2025年中考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷01（廣東省卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.下列四個數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.-2B.|-2|C.-（-2）D.（-2『

2.隨著Ai技術(shù)的普及，出現(xiàn)了很多“現(xiàn)象級”Ai應(yīng)用，以下是一些常見Ai應(yīng)用的log。圖案，其中是中心對

稱圖形的是（）

3.切See左是一款先進(jìn)的人工智能助手，可提供高效、精準(zhǔn)的信息檢索和智能對話服務(wù).其活躍用戶數(shù)在

上線21天后達(dá)到了3370萬.將3370萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.33.7x106B.3.37xl06C.3.37xl07D.0.337xl07

4.如圖，直線?！?,矩形N5CD的頂點A、D分別在直線6、。上，若/2=41。，則N1的度數(shù)為（）

5.下列運算正確的是（）

A.2m2+m~=3m4B.2m2-4??2=8m2C.m5-i-m3=m2D.（3n2）=3"4

6.作為經(jīng)濟大省、旅游大省，廣東正通過不斷完善現(xiàn)代旅游業(yè)體系，加快粵港澳大灣區(qū)世界級旅游目的地

等項目建設(shè)，奮力推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展.小萌假期里想在省內(nèi)景點游玩，主要考慮的地方有以下五個景

點：廣州長隆歡樂世界、深圳東部華僑城、珠海長隆海洋度假區(qū)、深圳世界之窗、廣州陳家祠.若她隨機

選擇兩個景點，恰好選到深圳世界之窗和廣州陳家祠的概率是（）

廣州長隆歡樂世界深圳東部華僑城珠海長隆海洋度假區(qū)深圳世界之窗廣州陳家祠

7.如圖，大正方形面積為32,小正方形的面積為8,則陰影部分的面積是（）

C.12D.24

8.若點/（-3/J,3（-2,%）,C（2,%）在二次函數(shù)夕=a（x+iy（a<0）的圖象上，則%,%，%的大小

關(guān)系是（）

A.必<%<%B.必<%<%C.D.

9.“孔子周游列國”是流傳很廣的故事.有一次孔子和學(xué)生們到距離他們住的驛站12公里的書院參觀，學(xué)生

們步行出發(fā)，1小時后，孔子乘牛車出發(fā)，牛車的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和學(xué)生們同時到達(dá)書

院.設(shè)學(xué)生們步行的速度為每小時x公里，則下面所列方程正確的是（）

1212,12121

A.—=-----+1B.-----=-----FI

x1.5xl.5xx

1212112i12

C.--------1D.-----=1------

xl.5x1.5xx

10.如圖是關(guān)于X的函數(shù)y=b+6化70）的圖象，則不等式丘+640的解集在數(shù)軸上可表示為（）

B.一_?——?_i.

-1012

c.D.~~X~~L

-1012-2-101

第n卷

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.一組數(shù)據(jù)3,4,4,5,6,6的中位數(shù)是.

12.化簡：3盧x-34的結(jié)果為

l-xL-X

13.關(guān)于x的一元二次方程2f+4苫-加=0有兩個不同的實數(shù)根，則加的取值范圍是

2,(x—1)〉x—1,

14.若關(guān)于尤的不等式組JJc的解集為x>l,則。的取值范圍是

3x>2x+2a

15.如圖，在菱形ABCD中，AB=2^3,/48C=120。，把菱形488繞著頂點/逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形

NB'C'。'，點C的運動軌跡為弧CC',則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留兀）

AB

三、解答題（一）：本大題共3個小題，每小題7分，共21分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟）

-1

16.計算：(-7)°+2sin45°-V8+I

（1）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）條件下，垂直平分線交NC于點。，連接5。，若4C=28C=8,求的長.

18.如圖，一個書架上放著8個完全一樣的長方體檔案盒，其中左邊7個檔案盒緊貼書架內(nèi)側(cè)豎放，右邊一

個檔案盒自然向左斜放，檔案盒的頂點。在書架底部，頂點廠靠在書架右側(cè)，頂點C靠在檔案盒上，若書

架內(nèi)側(cè)2G長為60cm,ZCDE=53°,檔案盒長度48=35cm.(參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.80,cos53°?0.60,

tan53°?1.33)

(1)求EO的長度；

(2)求每一個檔案盒的厚度;

(3)求出該書架中最多能放幾個這樣的檔案盒.

