專(zhuān)題02實(shí)數(shù)

【知識(shí)回顧】

【思維導(dǎo)圖】

【平方根、算術(shù)平方根、立方根知識(shí)清單】

1.平方根

（1）平方根的定義：若r="，那么X叫做a的平方根.

（2）開(kāi)平方的定義：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.

開(kāi)平方運(yùn)算的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)（開(kāi)方數(shù)20）才有意義。

（3）平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算：±3的平方等于9,9的平方根是±3

（4）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且兩個(gè)平方根互為相反數(shù);

一個(gè)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根,即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算；

0的平方根是0.

（5）符號(hào)：a（a'O）的正的平方根可用&表示，而也是a的算術(shù)平方根；

1

a(a^O)的負(fù)的平方根可用-板表示.

(6)x1=a<—>x-+4a

a是x的平方x的平方是a

x是a的平方根a的平方根是x

2.算術(shù)平方根

(1)算術(shù)平方根的定義：若，=口，且x>o,那么正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根；記為收1

規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.

(2)的結(jié)果有兩種情況：當(dāng)a是完全平方數(shù)時(shí)，、份是一個(gè)有理數(shù)；

當(dāng)a不是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，、份是一個(gè)無(wú)理數(shù)。

(3)當(dāng)被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大時(shí)，它的算術(shù)平方根也擴(kuò)大；

當(dāng)被開(kāi)方數(shù)縮小時(shí)，它的算術(shù)平方根也縮小。

(4)夾值法及估計(jì)一個(gè)(無(wú)理)數(shù)的大小

(5)x1-a(xNO)<一>x-4a

a是x的平方x的平方是a

x是a的算術(shù)平方根a的算術(shù)平方根是x

(6)平方根和算術(shù)平方根兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系：

區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個(gè)，而它的算術(shù)平方根只有一個(gè)；

聯(lián)系在于正數(shù)的正平方根就是它的算術(shù)平方根，而正數(shù)的負(fù)平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)。

3.立方根

(1)立方根的定義：若％3=。，那么x叫做。的立方根。求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立

方。

(2)一個(gè)數(shù)。的立方根，記作媯，讀作：“三次根號(hào)?！?，

其中a叫被開(kāi)方數(shù)，3叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。

(3)一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；

0有一個(gè)立方根，是它本身；

一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；

任何數(shù)都有唯一的立方根。

(4)x3-a<—>x-\[a

a是x的立方x的立方是a

x是a的立方根a的立方根是x

(5)廣=-短，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

【實(shí)數(shù)知識(shí)清單】

1.實(shí)數(shù)的概念及分類(lèi)

(1)實(shí)數(shù)的分類(lèi)

正有理數(shù)]

零有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

負(fù)有理數(shù)J

實(shí)數(shù)

正無(wú)理數(shù)1

>-

2

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

r-正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)，o

一負(fù)實(shí)數(shù)

，整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。

［零和正整數(shù)又叫自然數(shù)。

正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。

(2)無(wú)理數(shù)歸類(lèi)

①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如J7,也等；

JI

②有特定意義的數(shù)，如圓周率口，或化簡(jiǎn)后含有加的數(shù)，如一+8等；

3

③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

(3)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：

每一個(gè)無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示出來(lái)，

數(shù)軸上的點(diǎn)有些表示有理數(shù)，有些表示無(wú)理數(shù)，

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對(duì)應(yīng)的

(4)實(shí)數(shù)大小的比較常用方法：

①數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

②求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

a-b>boa>b；a-b=boa=b；a-b〈4oa〈b

③求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，—>1<4>a>b\—=1<4>a=b\—<1a<Z?;

bbb

④絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，貝1］時(shí)>性［U>a<Z?。

⑥平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則a2>O〃<人。

(5)實(shí)數(shù)的運(yùn)算

運(yùn)算定律

①加法交換律

②加法結(jié)合律(a-hb)+c=a+(b+c)

③乘法交換律ab-ba

④乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

⑤乘法分配律a(b+c)=ab+ac

實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，對(duì)于運(yùn)算順序有什么規(guī)定？

實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，將運(yùn)算分為三級(jí)，加減為一級(jí)運(yùn)算，乘除為二級(jí)運(yùn)算，乘方為三級(jí)運(yùn)算。同級(jí)

運(yùn)算時(shí)，從左到右依次進(jìn)行；不是同級(jí)的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運(yùn)算中如

有括號(hào)時(shí)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序進(jìn)行。

二、【考點(diǎn)類(lèi)型】

3

考點(diǎn)1:平方根、算數(shù)平方根、立方根

典例1：(22-23七年級(jí)上?浙江湖州?期中)若x,y滿(mǎn)足阿-5|+亞不1=0,則月P歹的值是.

