2025年中考數(shù)學總復習《相似三角形問題》專項測試卷(附答案)

學校:姓名：班級：考號：

1.綜合與實踐：如圖，403=90。，點尸在ZAO3的平分線上，PALOA于點A.

⑴操作判斷：如圖1，過點尸作尸于點C.四邊形AOCP的形狀為；

(2)問題探究：如圖2,點M在射線上，連接尸過點尸作PNLPM交射線。8于點N.

①當點M在線段A。上時，求證：OM+ON=2PA-

②當點M在線段A。的延長線上時，直接寫出OM,ON,叢之間的等量關系為;

⑶拓展延伸：點/在射線4。上，連接尸河，過點尸作PNLPM交射線08于點N,射線NM

與射線尸。相交于點/，若NO=3MO,直接寫出黑的值.

OF

2.某校數(shù)學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究.

(一)拓展探究

如圖1,在VASC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為D

(1)求證：AC2=AD.AB；

(2)如圖2,尸為線段。上一點，連接轉并延長至點E,連接CE.當ZACE=NAFC時,

請判斷一A班的形狀，并說明理由；

(二)學以致用

(3)如圖3,VABC是直角三角形，ZACB=90°,AC=2,BC=2"，平面內(nèi)一點D,滿足旬=AC,

連接。并延長至點E,且/CEB=/CBD,當線段江的長度取得最小值時.線段CE的長為

(直接寫結果).

c

3.在RCABC中，ZBAC=90°,ZABC=a,過點C作CE，BC,。為8C邊上不與端點重合的一個

動點，將射線AD繞點A逆時針旋轉90。，交射線CE于點E,連接在.

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1所示，若。=45。，直接寫出線段加與CE的數(shù)量關系：；

【類比探究】

(2)如圖2所示，若"60。，(1)中的結論還成立嗎？請說明理由；

【拓展延伸】

(3)如圖3所示，若A2=3,sin2=g,在點。的移動過程中，當AACE是以AC為腰的等腰

三角形時，請直接寫出線段砧的長.

4.已知：在菱形ABC。中，ZBAD=60°,E為鉆上一點，尸為上一點.

【問題背景】

(1)如圖1,若/①*=ZB4D=60。，求證：DE=DF.

【問題探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，延長DE交CB的延長線于點G.求證：廠

【拓展應用】

(3)如圖3,連接CE并延長交的延長線于點連接取并延長交瓶于點N,若

BN=nBE=n,請直接寫出及的值.(用含〃的式子表示)

5.如圖，在VA2C中，ZC=90°,BC=8,AC=6,AD平分4AC.

圖1圖2

⑴【嘗試證明】如圖1,過點。作收上居于點E,求證：BDBC=BEBA-

(2)【深入探究】如圖1,求tanNCAD的值;

⑶【拓展提升】如圖2,尸為AC上的一點，若以防所在直線為對稱軸，點C的對稱點C

恰好落在AD上，求此時AC的長.

6.在矩形ABC。中，系女.在射線AD上取一點E,連接CE,且滿足AE=CE,直線m與

直線CE相交于點尸.

【嘗試初探】

(1)如圖1,當人＞1時，若跖=1,c產(chǎn)=4,求線段上的長；

【深入探究】

(2)如圖2,當左＜1時，若",求人的值；

【拓展延伸】

(3)若。E=DF,試探究線段跖與線段之間滿足的數(shù)量關系.

ZACB=ZCDE=90°,CB券=3點A在DE上，連接班交CD于下點,

CA

問題探究:

(1)先將問題特殊化，如圖2,當E時，直接寫出黑的值;

(2)再探究一般情況，如圖1,證明(1)中的結論依然成立;

拓展創(chuàng)新:

(3)如圖3,BE交AC于點G,若BE=2BC,直接用含左的式子表示累的值.

8.【問題探究】

(1)如圖1,在正方形神。中，點E,尸分別為BC和。上的點，連接AE,BF交于點0,

若求證：AE=BF；

【類比遷移】

(2)如圖2,在矩形ABCD中，2AD=3AB,點石為3C邊上一點，點尸為對角線AC上一

點，連接AE,BF交于點0,若AELM,AF=2CF,求ff的值;

bn

【拓展應用】

(3)如圖3,在矩形A2CZ)中，AD=2M,點E為BC邊上一點，點下為CD邊上一點，若AE

平分/R4F,且3E=D尸=2,求B的長.

9.綜合與實踐：折紙和剪紙，操作簡單,富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙和剪紙開

展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘.

