新高考數學一輪復習

第講點、線、面的位置關系及線面平行

直線與平面沒有公共點，

則稱此H線;與平面a平行，記作/〃a

如果兩個平行平面同時和第三個平面

性質定理

相交，那么他們的交線平行

1

題型一：證明"點共面"、"線共面"或"點共線"及“線共點”

【典例1-1】如圖，在正四棱臺A8cr>-A4G2中，M,N,P,。分別為棱AB,BC,BG，上的

點.已知AB=6,4瓦=3,B[Q=B[P=1,BM=BN=4,正四棱臺ABC。-A4G2的高為6.

證明：直線M。，BBt,NP相交于同一點.

【解析】證明：在正四棱臺ABCO-AAG2中，因為耳。=用尸=1,BM=BN=4,B.Q//BM,

BF〃BN,

所以四邊形瓦QA",與PNB均為梯形，則直線MQ與B與必相交，NP與8及必相交.

延長MQ,BB],NP,設M。的延長線與BB[的延長線交于點E,NP的延長線與3瓦的延長線交于點R

在正四棱臺ABCD-4BC2中，AB!!A}BX,BCUB、C、,

AMB

則—工毀=罵」

'EBMB4'FBNB4，

得EBi=FB「所以點E,尸重合，

即直線MQ,BBt,NP相交于同一點.

【方法技巧】

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內.

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.

2

【變式1-1】在直三棱柱A3C-AB|G中，ABLBC,AACB=y,側棱長為3,側面積為9+3石.

6

（1）求三棱錐3-A3c的體積；

（2）若點。、E分別在三棱柱的棱CG，B4上，且8>8石，線段AE.ARDE的延長線與平面ABC交于

尸,G,H三點，證明：共線.

【解析】（1）由題意知2AB=AC,BC=^4B,

所以該三棱柱的側面積為（2AB+J3AB+AB）xB耳=9+3有=（3+百）x3A3nA5=1,3C=6，

又ABJLBC,直三棱柱ABC-44G中83]_LA3,

S.BCnBB,=B,BC,8耳u平面BQ,

所以AB_L平面8G，

又AB//A]耳，所以4耳，平面8Q,

故三棱錐B-A^C的體積為VB_^C=吟*回=gA與xgBCx8與=g;

（2）由基本事實的推論知兩條相交直線共面，所以A，￡G,E,Oe平面AJG,

又“eEREDu平面A^G,所以平面A^G,

而He平面ABC,平面ABCfl平面A尸G=FG,

所以HeFG,即尸,G,"共線.

題型二：異面直線的判定

【典例2-1】已知正方體AB。-A瓦G2,點P在直線A2上，。為線段3。的中點，則下列說法不正確

的是（）

A.存在點P,使得PQ^AC；B.存在點P,使得PQ//A2；

C.直線PQ始終與直線CG異面；D.直線PQ始終與直線異面.

【答案】C

【解析】在正方體中，可得AG，42，

又由，平面4耳GA,且4Gu平面A/CJR,所以AG，8四，

3

因為4，c84=B1,且用。,8月u平面,所以AG_L平面8OQ4,

由點P在直線A2上，。為線段8D的中點，

當點P和2重合時，可得尸Qu平面,所以尸。_LAC，所以A正確；

連接AQ,如圖所示，

當點尸為線段A2的中點時，PQ為AAB。的中位線，即PQ//4B,所以B正確；

因為CQu平面ACC、，當點尸和點A重合時，PQu平面ACC4，

則直線尸。和CG在同一平面內，所以C錯誤；

由BC］U平面A3GR,尸Qc平面A8G〃=P，且尸危的，

所以直線PQ始終與直線BG不相交，且不平行，所以尸。與BG是異面直線，所以D正確.

故選：C.

【方法技巧】

判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：

(1)直接法：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過B點的直線是異面直線.

(2)間接法：平面兩條不可能共面(平行，相交)從而得到兩線異面.