【答案】2

【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，算術(shù)平方根的非負(fù)性，算術(shù)平方根.熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性，

算術(shù)平方根的非負(fù)性，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵.

由題意得％-5=0,y+1=0,求得，%=5,y=-1,然后代入求解即可.

【詳解】解：:—5|+Jy+1=0,

x-5=0,y+1=0,

解得，%=5,y=-1,

yjx+y=J5+(-1)=V4=2,

故答案為：

【變式1](23-24八年級(jí)上?陜西榆林?階段練習(xí))若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是5a+1和a+5,則

a的值是.

【答案】-1

【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)即可求解；

【詳解】解：??,該正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是5a+1和a+5,

???5a+l+a+5=0,

a=—1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平方根的概念，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式2】(2024七年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))求下列各式中的x：

(1)30—1)2=363；

(2)3(久+2乃-81=0.

【答案】⑴x=12或x=-10

(2)x=3V3-2或％=-3V3-2

【分析】本題考查平方根，等式的性質(zhì)，

(1)根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊都除以3得到(x-l)2=121,再根據(jù)平方根的定義求解即可；

(2)移項(xiàng)得3(x+2)2=81,再兩邊都除以3得(x+2)2=27,由平方根的定義求解即可；

理解平方根的定義，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：兩邊都除以3,得：

4

(x-l)2=121,

由平方根的定義得：

X-1=11或x—1=-11,

解得：x=12或x=-10；

(2)移項(xiàng)，得：3(X+2尸=81,

兩邊都除以3得：0+2)2=27,

由平方根的定義得：

x+2=3舊或工+2=—3V3,

解得：刀=3百一2或刀=-38-2.

【變式3](22-23七年級(jí)上?甘肅定西?期末)已知5n1-4的兩個(gè)平方根分別是±4,4九-6的立方根

為

(1)求4nl+3n的平方根；

(2)若p+2nl的算術(shù)平方根是3,求-10爪-9n+3P的立方根.

[答案】⑴±5

(2)-4

【分析】(1)根據(jù)平方根和立方根的意義求出字母的值，再求4巾+3n的平方根即可；

(2)求出p的值，再求一10zn-9n+3P的立方根即可.

【詳解】(1)解：4的兩個(gè)平方根分別是±4,4九一小的立方根為

/.5m-4=(±4)2=16,4n—m=23=8,

解得，m=4,n=3,

4m+3n=4x4+3x3=25,

V(±5)2=25,

...4巾+3n的平方根是±5.

(2)解：???p+27n的算術(shù)平方根是3,

.*.p+2m=32=9,

Vm=4,

.?p—1j

—10m—9幾+3p=-10x4-9x3+3=-64,

V(-4)3=-64,

A-10m-9n+3P的立方根是-4.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根和立方根，解題關(guān)鍵是根據(jù)平方根和立方根的意義求出字母的值，會(huì)熟練

求一個(gè)數(shù)的平方根和立方根.

【變式4］（23-24八年級(jí)上?山西長(zhǎng)治?階段練習(xí)）完善下面表格，發(fā)現(xiàn)平方根和立方根的規(guī)律，并運(yùn)

用規(guī)律解決問(wèn)題.

X0.0640.6464640064000

yjx0.252980.88m252.98

正Cn0.8618418.56640

⑴表格中的爪=，n=.

（2）從表格數(shù)字中可以發(fā)現(xiàn)：開(kāi)算術(shù)平方根時(shí)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（或向右）移動(dòng)兩位，它的

算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)隨即向左（或向右）移動(dòng)一位.請(qǐng)用文字表述立方根的變化規(guī)律：.

⑶若仿714.142,而?b,求a+b的值.

（參考數(shù)據(jù)：V2?1.4142,720?4.4721,V7?1.9129,V07?0.8879）

【答案】⑴80；0.4

（2）被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（或向右）移動(dòng)三位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)隨即向左（或向右）移動(dòng)一

位

（3）a+b=208,879

【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的意義計(jì)算，根據(jù)立方根的規(guī)律求解.

（2）仿照算術(shù)平方根的規(guī)律探索即可.

（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算即可.

【詳解】（1）V802=6400,

.\V6400=80,

故=80.

VV6400=40,

《0.064=0.40,

故=0.4

故答案為：80,0.4.

（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下：被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（或向右）移動(dòng)三位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)隨即向左

（或向右）移動(dòng)一位.

故答案為：被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（或向右）移動(dòng)三位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)隨即向左（或向右）

6

移動(dòng)一位.

(3)根據(jù)平方根的變化規(guī)律得：

???V2?1,4142,

,-.V200工14.142,

???a=200.