【動手操作】

如圖1,矩形紙片A3C。中，AB=8,3c=10,點石為邊鉆上一點，沿直線CE將矩形紙片

折疊，使點5落在AD邊上的點9處.

(1)填空：A9的長為；

【拓展應用】

(2)如圖2,展開后，將一CB'E剪下來沿線段AD向右平移，使點夕的對應點與點。重合，

得到CE與CD交于點F,求線段W的長；

(3)如圖3,將剪下來的繞點？旋轉得到C'B'E',連接CC,當點D,B',E三點

共線時，請直接寫出cc的長.

10.綜合與實踐

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】在學習了“特殊平行四邊形”后，興趣小組的同學發(fā)現(xiàn)了這樣一個問

題：如圖1,已知正方形ABC。，E為對角線AC上一動點，過點C作垂直于AC的射線CG,

點廠在射線CG上，且NE時=90。，連接所.通過觀察圖形，直接寫出仍與M的數(shù)量關系：

(2)【類比探究】興趣小組的同學在探究了正方形中的結論后，將正方形換成矩形繼

續(xù)探究.如圖2,已知矩形小。，AB=8,AD=4,E為對角線AC上一動點，過點。作垂

直于AC的射線CG,點尸在射線CG上，且/EB/=90。，連接請判斷線段AE與W的數(shù)

量關系，并說明理由.

(3)【拓展應用】在(2)的條件下，點E在對角線AC上運動，當四邊形跳仃為軸對

稱圖形時，請直接寫出線段即的長.

11.小明和小剛走進教室，跟隨李老師探究“矩形折疊中的相似三角形”問題.請你一同

作答：

如圖，已知在矩形A3CD中，AB=4,BC=6,點E為邊AB上一點(不與點A、點5重合)，

先將矩形"C。沿CE折疊，使點5落在點尸處，CF交AD于點H.

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】寫出圖1中一個與△位相似的三角形：

(2)【遷移探究】當“與AD的交點”恰好是AD的中點時，如圖2.求陰影部分的面積.

(3)【拓展應用】當點5的對應點尸落在AD的中垂線上時，求膽的長.

12.在數(shù)學綜合與實踐活動課上，興趣小組的同學們用兩張長、寬比相同(即黑=黑)

nCziC

的長方形紙片ABCD和GEb展開探究活動，其中/股9=30。.

MlW2M3

【思考嘗試】

(1)小明同學把兩張長方形紙片按如圖1放置，連接AG、AC,BE,興趣小組在探究過

程中，發(fā)現(xiàn)小長方形紙片GE6在繞著點。的旋轉過程中，線段仍和AG之間的數(shù)量關系

不變，請你猜想這個數(shù)量關系，并說明理由.

【實踐探究】

(2)小睿同學受此問題的啟發(fā)，思考并提出新的問題：將小長方形紙片繞點。旋轉至如

圖2所示位置，此時A、G、E共線，且交于點若8M=1,AM=3,求AG的長.

【拓展遷移】

(3)小聰同學深入研究小睿提出的問題，繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3所示，

在圖2的基礎上延長CG交A8于點“，若GH=2退,AG=8,求8C的長.

13.已知點M是正方形ABC。邊AB上的一個動點，點E是射線DC上的一個動點,連接ME,

過點V作交CB的延長線于點F.

(2)【類比探究】當點"運動到線段"的三等分點時，請利用圖2計算器的值;

(3)【拓展延伸】如圖3,連接防，DM,若點“運動到某一位置時，恰好有NMEF=30。,

請直接寫出不3」的值.

口正方形A3CD

14.綜合與運用

(1)發(fā)現(xiàn):如圖①所示，在正方形ABC。中，E為邊上一點，將AEB沿3E翻折到處，

延長跖交CD邊于G點.則4EG+ZBGE=。；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8,AB=6.將_A￡B沿BE翻

折到ABEF處，延長斯交BC邊于G點，延長即交8邊于點H,連接S,若FH=CH,求

證：ABEFS^HGF；

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6,E為。邊上的三等分點，〃=60。.將VADE沿

AE翻折得到八位，直線用交直線3c于點尸，求PC的長.

15.綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的旋轉”為主題開展數(shù)學活動.如圖，矩形

和矩形AE/G重合，AB=3,AD=4,矩形A3CD保持不動，將矩形AEfU繞點A逆時針旋轉.

【初步觀察】

(1)如圖，當跖經(jīng)過點。時，DF的長為

B

【實踐探究】

(2)①如圖，當點E落在對角線BD上時，連接DG,4DG的度數(shù)為二OE的長為

②如圖，當點下落在的延長線上時，延長正交于點目，不計算線段的長度，你能

判斷DF與硝的數(shù)量關系嗎？請說明理由.

