2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

平面解析幾何章節(jié)綜合（人教B版）（填空題）2

一、填空題

22

1.（2025北京房山高二上期末）已知雙曲線C：L-工=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，巴，則雙曲線C的離心

49

率為—；若”是雙曲線C上任意一點(diǎn)，貝UIIMITMIU

2.（2025北京101中高二上期末）已知曲線。:爐-國=九（/一加，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①對(duì)任意/LeR,曲線C關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；

②當(dāng)4=1時(shí)，曲線C是由兩條直線和一個(gè)正方形組成的圖形；

③當(dāng)2=-1時(shí)，曲線C上任意兩點(diǎn)距離的最大值為20;

④當(dāng)外＜0時(shí)，曲線C圍成的區(qū)域面積最小值為4.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

3.（2025北京延慶高二上期末）以A（2,T）,3（.2,2）為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

22

4.（2。25北京延慶高二上期末）若拋物線X」2Py（p＞。）的焦點(diǎn)與橢圓卜（1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該

拋物線的準(zhǔn)線方程為

5.（2025北京延慶高二上期末）已知直線＞=履+1與雙曲線三-9=1的一條漸近線垂直，則斜率%的一

4"

個(gè)取值是

6.（2025北京豐臺(tái)高二上期末）直線/：x+y+2=0被圓0：爐+尸=4截得的弦的長為.

7.（2025北京豐臺(tái)高二上期末）已知點(diǎn)尸（。，1）,直線/：y=T,動(dòng)圓尸過點(diǎn)E且與直線/相切，則圓心尸

的軌跡C的方程為；若直線＞=履及＞=-丘分別與曲線C交于異于原點(diǎn)的N兩點(diǎn).當(dāng)直線

過點(diǎn)F時(shí)，k=.

8.（2025北京東城高二上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線產(chǎn)區(qū)+根（心0）與無軸和＞軸分別交于A,8兩

點(diǎn)，|明=20,若C4LCB,則當(dāng)匕加變化時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)（2,2）的距離的最大值為.

9.（2025北京延慶高二上期末）“中國天眼”反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞著其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所形成

的曲面稱為拋物面），利用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)出發(fā)的光線照射到拋物線，經(jīng)反射后的光線平

行于拋物線的對(duì)稱軸.如圖所示：拋物線。：y=4X，一條光線經(jīng)過〃（4,-3）,與x軸平行照射到拋物線

上的點(diǎn)A處，第一次反射后經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)產(chǎn)到拋物線上的點(diǎn)B處，第二次反射后經(jīng)過N（4,%）,則A

的坐標(biāo)為,|M4|+|AB|+|BN|的值為

10.（2025北京大興高二上期末）如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓

反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓C：X+V=1,其左、右焦點(diǎn)分別是大，F(xiàn),,尸為橢

4

圓。上任意一點(diǎn)，直線/與橢圓C相切于點(diǎn)尸，過點(diǎn)P與/垂直的直線與橢圓的長軸交于點(diǎn)M,

/月產(chǎn)河=/工尸河，點(diǎn)。（0,"）,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①，尸耳F?面積的最大值為百；

②IPQI+I%|的最大值為7；

③若1PM=|嗎則|尸用=3|尸耳；

④若下22,垂足為尺（如為），貝鼠;+￥=5.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

11.（2025北京石景山高二上期末）已知拋物線C：,2=8x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在C上.若M到直線x=-3

的距離為5,貝”加產(chǎn)1=.

12.（2025北京東城高二上期末）雙曲線［一>2=1的離心率為,漸近線方程為.

22

13.（2025北京五中高二上期末）已知雙曲線卞-方=l（a>0,6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（6,0）,且與直線

y=±2無沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的方程可以為.

14.（2025北京朝陽高二上期末）設(shè)拋物線。：丁=2。武夕>0）的焦點(diǎn)為尸（1,0）,則。=；點(diǎn)人在

拋物線C上，若|A典=5,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

22

15.（2025北京朝陽高二上期末）已知曲線C:」一+^^=1（meZ且機(jī)W±2）.若C為雙曲線，則加的一

m+22—m

個(gè)取值為；若C為橢圓，則加的所有可能取值為.

2

16.（2025北京北師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期末）雙曲線〃：/一匕=1的漸近線方程為_______；若/與

3

圓+,2=/（/>0）交于四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，貝"=.