根據(jù)立方根的變化規(guī)律得：

???V07?0.8879,

V700=8.879,

b=8.879,

■■a+b=200+8.879=208.879.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，立方根的計(jì)算，及其規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，熟練掌握計(jì)算方法和規(guī)律是解題

的關(guān)鍵.

【變式5](2024七年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知26-2a的立方根是-2,4a+36的算術(shù)平方根是3.

⑴求a、b的值；

⑵求5a-6的平方根.

【答案】(l)a=3,b=—1；

(2)±4.

【分析】(1)根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義可得方程組，解方程組即可求解；

(2)由a=3,6=-1可得5a—b=16,求16的平方根即可求解；

本題考查了立方根、算術(shù)平方根、平方根的定義，根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義求出%b的值是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：2a的立方根是-2,4a+3b的算術(shù)平方根是3,

：.2b—2a=-8,4a+3b=9,

pri—2a=-8

以4a+3b=9'

解得仁1，

，a=3,b=—1；

(2)解：Va=3,b=-1,

5a—/?=5x3—(—1)=16,

+V5a—b=+-/16=+4,

**?5a—b的平方根是±4.

7

考點(diǎn)2：實(shí)數(shù)的分類(lèi)

典例2：(22-23七年級(jí)上?浙江溫州?期中)以下是數(shù)學(xué)樂(lè)園中的“實(shí)數(shù)家族”，請(qǐng)給該“實(shí)數(shù)家族”分分

家吧.(填寫(xiě)序號(hào)即可)

【詳解】VB=4,

所以無(wú)理數(shù)家族：④、⑤、⑥；整數(shù)：①、②；分?jǐn)?shù)：③

【變式1](23-24七年級(jí)上?浙江溫州?期中)為了激發(fā)學(xué)生的興趣愛(ài)好，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛(ài)，某

校決定舉辦數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)活動(dòng).七年級(jí)某班需要在小明和小鹿兩位同學(xué)中選出一名志愿者協(xié)助活動(dòng)，同

學(xué)們提議兩人從正負(fù)數(shù)相同的若干卡片中各抽取四張，若抽出的八張卡片中正數(shù)多則小明去：負(fù)數(shù)多

則小鹿去.以下是他們抽取的卡片：

21

27r3.14-0.3V25一4

~7V6-2

(1)該班選出的志愿者是.

(2)請(qǐng)將以上卡片中的數(shù)字按要求填入相應(yīng)的區(qū)域內(nèi):

整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

【答案】(1)小明

(2)V25,—4；-—0.3

【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)，有理數(shù)的分類(lèi)，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類(lèi)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)正負(fù)數(shù)定義進(jìn)行分類(lèi)選擇即可；

(2)根據(jù)整數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行分類(lèi)選擇即可.

8

【詳解】（1）解：抽取的卡片中正數(shù)有：2兀，V6,3.14,V25,|-||,共有5個(gè)數(shù)，

抽取的負(fù)數(shù)有：—|,-0.3,-4,共有3個(gè)數(shù)，

5>3,

???正數(shù)卡片多，小明去，

故答案為：小明；

⑵???V25=5

??.以上數(shù)字整數(shù)有：V25,-4；

負(fù)分?jǐn)?shù)有：—11—0.3.

【變式2］（23-24七年級(jí)上.浙江杭州?階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號(hào)內(nèi)（填序

號(hào)）：

①-2,②7T,③一/|-3|>⑤,⑥-°30-V4,⑧后⑨0,⑩1.1010010001…（每

兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）.

正數(shù)：｛

整數(shù)：｛…｝;

分?jǐn)?shù)：｛

非負(fù)有理數(shù)：｛

無(wú)理數(shù)：｛...｝；

負(fù)實(shí)數(shù)：｛

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：正數(shù)：｛②⑤⑧⑩…｝;

整數(shù)：｛①④⑦⑨…｝;

分?jǐn)?shù)：｛③⑤⑥.??｝；

非負(fù)有理數(shù)：｛⑤⑨…｝;

無(wú)理數(shù)：｛②⑧⑩…｝;

負(fù)實(shí)數(shù)：｛①③④⑥⑦…｝;

故答案為：②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦.

【變式3］（23-24七年級(jí)上?江蘇徐州?階段練習(xí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里.-5,卜沙

0,-3.14,y,-12,0.1010010001…（每相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)依次加1）,+1.99,-（-6）,一9

9

0.232323...

(1)有理數(shù)集合：｛...);

(2)無(wú)理數(shù)集合：｛...);

(3)正數(shù)集合：｛...);

(4)負(fù)數(shù)集合：｛...):

(5)整數(shù)集合：｛...);

(6)分?jǐn)?shù)集合：｛...｝;

【答案】(1)一5,卜||,0,-3.14,y,-12,+1.99,-(-6),0.232323...