四、解答題(二)：本大題共3個小題，每小題9分，共27分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟)

19.某教育平臺推出A,8兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件，相關(guān)人員開展了A,8兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟

件使用滿意度評分測驗，并從中各抽取20份，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析(評分分?jǐn)?shù)用x表示，分為以

下四個等級：不滿意(60<xV70),比較滿意(70<xV80),滿意(80<xW90),非常滿意(90<xW100),下

面給出了部分信息：

抽取的對A款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件的所有評分?jǐn)?shù)據(jù)：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,

86,89,90,90,94,95,98,98,99,100.

抽取的對8款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件的評分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：86,86,87,88,88,88,89,90.

A,B兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件的評分統(tǒng)計表

軟件平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A8685.5a96.6

B8686.58869.8

B款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件評分的扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

(1)填空：a=,m=:

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件更受用戶歡迎？請說明理由(寫出一條理由即可)；

(3)本次調(diào)查中，若有800名用戶對A款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件進(jìn)行了評分，有1000名用戶對B款人工智能

學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件進(jìn)行了評分，估計其中對A,8兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件非常滿意的用戶總?cè)藬?shù).

20.某乒乓球館使用發(fā)球機進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口A位于桌面3c左上方，桌面8c的長為2.74m,過點A

作ONL2C,垂足為。，O3=0.()3m,以點。為原點，以直線3c為x軸，0/所在直線為了軸，建立平面

直角坐標(biāo)系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運動路線為拋物線的一部分設(shè)乒乓球與出球口A的

水平距離為x(m),到桌面的高度為了(m),在桌面上的落點為。，經(jīng)測試，拋物線上的解析式為

7=a(x-l)2+0.45,且當(dāng)x=2時，y=0.25.

(1)求出V與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m,問乒乓球位于球網(wǎng)正上方時，乒乓球到球網(wǎng)頂端H的

距離約為多少？

(3)乒乓球落在點。后隨即彈起，沿拋物線乙尸百(x-0(x-3.5)的路線運動，小明拿球拍E尸與桌面

夾角為60。接球，球拍擊球面的中心線跖長為0.16m,下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線〃與所在同一

平面內(nèi)，且乒乓球落在E尸上(含端點，點E在點C右側(cè))，直接寫出：

①點為。的坐標(biāo)為;

②球拍到桌邊的距離CE的最大值是,CE的最小值是.

21.綜合與實踐

【主題】什么形狀的車輪讓車輛行駛更平穩(wěn)

【素材】三種形狀的車輪，圓形車輪、正方形車輪、等邊三角形車輪

【實踐操作】分別將車輪豎直放在水平地面上進(jìn)行無滑動的滾動，車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定,

(1)如圖1,若圓形車輪直徑為6cm,其車輪軸心。到地面的距離始終為cm；

(2)如圖2,正方形車輪在滾動過程中軸心。(對角線交點)到地面的距離不斷變化，若正方形的邊長為

6cm,車輪軸心。距離地面的最高點與最低點的高度差為cm；

(3)如圖3,等邊三角形車輪在滾動過程中軸心0(三邊垂直平分線的交點)到地面的距離不斷變化，若等

邊三角形邊長為6cm,該車輪在地面上無滑動地滾動一周，求點。經(jīng)過的路徑長.

五、解答題(三)：本大題共2個小題，第22題13分，第23題14分，共27分.解答應(yīng)寫出文字說明,

證明過程或演算步驟)

22.【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30。的三角板開展數(shù)學(xué)探究

活動，兩塊三角板分別記作和AWD,C,/4DB="DC=90°,ZJB=ZC=30°,AB=2.

【操作探究】如圖1,先將和△/'DC的邊40、重合，再將△HOC繞著點/按順時針方向旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為&(0°＜。＜180。)，旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，連接3c(如圖2).

(1)當(dāng)a=60。時，求8c的長度；

(2)如圖3,當(dāng)BC=2行時，求。的度數(shù)；

(3)取8c的中點。，點P是平面內(nèi)某個定點，連接。尸，在運動過程中。尸的長是個定值，點P的位置是

,這個定值為，運動開始后.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的兩個端點，則定義該函數(shù)為矩形

13

的“友好函數(shù)”，例如：如圖1,矩形N8CD,經(jīng)過點和點C(3,3)的一次函數(shù)>=y+萬是矩形N8CD

的“友好函數(shù)”.

⑴如圖2,矩形/8CD的頂點坐標(biāo)分別為工(2,1),5(6,1),C(6,3),。(2,3),反比例函數(shù)y=勺x>0)經(jīng)

k

過點3,求反比例函數(shù)y=((x>0)的函數(shù)表達(dá)式，并判斷該函數(shù)是否為矩形/BCD的“友好函數(shù)”；

⑵矩形/3C。在第一象限，N5〃x軸，/D〃y軸，且點/的坐標(biāo)為(1,2),正比例函數(shù)%=必經(jīng)過點/,

且是矩形的“友好函數(shù)”，反比例函數(shù)為=：(x>0)經(jīng)過點2,且是矩形N8CD的“友好函數(shù)”.