【拓展延伸】

(3)矩形的'G繞點A逆時針旋轉成0。＜夕＜180。)，若直線昭。G交于點尸，請直接寫出點尸

到直線BC的距離的最大值.

參考答案

1.(1)正方形

(2)①證明見解析；②ON-OM=2PA

/勺、8_rx2

⑶§或1

【分析】(1)先證明四邊形A。"是矩形，進而根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求證;

（2）①過點尸作尸C，OB于點C,可證APM^.CPN（ASA）,可得AM=CN,進而即可求證;

②過點尸作PC,03于點C,同理①可得AM=CN,進而即可求解；

（3）分M在線段A。上和延長線上兩種情況，分別畫出圖形，利用相似三角形的判定

和性質(zhì)解答即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，

Zp-------------------\p

I

I

I

I

0°------------------?--------------------B

圖1

,/ZA0B=90°,PA_L6M于點A,尸C_LO3于點C,

ZA=ZAOB=ZOCP=90°,

???四邊形AOCP是矩形，

丁點尸在403的平分線上，PA1.OA,PCLOB,

：.PA=PC,

???四邊形AOCP是正方形，

故答案為：正方形；

（2）①證明：過點尸作PCLOB于點C,則/PCW=90。,

PA1OA,

：.ZA=90°,

??ZA=ZPCN=90°,

由(1)知四邊形AOCP為正方形，

/.OA=AP=CP=OC,ZAPC=90°,

PN±PM,

ZMPN=90°,

即Nl+N2=N2+/3=90。，

Z1=Z3,

ZA=ZPCN,AP=CP,

APM空CPN(ASA),

AM=CN,

OM+ON=OA-AM+OC+CN=2AP,

即OM+ON=2PA；

②ON-OM=2PA,理由如下：

當點M在線段A。的延長線上時，如圖，過點尸作PCLO3于點C,

同理①可證APM^CPN(ASA),

AM=CN,

：.ON-OM^OC+CN-(AM-AO)^OC+AO^2PA,

即ON-OM=1PA,

故答案為：ON-OM=2PA-

(3)解：①當“在線段A。上時，如圖，延長MW、叢相交于點G,

由（2）①知OM+ON=2B4,

設x，貝（jON=3x,AO=PA=2X9

AM=AO-OM=x=OM,

*/ZAOB=ZMAG=90°,ZAMG=ZOMN,

/.AMG^OMN（ASA）,

AG=ON=3x,

PG=2x+3x=5x,

*/ZAOB=90°,PA.LOA,

ZAOB-^-ZPAO=lSQ°,

/.AP//OB,

ONFsPGF,

?OFON_3x_3

**PF-PG-5x-5?

?PF_5

??0F~3f

?OP5+3_8

?°OF~^~~3；

②當M在AO的延長線上時，如圖，過P作尸CLC?于C,并延長交肱V于G,

設OM=x,貝（JON=3x,AO=CO=PC=PA=x,

：.CN=ON-OC=3x-x=2x,

PC//AO,

:-CGNSJJMN,

.CGCN

**~OM~~6N'

口口CG2x

即一=三，

x3x

??CG=3X,

25

PG=PC+CG=x-\—x=-x,

33

PC//AO,

OMFsPGF,

OFOM_x_3

而一尸G-5v-5,

-X

3

?PF_5

??~OF~39

?OP5-32

..---=-----=—?

OF33'

綜上，器的值為:或，

OrDD

【點睛】本題考查了矩形的判定，角平分線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角

形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線并運用分類討論思想解

答是解題的關鍵.

2.(1)見解析(2).A班是直角三角形，理由見解析(3)2回

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓、構造相似三角形、垂

線段最短等知識點，善于運用相似三角形的判定與性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的

關鍵.

(1)通過角度的轉換得到即可證得AACDS/VRC,再由相似三角形的性質(zhì)

即可證明結論；

(2)通過角度的轉換得到NBCE=ZEAB，可推出A,C,5,E四點共圓可得ZAEB=ZACB=90°,

即可判定三角形的形狀；

(3)以點A為圓心，2為半徑作A,則C,。都在A上，延長C4至點4,使得5=6,

交4于點A,通過構造相似三角形，得到點E在過點4且與CE。垂直的直線上運動.因

為點5固定，再由垂線段最短，可得到班最小值的情況，并通過勾股定理求此時CE的

長.

【詳解】證明：?.,在VABC中，ZACB=90。，CDLAB,

/.ZACD+ZBCD=ZB+ZBCD=90。，

ZACD=ZB.