IT

(2)0.1010010001

(3)|—J0,1010010001???,+1.99,-(-6),0.232323...

(4)-5,-3.14,-12,一g

(5)-5,0,-12,-(-6)

(6)|-||,-3.14,y,+1.99,0.232323...

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的分類(lèi)，掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

(1)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)；

(2)無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比.若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的

數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán).

(3)正數(shù)均大于零；

(4)負(fù)數(shù)均大于零；

(5)在有理數(shù)集合里可找到整數(shù)；

(6)有理數(shù)集合里除了整數(shù)，則為分?jǐn)?shù)；

【詳解】⑴解：一5,卜||,0,-3.14,-12,+1.99,-(-6),0.232323…是有理數(shù)

(2)解:0.1010010001一g是無(wú)理數(shù)

(3)解：-(-6)=6

y,0.1010010001???,+1.99,-(-6),0.232323...是正數(shù)

(4)解：一5,-3.14,-12,一g是負(fù)數(shù)

(5)解：—5,0,-12,一(—6)是整數(shù)

10

(6)解:|-||,-3.14,y,+1.99,0.232323...是分?jǐn)?shù)

考點(diǎn)3：實(shí)數(shù)與數(shù)軸

典例3：(23-24七年級(jí)上?浙江寧波?期中)把下列實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較它們的大小(用“〈”連

接).

一(-2),0,V—8,一7,V2

-4-3-2701234

【答案】數(shù)軸見(jiàn)解析；—兀<V-8<0<V2<—(—2)<V5

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn).根

據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)，將各個(gè)點(diǎn)表示在數(shù)軸上，利用數(shù)軸比較大小即可.

【詳解】解：一(—2)=2,7=8=-2,

15

12

用“<”連接為：一兀<V=s<0<V2<-(-2)<V5.

【變式1](23-24七年級(jí)上.福建福州?期中)已知數(shù)軸上不重合的三點(diǎn)A,B,C.點(diǎn)A,B在數(shù)軸上表

示的數(shù)互為相反數(shù),點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為加點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊)，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為nm-1,

且機(jī)，〃均為整數(shù).

(1)若m=4,求點(diǎn)A,8在數(shù)軸上表示的數(shù)；

(2)若A,8到點(diǎn)C的距離相等，求2nm+mG??+3)與36++1的差；

⑶若點(diǎn)B,C到點(diǎn)A的距離相等，求n的值.

【答案】(1)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)-2,點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)2

(2)0

(3)n的值為—1

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，絕對(duì)值的意義.

(1)由巾=4,點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊，即可得A表示的數(shù)為-2,

B表示的數(shù)為2；

(2)根據(jù)點(diǎn)A,B到點(diǎn)C的距離相等，點(diǎn)A,8在數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)，可得nm=1,故2nm+

mQn+3)一13G++1]=|mn-|=0；

11

(3)求出A表示的數(shù)一熱5表示的數(shù)為熱且血>0,由點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為nm—l,點(diǎn)9

。到點(diǎn)A的距離相等，知|nm-1+圖=zu,當(dāng)血荏一1+(=771時(shí)，m=—,根據(jù)如〃為整數(shù),

2I22?1—1

m>0,可得得m=2,n=1；當(dāng)nm—1+/=—血時(shí)，771=三片，同理可得m=2,n=—1.

【詳解】(1)解：m=4,

???點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為4,

???點(diǎn)A,B在數(shù)軸表示的數(shù)互為相反數(shù)，且點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊，

.??點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)-2,點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)2；

(2)解：???點(diǎn)A,B到點(diǎn)C的距離相等，點(diǎn)A,B在數(shù)軸表示的數(shù)互為相反數(shù)，

???點(diǎn)C是原點(diǎn)，

:.mn—1=0,即77m=1,

^2mn+mG九+3)]—卜G+zn)+1],

=(2mn++3zn)一(|++1)，

=Qmn+3m)一(|+3m)，

=(|+3m)-(|+3m),

=0,

^2mn+mQn+3)]—|^3Q+m)+1]=0；

(3)解：根據(jù)題意可知點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，

???點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為zn,且它們?cè)跀?shù)軸表示的數(shù)互為相反數(shù)，

???點(diǎn)A和點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離都為熱

??,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，

???點(diǎn)A在數(shù)軸表示的數(shù)為-晟，點(diǎn)8在數(shù)軸表示的數(shù)為學(xué)

???點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為nm-1,

???點(diǎn)C到點(diǎn)A的距禺為一￡-TTUl+1,

,?,點(diǎn)B,C至!J點(diǎn)A的距離相等，

m,a

:，-------mn+1=m,

2

???3m+2mn=2,

???m(3+2n)=2,

12

???山為點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離，且皿為整數(shù)，

山為正整數(shù)，

??1m(3+2n)=2,巾為正整數(shù)，

3+2n為正數(shù)，

???n為整數(shù),

.??3+2九為正整數(shù)，

??1m(3+2n)=2,m為正整數(shù)，3+2n為正整數(shù)，

山只可能為1或2,

.?.當(dāng)Hi=1時(shí)，3+2n=2,解得m-1,n=—|(不合題意，舍去)

二當(dāng)m=2時(shí)，3+2n=l,解得nt=2,n=-1,

71的值為一1.