【變式2-1］在底面半徑為1的圓柱。。|中，過旋轉軸。。作圓柱的軸截面ABC，其中母線A8=2,E是

弧BC的中點，尸是AB的中點，貝U()

A.AE=CF,AC與跖是共面直線

B.AE^CF,AC與跖是共面直線

C.AE=CF,AC與E尸是異面直線

D.AEwCF,AC與是異面直線

【答案】D

【解析】如圖，在底面半徑為1的圓柱。。1中，母線AB=2,BC=2,E是BC的中點，則3E=AE=0，

因為尸是A3的中點，又AB=2,則3尸=1,

AE=^AB2+BE2=^4+(72)"=A/6，CF=dBC，+BF?=屬［=小，

4

..AEwCF,

在VA3c中，。是BC的中點，尸是A3的中點，:.OF//AC,

，AC與。產是共面直線，

若AC與EF是共面直線，則O,￡A,C,E在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線

題型三：異面直線所成的角

【典例3-1】已知底面邊長為2的正四棱柱ABCO-ABGR的體積為16,則直線AC與A8所成角的余弦

值為（）

B.1

A.過V103710

55lb-10

【答案】C

【解析】如圖，連接AR,CR,則AB//。。，取AC的中點。，連接。2,則。"1AC,

所以ZACQ（或其補角）為直線AC與4出所成的角,

又正四棱柱的體積為16,則該棱柱的高為C&=惡=4,

又AC=2叵AD1=C?="2+2〉=26,

1AC

V2-Jio

所以cosZAC。=2——

CD,2小一io

即直線AC與AB所成角的余弦值為叵.

10

5

【典例3-2】已知兩條異面直線a,6所成角為70。，若過空間內一定點的直線/和。，6所成角均為60。,

則這樣的直線/有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】C

通過平移過點P作?！?。，b//CE,由題意，ZBPE=70°,ZEPD=110°.

70°

而—3PE的角平分線與。和6的所成角為L=35。，

2

4PD的角平分線與。和b的所成角為*=55。，

2

因為60。＞35。,60。＞55。，所以直線/和a,b所成角均為60。的直線有4條，

其中直線/在平面BPE的射影為的角平分線時存在2條直線滿足條件，

當直線/在平面EPD的射影為ZEPD的角平分線時存在2條滿足條件，故共4條.

故選：C.

【典例3-3】已知矩形A3CD中，42=1,反?=0,￡是邊8。的中點.AE和3。交于點將AABE沿

AE折起，在翻折過程中當A3與MD垂直時，異面直線54和C。所成角的余弦值為（）

1152

C

A.6-B.4-D.3-

12

【答案】D

【解析】如圖1,在矩形ABCO中，A2=1,2C=點,E是邊的中點,

故BE當，“BEAB

故——=——

ABAD

又N8AD=/ABE=90。，故VABE:NDAB,所以NBAE=NADB,

則/BAE+/ABQ=/AZ>8+/AB￡)=90°，故AE_LA1D.

圖②

6

如圖2,將AABE沿AE折起，點8的對應點為在翻折過程中，當A股與MD垂直時,

因為鉆01^=4旬,神七平面旬陽，所以MD_L平面AB，E,

因為KE?u平面AECD,所以平面AB，E_L平面AECD,

因為_LAE,MNu平面AB'E,平面AB'E平面AECD=AE,

所以J_平面AECD,

連接B'B，因為凡B〃CD,

所以ZB'AB或其補角即為異面直線B'A和。所成角，

因為工4"3石=』4石2",所以BM=@,

223

故8加=#，則BB，=《BM。+B'M?=與,又AB'=AB=1,

故cosNB,AB=6+84-8如=1=2,即所求角的余弦值為三,

2ABAB'233

故選：D.

【方法技巧】

(1)點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正

方體為模型.

(2)求異面直線所成的角的三個步驟

一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角.

二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

三求：解三角形，求出所作的角.

【變式3-1】如圖所示，圓錐的底面直徑AB=4,高OC=20,。為底面圓周上的一點，且NA8=120。,

則直線AD與BC所成角的大小為.

【解析】如圖，延長。。交底面圓于點E,連接跖，CE,

7

c

由AB,￡>￡1均為圓的直徑知AA〃班且=

所以NC3E即為異面直線相>與2C所成的角（或其補角）.

在△AOQ中，AD=1OAsin60°=273,

在RtABOC中，BC=y/OB2+OC2=2G，

所以CB=CE=BE=2布,所以△C8E為正三角形，

所以NCBE=60。，即直線AD與8C所成的角為60。.

故答案為：60°.

【變式3-2］如圖，直線PD_L平面ABCD,ABCD為正方形，PD=AD,則直線PA與所成角的大小

【解析】令PD=AD=1,取尸2AD,AS中點分別為E,尸,加,

連結EF,EM,FM,貝!!E產11PA，尸M||8￡）,

.?.NERW就是直線PA與33所成角或其補角.

