第八章實(shí)數(shù)單元重難點(diǎn)題型歸納與訓(xùn)練

題型歸納

一.利用平方根，算術(shù)平方根和立方根求算式中字母的值

【題型解讀】此種題主要是根據(jù)平方根，算術(shù)平方根和立方根的定義，及其表達(dá)形式，求字

母的取值，主要考查了方程思想.

例1.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）若A=2言歷不K是9的算術(shù)平方根，B=§-3a-2b,

則A+2B的立方根為.

例2.（24-25八年級上?江蘇鹽城?期末）已知36+3的平方根為±3,10。+26的立方根為4.

⑴求。力的值；

（2）求2a+b的平方根.

對應(yīng)練習(xí)：

1.（23-24八年級上?山東青島?期中）已知2a+1的平方根是±5,1-6的立方根為-1.

（1）求a與6的值；

⑵求a+2）的算術(shù)平方根.

2.（24-25八年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）已知2a-1的平方根是±3,3。+6-9的立方根是2,

求a+2分的平方根.

3.（24-25八年級上?陜西咸陽?期中）已知±j3a+l=±4，2。+6的立方根是2.

⑴求7a-36的算術(shù)平方根；

（2）求u?c,的立方根.

5a+2b

4.（23-24七年級下,四川?階段練習(xí)）己知A="/，幣是。+》+3的算術(shù)平方根,

8=心啊°+26是。+2）的立方根,求3-A的立方根.

【解法提煉】

根據(jù)平方根，算術(shù)平方根和立方根定義建立方程，解方程即可求得字母的取值

二.平方根和立方根性質(zhì)問題

【題型解讀】此種題型主要考查一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)和如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)

那么它們的立方根也互為相反數(shù)

例1.（23-24七年級上?山東煙臺?期末）已知正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是2x-3和且

出+2b與對3b-5相等,求a+2）的算術(shù)平方根.

例2.（24-25七年級下仞川內(nèi)江?階段練習(xí)）如果3x-2和5%-6是一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根,

那么這個(gè)非負(fù)數(shù)是—.

例3.（23-24七年級下?全國?假期作業(yè)）已知也尤-8與4-24互為相反數(shù)，求萬7的

立方根.

對應(yīng)練習(xí)：

1.（23-24七年級下?重慶長壽?期末）若實(shí)數(shù)m的平方根是4a+21和a-6,6的立方根是-2,

求根+3。+/?的算術(shù)平方根.

2.（23-24七年級下?河北廊坊?期末）一個(gè)正數(shù)機(jī)的平方根是2x-4和尤-14,求正數(shù)冽的

立方根.

3.（23-24七年級下?全國?假期作業(yè)）已知返尸I與VI』互為相反數(shù)，且x40,yH0求

加值.

4.（24-25八年級上?河南?期中）已知正數(shù)無的兩個(gè)平方根分別是2〃-1和。+4,負(fù)數(shù)y的

立方根與它本身相同.

（1）求。，x,y的值；

⑵求x+y的算術(shù)平方根.

5.已知初c—2+2=/且33y-1與11一2x互為相反數(shù),求工,y的值

【解法提煉】利用平方根的性質(zhì)和立方根的性質(zhì)，建立方程，解方程即可，主要考查方程

思想

三.算術(shù)平方根的非負(fù)性

【題型解讀】1.算術(shù)平方根、完全平方數(shù)、絕對值都是非負(fù)數(shù)，且一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根具

有雙重非負(fù)性.

2.根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,從而得每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0”，構(gòu)建方程，從而求得未知

數(shù)的值.

例1.（24-25七年級上?浙江杭州?期中）已知實(shí)數(shù)。，6,c滿足：疝M+b+4|+（c-3『=0,

求：

（l）o,b,c的值.

（2）a+b+c的平方根.

例2.（24-25七年級下?四川眉山,期中）若。，6為兩個(gè)有理數(shù)，且匕=4工萬+F￡+4,

則必的平方根為—,

對應(yīng)練習(xí)：

1.（24-25七年級上?浙江寧波?期中）若卜+2|+方方=0,則而子的值為.

2.（24-25七年級下?河北石家莊?期中）已知實(shí)數(shù)滿足6=同工，若d匕為正整數(shù)，當(dāng)

b取最大值時(shí)，a=

3.（24-25七年級下?河南駐馬店?階段練習(xí)）已知a、b、C滿足

\/2a+b-4+|a+1|=y/b-c+s/c-b,求-10a-b+2c的算術(shù)平方根.

4.（24-25七年級下?浙江杭州?期中）已知：,-國+（6+2）2+&-2024=0.求:

⑴。,b,。的值；

⑵求的值.

【解法提煉】L根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)確定字母的取值

2.利用非負(fù)+非負(fù)=0,則它們分別等于0,即。2+廠+||=o,即可得02=o,廠=

0,11=0

四.實(shí)數(shù)有關(guān)概念，分類問題及與數(shù)軸的關(guān)系

【題型解讀】主要考查有理數(shù)，無理數(shù)，正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際情況對數(shù)進(jìn)行分類

例1.（24-25七年級上?浙江臺州?期中）把下列各數(shù)的序號分別填寫在相應(yīng)的橫線上.