又?.?ZADC=ZACB=90°,

/.AACD^AABC9

?ACAD

???艮R□nAC9=AD^AB.

AnAC

(2)解：一曲是直角三角形.理由如下：

*/ZACE=ZAFC,

ZACB+NBCE=ZADF-hZEAB,艮|J90°+NBCE=90°+ZEAB,

/.ZBCE=ZEAB,

AA,C,B,￡四點共圓，

ZAEB=ZACB=90°,

一但是直角三角形.

(3)解：NCEB=ZCBD,NECB=NBCD,

，CEBsCBD,

.CECB

..3一五,

CD?CE=CB?=24,

CB=2娓.

如圖，以點A為圓心，2為半徑作A,則都在A上，延長C4至點4,使得CE°=6,

交A于點4,

/.CDQ=4,ZCDZ)O=9O°,

…CD.CD

CD。?CE。=24=CD?CEHill........-------

00'人」CECE°-

?/NECE。=ZDCD.,

：.ECEQS，D°CD,

：.4CDDq=/CE0E=90°,

??.點E在過點E。且與CE°垂直的直線上運動.

如圖：過點5作砥」E°E,垂足為E，，BE，即為最短的環(huán)，連接CE.

,/ZCE0E=NBE'E=ZACB=90°,

???四邊形BCE°E是矩形.

ZCEQE=90°,CE0=6,E0E=BC=2y[6,

CE'=?CEO)2+(E0E)2=)6?+(2痣尸=2厲.

故答案為：26.

3.(1)BD=CE；

(2)不成立，BD="E,理由見解析；

(3)加的長為3或g.

【分析】⑴根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知：4AC=90。，ZB=ZACB=45°,由旋轉的性

質(zhì)可知ZABD=ZACE,可證&4叵。4￡,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得1?=CE;

⑵當。=60。時，可證B3CAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得黑=黑=￡,從而可得

CEAC3

BD=—CE；

3

(3)因為sin2=g,設AC=4x,BC=5x,根據(jù)勾股定理可得方程32+(4x『=(5W，解方程求出尤

的值，可得：AC=4,BC=5,當AACE是以AC為腰的等腰三角形時，分兩種情況進行討

論，第一種情況是AC=CE=4時；第二種情況是AC=AE=4.

【詳解】⑴解：BD=CE,

在RtAABC中，ABAC=90°,ZB=45°,

ZACB=90°-45°=45°=ZB,

AB=AC,

BC1CE,

ZBCE=9Q0,

ZACE=ZBCE-ZACB=90°-45°=45°,

.\ZABD=ZACE,

將射線AD繞點A逆時針旋轉90。，交射線CE于點￡,

:.ZBAD-^ZCAD=ZCAE^ZCAD=90°,

：.ZBAD=ZCAE9

ZB=ZACE

在胡D和CAE^<AB=AC,

ZBAD=ZCAE

.-.ABAZ>^_C4E（ASA）,

..BD=CE；

故答案為：BD=CE；

⑵不成立,BD/CE,

理由如下：

在RtAABC中,ABAC=90°,ZB=60°,

/.ZACB=30°,

;而3。。=組=立，

AC3

ZBAC=ZDAE=90°9

:.ZBAD+ZCAD=ZCAE-^ZCAD=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

ZB+ZACB=ZACE+ZACS=90。，

:./B=ZACE,

/.BAD^CAE,

,BDABy/3

"~CE~~^C~^3,

BD=—CE,

3

故⑴中的結論不成立；

⑶加的長為3或g,

理由如下：

在RtR4C中，AB=3,sinB,

.AJ4

*BC~5，

設AC=4%,BC=5x,

在RtABC中,AB2+AC2=BC2,

,-.32+（4X）2=（5X）2,

解得：再=1,%2=-1（舍去），

AC=4,BC=5,

分類討論如下:

當?shù)妊?伽中，AC=CE=4時,

如圖1所示，由⑵可得：BAD^CAE,

BDAB3

一CE一AC一4，

Afi3

:.BD=——CE=-x4=3?

AC4'

當?shù)妊?CE中，AC=AE=4時,

如圖2所示，由⑵可得：B3G4E,

,AB_AD_3

,AC-AE-4?

AR3

，AD=——AE=-x4=3,

AC4

過點A作AFIBC,垂足為歹，

3

在RtABC中,cW四

BC5

在RtABb中，cosZB=,

AB5

BF_3

解得：BF=（,

由三線合一性質(zhì)可知加=2^=g,

綜上可得即的長為3或

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰

三角形的性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)，解決本題的關鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和銳角三

角函數(shù)找到三角形的邊之間的關系.