①如圖3,當(dāng)。。>。2時，將矩形4BCA沿/C折疊，點5的對應(yīng)點為￡,若點E落在〉軸上，求人的值；

②設(shè)矩形/5CD的周長為乃求夕關(guān)于左的函數(shù)表達(dá)式；

③在②的條件下，當(dāng)矩形43CD的周長了=4時，設(shè)矩形N3C。的面積為E；當(dāng)矩形/BCD的周長y=8時，

設(shè)矩形/BCD的面積為邑，請直接寫出其-鳥的值.

2025年中考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷（廣東省卷）

全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.下列四個數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.-2B.|-2|C.-（-2）D.（一2『

【答案】A

【分析】本題考查了絕對值、相反數(shù)、有理數(shù)的乘方和負(fù)數(shù)的定義，正確的計算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)求絕

對值、相反數(shù)、有理數(shù)的乘方和負(fù)數(shù)的定義，將各數(shù)化簡，即可求解.

【詳解】解：A、-2是負(fù)數(shù)，符合題意；

B、卜2|=2,是正數(shù)，不符合題意;

C、-（-2）=2,是正數(shù)，不符合題意；

D、（-2）2=4,是正數(shù)，不符合題意；

故選：A.

2.隨著Ai技術(shù)的普及，出現(xiàn)了很多“現(xiàn)象級”Ai應(yīng)用，以下是一些常見Ai應(yīng)用的log。圖案，其中是中心對

稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。,

如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.根

據(jù)中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A.不是中心對稱圖形，故A不符合題意；

B.不是中心對稱圖形，故B不符合題意；

C.不是中心對稱圖形，故C不符合題意；

D.是中心對稱圖形，故D符合題意.

故選：D.

3.是一款先進(jìn)的人工智能助手，可提供高效、精準(zhǔn)的信息檢索和智能對話服務(wù).其活躍用戶數(shù)在

上線21天后達(dá)到了3370萬.將3370萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.33.7xl06B.3.37xl06C.3.37xlO7D.0.337xl07

【答案】C

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示，掌握其形式，確定的值的方法是關(guān)鍵.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axl0"（lv|a|<10）,確定〃值的方法：當(dāng)原數(shù)的絕對值大于等于10時，把原數(shù)變

為。時，小數(shù)點向左移動位數(shù)即為n的值，當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，把原數(shù)變?yōu)?。時，小數(shù)點向右移動

位數(shù)的相反數(shù)即為"的值，由此即可求解.

【詳解】解：3370萬=33700000=3.37xl（f,

故選：C.

4.如圖，直線?！?,矩形4BCD的頂點A、。分別在直線6、。上，若/2=41。，則N1的度數(shù)為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì).根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求解.

【詳解】解：.??直線?！?,

Z1=Z2=41°.

故選：A.

5.下列運算正確的是（）

A.2m2+m2=3m4B.2m2-4m2=8/M2C.m5^-m3=m2D.（3n2）=3zz4

【答案】C

【分析】此題主要考查了合并同類項以、同底數(shù)幕的除法、積的乘方及單項式乘單項式運算，正確掌握相

關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.直接利用合并同類項以、同底數(shù)哥的除法、積的乘方及單項式乘單項式運算法則

分別計算得出答案.

【詳解】解：A、2m2+m2=3m2,故此選項錯誤;

B、2m2-4"尸=8"/,故此選項錯誤；

C、故止匕選項正確；

D、（3/『=9/,故此選項錯誤.

故選：C.

6.作為經(jīng)濟大省、旅游大省，廣東正通過不斷完善現(xiàn)代旅游業(yè)體系，加快粵港澳大灣區(qū)世界級旅游目的地

等項目建設(shè)，奮力推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展.小萌假期里想在省內(nèi)景點游玩，主要考慮的地方有以下五個景

點：廣州長隆歡樂世界、深圳東部華僑城、珠海長隆海洋度假區(qū)、深圳世界之窗、廣州陳家祠.若她隨機

【答案】B

【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵.

先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)廣州長隆歡樂世界、深圳東部華僑城、珠海長隆海洋度假區(qū)、深圳世界之窗、廣州陳家祠

分別為42,C,D,E,可列表為：

ABcDE

A(民⑷(")（。，⑷(E,A)

B(48)S)(。⑻（E,B）

C(4C)(及C)（D,C）(E?