【變式2](23-24七年級(jí)上?四川成都?期中)【基本事實(shí)】

我們知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，為什么不是整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)呢？所有的分?jǐn)?shù)都可以化成

小數(shù)的形式，是不是所有的小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)形式呢？我們可以舉例說(shuō)明：有限小數(shù)0.2化成分?jǐn)?shù)

的形式是;無(wú)限循環(huán)小數(shù)又該如何化呢？我們以無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.7為例進(jìn)行說(shuō)明：設(shè)0.7=久,

由0.7=0.7777…可知，10尤=7.7777...,所以10x=7+x,解方程，得x=孑于是得=，故0

化成分?jǐn)?shù)的形式是,所有有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)(填“是”或“不是”)有理數(shù)；而無(wú)限

不循環(huán)小數(shù)是不可以化成分?jǐn)?shù)的，所以兀(填“是”或“不是”)有理數(shù)，那么無(wú)限不循環(huán)小數(shù)能

通過(guò)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示嗎？我們將以兀為例通過(guò)下列活動(dòng)來(lái)探索：

【數(shù)學(xué)活動(dòng)】

如圖,直徑為1的圓從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)一周，圓上一點(diǎn)由原點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)。'，則。。'=.

判斷：(填“正確”或“錯(cuò)誤”)

(1)任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示.

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)都表示有理數(shù).

(3)整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù).

【答案】【基本事實(shí)】~是；不是；【數(shù)學(xué)活動(dòng)】兀；【知識(shí)推理】正確；錯(cuò)誤；錯(cuò)誤.

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、實(shí)數(shù)與數(shù)軸、實(shí)數(shù)的分類(lèi)：

13

【基本事實(shí)】根據(jù)把有限小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法即可把0.2化為分?jǐn)?shù)的形式，依照題中給出的把無(wú)限循

序小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法即可把0.沙化為分?jǐn)?shù)的形式，根據(jù)有理數(shù)的定義列出方程即可求解；

【數(shù)學(xué)活動(dòng)】根據(jù)。。'即為圓的周長(zhǎng)計(jì)算即可求解；

【知識(shí)推理】根據(jù)任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示即可判斷(1)；數(shù)軸上的點(diǎn)

可以表示無(wú)理數(shù)則可判斷(2)；根據(jù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)則可判斷(3)；

熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：0.2=V；

設(shè)0.3夕=#,由0.沙=0.37373737…可知，100%=37.373737-,所以100%=37+x,解方程，得

%=京，于是得故。.沙=含

所有有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是不可以化成分?jǐn)?shù)的，所以兀不是有理數(shù)；

故答案為：|；||；是；不是；

因?yàn)閳A的周長(zhǎng)為：7rxi=兀，所以。O，=n,

故答案為：71;

(1)任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示.正確；

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)都表示有理數(shù).錯(cuò)誤；

(3)整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù).錯(cuò)誤.

故答案為：正確；錯(cuò)誤；錯(cuò)誤.

【變式3](23-24八年級(jí)上.江蘇連云港?階段練習(xí))如圖，數(shù)軸上從左至右依次有C,O,A,B四個(gè)

點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)字為x,0,1和巡，月.AB=C。.

ICIOAB■,

xoi

(1)求AB的長(zhǎng)，并求x的值；

(2)求(x+百)的平方根.

【答案】(1)力B=V3-1,x=1-V3

(2)±1

【分析】(1)利用數(shù)軸兩點(diǎn)間距離公式求出力B的長(zhǎng)、C。的長(zhǎng)，利用AB=C。列出方程即可求出尤的

值；

(2)把x的值代入代數(shù)式求值，再根據(jù)平方根的意義求出平方根即可.

14

此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離、平方根等知識(shí)，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離和平方根的意義是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：8對(duì)應(yīng)的數(shù)字為1和百，

：.AB=V3-1,

VC,O對(duì)應(yīng)的數(shù)字為X,0,

CO=0—%=—x,

*：AB=CO,

V3—1=-x,

.*.x=1—V3；

(2)當(dāng)久=1—g時(shí)，(％+V3)2=(1—V3+V3)2=l2=1,

VI的平方根是±1,

.\(x+V3)的平方根是±1.