又因為在中，EF=-PA=-yjAD2+PD2=-A/T+T=—,

2222

FM=-BD=-yjAD2+AB2=-^/i+T=—

2222

8

11_6

EF+FM^-EM?

則cosZEFM=55-II

2EFxFM2x也x也2

22

ZEFM=120°

直線PA與BD所成角為60°.

故答案為：60°.

【變式3-3】在三棱錐P-ABC中，AC=g,BC=1,PA=PB=PC=AB=2,/為AC的中點，則異面

直線BM馬PA所成角的余弦值是

【答案】等

【解析】取尸C的中點。，連接MD,現），如圖所示:

因為M為AC的中點，。為PC的中點,

則根據三角形的中位線定理可得DM//PA,且。M=gPA=1.

所以㈤WB為異面直線則與叢所成的角或其補角.

因為在VABC中，AC=y/3,BC=1,AB=2,

所以AB2=BC2+AC2,則AC_LBC.

XAM=MC=-AC=—,所以=,心+吹2=也.

222

又在△PBC中，BC=1,PB=PC=2,

?2_i_12_?21

所以由余弦定理可得：cos/DCB「1

2x2x14

又因為在△加。中，DC=BC=\,

9

i3

所以由余弦定理可得：BD2=l+l-2xlxlx-=-.

42

173

DM2+BM2—BD2_"z”_5/7

則在△曲。中，由余弦定理可得，ccsNDMB=

2xDMxBM2xlx-8

2

所以異面直線皿與四所成角的余弦值為蜉.

28

故答案為：蜉.

28

題型四：等角定理

【典例4-1】設NA與13的兩邊分別平行，若/A=60。，則N3=.

【答案】60?；?20。

【解析】根據等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補.

所求角為60?；?20。.

故答案為：60°或120°.

【典例4-2]如圖，在正方體ABCD-A4GR中，E是棱CG的中點，記平面ARE與平面ABCD的交線

為人平面ARE與平面A8耳A的交線為4,若直線A3分別與44所成的角為以月，貝ljtana=,

tan(a+,)=.

【解析】在正方體ABCO-ASGR中，E是棱CG的中點，

延長與。C延長線交于點F，連接AF,則直線AF即為直線4，a=ZBAF,

由CE//DD],得CF=OC,又AB//CD,于是tana=tan/AF￡)=!，

2

由平面CDDg//平面AB瓦A,平面AREc平面ABB^=12,平面AD.Ec平面CDD￡=D.E,

則RE〃/2，又GDJIAB,因此￡=tan〃=g,

10

11

-+-

tanor+tan/?4

所以tan(a+0=22

1-tancrtan(31II3

1——x—

22

14

故答案為：J

【方法技巧】

空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

【變式4-1］過正方體ABCD-A,BXCXDX的頂點4在空間作直線/,使/與平面BB^D和直線BCX所成的角都

等于45。，則這樣的直線/共有一條.

【答案】2

【解析】在正方體中，AC與平面3BQD垂直，再根據等角定理，問題可以轉化為過點4與AC、A?都

成45。的直線有幾條.

考慮到AC,A?夾角為60。，所以同一平面的角平分線與AC,的夾角大小為30。,

因為45。＞30。，從而存在兩條直線滿足條件.而AC,AR的外角為120度，所以不存在外角平分線滿足

條件.

綜上，滿足條件的直線共2條.

故答案為：2.

II

題型五：平行的判定

【典例5-1】設a,尸，7是三個不同平面，且an/=/，￡n/=機，則“〃/加”是“a//仍的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若a〃P，a[\Y=l,p[}y=m,則由平面平行的性質定理：得/〃”；

但當/〃根，?？?=/，夕口/=加時，可能有a〃夕，也可能有見4相交，

如/,加是三棱柱的兩條側棱所在直線，/是/,相確定的平面，

另兩個側面所在平面分別為a,夕，此時符合條件，而a,4相交，

所以“///”是"a〃優(yōu)的必要不充分條件.