D（4。）(瓦0C。）(EQ)

E(4E)（B,E）(c，￡)(D,E)

由列表可得總共有20種等可能得結(jié)果，其中恰好選到深圳世界之窗和廣州陳家祠有2種,

21

???恰好選到深圳世界之窗和廣州陳家祠的概率為：—,

故選：B.

7.如圖，大正方形面積為32,小正方形的面積為8,則陰影部分的面積是（

【答案】C

【分析】本題考查了算術(shù)平方根和三角形的面積和二次根式的混合運算，掌握算術(shù)平方根和二次根式的運

算是解題的關(guān)鍵.

由題意得出大、小正方形的邊長，再求出/￡=2收，利用三角形的面積公式表示出陰影部分面積，再代入

數(shù)據(jù)，利用二次根式混合運算化簡，即可得出答案.

【詳解】解：???大正方形面積為32,小正方形的面積為8,

???大正方形邊長5c為40，小正方形的邊長8。為2亞，

???/￡=40-2收=2后，

=-BC-AE+-BD-AE

22

=^AE（BC+BD）

=gx2及x（4五+2夜）

=12.

故選：C.

8.若點/（-3,必），8（-2,%）,。（2,力）在二次函數(shù)y=“x+l『（a<0）的圖象上，則乂，y2,%的大小

關(guān)系是（）

A.必<%<%B.必<%<%C.D.

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)A,

B,C三點到對稱軸的距離大小關(guān)系求解.解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

【詳解】解：,???=。（工+1）2（QVO）,

二?拋物線開口向下，對稱軸為直線％=-1,

v-1-(-2)<-1-(-3)<2-(-1),

故選：D.

9.“孔子周游列國”是流傳很廣的故事.有一次孔子和學(xué)生們到距離他們住的驛站12公里的書院參觀，學(xué)生

們步行出發(fā)，1小時后，孔子乘牛車出發(fā)，牛車的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和學(xué)生們同時到達(dá)書

院.設(shè)學(xué)生們步行的速度為每小時1公里，則下面所列方程正確的是（）

1212112121

A.—=-----+1B.-----=-----FI

xl.5xl.5xx

1212112i12

C.—=--------1D.-----=1------

xl.5x1.5xx

【答案】A

【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，設(shè)學(xué)生步行的速度為每小時x公里，則牛車的速度是每

小時1.5x公里，根據(jù)學(xué)生們步行出發(fā)，1小時后，孔子乘牛車出發(fā)，孔子和學(xué)生們同時到達(dá)書院，列出分式

方程即可.

【詳解】解：設(shè)學(xué)生步行的速度為每小時x公里，則牛車的速度是每小時L5x公里,

1212

由題意得：—+1,

X1.JX

故選：A.

10.如圖是關(guān)于X的函數(shù)了=代+6億wo）的圖象，則不等式丘+640的解集在數(shù)軸上可表示為（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合的思想方法.從圖象可以得到函數(shù)

的增減性以及與x軸的交點，從而得到kx+b<0的解集.

【詳解】解：函數(shù)了=日+跳上片0）的圖象，與x軸的交點是（2,0）,且函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,

二不等式6+6W0的解集是xV2.

故選：B.

第n卷

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.一組數(shù)據(jù)3,4,4,5,6,6的中位數(shù)是.

【答案】4.5

【分析】本題主要考查了中位數(shù)，中位數(shù)的定義：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，

如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中

間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得.

【詳解】解：把這些數(shù)從小大排列為3,4,4,5,6,6,最中間兩個數(shù)是4和5,

則中位數(shù)是4+三5=4.5.

故答案為：4.5.

12.化簡：33r-34的結(jié)果為___.

1—X1-x

【答案】-3

【分析】本題考查的是同分母分?jǐn)?shù)的減法，根據(jù)分母不變，把分子相減再約分即可.

【詳解】解：二一二=主二1=_弘匕?=一3,

\—X1—x1—x1—X

故答案為：-3

13.關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x-加=0有兩個不同的實數(shù)根，則加的取值范圍是.

【答案】m>-2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，當(dāng)判別式為正時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，掌握一元

二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵；據(jù)此即可求解.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程2/+4X-加=0有兩個不同的實數(shù)根，

A=42-4x2（-m）>0,

解得：〃?>-2；

故答案為：m>-2.

f2fx—1）〉x—1,

14.若關(guān)于x的不等式組JJ、的解集為x>l,則“的取值范圍是.

【答案】

【分析】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先求出不等式組中兩個不等式的解集，再根據(jù)不等

式組的解集列出關(guān)于。的不等式，解不等式即可得到答案.

