△CDE,可得BF=DE,I艮據(jù)一組對邊平

行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；

(3)由直角三角形的性質(zhì)可得BF=2,利用勾股定理求得CF,由(2)可知△力BFdCDE,則4F=

CE=聰,進而求得EF,再利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，點F即為所求作，

???BF1AC,DE1AC,

???BFWDE,

UFB=MED=4BFE=乙DEF=90°,

???四邊形48CD是平行四邊形，

■■.ABWCD,AB=CD,

???Z-BAF=Z.DCE,

???△/BFw2kCOE(AAS),

BF—DE,

???四邊形BEDF是平行四邊形.

(3)解：???四邊形4BCD是平行四邊形，

???AD=BC=4,

???Z.BCA=30°,

1

???BF=-BC=2,

2

.?.在Rt△BFC中，CF=VSC2-BF2=V42-22=273,

由(2)知，LABF=△CDE,

：.AF=CE=AC-CF=3^-2^/3=V3,

???EFAC-AF-CE3V3-V3-V3=V3,

.?.在Rt△BFE中，BE=y/BF2+EF2=J22+(V3)2=V7,

故答案為：V7.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

【變式3]