17.（2025北京五中高二上期末）兩條直線乙”->=0與心彳-丁-2=0之間的距離是.

18.（2025北京懷柔高二上期末）以點(diǎn)A（2,l）為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

19.（2025北京房山高二上期末）直線y=mr+2租-l經(jīng)過一定點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為,以點(diǎn)C為圓

心且過原點(diǎn)的圓的方程為.

20.（2025北京大興高二上期末）已知直線/—+3=0,4：2x+y=0相交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)

為，圓+/-2x+4y+l=0,過點(diǎn)A作圓C的切線，則切線方程為.

參考答案

,叵4

2

【分析】根據(jù)離心率公式以及雙曲線的定義即可求解.

【詳解】由題意可得“=21=3,故°="^=屈，

由于曬-|回磯=2°=4,

故答案為：叵,4

2

2.①②③

【分析】對(duì)于①，將(％-y),(-%y),(-x,-y)代入曲線方程中即可判斷；對(duì)于②③，將力的值代入曲線方程

中，作出函數(shù)圖象即可判斷；對(duì)于④，先研究曲線在第一象限的圖象，再由對(duì)稱性得到曲線c的完整圖

象，從而由圖象結(jié)構(gòu)特征得s＜兀，+；：恒成立即可求解.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榍€=2Tm,

所以將(x,-y),(-x,y),(-%-y)代入曲線方程中，方程不變,

所以對(duì)于任意XeR,曲線C關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；

對(duì)于②，當(dāng)x=i時(shí)，曲線。：工2-岡=；/一忖，整理為C：(WTM(國+僅|一1)=。，

即國=M或W+|y|=l,

作出和W+N=1的圖象即該曲線C的圖象如圖所示：

所以當(dāng)4=1時(shí)，曲線C是由兩條直線和一個(gè)正方形組成的圖形，故②正確;

對(duì)于③，當(dāng)4=-1時(shí)，曲線C：x2-W=_(y2-N),即x?+y2T工_3=0,

>0

I,”o

y〉o

i,y<0

作出該曲線C圖象如下圖所示:

此時(shí)曲線C上兩點(diǎn)的距離最大值即為|AB|=20,

所以當(dāng)4=-1時(shí)，曲線C上任意兩點(diǎn)距離的最大值為2后，故③正確;

對(duì)于④，當(dāng)2<0時(shí)，曲線C：

,長軸長為2a=2J一>1,短軸

^x>0,y>0,則；!.<-1時(shí)曲線C:=1為中心是

1-Z

1T

長為呀2/蹙>1的橢圓在第一象限的部分,

因?yàn)榍€C關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱,

所以/<-1時(shí)作出曲線C完整圖象形狀如圖所示:

曲線C完整圖象為③中所示圖象;

-1<2<0時(shí)，曲線C在第一象限圖象為中心是望1長軸長為短軸長為

2b=2r彳>1的橢圓在第一象限的部分.

所以綜上由對(duì)稱性曲線C圍成的區(qū)域面積5<兀［。+《］=兀+T->|=冗JL恒成立，

［2）（丫422J1^24/1\44AJ

令/=則5<兀（；+產(chǎn)+［=兀,+（：恒成立，所以54元［1+（：=兀，

所以當(dāng)4<0時(shí)，曲線C圍成的區(qū)域面積最小值不可能為4,故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是先研究曲線在第一象限的圖象，再利用曲線的對(duì)稱性得到曲線完整

圖象，再由圖象研究曲線性質(zhì)即可，樹形結(jié)合簡化了問題的難度.

3.X2+(>+1)2=13

【分析】求A2的中點(diǎn)坐標(biāo)，求的長度，由此可得圓心坐標(biāo)和半徑，由此可得圓的方程.

【詳解】因?yàn)锳（2,T）,8（-2,2）,

所以線段A2的中點(diǎn)坐標(biāo)為即（0,-1）,

\AB\=J（_2-2）2+（2+4）2=2而,

所以以4（2,7）,3（-2,2）為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（0,-1）,半徑為舊，

所以以A（2T）,3（-2,2）為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是爐+（"以=13.

故答案為：￡+（y+l）2=13.

4.y=l

22

【分析】求拋物線Y=-2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求橢圓匕+土=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由條件列方程求P,再求拋物

43

線的準(zhǔn)線方程.

【詳解】拋物線尤z=-2公5>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為5

22

橢圓》+,=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-1）,

由已知5=1,所以0=2,

所以拋物線的方程為尤2=-4〉，其準(zhǔn)線方程為y=i.