【詳斛］解：｝>2x+2“②

解不等式①得：x>l,

解不等式②得：x>2a，

1）>x-1,

???關(guān)于尤的不等式組，/、的解集為X>1,

\3x>2x+2a

???<1,

1

a<—,

2

故答案為：a~^2,

15.如圖，在菱形45CD中，AB=2BZASC=120°f把菱形45CQ繞著頂點Z逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形

/）。力'，點。的運動軌跡為弧CC,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留兀）

【答案】3?-36/-3用3萬

【分析】連接8。交4。于點。，由菱形的性質(zhì)求出60,AC,以及S“BC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出

S^BC-S'MBC-3百，再木艮據(jù)§陰影-S扇形C/。'ABC可得結(jié)論.

【詳解】解：???四邊形23CD是菱形，

AB=BC=2,43,AD\\BC,

:.ZBAD+ZABC=180°,

■：ZABC=nO0,

/BAD=60°,

VAC是菱形ABCD的對角線，

，/BAC=/DAC=30。

連接BQ,交4。于點。，則4c

由勾股定理得，AO=yjAB2-BO2=^(2V3)2-(V3)2=3

AC=2AO=2x3=6

:.S,=-ACBO=-x6xy/3=3V3

AADKCr2

由旋轉(zhuǎn)得，"B'COABC

AC'=AC=6,ZCAC'=ABAC=30。,S.=晨c=373

$陰影=S扇形C4C'_S.ABC

=當(dāng)金36

360

=3兀-3A/^

故答案為：3兀-3G.

三、解答題（一）：本大題共3個小題，每小題7分，共21分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟）

16.計算：（-7）。+2sin45°-通+（￡|

【答案】4-V2

【分析】根據(jù)零指數(shù)募公式，算術(shù)平方根，負(fù)整數(shù)指數(shù)累公式，特殊角的正弦函數(shù)，解答即可.

【詳解】解：（-7）°+2sin450-V8+Q^

=l+2x—-2V2+3

2

=4—A/2?

【點睛】本題考查了零指數(shù)幕公式，算術(shù)平方根，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕公式，特殊角的正弦函數(shù)，熟練掌握公式

和運算法則是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在A43c中，ZC=90°.

(1)尺規(guī)作圖：作線段4B的垂直平分線.(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)條件下，垂直平分線交/C于點。，連接3。，若/C=23C=8,求的長.

【答案】⑴作圖見解析；

(2)4。的長為5.

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂線，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟即可求解；

(2)由垂直平分線的性質(zhì)可得則有4C=/O+C￡)=2O+C。，再求出2C=4,設(shè)8。=4。=孫

貝|8=8-x,然后通過勾股定理得BD2=CD2+BC2,代入求值即可.

【詳解】(1)解：如圖，作線段的垂直平分線，交NC于點。，

(2)解：由作圖可知，線段42的垂直平分線,

AD=BD,

AC=AD+CD=BD+CD,

■.-AC=2BC=8,

：.BC=4,

設(shè)BD=AD=x,貝UCD=8—X

在RtA5CD中，由勾股定理得，BD1=CD2+BC2,

22

即尤2=(8-X)+4,

解得x=5,

.?.4。的長為5.

18.如圖，一個書架上放著8個完全一樣的長方體檔案盒，其中左邊7個檔案盒緊貼書架內(nèi)側(cè)豎放，右邊一

個檔案盒自然向左斜放，檔案盒的頂點。在書架底部，頂點下靠在書架右側(cè)，頂點C靠在檔案盒上，若書

架內(nèi)側(cè)8G長為60cm,ZCDE=53°,檔案盒長度48=35cm.(參考數(shù)據(jù)：sin530?0.80,cos53°?0.60,

tan53°?1.33)

⑴求EO的長度；

(2)求每一個檔案盒的厚度；

(3)求出該書架中最多能放幾個這樣的檔案盒.

【答案】⑴21cm

(2)5cm

(3)該書架中最多能放12個這樣的檔案盒

【分析】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意.

(1)根據(jù)DE=a>cos53。,即可求解；

(2)ZDGF=ZCDF=90°,則/￡06=180。-/。。￡-/。。產(chǎn)=37。，推出/D尸G=53。，設(shè)每一個檔案盒

的厚度為則DG=D*sin53Oa0.8x,根據(jù)“書架內(nèi)側(cè)BG長為60cm”，列方程即可求解；

(3)用書架的總長度除以每一個檔案盒的厚度即可求解.