4.（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）4

n

【分析】對于（I）,連接加，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得=/=NZME=NAOB=60。，再

說明ZADE=N3Z>,接下來證明VADE/V3DF,可得答案；

對于（2）,先根據(jù)菱形的面積相等得出OK=?,即可得出答案；

對于（3）,作4Z方=60。，連接即，砂，由（1）得QE廠是等邊三角形，NADE^BDF,即

可得隹=9，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得M=CFAM//BC,根據(jù)平行線分線段成比例可得

*=隼=||，即照=||，然后說明ACEFs^CMB，可得EF//BM，再說明ZDEF=Z.DNB=60°，

接下來可得力照sD3N,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得點=箓=黑，最后結合附=〃,砥=1表

DUDINDN

示出DE,DN,此題可解.

【詳解】解：（1）如圖所示，連接加，

,/四邊形A2CZ)是菱形，且ABAD=60°,

/.AD=AB,AD//BC9

???△延。是等邊三角形，

/.ZADB=60°,AD=BD

/.ZDBC=ZADB=ZBAD=ZABD=60°.

/EDB+/BDF=60。=ZADE+/BDE,

ZBDF=ZADE,

/.VADE^VBDF,

DE=DF；

(2)過點。作垂足為K,I,

根據(jù)菱形的面積相等得S-BCD=ABDK=BCDI,且AB=5C,

/.DK=DI,

(3)

如圖所示,

作NED方=60。，連接3D,跖，

由（1）得DE=DF,

，DEb是等邊三角形，

，ZDE方=60。.

*/VADE^VBDF,

AE=BF.

*.*AB=BC

：.BE=CF.

*/AM//BC,

?CEBECF

RnCECF

1CMCB

ZECF=ZMCB,

/\CEFs/\CMB,

，ZCEF=ZCMB,

/.EF//BM,ZDEF=ZDNB=60°

?/ZBDE=/NDB,ZDNB=ZDBE=60°,

：.DEBsDBN,

?DEBEBD

??茄一嬴一而?

?/BN=n,BE=\,

/.DE=-BD,DN=nBD,

n

：.DE-BD1.

DNnBDn2

AD

N\I\

\

x\八、i\

京~~F--------c

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)

和判定，平行線分線段成比例，等邊三角形的性質(zhì)和判定，作出構造相似（全等）三

角形是解題的關鍵.

5.（1）證明見解析

（2）1

（3）4A/5-2A/TT

【分析】（1）先證出“磴=90。=/。，再證出△3EDSABC4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可

得證；

（2）先利用勾股定理求出鉆=10,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得8=皿，再證出

RtADE^RtADC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AC=6,然后在RSBDE中，利用勾股

定理可得8的長，最后根據(jù)正切的定義求解即可得；

（3）過點。作CE,居于點E,連接3C,先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得BC=3C=8,解直角

1

三角形可得tan=再設C'E=a（4＞。），則AE=2a,BE=1。一2a,在Rt一3cz中，利

AE2

用勾股定理建立方程，解方程可得“的值，然后在RSACE中，利用勾股定理求解即可

得.

【詳解】（1）證明：???/）￡上?，

I.NDEB=90。,

在3a和VBG4中，

fZDEB=ZC=90°

]ZB=ZB'

/.ABED,

?BDBE

**BA?

/.BDBC=BEBA.

(2)解：:在VABC中，ZC=90°,BC=8,AC=6,

ABNAC+BC?=10,SC±AC,

又丁A￡>平分NBAC,DEJ.AB,

CD=DE,

在RtADE和Rt.ADC中，

[AD=AD

[DE^DC'

：.Rt.ADE絲RtADC(HL),

/.AE=AC=6,

BE=AB—AE=4,

設CD=r)E=x(x>0),則BDugC-CDnSr,

在RSBDE中，BE2+DE2=BD2,BR42+x2=(8-x)2,

解得x=3,

/.CD=3,

CD31

在RtADC中，tanZG4D=—.

1丁，AC62

(3)解：如圖，過點C作CELAB于點E,連接BC,

,以即所在直線為對稱軸，點C的對稱點C恰好落在AD上，且BC=8,

/.BC'=BC=8,

AD平分/BAC,

ZBAD=ZCAD,

由(1)已得：tanZCAD=l,

/.tan/BAD=tanACAD=-,

2

C'F1

在RtAACE中,tanZBAD=——=—

AE2

設C'E=〃(a>0),貝l1AE=2a,

AB=10,

：.BE=AB-AE=10-2a,

在Rt.6。后中，CE2+BE2=CB2,即4Z2+(10-26i)2=82,

解得.二20：卮或會20+；庖,

當a=20+；后時,io_2a=lO-2x迎三^=91^<0,不符合題意，舍去，

.20-2>/55

9?CI~—,

在R34C石中，AC—yJc'EZ+AE。=耳=若X4-；卮=4百-2A/H.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、三角形全等的

判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程的應用，熟練掌握相似三角形

的判定與性質(zhì)是解題關鍵.