故選：B

【典例5-2]已知平面a,￡,7滿足al△月I7,al7,下列結論正確的是（）

A.若直線/，/，貝心〃夕或""

B.若直線/〃e,則/與s和/相交

C.若/uar,則/_!_￡,且/

D.若直線/過空間某個定點，則與a,成等角的直線/有且僅有4條

【答案】D

[解析】在正方體ABCD-中，平面ABCD,平面ADD^,平面CDD￡兩兩垂直，

令平面ABCD為平面a,平面ADD^為平面§,平面CDDg為平面/,

對于A,直線￡>R，a,DD\U/3,DD、uy,當/為直線。0時，/u￡,/u/,A錯誤；

對于B,\BJIa,當/為直線44時，Illy,B錯誤；

對于C,AB^a,當/為直線A3時，Illy,C錯誤；

對于D,在正方體A8CD-A瓦GR中，直線AG，AC82,4。相交于點O,

它們與平面ABCD,平面ADAA，平面C￡>AG所成的角都相等，

而正方體過其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個面所成的角相等，

過空間給定點作直線平行于直線AG，AC,82,2Q之一，所得直線與與a,0,/所成角相等，

因此直線/過空間某個定點，與火民/成等角的直線/有且僅有4條，D正確.

故選：D

12

【方法技巧】

排除法：畫一個正方體，在正方體內部或表面找線或面進行排除.

【變式5-1］（多選題）已知a,￡是兩個不同平面，m,〃是兩條不同直線，則下列命題為假命題的是

（）.

A.如果〃,n!IP,那么a_L夕

B.如果〃n!la,那么〃?_La

C.如果a〃夕，mua,那么m//p

D.如果〃2〃〃，a〃夕，那么機與a所成的角和〃與P所成的角的大小不相等

【答案】AD

【解析】對于A,可運用長方體，舉反例說明其錯誤，如圖,

不妨設A4,為直線加，CD為直線小平面ABCD為a,平面ABC77為

顯然這些直線和平面滿足題目條件，但al6不成立，故A為假命題；

對于B,設過直線〃的某一個平面與平面a相交于直線/,貝!］〃/〃，

由。知m,從而;〃"L",故B為真命題；

對于C,如果a〃夕，mua,則m//￡,故C為真命題；

對于D,如果〃2〃“，a/l/3,那么機與a所成的角和"與尸所成的角相等，故D為假命題.

故選：AD.

【變式5-2］已知a,0,y為三個不同的平面，a,b,/為三條不同的直線.

若ans=/,an尸ain尸仇///%則下列說法正確的是（）

A.。與/相交B.6與/相交C.a\\bD.。與￡相交

【答案】C

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【解析】對于AB,"/%/u平面a,a^\y=a,則〃/a,

同理可得〃/》，則AB錯誤；

對于C,由AB知道a〃"則C正確；

對于D,由A知道〃/a,ON平面/u平面￡,則a///?,故D錯誤.

故選：C.

題型六：線面平行構造之三角形中位線法

【典例6-1］如圖，已知四棱錐PABC。的底面ABCZ）是平行四邊形，M,N分別是棱尸8,PC的中點，Q

是棱％上一點，且AQ=3QP.

求證:N。//平面MCD;

【解析】取用的中點S,連接SM,SD,SC,因為加為PB的中點，

所以SA7//A3,又AB//CD,所以SA///CD,故S,M,C,。四點共面，

由題意知。，N分別為PS,PC的中點，故NQIISC,

又N。,平面MCD,SCu平面因此NQ//平面MCD；

【典例6-2】如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是正方形，平面ABCD,點E是的中點，F是線段

PB上靠近尸的三等分點，PD=AD=2.

（2）求點F到平面BDE的距離.

【解析】（1）證明：如圖，

14

連接AC交BD于點O,連接EO,

一??四邊形AB。是正方形，二。為AC中點，

是以中點，EO//PC,

EOu平面BDE,PCn平面BDE,:.PC//平面BDE.

(2)?.?PD_L平面A5C￡>,ABu平面ABC。，:.AB±PD.

又四邊形ABCD是正方形，工AO.

又PDcAD=D,PDAOu平面尸AD,.:AB工平面EW.

又OEu平面PAD,:.ABIDE.

???點E是出的中點，PD=AD=2,:.DELPA.

5LABC\PA=A,AB,PAu平面RIB,.?.￡>￡1!_平面2B.

又BEu平面PAB,:.DELBE.

又易知DE=0,：.BE=y/BD2-DE2=R.

:.SABDE=；x叵x瓜=6

LAB。=mxQx2x2)x2=§.