【詳解】(1)解：在RMCDE中，ZCDE=53°,CD=/3=35cm,

DE=CZ)-cos53°?35x0.6=21cm,

ED長度約為21cm；

(2)如圖，由題意得：NDGF=NCDF=90°,

ZCDE=53°,

?-.ZFDG=180°-ZCDE-ZCDF=37°,

NDFG=90°-NFDG=53°,

設(shè)每一個檔案盒的厚度為xcm,

在RtADFG中，DF=xcm,

DG=Z)Fsin530~0.8x(cm),

由題意得：7x+0.8x+21=60,

,,x=5,

即每一個檔案盒的厚度為5cm；

(3)v60+5=12(個)，

該書架中最多能放12個這樣的檔案盒.

四、解答題(二)：本大題共3個小題，每小題9分，共27分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟)

19.某教育平臺推出A,8兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件，相關(guān)人員開展了A,8兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟

件使用滿意度評分測驗，并從中各抽取20份，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析(評分分?jǐn)?shù)用x表示，分為以

下四個等級：不滿意(60<x470),比較滿意(70480),滿意(80<xV90),非常滿意(90<x4100),下

面給出了部分信息：

抽取的對A款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件的所有評分?jǐn)?shù)據(jù)：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,

86,89,90,90,94,95,98,98,99,100.

抽取的對B款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件的評分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：86,86,87,88,88,88,89,90.

A,B兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件的評分統(tǒng)計表

軟件平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A8685.5a96.6

B8686.58869.8

B款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件評分的扇形統(tǒng)計圖

及滿意'

30%

比較滿意

非常滿意

滿意

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴填空：a=,m=；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件更受用戶歡迎？請說明理由(寫出一條理由即可)；

(3)本次調(diào)查中，若有800名用戶對A款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件進(jìn)行了評分，有1000名用戶對B款人工智能

學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件進(jìn)行了評分，估計其中對A,3兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件非常滿意的用戶總?cè)藬?shù).

【答案】(1)85,20

(2)8款人工智能軟件更受用戶歡迎，見解析

(3)440名

【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖，眾數(shù)，用樣本估計總體，方差等等，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)眾數(shù)的定義可求出。的值，用1減去3的評分?jǐn)?shù)據(jù)中不滿意，滿意和比較滿意的百分比即可求出

m的值；

(2)B款的方差小于A款的方差，則8款人工智能軟件比較穩(wěn)定，據(jù)此可得答案；

(3)分別求出A,8兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件非常滿意的用戶人數(shù)，再求和即可得到答案.

【詳解】(1)解：?〃的評分?jǐn)?shù)據(jù)中，評分為85分的人數(shù)最多，

以的評分?jǐn)?shù)據(jù)的眾數(shù)為85分，即。=85,

Q

m%=l-10%-30%——xl00%=20%,

20

???加=20；

故答案為：85,20；

(2)解；8款人工智能軟件更受用戶歡迎.理由如下：

???A款和B款的平均數(shù)相同，8款的方差小于A款的方差，

??.B款人工智能軟件比較穩(wěn)定，

；?8款人工智能軟件更受用戶歡迎；

(3)解：800X—=240(名)，1000x20%=200(名)，

20

240+200=440(名).

答：其中對A、8兩款人工智能學(xué)習(xí)輔導(dǎo)軟件非常滿意的用戶總?cè)藬?shù)為440名.

20.某乒乓球館使用發(fā)球機進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口A位于桌面左上方，桌面2c的長為2.74m,過點A

作垂足為。，08=0.03m,以點。為原點，以直線3c為x軸，0/所在直線為了軸，建立平面

直角坐標(biāo)系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運動路線為拋物線的一部分設(shè)乒乓球與出球口A的

水平距離為x(m),到桌面的高度為V(m),在桌面上的落點為。，經(jīng)測試，拋物線Z的解析式為

y=a^x-\)"+0.45,且當(dāng)x=2時，y=0.25.

?Mm)

(1)求出了與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m,問乒乓球位于球網(wǎng)正上方時，乒乓球到球網(wǎng)頂端H的

距離約為多少？

(3)乒乓球落在點。后隨即彈起，沿拋物線乙y=-g6(x-p)(x-3.5)的路線運動，小明拿球拍E尸與桌面

夾角為60。接球，球拍擊球面的中心線E尸長為0.16m,下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線D與所在同一

平面內(nèi)，且乒乓球落在E尸上(含端點，點E在點C右側(cè))，直接寫出：

①點為。的坐標(biāo)為;

②球拍到桌邊的距離CE的最大值是,CE的最小值是.