22

①9，②-,，③0，④一3.14,⑤6,⑥0.808008…（兩個(gè)8之間依次多一個(gè)0）.

屬于整數(shù)的有：___________________________________________

屬于負(fù)數(shù)的有：__________________________________________________

屬于無理數(shù)的有：___________________________________________________

例2.有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別在于（）

A.有理數(shù)是有限小數(shù)，無理數(shù)是無限小數(shù)

B.有理數(shù)能用分?jǐn)?shù)表示，而無理數(shù)不能

C.有理數(shù)是正的，無理數(shù)是負(fù)的

D.有理數(shù)是整數(shù)，無理數(shù)是分?jǐn)?shù)

例3.（24-25七年級上?浙江杭州,期中）將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用"<"號把它們

連接起來.

-g,-3,V-8>卜2|,西.

-5-4-3-2-1012345

例4如圖。，b,。是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、。所對應(yīng)的實(shí)數(shù).

I

BA0C

試化簡：4^+|々_同_'（々+6）3_

對應(yīng)練習(xí)：

1.（24-25七年級下?河南周口?階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)（填序號）：

①②-5③蟲,④：，⑤-舛,⑥0,⑦-兀,⑧-手，?3.1010010001...

2323

（每相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加1）

⑴無理數(shù)集合｛___________________________________...｝;

⑵分?jǐn)?shù)集合｛___________________________________...｝;

⑶負(fù)實(shí)數(shù)集合｛____________________________________...）.

2TC

2.（24-25七年級下?浙江杭州?期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的橫線上：,，-V16,

2

0,——,>/7,,—1.4

整數(shù)：；

負(fù)分?jǐn)?shù)：；

無理數(shù)：；

正實(shí)數(shù)：.

3.下列說法錯誤的是（）

A.實(shí)數(shù)可分為正實(shí)數(shù)、0和負(fù)實(shí)數(shù)

B.無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)

C.無理數(shù)都是帶根號的數(shù)

D.實(shí)數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱

4.（24-25七年級下?浙江金華?期中）已知一列數(shù)：-|-3.5|,0,V2-1.

-4-3-2-1012

（1）把這4個(gè)數(shù)表示在下圖所示的數(shù)軸上；

⑵用”"將這4個(gè)數(shù)連接起來.

5.（24-25七年級下?重慶南岸?階段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)。、6、。的

位置如圖所示，化簡：后-后_?b_c）2=

-?——?

ab0C

【解法提煉】（1）本題考查了實(shí)數(shù)的分類

正整數(shù)

整數(shù)?0

有理數(shù)＜負(fù)整數(shù)（有限小數(shù)或無線循環(huán)小數(shù)）

實(shí)數(shù)＜‘正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)，

、負(fù)分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）

負(fù)無理數(shù)

（2）數(shù)軸上比較大小，越靠右值越大.

五.實(shí)數(shù)大小比較與估算

【題型解讀】有理數(shù)范圍內(nèi)比較大小學(xué)生易于掌握，而無理數(shù)比較大小對學(xué)生而言就有難

度了，此種題主要考查學(xué)生選擇合適的方法比較大小.

例1比較-遙-2與-2的大小

例2比較71與圓的大小

對應(yīng)練習(xí)：

1.比較2,3,惱的大小

2.（23-24七年級下?四川成都?期末）比較大?。贺峡谌ㄌ罨?="）

211

3.比較連+2與后-2的大小

4.比較匹|二與|的大小

5.當(dāng)0<a<1,比較的大小

a

【解法提煉】實(shí)數(shù)的大小比較，可以根據(jù)實(shí)數(shù)的特征靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，除了常?guī)的

方法外，還有幾種特殊的方法：開方法、平方法、取近似值法、放縮法、作差法、作商法

六.實(shí)數(shù)運(yùn)算

【題型解讀】1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則同有理數(shù)一樣，先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、

減，有括號的先算括號里面的.

2.在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)等意義跟有理數(shù)一樣，在有理數(shù)范圍內(nèi)的

運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用.

例1（24-25七年級下?湖南長沙?階段練習(xí)）⑴計(jì)算：㈠產(chǎn)+出川+/+而］.

(2)6+3X(A/6-3)-3X(76-1)；

⑶(-2)2+2+-我，

(4)~42X(-1廣5+雙-4

例2.（23-24七年級下?江蘇南通,階段練習(xí)）已知a,b均為有理數(shù)，且滿足等式5-

2

=2b+q也-a,貝ijab=.

例3.（23-24七年級下?安徽黃山?期中）已知。是癡的整數(shù)部分，揚(yáng)=3,則Jab+54的

平方根是.

對應(yīng)練習(xí)：

1.（24-25七年級下?山東威海?期末）計(jì)算:

(1)2.|2-國+“-9『+如方.

131、

(2)-48X~6+4~24)；

(3)，49+V-27+11—^21—V2

⑷：（-2），庖7+如小1I+V27

2.（23-24七年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）若有理數(shù)a,b滿足&a+6+3=a-6+7a，則

a=,b=.