6.(1)見解析；(2)左=誓；(3)￡F=(75±2)FC

【分析】⑴根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證明列出比例式，求得黑=］設即8

nC4

則3c=4)=4x,列方程求解即可；

(2)^DE=x,BD=3a,CE=5a,^ERtBCD和RtBCD中，BD2-BC1CE1-DE1,代入求得x=^。，

則AD=5"x=，，進而求出(黑：即可解答；

10VABJ

(3)延長利，EC交于點，分兩種情況，列式求解即可.

【詳解】解：:四邊形"CD是矩形,

，AD//BC,

?/ZEDF=/FBC,ZDEF=ZFCB,

，AEFD^ACFB,

?EFED

*?~CF~~BC"

?/EF=1,CF=4,

.ED

??拓―"

設￡L>=九，貝！jBC=AD=4x,

/.AE=CE=5,DE=AD-AE,

/.x=4x-5,

?5

??x——

3

即加；.

re3

⑵.?.^BD=5

pjDE=x,BD=3a,AE=CE=5a,

?\AD=5a-x,

??9.2—（5a—%）—25〃2—In,

解得：x=Q,

?su9〃

..AD=5a-x=一,

10

/.AB2=9a2-{5a

7100100

.AD281,2

??--7=---=k,

AB1819

?7一3歷

??K-----?

91

(3)如圖，延長。外石。交于點尸,

當左＞1時，設。石

,/ED=DF=a,NDEF=NDFE=NBFC=NBCF,

/.BC=BF=b,EC=AF=b—a,

BP伍+a）2=伍_々）2_々2,

整理得/+4tzZ?-b2=0,

:?a=-2b±A/5Z?,

*.*a>0,b>0,

a=（括-2）6,

:?需/j

當左v1時，設DE-m,CE=n,

.?AE=CE9

?\AD=n-m,

?DE=DF=m,

ZF=ZE,

DE//BC,

：.NBCF=NF=NE,

BF=BC=AD=n—m9BD=DF—BF=2m—n,

BD2-BC2=EC2-ED2=CD2,

BPn2—m2=（2m—n^—,

整理得：n2+2mn-4m2=0,

「?n=-m±非m,

m>0,n>0,

n=(小,

=君+2.

綜上，EF=(^5±2)FC.

【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合應用，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理，平行線的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

7.(1)1；(2)見解析；(3)優(yōu)

【分析】本題是相似形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，解直角三角形的相關計算，添加恰當輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

(1)由AAS可證BCN'CAD,可得師=。。：/)",由AAS可證BFNaEFD,可得BF=FE,

即可求解；

(2)通過證明BCNs,CAD,可得BN=kCD=DE,由AAS可證BFN-EFD,可得BF=FE,即

可求解;

Q3)沒DF=FN=CN=a,由等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求CD=3a,BN=DE=3ka,

MN=三,BM=BN+MN=也二a,通過證明CMN^^CAD,可求AE的長，即可求解.

3k3k

【詳解】(1)如圖2,過點5作BNLCD于N,

圖2

k=l,

CBDE1

.才加7

.CB=CA,DE=DC,

9BN±CD,

?ZBNC=94。=ZACB=NCDE=94。，

?ZNBC+ZBCN=90°=ZACD+ZBCN,

?ZACD=ZNBC,

.BCN嗎G4D(AAS),

?BN=CD,

?BN=DE,

?/DFE=/BFN,ZCDE=ZBNF=90°,

?BFN烏EFD(AAS),

?BF=FE,

.J:

(2)證明：如圖1,過點5作師，8于乂

國1

..CBDE7

?——=——=k

CADC

■■CB=kCA,DE=kDC,

?BNLCD,

?ZBNC=90。=ZACB=NCDE=90。，

?ZNBC+ZBCN=90°=ZACD-^-ZBCN,

?ZACD=ZNBC,

.BCNsCAD,

BCBN

?——=——=7k,

ACCD

?BN=kCD,

?BN=DE,

?ZDFE=ZBFN,ZCDE=ZBNF=90°,

.BFN^EFD(AAS),

.BF=FE,FN=FD,BN=DE,

.空=1,

BF

(1)的結論仍然成立；

(3)如圖3,過點5作3NLCD于N,延長BN交AC于河,

*/BN±CD,

ZBND=90°=ZACB=ZCDE=90°,

/.BM//DE,

由(2)可知:BF=EF,DF=FN,BN=DE,

?BE=2BC,

??BF=BC=EF,

又,:BN.LCF,

/.CN=NF=DF9

,:CB=kCA,DE=kDC=BN,

DF=FN=CN=-DC=—DE=—BN,

33k3k

?CNMN1

??tan/CBN—tan/ACZ)--——.