【答案】⑴>=-0.2(1)，0.45；

(2)乒乓球位于球網(wǎng)正上方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端〃的距離為0.268m；

⑶①嗚o)②。73,0.45.

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征，求二次函數(shù)關(guān)系式，掌握二次函數(shù)的圖象上點的

坐標(biāo)特征以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

(1)把x=2,了=0.25代入y=a(x-l『+0.45,然后即可求解了與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)先求得OG=O8+8G=0.03+1.37=1.4m,然后當(dāng)x=1.4時，^=0.418m,然后即可求解；

(3)①根據(jù)V與x的函數(shù)關(guān)系式可求出點。的坐標(biāo)；

②根據(jù)乒乓球反彈后拋物線乙y=-g右(尤-p)(尤-3.5)的關(guān)系式以及解直角三角形可求出CE的最大值

和最小值即可.

【詳解】(1)角軍：把x=2,y=0.25代入歹=q(x-l)2+0.45,解得：a=-0.2；

/.y=-0.2(x-l)2+0.45；

(2)解：由題意得，BG=CG=^BC=137mf

???OG=O5+BG=0.03+1.37=1.4m,

當(dāng)X=1.4時，y=-0.2X（1.4-l）*12+0.45=0.418m.

.??乒乓球位于球網(wǎng)正上方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端"的距離約為0.418-0.15=0.268m.

答：乒乓球位于球網(wǎng)正上方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端的距離約為0.268m.

（3）解：①當(dāng)y=0時，BP0=-0.2（x-1）2+0.45,

解得：=-|,x2=-^,

...由題意可得

②由（1）得：OD=2.5m,

???乒乓球反彈后沿拋物線乙>=[6（山）—3.5）的路線運動，而。（|，。]，

0=——（2.5-p）（2.5-3.5）,

解得：P=2.5.

.??乒乓球反彈后沿拋物線的關(guān)系式為：y=-1V3（x-2.5）（x-3.5）,

當(dāng)乒乓球反彈后沿拋物線V過點E時（即此時拋物線〃與x軸的右交點為點E）,

當(dāng)V=0時，%=2.5,x2—3.5.

.-.CE=3.5-2.74-0.03=0.73m,

當(dāng)乒乓球反彈后沿拋物線少過點尸時，過點尸作松軸于如圖：

科m）L

?E必Z（m）

在RtAMM中，ZFEM=60°,EF=0A6m,

1C

???EM=-EF=0.08m,FM=—EF=0.08V3m,

22

當(dāng)天=0.08百時，即一J6（x—2.5）（x—3.5）=0.08百，

解得：玉=2.7（E在3C上舍去），x2=3.3,

即OM=3.3m,

??.CE=3.3-2.74-0.03-0.08=0.45m,

0.45<C^<0.73,

???球拍到桌邊的距離CE的最大值是0.73,CE的最小值是0.45.

21.綜合與實踐

【主題】什么形狀的車輪讓車輛行駛更平穩(wěn)

【素材】三種形狀的車輪，圓形車輪、正方形車輪、等邊三角形車輪

【實踐操作】分別將車輪豎直放在水平地面上進(jìn)行無滑動的滾動，車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定,

即車輪的軸心是否在一條水平線上運動.

(1)如圖1,若圓形車輪直徑為6cm,其車輪軸心O到地面的距離始終為cm；

(2)如圖2,正方形車輪在滾動過程中軸心。(對角線交點)到地面的距離不斷變化，若正方形的邊長為

6cm,車輪軸心。距離地面的最高點與最低點的高度差為cm；

(3)如圖3,等邊三角形車輪在滾動過程中軸心。(三邊垂直平分線的交點)到地面的距離不斷變化，若等

邊三角形邊長為6cm,該車輪在地面上無滑動地滾動一周，求點。經(jīng)過的路徑長.

【答案】(1)3

⑵(3行-3)

(3)4扃

【分析】(1)利用圓的有關(guān)性質(zhì)解答即可得到答案;

(2)利用正方形的性質(zhì)，軸心的運動軌跡的特征解答即可得到答案;

(3)由題意畫出符合題意的圖形，類比得到點。的軌跡，再利用等邊三角形性質(zhì)、含30。直角三角形性質(zhì),

解直角三角形求出相關(guān)線段長，再由圓的弧長公式解答即可得到答案.

【詳解】(1)解：連接49并延長交于點8,如圖所示:

???車輪滾動過程中軸心到地面的距離始終保持不變,

中軸心到地面的距離為6cm.

???圓形車輪在滾動過程中，車輪軸心。到地面的距離始終不變等于圓的半徑,

車輪軸心0到地面的距離始終為3cm.