故答案為：y=i.

5.-2或2（兩者填其一即可）

【分析】由雙曲線方程可求出漸近線方程，再由兩直線垂直可得斜率.

丫21

【詳解】易知雙曲線?-丁=1的漸近線方程為〉=±3工,

由直線＞=丘+1與雙曲線的一條漸近線垂直，所以可得±1左=-1,

解得k=±2.

故答案為：-2或2（兩者填其一即可）

6.2夜

【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出弦的弦心距即可求解.

【詳解】由圓。：x2+y2=4,可得圓心0（0,0）,半徑r=2,

|0+0+2|

于是圓心。到直線l：x+y+2=0的距離d==&■,

Vi+T

從而得IAB|=2,4-=28,所以弦A3的長為2vL

故答案為：20.

21

7.x2=4y±—

【分析】由點(diǎn)尸到點(diǎn)尸的距離等于點(diǎn)尸到直線/的距離，可得點(diǎn)尸的軌跡是拋物線，求解可得曲線。的方

程；由題意可得M,N兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，可求得M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）或代入方程可求％.

【詳解】因?yàn)閯?dòng)圓尸過點(diǎn)F且與直線/相切，所以點(diǎn)尸到點(diǎn)尸的距離等于點(diǎn)尸到直線/的距離，

所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)尸（?！唬榻裹c(diǎn)，直線八y=T為準(zhǔn)線的拋物線，

所以圓心P的軌跡C的方程為/=4y；

因?yàn)橹本€＞=丘與丁=-履關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線f=分關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以M,N兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，又直線MN過點(diǎn)F,所以M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,

所以/=4,解得x=±2,所以跖N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）或（—2,1）,

將（2,1）與（一2,1）代入直線方程y="，可得1=±2%，解得左=士;,

故答案為：V=4y；±|.

8.40

【分析】先求得A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|明=2也得到(-￡)2+加=8,再結(jié)合6,CB可得到C軌跡為動(dòng)

圓，求得該動(dòng)圓圓心的方程，即可求得答案.

【詳解】由〉=辰+相(心0),得A，￡,O1,B(O,附，

2

由|A8|=20,得+m2=8,

由C4_LCB,得AC.gC=O,

設(shè)C(x,y),貝+(尤,y-〃z)=O,

即“簽\mT+胃,

因此點(diǎn)。的軌跡為一動(dòng)圓,

設(shè)該動(dòng)圓圓心為E(Hy),即有x，=一凳,y=g,

乙K乙

貝|￡=一2/,加=2y'代入［一盛］+根2=8,整理得：x"+y'2=2,

即C軌跡的圓心在圓/+y'2=2上(除此圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)外)，

貝U|CD|W|DE|+0v口。+也+后，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C為射線DE與圓、+差［+卜一葭)=2的交點(diǎn)，點(diǎn)E為射線DO與圓J+y"=2的交點(diǎn)時(shí)等

號(hào)成立，

5(.\D0\=42-0)2+(2_0『=272,

所以點(diǎn)C到點(diǎn)D(2,2)的距離的最大值為2V2+2A/2=4A/2.

故答案為：4頁.

9

9.(-,-3)10

4

【分析】由條件先確定A的縱坐標(biāo)，代入拋物線方程可得A的橫坐標(biāo)，由條件結(jié)合拋物線定義求

|M4|+|AB|+|BN|的值.

【詳解】由已知M4〃R9,NB//FO,M（4,-3）,

所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-3,代入拋物線方程丁=4x,

90

可得了=:，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為:，

所以A的坐標(biāo)為，-3）

又拋物線/=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,

且|題4|+1+忸N|=|他4|+1AF|+忸同+怛時(shí)，

設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為網(wǎng)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為X],

則陷="%,網(wǎng)=4-蒼,

由拋物線定義可得|A同=占+1,怛同=々+1，

以|A/A|+1AB|+1BN|的彳直為4—玉+玉+1+x?+1+4—X?—10,

所以|舷4I+IABI+I5NI的值為。

故答案為：10.

10.①②③

【分析】對(duì)于①：根據(jù)橢圓性質(zhì)分析判斷；對(duì)于②：根據(jù)橢圓定義結(jié)合幾何性質(zhì)分析判斷；對(duì)于③：應(yīng)用

角平分線的性質(zhì)及余弦定理即可求解；對(duì)于④，延長居凡月尸交于點(diǎn)G,應(yīng)用對(duì)稱性及圓的定義即可求解.