BNCN3k

MN=~CN,

3k

設DF=FN=CN=a,貝(jCD=3a,BN=DE=3ka,MN=~,BM=BN+MN=9k+Xa,

、3k3k

*.*BM//DE,

:?CMNsCAD,

?MN_CN_CM_1

AD-CD-AC-3?

:.AD=3MN=LcN=巴,AC=3CM,

kk

弘2_]

AE=DE-AD=--------a,AM=2CM,

*/BM//DE,

/.AEG^MBG,

.AGAE9k2-3

''GM~BM~%2+l，

.?.設AG=(9/_3)6,GM=(9k2+l)b,

：.AM=(18k2-2)b,

；.MC=(9k1-1)b,

GC=18/6,

2

*__C__G_____18_k__b____6k°

,?AG-(9F-3)Z7-3A:2-1?

8.(1)見解析(2)(3)2五一2

niiZ

【分析】（1）根據(jù)ZAO尸=90。，利用同角的余角相等得出N￡AB=4BC,再根據(jù)ASA即可證

出AFBC學八EAB,

(2)作加，3c于點M,由〃9，得至1]”=^17r，設GW=a,則弧=2a,3c=3a,AB=2a,

ArDM2

Z714〃f1。,G

CFM^CAB,得至I1一=——=一，F(xiàn)M=-a,BF=ylFM2+BM2=-JlQa,由ABO^BFM,得至l]

ABAC333

借置,求出?！焙鮝,OA=JABJOB2=乎,同理ABEsA°^，得至1」理=；“，

DrrM55AnOAJ

CE=3a-|a=1a.即可求解，

(3)作ESA產(chǎn)于H,交仞于G,則,MG-ADP,黑=得=；,結合⑵的結論得到

L)r/\L)Z

求出"長，利用勾股定理解題即可?

/\r/\LfZ

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解

直角三角形，解題的關鍵是：連接輔助線，熟練掌握相關性質(zhì)定理.

【詳解】解：(1)四邊形ABC。是正方形，

:.AB=BC,

ZABE=ZBCF=90°,

AELBF^ZAOF=90°,ZAOB=9Q°,

:.ZBAE+ZOBA=90°,

又ZFBC+ZOBA=90°,

：./BAE=NCBF,

在A6石和VBB中

ZBCF=/ABE

:<AB=BC,

NBAE=NFBC

ABE^BCF(ASA)

:.BE=CF.

(2)作尸ML5c于點

「?FM//AB,

?CFCM_1

?*AF-W-2?

在矩形ABC。中，2AD=3AB,

AD=BC,AB=CD=-BC,

3

設CM=a,貝UBM=2a,BC=3a,AB=2a

*/FM//AB,

；?_CFMsCAB,

?FM_CF_1

??~AB~^C~39

/.FM=—a,

3

I.BF=yjFM2+BM2=-y/10a,

3

???ABO?FBM1ABO?BAO90?

/.?FBM?BAO,

VZABE=ZBMF,BM=AB=2a

/.ABE會BMF,

BE=FM=-a,

3

27

/.CE=BC-BE=3a——a=-a,

33

?CE_7

9*'

(3)作瓦于H,交AD于G,

AE平分NBA廠,^BE=DF=2,

ZAHG=ZD=9Q°,ZHAG=ZDAF,

/.AHGsADF,

.GHAH_1

一DF~AD~1"

.\GH=1,EG=3

過點、BM〃EG，交AD于點”，

則四邊形是平行四邊形，BM=EG,

*/ZABM=90°-ZBAF=ZDAF,ZBAM=ZADF=90°,

二?ABAM^/\ADF

?EGBMAB1

*?AF-AF-AD-2，

：.AF=6,AD=dAF「DF2=J6?—2?=48,CD=AB=^AD=2^2,

:.CF=CD-DF=242-2.