又S.ADE=S“PDE，歹是線段PB上靠近尸的三等分點，

?1/_1V_2_1i__2

??^B-ADE=]^P-ABD=§，VF—PDE=耳*§^P-ABD=§，

__4

==

…VF-BDEVp_ABD~^B-ADE-^F-PDE§?

設點廠到平面BDE的距離為4,貝石xd=:，解得d=逑.

399

二點F到平面BZ定的距離為華.

【方法技巧】

利用三角形中位線找線線平行.

15

【變式6-1】如圖所示，PDCE為矩形，ABC。為梯形，平面PDCE_L平面ABCD,ZBAD=ZADC=90°,

AB=AD=；CD=1,pD=^2.

若點時為9的中點，證明:AC//平面MDE；

【解析】連接PC,交DE千N,連接

?.?尸DCE為矩形；.N為尸C的中點

在AR4c中，M,N分別為朋，PC的中點

.-.MN//AC,

因為"Nu平面ACC平面MDE,

所以AC〃平面MOE.

題型七：線面平行構造之平行四邊形法

【典例7-1］如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，M,N分別是尸￡)和8c的中點，平面

AD=2.

(1)證明：MN//平面上4B；

(2)求三棱錐M-ABC的體積.

【解析】(1)如圖，取PA的中點E,連接EB,EM,

16

因為ME是的中位線，所以上ffiV/AD,且ME=gAZ),

又因為BN//AD且BN=LA。，所以ME/ABN且ME=BN,

2

所以四邊形MEBN是平行四邊形，所以MN//BE,

又因為"Na平面PAB,8Eu平面B4B,所以MN//平面B4B；

(2)取4B的中的中點尸，連接P尸，

因為E4=PB=AB,所以P_F_LAB,且尸P=JL

又因為平面B4B_L平面ABC。，平面尸ABc平面ABCD=AB,

PFu平面F4B,所以尸產，平面ABCD,

因為s?=LAB-BC=2,PF=6，

A2

所以與TBC=：S“BC.尸尸=竽，

又因為"是尸。的中點，所以%-Bc=；M-=g-

【方法技巧】

利用平行四邊形找線線平行.

【變式7-1］如圖，在正三棱柱ABC-ABC】中，22,歹分別是517,B￡,A片的中點，BC=4BE，

△ABC的邊長為2.

求證：：EF〃平面AORA；

【解析】證明：取42的中點G,連接尸G,DG,

17

根據題意可得尸G//42,且產G=g用2，DE=^BD,

由三棱柱得性質知3?！ㄆ?,所以尸G//3D,則四邊形DG所是平行四邊形,

所以EF//DG,

因為￡FU面ADRA，OGu面ADRA，

所以所〃面ADRA.

題型八：利用面面平行證明線面平行

【典例8-1】由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺ABCD-4qGR中，瓦戶分別為AD,AB的

中點，AB=2AlBi=4,側面88cle與底面ABCD所成角為45。.

。C

AFB

求證：^^//平面人近7；

【解析】連接3。、BQI，由E,尸分別為AD,AB的中點，則EFVABD,

又砂0平面BBQQ,BDu平面BBQiD,故EF〃平面MQQ,

正四棱臺ABCZ)-A8C2中，Asi//AB-B.Asi=^AB=BF,

則四邊形4延4為平行四邊形，故AFUBB\,

又4尸O平面BBQQ,881U平面BBQQ,故4歹〃平面^耳。。，

又A/cE/=尸，且4尸U平面4成"EFu平面A石產，

故平面AEb//平面5801。，又52(=平面故5。］//平面廠;

18

【典例8-2］如圖，ADIIBC,點E、/在平面ABC。的同側，CF//AE,AD=1,

AB=BC=2,平面ACFE_L平面ABC。，EA=EC=y/3.

求證：〃平面

【解析】因為CF/M￡,CFu平面ADE,

所以b〃平面ADE,同理BC7/平面ADE,

又BC,。尸＜=平面33,BCCCF=C,

所以平面BC尸〃平面ADE,Mu平面ADE,

所以8尸〃平面ADE；

【方法技巧】

本法原理：已知平面￡〃平面則平面戶里的任意直線均與平面a平行

【變式8-1］如圖，在直角梯形A5CD中，AD//BC,AB±BC,AB=BC=2AD,把梯形ABCZ）繞A3旋

轉至ABCR,E,尸分別為AB,CG中點.