【詳解】由橢圓方程可知：a=2,b=l,c=yja2—b2-A/3?

對(duì)于①：當(dāng)點(diǎn)尸為短軸頂點(diǎn)時(shí)，尸尸尸2面積的最大，最大值為:x26xl=6,故①正確；

對(duì)于②：因?yàn)殁钔?|桃|=2。=4,則|巡|=4-忸耳

可得歸。|+|尸6|=4+歸@一|尸耳歸4+閨0|=4+7?7?=7,

所以IPQI+IPKI的最大值為7,故②正確；

對(duì)于③：由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，得點(diǎn)尸與/垂直的直線為角/石尸鳥的角平分線，

S班”|五陽||叱|

人匕質(zhì)材\F2M\四P|'

設(shè)腐=^=左，則12耳1=上1巴",1耳/1=依取0|,

可得|5|=衿,|河力|=譽(yù),|大尸|=三,|月產(chǎn)|=匕，

1+左1+k1+k1+k

則cosNF[PM=cosZMPF2,

4k2-73c42y/3

----.------2,------?------

1+k1+左1+左1+左

整理可得發(fā)2—4左+3=0,解得左=1或左=3,

\PF.\\F.M\

當(dāng)左=1時(shí)，目=上看=1，加與。重合，不合題意,

所以左=3,即附|=3|尸孫故③正確；

對(duì)于④：如圖，延長耳氏轉(zhuǎn)尸交于點(diǎn)G,

則在△P^G中，PRX.GF2,ZF2PR=NGPR,

則歸閶=|PG|且&為8G中點(diǎn),連OR,

在空;G中，|OK|=g閨G|=g(|「團(tuán)+|PG|)=g(|3]+]尸閶)=0=2,

則點(diǎn)R在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，即x；+y：=4,故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于③④：解題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用角平分線的定義與性質(zhì)，構(gòu)建相關(guān)量之間的關(guān)

系，進(jìn)而解題.

11.4

【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，即可求出時(shí),再根據(jù)焦半徑公式計(jì)算可得.

【詳解】拋物線C：V=8x的準(zhǔn)線為x=-2,因?yàn)辄c(diǎn)“在C上且“到直線》=-3的距離為5,

所以X”-(-3)=5,解得知=2,

所以|幀|=2-(-2)=4.

故答案為：4

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程先確定。，瓦。的值，再利用離心率和漸近線的定義求出即可.

【詳解】由題可得雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，且4=2,。=1,0=逐，

所以雙曲線的離心率為e=￡=且，漸近線方程為y=±2x=土;.

a2a2

故答案為：;y=±y.

22

2

13./-匕=1（答案不唯一）

4

A

【分析】取直線y=±2x為雙曲線的漸近線，則2=2,根據(jù)焦點(diǎn)得到c=?,a=l,b=2,得到雙曲線方

a

程.

b

【詳解】取直線y=±2犬為雙曲線的漸近線，則±=2,

a

22

雙曲線，-方=l（a＞0,6＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是（6⑼,故c=5

2

由，="+〃，解得[=1]=2,故雙曲線方程為——匕=i.

4

2

故答案為：V-匕=1（答案不唯一）

4

14.24

【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:9=2川（p＞0）的焦點(diǎn)為尸（1,0）,

所以有P=2；

設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為七,該拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-l,

因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線C上，

所以根據(jù)拋物線的定義，由|A同=5n%-（-1）=5=%=4,

故答案為：2；4

15.3（答案不唯一）±1

【分析】由雙曲線和橢圓的方程性質(zhì)結(jié)合題意列不等式組可得；

【詳解】若C為雙曲線，則[（""?（2一〃'）＜°,解得加＞2或加＜-2,

[m豐±2

又MIWZ,所以加的一個(gè)取值可能為3；

m+2＞Q

若C為橢圓，貝人2-機(jī)＞0,解得一2＜根＜2且加R0,

m+2手2—m

又加eZ,所以機(jī)的所有可能取值為±1；

故答案為：3（答案不唯一）；±1.

16.y=±A/3X5/3

【分析】結(jié)合雙曲線漸近線的定義與正方形的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】由-：=1,故其漸近線方程為y=土,x=±后；

2o

令由題意可得同=同，即有療_2_=i,解得病=3,

32

故r二根2+=