專題01相交線與平行線

、【知識(shí)回顧】

【思維導(dǎo)圖】

【相交線的相關(guān)概念】

（一）相交線

1.兩條直線相交所成的四個(gè)角中：h

（1）相鄰的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角,特點(diǎn)是兩個(gè)角共用一條邊，另一條邊互為反向延長(zhǎng)

線，性質(zhì)是鄰補(bǔ)角互補(bǔ);\2

①鄰補(bǔ)角：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長(zhǎng)線。具有這種關(guān)系的“

兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角。如：/1、Z2o4

（2）相對(duì)的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角,特點(diǎn)是它們的兩條邊互為反向延長(zhǎng)線。性質(zhì)是對(duì)頂

角相等。

②對(duì)頂角:兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩條邊，分別是另一個(gè)角的兩條邊的反向延長(zhǎng)線,

具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角。如：N1、N3。對(duì)頂角相等。

（二）垂線

1.垂直：如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直；交點(diǎn)叫垂足；垂直是特殊的相交。

2.垂線特點(diǎn)：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

3.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫點(diǎn)到直線的距離。連接直線外一點(diǎn)

與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。

1

（三）三線八角一一同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

1.同位角：形如“F”型；在兩條直線的上方,又在直線EF的同側(cè)，具有這種位

置關(guān)系的兩個(gè)角叫同位角。如：N1和/5。

2.內(nèi)錯(cuò)角：形如“Z”型；在兩條直線之間,又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置

關(guān)系的兩個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角。如：N3和N5。

3.同旁內(nèi)角：形如“U”型；在兩條直線之間,又在直線EF的同側(cè)，具有這種位

置關(guān)系的兩個(gè)角叫同旁內(nèi)角。如：/3和/6。

【平行線的相關(guān)概念】

（-）平行線

1.平行：同一平面內(nèi)，不重合的兩直線，永不相交，則兩條直線互相平行。a//b（在同一平面內(nèi)，不

重合且不相交的兩條直線叫做平行線。）

2.平行公理：同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行。

3.平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c

（二）平行線的判定：

1.如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行）

2.如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

3.如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。（同罡內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

推論：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。若aLc,bLc,

貝“a〃b

（三）平行線的性質(zhì)

1.如果兩條直線平行線，那么同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）

2.如果兩條直線平行線，那么內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

3.如果兩條直線平行線，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等）

【命題的相關(guān)概念】

（一）命題、定理、證明

1.命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。命題常寫成“如果那么,的形式。具有這

種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論。

2.真命題：正確的命題，題設(shè)成立，結(jié)論一定成立。假命題：錯(cuò)誤的命題，題設(shè)成立，不能保證結(jié)

論一定成立。

3.定理：經(jīng)過推理證實(shí)得到的真命題。（定理可以做為繼續(xù)推理的依據(jù)）

4.證明：推理的過程叫做證明。

【平移相關(guān)概念】

1.平移:平移是指在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移變

換（簡(jiǎn)稱平移），平移不改變物體的形狀和大小。

2.平移的性質(zhì)

①把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相

同。

②新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)

的線段平行且相等。

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及其性質(zhì)

典例1：（23-24七年級(jí)下.江蘇南京.階段練習(xí)）如圖，直線48、CD相交于點(diǎn)0,0E平分乙B0D,。尸平

分乙COE.若N40C的度數(shù)為2a,貝iJ/EOF=.(用含a的式子表示)

【答案】90。-]

【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，先根據(jù)對(duì)頂角相等求出

乙BOD=2a,再由角平分線定義得WOE=乙BOE=a,由鄰補(bǔ)角得“0E=180°-a,再根據(jù)角平

分線定義得NEOF=90。-|a,從而可得結(jié)論，熟練掌握角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：：NaOC=2a,

/.Z.BOD=Z-AOC=2a,

???。片平分4鳥。。，。尸平分NCOE,

"BOE=乙DOE=a,乙COF=乙EOF=-A.COE,

2

???乙COE+乙DOE=180°,

：.Z.COE=180°-a,

:.乙EOF=90°--.

2

【變式1](2023秋?江蘇南京?九年級(jí)校考期末)如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)。，OE平分/BOD,

O尸平分NCOE.若/4OC的度數(shù)為2a.則NEOb=.(用含a的代數(shù)式表示)

【變式2】(23-24七年級(jí)上?江蘇蘇州?期末)如圖，點(diǎn)。為直線4B上一點(diǎn)，射線。C,。。同時(shí)從射線

。4位置出發(fā)，分別以l(F/s,2(F/s的速度繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s),其

中0<t<36.記射線OB,0C,。。中的一條射線首次平分另外兩條射線組成的角的時(shí)刻為h(s),

射線。8,0C,。。中的一條射線最后一次平分另外兩條射線組成的角的時(shí)刻為t2(s),則t2-t】=_

S.

3

【答案】24

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，角平分線等知識(shí)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)列出

一元一次方程解之即可求解.

【詳解】解：第一次平分：180—20t=10t,即G=6(s)；

最后一次平分：10t-180=2(201-540),t2=30(s)；

—t]—30—6—24(s)；

故答案為：24.

【變式3】(23-24七年級(jí)上.江西吉安?期末)直線AB與CD相交于E點(diǎn)，Zl=Z2,EF平分N&ED,

【答案】80°/80度

【分析】本題考查了角平分及鄰補(bǔ)角的定義，由角平分線的定義，可得出乙4ED=2Z2=2Z1=100°,

然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可.