考點(diǎn)4：實(shí)數(shù)的大小比較

典例4：(23-24七年級(jí)上.浙江溫州.期中)現(xiàn)有四個(gè)實(shí)數(shù)：卜||,0,it,-V4

(1)請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上近似表示出上列四個(gè)實(shí)數(shù).

-5-4-3-2-1012345

(2)請(qǐng)將上列四個(gè)實(shí)數(shù)按從小到大的順序排列，用連接.

<<<

(3)將上列四個(gè)實(shí)數(shù)分別填入相應(yīng)的橫線(xiàn)上.

整數(shù)：;

分?jǐn)?shù)：;

無(wú)理數(shù)：.

【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析

(2)—V4,。,卜||，11

(3)—\/4,0；|—II；「

【分析】本題考查的是在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的分類(lèi)與大小比較，熟記算術(shù)平方根的含義是解本題

的關(guān)鍵；

(1)先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求解算術(shù)平方根，再在數(shù)軸上表示各數(shù)即可；

15

（2）根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)即可得到答案；

（3）根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)可得答案.

【詳解】（1）解：."一Il=1.5,—慮=—2,

在數(shù)軸上表示各數(shù)如下：

_3_

—

^/402兀

-5-4-3-2-1012345

（2）由數(shù)軸可得:

-V4V0V|—-IVIT；

（3）將上列四個(gè)實(shí)數(shù)分別填入相應(yīng)的橫線(xiàn)上.

整數(shù)：—o；

分?jǐn)?shù)：卜1|;

無(wú)理數(shù)：n.

【變式1］（23-24八年級(jí)上.江西九江?階段練習(xí)）“作差法”是數(shù)學(xué)中常用的比較兩個(gè)數(shù)大小的方法,

若a—6>0,則a>%；若a—b=0,則a=b；若a—b<0,則a<6.

例如：比較通-1與1的大小

由“作差法”得遮-1-1=75-2,

V4<5<9,

2<V5<3,

.?.V5-2>0,

.,.V5-1>1.

請(qǐng)根據(jù)上述方法解答以下問(wèn)題：

（i）au的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；

（2）比較4-夜與一1的大小.

【答案】（1）3,V10-3

（2）4-V22>-1.

【分析】（D估算出VTU范圍，從而得到答案；

（2）根據(jù)例題提供的作差法，即可得到答案.

【詳解】（1）解：石，

.,.3<V10<4,

16

???VIU的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分是VTU-3,

故答案為：3,V10-3；

(2)解：由“作差法”得4-V22-(-1)=5-V22,

VV16<V22<V25,

.".4<V22<5,

5-V22>0,

?*,4—V22>-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是正確估算出同和5-夜的范

圍.

【變式2](2023八年級(jí)上?山東?專(zhuān)題練習(xí))如圖，數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)是b，P是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn).

A

-5-4-3-2-1012345

⑴在數(shù)軸上，把點(diǎn)A向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)8,求點(diǎn)8表示的數(shù)；

⑵若點(diǎn)C表示的數(shù)是2所表示數(shù)的相反數(shù)，求點(diǎn)C表示的數(shù)；

(3)若點(diǎn)尸從點(diǎn)A向點(diǎn)8以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向8運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)8后又向A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A后再向8運(yùn)

動(dòng)，如此往復(fù)運(yùn)動(dòng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2022秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)C的位置有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)77-4

(2)4-V7

(3)P在C點(diǎn)的左側(cè)，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的大小比較，實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離即可求解；

(2)根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；

(3)根據(jù)題意，得出P運(yùn)動(dòng)2022秒時(shí)，尸在A點(diǎn)左側(cè)2個(gè)單位長(zhǎng)度，即P表示的數(shù)為b-2,進(jìn)而

判斷C,P所表示的數(shù)的大小，進(jìn)而即可求解.

【詳解】(1)解：,??數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)是近，把A點(diǎn)向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到8點(diǎn)，

點(diǎn)表示的數(shù)為77-4；

(2)解：點(diǎn)表示的數(shù)是2所表示數(shù)的相反數(shù)，

點(diǎn)表示的數(shù)為—(夕一4)=4一近；

(3)解：2022x3=6066,

6066+(4+4)=758??…2

17

尸運(yùn)動(dòng)2022秒時(shí)，P在A點(diǎn)左側(cè)2個(gè)單位長(zhǎng)度，即尸表示的數(shù)為V7-2,

因?yàn)镃表小的數(shù)是4—小,

V7-2-(4-V7)=2V7-6,

*/2V7<2A/9=6,

A2V7-6<0,即夕一2<4-77.