9.(1)4；(2)CF=3；(3)2a或6亞

【分析】

⑴由折疊得3C=a?',由題意得3'C=1。，DC=AB=8,RtCDB中，勾股定理求出血，利用

即可；⑵由(1)得笈。=6,AB，=4,根據(jù)折疊得=設AE=x,貝lj==8—x,

在RtZXAEg中求得AE和EE,連接CC,EE',并延長跳，交8于點G,由平移可知,

B'D=EE'=CC'=6,DG=AE=3,即可判定E'GF^CCF,有即可求得CF=^CG；

Crr（_7JCZJ

⑶由折疊得3C=a'=i。，由旋轉得？C=CB，=10,分兩種情況求得，利用（1）和（2）的

結論，結合勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)得3c=8',

VAB=8,BC=W,

：.B'C=]O,DC=AB=8,

在RtCDg中，CB'2=CD2+B'D2,BPIO2=82+B'D2,解得BZ>=6,

則A5在AD-BD=10-6=4,

故答案為：4；

(2)如圖:

由折疊的性質(zhì)得：B1E=BE,

設AE=x,貝lj3E=3E=8—x,

在RtAAEB'中，AE2+AB'2=B'E2,

222

%+4=(8-X),

解得x=3,

BPAE=3,B'E=BE=5,

連接CC,EE',并延長EE，交CD于點、G,

由平移可知，B'D=EE'=CC'=6,DG=AE=3,

EG=10—6=4,CG=BE=5,E'G//CC,

E'GF^.C'CF

.CFCC63

''GF~GE'-4-2

33

CF=-CG=-x5=3,

55

(3)解：由折疊得3C=C8=10,由旋轉得？C=C?=10,

當點。，B',￡三點共線時，設和CB交于點“，如圖,

則四邊形8月CD為矩形，

那么，CH=B'C-B'H=B'C-DC=2,CH=BC-DB'=6,

在RtACCH中，CC=^CH2+CH2=V22+62=2M,

當點。，B1,￡三點共線時，過點。作CCCZ）交延長線于點G,如圖,

則四邊形CEDG為矩形，

里口么，CG=CD+DG=CD+C'B'=18,C'G=DB'=AD-AB'=6,

在RtCCG中，CC=yjCG'+CG2=^182+62=6y/10,

故CC的長2如或6&U.

【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、勾股定理、平移的性質(zhì)、相似三角

形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟悉旋轉和折疊的性質(zhì)，以及

分類討論思想的應用.

10.(1)BE=BF；(2)AE=2CF,理由見解析；(3)石或丫

【分析】(1)由全等三角形的判定與性質(zhì)可得出結論；

(2)證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答；

(3)分兩種情況，①當四邊形關于M所在直線對稱時，②當四邊形為矩形時,

由軸對稱的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可求出所的長.

【詳解】(1)結論：BE=BF,

證明：???四邊形AS。是正方形，

/.AB=CB,ZABC=90°,ZBAE=ZBCE=45°,

?IZEBF=90°,

ZABC=Z.EBF=90°,

BPZABE+ZEBC=NEBC+NCBF=90°,

/.ZABE=ZCBF,

AC1CG,

/.ZECF=90°,

又丁ZBCE=45。，

/.ZBCF=45°=ZBAE,

/.ABE絲CBF(AAS),

/.BE=BF9

(2)AE=2CF,理由如下：

丁四邊形ABCD是矩形，

/.ZABC=90°,AD=BC=4,AB=CD=8

...AB—_8——=z

BC4

NEB尸=90。，

，ZABC=NEBF=90。,

/.ZABE-hZEBC=ZEBC-^-ZCBF=90°,

ZABE=ZCBF.

*/AC.LCG,

ZECF=90°,

/.ZBCF+ZBCE=ZBCE+Z.BAE=90°,

，ZBCF=ZBAE,

/\ABES/\CBF,

.AE_AB

''CF~~CB~

：.AE=2CF.

(3)分以下兩種情況討論：

①當四邊形班CF關于跖所在直線對稱時，如圖，此時研交于點H,

ZACB+Z.BCF=ZBFH+ZFBC=90°,ZFBC=ZBCF,

/.ZACB=ZBFH,

/.BHFs、ABC,

.BFAC

*BH-AB

*/AB=8,BC=AD=4,

/.AC=VAB2+BC2=4A/5

/.AE=CE=2A/5

BH=-BC=2

2

.BF_445

BF=y[5;

②當四邊形屬CF為矩形時，如圖所示,

；?NBAC=/EBC,BE1AC,BF=CE,

..ABCs,BEC,

.BCAC

AB=8,BC=AD=4

AC=VAB2+BC2=4A/5

4_46

:.CE=^-

5

BF=CE=

5

綜上所述，線段跖的長為百或半.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確

尋找全等三角形或相似三角形解決問題.

11.(1)FG