證明：跖〃平面CQA；

【解析】證明：設2G中點為G,連接FG,EG,

19

?"G為△CCQ中位線，FG//CD,,

又CRu平面CR4,FGu平面CRA,

.???FG〃平面CQ4,

VEG為梯形ABCR中位線，EG//AD,,

又AD,u平面CQA,EG(Z平面CQA,

二EG〃平面CD】A,

■.EG^FG=G,軟?<=平面瓦6,￡^^平面瓦6,

???平面EFGH平面CRA,

?.?￡Fu平面EFG,

J.EF〃平面CQA.

題型九：利用線面平行的性質證明線線平行

【典例如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和3cm,AA，3片為圓臺的兩條不同的母線.

。廣。分別為圓臺的上、下底面圓的圓心，且△OAB為等邊三角形.求證：A5iHAB.

B

【解析】證明：；圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，

所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.

母線M與母線BB,的延長線必交于一點，，A4,3,用四點共面.

；圓面。1〃圓面。，且平面AB4An圓面。1=4笈，平面AB81An圓面o=AB.

20

【方法技巧】

如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行

【變式9-2］如圖，在四棱臺4BCD—A耳GR中，0n，平面ABC。，AD//BC,AD=DC=2,BC=l,

ZBCD=60",AR=DtD=1.

記平面AAD。與平面aBCG的交線為/,證明：〃IBC；

【解析】

因為AD//BC,A￡>u平面AA。。，平面\ADDX,

所以BCH平面\ADDy.

又BCu平面B.BCQ,平面AADQ口平面gBCC】=/,所以IUBC.

題型十：面面平行的證明

【典例10-1］如圖，在多面體ABCDE尸中，四邊形ABCD是正方形，DE_L平面ABCD,平面ABCD,

DE=2BF=2AB.

(1)求證：平面ARF〃平面CDE；

⑵若AB=2,求多面體ABCDE下的體積.

【解析】(1)因為DE_L平面ABC。，M_L平面ABCD,

所以DE//BF,

21

因為DEu平面CDE,8尸a平面CDE,

所以3尸〃平面CDE,

因為四邊形ABC。是正方形，所以AB//CD,

因為CDu平面CDE,ABa平面CDE,

所以AB〃平面CDE,

又ABu平面ABRBbu平面且ABpB戶=8,

所以平面ABF//平面CDE.

(2)如圖，連接AC,8Q,記AcnBD=a.

因為四邊形AB。是正方形，

所以AC,8￡>,=C"=^AC,

2

因為￡>￡■_!_平面ABC。,ACi平面ABC。，

所以DE1AC,

因為DEu平面BDEF,BDu平面BDEF,且DEcBD=D,

所以4。_1平面龐>EF,

因為止=289=2AB,且AB=2,所以2尸=2,DE=4,

因為四邊形ABC。是正方形，所以AC=3Z)=2拉，

貝ljAH=CW=0，

故多面體ABCDEF的體積V=VABDEF^CBDEF

JxR迪力+3吆1/后=8.

【方法技巧】

常用證明面面平行的方法是在一個平面內找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時

垂直于這兩個平面.證明面面平行關鍵是找到兩組相交直線分別平行.

【變式10-1］如圖，直棱柱A3a)-45GQ中，底面ABCD為梯形，AB//DC,且AB=2￡>C,E,尸分別

是棱A3,AD的中點.

22

證明：平面RE尸//平面G8D;

【解析】在△回）中，E,尸分別為AB,AD的中點，貝ijE廣〃區(qū)）,

而￡F0平面C\BD,BDu平面CtBD,因此￡F〃平面CtBD,

又DC//AB,DC=；AB=EB,而?！?℃,2G=〃。，

于是EB//RG且EB=RG，四邊形BGRE為平行四邊形，則RE//G8,

又D、E<Z平面C{BD,CXBu平面，因此D.E//平面QBD.

而EF,。也為平面DXEF中兩相交直線，所以平面A￡尸//平面CXBD.