...P在C點(diǎn)的左側(cè).

BCA

???i.i?I.I.I?1A

-5-4-3-2-1012345

【變式3］（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）課堂上，老師出了一道題：比較容與:的大小.

小明的解法如下:

解：警-|舊-2-271^—4

33

V19>16,.-.V19>4.V19-4>0.

...鼻>0....鼻>2.

333

我們把這種比較大小的方法稱(chēng)為作差法.

請(qǐng)仿照上述方法，比較下列各組數(shù)的大小:

（1）1一曲和1—機(jī)；

⑵尹|;

⑶亨和誓.

【答案】（1）1一武<1-百

⑵上I>2

一28

/QXV5-3/V5-2

一23

【詳解】解：(1)???(1-V5)-(1-V3)=1-V5-1+V3=V3-V5<0,1-V5<1-V3.

(2)_3_13-4%

28~8

V4<5<9,2<V5<3,8<4V5<12,???13-4V5>0,；?>0,

828

(3)-V-5-3----V-5---2=-3-V-5---9---2-7-5--4-=-V-5--5.

23666

???V5<5,V5-5<0,—<0,

6

18

A/5-3,V5-2

???------<--------.

23

考點(diǎn)5：實(shí)數(shù)的估值

典例5：(23-24八年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí))請(qǐng)閱讀:①如果&=x+y,其中％是整數(shù)，且0<y<1,

那么％=1,y=V2—1；

②已知a、b是有理數(shù)，并且滿(mǎn)足等式5-=2b+|遮一a,求a、b的值.

5—V3a=2b+1V3—a,

???5-V3a=(26-a)+|V3(有理數(shù)部分和無(wú)理數(shù)部分對(duì)應(yīng)相等).

(2

?J(2b.a—a==|5，解得a小=-必-

I6

請(qǐng)解答：

(1)如果近=a+6,其中a是整數(shù)，且0<6<1,那么a=,b=.

(2)如果6+V1T的小數(shù)部分為m,6-VTT的整數(shù)部分為n,求m-n-VTT的值.

(3)己知x,y是有理數(shù)，并且滿(mǎn)足等式/一2y-=17-4VL求x+y的值.

【答案】⑴2,V7-2

⑵-5

(3)9或-1.

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算、方程組的解，估計(jì)無(wú)理數(shù)是本題的關(guān)鍵，也是一個(gè)

閱讀材料問(wèn)題，認(rèn)真閱讀，理解題意，從而解決問(wèn)題.

(1)根據(jù)夾逼法可得2<77<3,依此可求。和6；

(2)根據(jù)夾逼法可得3<VTT<4,依此可求7"和〃，代入可得結(jié)論；

(3)因?yàn)閤、y為有理數(shù)，所以/一2了也是有理數(shù)，根據(jù)材料可得方程組，解出可解答.

【詳解】(1)解：

：.2<V7<3

:夕=a+b,其中a是整數(shù)，且0<b<l,

'.a=2,b=y[7—2,

故答案為：2,V7—2；

(2)解：VV9<VT1<V16,

A3<VT1<4,

19

.".9<6+VTT<10,2<6-VTl<3

V6+VT1的小數(shù)部分為??i,6—VII的整數(shù)部分為n

：.m=6+Vil-9=Vil-3,n=2

即m-n—Vil=V1T—3—2—V1T=-5；

(3)解：?.?/-2y-V^y=17—4或，且X,y是有理數(shù)

(x2-2y=17

,7-V2y=-4V2，

：.y=-4V2+(-V2)=4,%2-2x4=17,即％=±5

.pr=±5

,(y=4

當(dāng)x=5時(shí)，x+y=4+5=9,

當(dāng)x=—5時(shí)，x+y=4+(―5)=—1.

+y的值是9或一1.

【變式1](22-23七年級(jí)下?云南昆明?期末)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不可

能全部寫(xiě)出來(lái).

材料一：估算法確定無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分.

?/V4<V7<V9,即2<近<3,

，位的整數(shù)部分為2,

???V7的小數(shù)部分為夕-2；

材料二：面積法求一個(gè)無(wú)理數(shù)的近似值，

已知面積為5的正方形的邊長(zhǎng)是強(qiáng)，

V2<V5<3,

設(shè)有=2+x(x為代的小數(shù)部分，0<x<l),

畫(huà)出示意圖：由圖可知，正方形的面積由四個(gè)部分組成，S正方形=/+2久+2久+4,

正方形=5’

.'.X2+2%+2%+4=5,

略去得方程4x+4=5,

解得x=0.25,

即逐~2.25,

20

2

（1）結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，探究畫(huà)的近似值（結(jié)果精確到0.01）；

（2）請(qǐng)總結(jié)估算迎加為開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)）的一般方法.