3.（23-24七年級下?河北廊坊?階段練習(xí)）己知M-2的整數(shù)部分是加，小數(shù)部分是“，則

4.已知2a-l的算術(shù)平方根是3,3a+b-l的平方根是±4,c是/的整數(shù)部分，求3a+力-c

的平方根.

【解法提煉】

①有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用；

②通過夾逼法得出實(shí)數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分；

③有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算結(jié)果依然是有理數(shù)，無理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算結(jié)果為有理數(shù)或無理數(shù)，

有理數(shù)與無理數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果為無理數(shù)，有理數(shù)（除0以外）與無理數(shù)乘除運(yùn)算結(jié)果為無

理數(shù).

七.實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【題型解讀】學(xué)有用的數(shù)學(xué)所以實(shí)際應(yīng)用為?？碱愋?

1.利用幾何圖形的面積，周長，體積來解決實(shí)際問題；

2.跨學(xué)科融合考查實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.

例1如圖，一個(gè)底面半徑為3cm的瓶子內(nèi)裝著一些溶液.當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶內(nèi)溶液的高度

為16cm；倒放時(shí)，空余部分的高度為4cm.瓶內(nèi)的溶液正好倒?jié)M2個(gè)一樣大的正方體容器

（兀取3,容器的厚度不計(jì)）.

（1）該瓶子的容積（裝滿時(shí)溶液的體積）是多少立方厘米?

⑵正方體容器的棱長是多少厘米？

例2.（23-24七年級下?河南周口?階段練習(xí)）座鐘的擺針擺動一個(gè)來回所需的時(shí)間稱為一個(gè)

周期，其計(jì)算公式為7=2萬其中7■表示周期（單位：s），/表示擺長（單位：m）.假

如一臺座鐘的擺長為0.2m.（萬取3,g=9.8m/s2）

（1）求擺針擺動的周期.

⑵如果座鐘每擺動一個(gè)來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次

滴答聲？

對應(yīng)練習(xí)：

1.如圖，一個(gè)正方體鐵塊放入圓柱形玻璃容器后，完全沒入容器內(nèi)水中，使容器中的水面升

高3cm,如果容器的底面半徑是10cm,求正方體鐵塊的棱長（乃取3.14,精確到0.1cm）.

2.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）用電器的電阻R、功率尸與它兩端的電壓U之間有關(guān)

U2

系：P=—.有兩個(gè)外觀完全相同的用電器，甲的電阻為18.4Q,乙的電阻為20.8Q.現(xiàn)

R

測得某用電器的功率為1500W,兩端電壓在150-170V,該用電器到底是甲還是乙？

3.（23-24七年級下?廣西玉林?期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/

時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所

用的經(jīng)驗(yàn)公式是v=169，其中”表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距

離（單位：米），/表示摩擦系數(shù).在一次交通事故中，經(jīng)測量d=32米，/=2,請你判斷

一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了.

4.（23-24七年級下?福建福州?階段練習(xí)）某裝修公司現(xiàn)有一塊面積為64m②的正方形的木板，

準(zhǔn)備做裝飾材料用，設(shè)計(jì)師王師傅設(shè)計(jì)了如下兩種方案：

方案一：沿著邊的方向裁出一塊面積為60m2的長方形裝飾材料；

方案二：沿著邊的方向裁出一塊面積為60m,的長方形裝飾材料，且長寬比為4:3.

王師傅設(shè)計(jì)的兩種方案是否可行？若可行，請幫助解決如何裁剪；若不可行，請說明理由.

【解法提煉】

①利用幾何體有關(guān)公式直接運(yùn)算

②在物理學(xué)或其它學(xué)科背景下根據(jù)所給公式直接進(jìn)行計(jì)算.

八.實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律

【題型解讀】此種題型主要考查學(xué)生的觀察所給算式，從算式中歸納出它的一般規(guī)律，并能

用此規(guī)律解題的能力，是考試中一種?？碱}型.

例1.（23-24七年級下?江蘇揚(yáng)州?期中）計(jì)算：①護(hù)；②爐兩；③JF+23+33；④

333333333

71+2+3+4，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：71+2+3+4+--+51=（）

A.V1275B.1275C.1326D.1378

例2.（2024?湖南岳陽?模擬預(yù)測）已知

dy^^2^^3_1

%+〃2+%+…+%=.

例3.（24-25七年級下?四川南充?期末）下列各個(gè)圖形中，“?"的個(gè)數(shù)用a表示，"?！钡膫€(gè)數(shù)

用b表示，如”=1時(shí)，a=4,b=l；〃=2時(shí)，a=9,6=4；根據(jù)圖形的變化規(guī)律，

當(dāng)〃=2023時(shí)，&+揚(yáng)的值為.

T1TQOO

回mioffi

〃=1n=2n=3

對應(yīng)練習(xí)：

1.（24-25七年級下?全國?期中）如圖所示為一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣:

第一行1V2

第二行V32V5A/6

第三行幣Vs3曬VTTV12

第四行V13714V154#7V18曬A/20

根據(jù)數(shù)陣規(guī)律，第八行倒數(shù)第三個(gè)數(shù)是（