題型H■一：面面平行的性質

【典例11-1】在正四面體ABCD中，尸為棱AO的中點，過點A的平面。與平面PBC平行，平面“A平面

ABD=m,平面平面HCD=",則加，”所成角的余弦值為（）

A.昱B,-C,-D.且

3333

【答案】B

【解析】因為平面2//平面尸8C,<n平面AB￡>=7〃，平面PBCPl面ABr>=BP,

所以〃M/5P,

因為平面￡//平面PBC,0n平面ACD=〃，平面PBCfl面ACDnPC,

所以"http://PC,

所以加，”所成角即為8Ape所成角，

而8ape所成角為N8PC,設正四面體ABCD的棱長為2,

所以AB=AC=AZ）=8D=8C=2,所以BP=CP=打=后，

3+3-41

所以cos/BPC==不

2x，3xj33

23

A

故選：B.

【典例11-2】已知正方體平面ABC與平面32GC的交線為/,貝U（）

A.1//A.DB.1//B.Dc.IHCXDD.URC

【答案】C

【解析】正方體ABCD-ABQR中，平面A^B.B//平面DD^C,

平面ABCn平面DRCC=/,平面A8Cn平面44t4B=A4，所以〃/A與，

正方體中，A￡>=4G且A￡>〃與G，四邊形AOC4為平行四邊形，

則有A4〃G。，所以〃/CQ,C選項正確；

都與CQ相交，貝I"與4口4。,。0都不平行，ABD選項都錯誤.

故選：C.

【方法技巧】

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行=線面平行”）

【變式11-1］如圖，梯形ABC。中A5〃CD,四邊形是梯形ABCD在平面a內的投影

（AA'//BB'/ICC//DD'）,則對四邊形AECTY的判斷正確的是（）

A.可能是平行四邊形不可能是梯形B.可能是任意四邊形

C.可能是平行四邊形也可能是梯形D.只可能是梯形

【答案】D

24

【解析】由題意，因為44'//B〃//cc"/nzy,所以4r與3g確定平面

CC與W確定平面CCDD,

A4'＜Z平面CC7XD,/汨上平面。。'。。，AA'〃平面CC'。'。，

又在梯形ABCD中，鈿//。。,48二平面。67＞。，

CDu平面CCD'D,'.AB//平面CC7XD.

又A4'cAB=4,44'u平面A422,ABu平面AYgB,

???平面AABB//平面COD'D.

易知平面AAZ'Bca=AZ'，

平面CC'D'Dca=CD',:.AB'//CD'.

在平面MC￡＞中，A3與。。長度不相等，8C,AD必然會相交于一點，

則平面BBCC與平面AA力力相交，B'C',4力'必然會相交于一點，

則四邊形AB'C。只可能是梯形，

故選：D

題型十二：平行關系的綜合應用

【典例12-1］如圖，在三棱錐P-ABC中，RU底面ABC,AC1BC,H為尸C的中點，M為A”的中點,

PA=AC=2,BC=1.

P

(1)求證：AH±BC；

(2)求點C到平面A8”的距離；

PN

(3)在線段上是否存在點N,使MN//平面ABC?若存在，求出訪的值，若不存在，請說明理由.

【解析】(1)因為PA_L底面ABC,BCu平面ABC,所以2_LBC.

又因為ACJ_3C,4?門雄=A,AC,P4u平面PAC,

所以BC_L平面PAC,

又因為平面尸AC,所以

(2)設點C到平面AB”的距離為d.

25

因為上4,底面A8C,PA=2,H為尸C的中點，

所以點H到平面ABH的距離為gPA=1.

又因為在VABC中，AC±BC,AC=2,BC=\.

=XXX

VjHAB=VH-CAB=§X5""XS&ABC~1^2xl=—.

又因為PA_L底面ABC,4Cu平面ABC,所以PA_LAC,

又因為R4=2,AC=2,H為尸C的中點，

所以尸C=2應，AH=gpC=①

又因為由（1）知BCJ■平面PAC,PCu平面PAC,所以BCLPC,

則BH=y/BC2+CH2

所以AB?=m2+8/72,則

則AABH的面積為=逅，

22

所以K?HAB=Ld-,解得d=.

C-HAB3233

IPN\3

（3）線段尸8上當點N滿足萬前=j,使MN//平面ABC.

證明：取S的中點K,連接MK,NK.

因為加為AN的中點，

所以由MK為△五AC的中位線，可得MK//AC.

又因為MKa平面ABC,ACu平面ABC,所以MK〃平面ABC；

由卷=3,啰=3,可得籌=黑，則…C

又因為NK<X平面ABC,BCu平面ABC,所以NK//平面ABC.

又因為MZTcNK=K,MK,NKu平面ABC,

26

所以平面M