故答案為：3；

（2）解：過點。作于點8,以點A為圓心，。/為半徑畫弧交正方形的邊于點C,如圖所示:

為正方形的中心，OBLAB,

\

B

???圓心。距離地面的最低距離為OB=3cm,

由題意知，在等腰中，OA-3\/2cm>

???點。的移動軌跡為以點A為圓心，CM為半徑的弧,

點C為車輪軸心0距離地面的最高點,

vAC=OA=3&cm，

???車輪軸心。距離地面的最高點與最低點的高度差為/。-。8=卜啦-3卜m.

故答案為：（372-3）；

（3）解：連接。4、0%,過點。作。C/C于點C,如圖所示:

???。為等邊三角形的中心,

:.ZCAO=ZBAO=30°,

■-O'為等邊三角形的中心,

...ZD/O'=30°.

ABAD=60°,

ZOAO'^120°,

???OCLAC,

由等邊三角形邊長為6cm,可知4。=3cm,

AQl

/.OA=---------=2V3cm,

cos30°

。。'的長=1^9*2兀＞＜26=46兀，

3603

車輪在地面上無滑動地滾動一周，點。經(jīng)過的路徑長為3x逋兀=4G；icm.

3

【點睛】本題主要考查綜合與實踐，涉及圓的有關(guān)性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三

角形性質(zhì)、含30。直角三角形性質(zhì)、解直角三角形及弧長公式，本題是探究型題目，熟練掌握上述幾何圖形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

五、解答題（三）：本大題共2個小題，第22題13分，第23題14分，共27分.解答應(yīng)寫出文字說明，

證明過程或演算步驟）

22.【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30。的三角板開展數(shù)學(xué)探究

活動，兩塊三角板分別記作和AWD'C,/4DB=/AD'C=90。，ZB=ZC=30°,AB=2.

【操作探究】如圖1,先將A/OB和△?DC的邊重合，再將△4DC繞著點/按順時針方向旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為夕（0。＜。＜180。），旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，連接8c（如圖2）.

（1）當(dāng)a=60。時，求8c的長度；

（2）如圖3,當(dāng)3C=2也時，求a的度數(shù)；

（3）取8c的中點。，點P是平面內(nèi)某個定點，連接。尸，在運動過程中。尸的長是個定值，點P的位置是

,這個定值為,運動開始后4。。=.

【答案】⑴2

⑵a=30。；

（3）48的中點；1；30°

【分析】（1）根據(jù)題意可得=4c=60。，從而得到當(dāng)a=60。時，點4。',8共線，點/,D,C共

線，可證得△NBC是等邊三角形，即可求解；

（2）過點/作于點根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得===ZBAC=2ZBAH,從

而得到/〃=也，進(jìn)而得到NA4H=45。，ABAC=2ABAH=90°,即可求解；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得乙4。8=90。，從而得到點。的運動軌跡為以N8為直徑的圓，進(jìn)而得到點

P的位置是48的中點，這個定值為:42=1,再由N4D2=90。，可得點。在48為直徑的圓上，然后圓周

角定理，即可求解.

ABAD=ND'AC=60°,

.?.當(dāng)&=60。時，點4。',2共線，點4,D,C共線,

???AB=AC,

：.l\ABC是等邊三角形，

BC=AB=2；

故答案為：2;

(2)解：如圖，過點/作3c于點”，

VAB=AC,BC=2V2,

:,BH=CH=-BC=41,ABAC=2ZBAH,

2

??AH=^AB2-BH2=V2，

???AH=BH,

.?./BAH=45°,

??.ABAC=2ZBAH=90°,

.??。二180。一30。一30。一90°=30°；

（3）解：?.?點。是5c的中點，AB=AC,

:.AOVBC,即乙102=90°,

.??點。的運動軌跡為以48為直徑的圓，如圖,

,??運動過程中。尸的長是個定值，

.??點P的位置是N3的中點，且這個定值為=

2

■.■ZADB=90°,

.?.點。在48為直徑的圓上，

ZAOD=NABD=30°,

故答案為：42的中點；1,30°.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圖形的

旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，第（3）問得到點。的運動軌

跡為以為直徑的圓是解題的關(guān)鍵.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的兩個端點，則定義該函數(shù)為矩形/BCD

13

的“友好函數(shù)”，例如：如圖1,矩形/BCD,經(jīng)過點工（-1,1）和點。（3,3）的一次函數(shù)》=^+5是矩形/3。。

的“友好函數(shù)”.

圖1圖2圖3

.Jr

⑴如圖2,矩形48。的頂點坐標(biāo)分別為/