【答案】⑴mX3.17；

（2）求得低的整數(shù)部分a,即可得到訴=a+；.

【分析】（1）利用材料二中的方法畫(huà)出圖形，寫(xiě)出過(guò)程即可；

（2）根據(jù)材料二即可總結(jié)得出；

本題考查了解一元二次方程，無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是理解題目給出的方法，熟練進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】（1）解：（1）我們知道面積是10的正方形的邊長(zhǎng)是VTU,

V3<V10<4,

...設(shè)VI^=3+x,可畫(huà)出如圖示意圖：

正方形=10>

'.x2+6x+9=10,

是VIU的小數(shù)部分，小數(shù)部分的平方很小，直接省略一,

得方程6%+9=10,

解得x?0.17,

.?.V10X3.17；

21

(2)解：估算低("為開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù))的一般方法：求得低的整數(shù)部分a,即可得到傷?a+；.

2a

【變式2](22-23七年級(jí)下?四川廣安?期末)閱讀下列材料：

V4<V7<V9,即2<夕<3,

.?.V7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為(近-2).

請(qǐng)你觀察上述的規(guī)律后試解下面的問(wèn)題：

如果有的小數(shù)部分為a,VI口的小數(shù)部分為6,求a+b-有的值.

【答案】V13-5

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，二次根式的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握“夾逼法”的運(yùn)用及

二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)迎<西<我，V9<713<VT6,得出￡1=隗-2,

=V13-3,然后再進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：〃〈有<或，V9<V13<V16,

a—V5—2,b—V13—3,

a+b—V5=V5—2+V13-3—V5=V13—5.

【變式3](23-24八年級(jí)上?重慶黔江?期中)已知久是VTU的整數(shù)部分，y是付的小數(shù)部分，求

(y—VTU)XT的平方根.

【答案】±3

【分析】

此題考查了無(wú)理數(shù)的估算,求一個(gè)數(shù)的平方根;首先可以估算VIU的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分是VTU-3；

將其代入(y-VIU)XT求平方根計(jì)算可得答案.

【詳解】

解：由題意得：x=3,y-V10-3,

???(y-VToy-1

=(VTo-3-V1U)3T

=(-3)2

=9.

(y-VTU)XT的平方根為±3.

考點(diǎn)6：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

典例6：(22-23七年級(jí)下.內(nèi)蒙古烏海?期中)計(jì)算：

(1)-V2-(V3-V2)-|V3-2|

(2)7^27-VO-F+V125+70^09

22

【答案】⑴-2

(2)1.8

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.

(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則分別計(jì)算各項(xiàng)后合并即可；

(2)根據(jù)立方根的定義、平方根的定義分別計(jì)算后，再算乘法，最后算加減即可.

［詳解］(1)解：一或_

=-V2-V3+V2+V3-2

=-2；

(2)解：V=27-VO-+V125+70^09

1

=-3-0--+5+0.3

=1.8.

【變式1］(23-24七年級(jí)上.山東泰安?期末)計(jì)算或求久的值：

⑴—12024+V25+7=8+|2一得；

(2)-22+VO-J1+V0.125；

(3)(%—1)2=25；

(4)(x+3>=-27.

【答案】⑴遙；

(2)—4；

(3)%=-4或6；

(4)x=-6.

【分析】(1)利用乘方、算術(shù)平方根、立方根的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，再合并即可求解；

(2)利用乘方、算術(shù)平方根、立方根的定義分別化簡(jiǎn)，再合并即可求解；

(3)利用平方根的定義解答即可求解；

(4)利用立方根的定義解答即可求解；

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，平方根、立方根的應(yīng)用，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和平方根、立方根的定義

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：原式=—1+5—2+—2

=V5；

23

(2)解：原式=-4+0—￡+]

=—4；

(3)解：V(x-1)2=25,

x—1=±5,

—1=5或x—1=-5,

Ax=-4或6；

(4)解：,.,(％+3>=-27,

；?％+3=-3,

=—6.

【變式2](23-24七年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí))計(jì)算:

(1)(-11)+(-7)；

(2)5-(-13)+(-29)；

x(-1)-1-

(4)-3x23-(-3x2)3；

(5)716+7(-3)2+7=27;

(6)-32+7=8-5X|-||.

【答案】⑴—18

(2)-11

(3)1

(4)192

(5)4

(6)-17

【分析】(1)本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù)同號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)與它們相同，再把絕對(duì)值相加即可

得到答案；

(2)本題考查有理數(shù)加減混合運(yùn)算，根據(jù)法則直接求解即可得到答案；