【詳解】解：=N2,EF平分Z4ED,且21=50。，

C./.AED=242=241=100°,

：./.AEC=180°-100°=80°.

故答案為：80°.

考點(diǎn)2：垂直的性質(zhì)

典例2：(21-22七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))如圖,直線力B、CD相交于點(diǎn)。，射線0M平分乙40C,

4

【分析】此題主要考查了垂線定義以及角平分線的性質(zhì)，得出NMOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

直接利用角平分線的性質(zhì)得出乙40M=NMOC,進(jìn)而利用垂直的定義得出NCON的度數(shù).

【詳解】解：：射線。M平分N40C,乙4。"=29°,

：.AMOC=AAOM=29°,

'：ON1OM,

：.KCON=90°-Z.MOC=90°-29°=61°.

故答案為：

【變式1］（23-24七年級(jí)上.黑龍江綏化.階段練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)。，OELAB,O

【分析】本題考查了垂線定義的理解，對(duì)頂角相等，求一個(gè)角的余角，求一個(gè)角的補(bǔ)角，掌握以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)對(duì)頂角相等可知乙4OC=NB。。，根據(jù)余角的定義求得NB。。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的

定義求得NCOB.

【詳解】???OELAB,乙EOD=38°,

???LBOD=90°-Z.EOD=90°-38°=52°,

???Z.AOC=/.BOD,

???"OC=52°,

.-.乙COB=180°-LAOC=180°-52°=128°,

故答案為：52°,128°.

【變式2］（23-24八年級(jí)上?福建龍巖?期末）一束光線沿2。射向平靜透明的水面8C,這束光線有一

部分經(jīng)過水面反射（平靜的水面可以看成平面鏡）形成光線0D,還有一部分光線折射到水中形成光

線。￡當(dāng)入射角a和折射角￡滿足2a=3s時(shí)，OD1OE,此時(shí)入射光線與水面的夾角乙4。8的度數(shù)

【答案】36736S

5

【分析】本題考查了垂直的定義、余角的定義、角的和差，先根據(jù)反射角等于入射角得出乙40。=2a,

U0B=/.DOC,再根據(jù)垂直的定義得出￡=乙DOC=乙A0B,然后根據(jù)周角為360。，列出方程求解

即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得乙4。。=2a,乙AOB=ADOC

??,0D1OE

???乙DOC+乙COE=90°,

???/?+乙COE=90°

0=乙DOC=乙AOB

???lAOB+^AOD+乙DOE+/?+90°=360°

???S+2a+90。+￡+90。=360°

即2a+2s=180°

v2a=3s

.??30+20=180°

??邛=36°

故答案為：36。.

【變式3】（23-24七年級(jí)上?四川綿陽?期末）如圖，已知點(diǎn)。在直線力B上，OC平分乙4。8,點(diǎn)E在直

線48的上方，設(shè)N80E=a（0。<a<30°）,NHOE與NC。?；パa(bǔ)，。尸平分貝UNEOF=.（用

含a的式子表示）

C

____/E

AOB

【答案】45。一|或45。一半

【分析】本題考查了與角平分線的有關(guān)計(jì)算，運(yùn)用補(bǔ)角進(jìn)行角的等量代換，得ND。。=NBOE=a,

再進(jìn)行分類討論，并結(jié)合圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合垂直定義，得NCOB=90。，根據(jù)角的和差

關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，即可作答.

【詳解】解：如圖：當(dāng)。在4c之間：

■:乙BOE=a(0°<a<30°),乙40E與“。￡>互補(bǔ)

6

Z.DOC=乙BOE=a

???。。平分乙/。8,

：.^COB=90°,￡.DOB=90°+a

〈OF平分48。0,

11

???/.BOF=-乙DOB=45°+-a

22

-1-i

則NE。尸=乙BOF-乙BOE=45°+：a—a=45°-：a；

當(dāng)。在BC之間：

■:乙BOE=a(00<a<30°),NAOE與NCOD互補(bǔ)

Z.DOC=乙BOE=a

:。C平分N40B,

：.ACOB=90°,/.DOB=90°-a

；OF平分ZB。。，

1一1

???Z.BOF=-Z.DOB=45°--a

22

則/EOF=乙BOF-乙BOE=45°-；a-a=45°-；a；

綜上/EOF的度數(shù)為45。-］或45。—y,

故答案為：45。一第45。一手.

考點(diǎn)3：點(diǎn)到直線的距離

典例3：（23-24七年級(jí)下?廣東廣州?開學(xué)考試）如圖是某同學(xué)在體育課上立定跳遠(yuǎn)測(cè)試留下的腳印,

則她的跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)槊?

7

【答案】2.05

【分析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則.由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比

賽的規(guī)則做出分析和判斷.

【詳解】解：根據(jù)題意以及生活常識(shí)可知，跳遠(yuǎn)的成績(jī)?yōu)殡x起跳線較近的那只腳的后腳跟到起條線的

距離.

二.點(diǎn)到直線的最短距離為垂線段.

；?跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)槠鹛€的垂線段2.05米.

故答案為：2.05

【變式1】（23-24七年級(jí)上?全國?課時(shí)練習(xí)）如圖，^BAC=90°,AD1BC,垂足為D,則下面的結(jié)

論正確有.

①與"互相垂直；②AD與"互相垂直；③點(diǎn)C到2B的垂線段是線段4B；④線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到

4c的距離；⑤線段AB是8點(diǎn)到AC的距離.

【答案】①④/④①

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和兩條直線互相垂直即可逐項(xiàng)判斷.

【詳解】解：???NB4C=90。，

AB1AC,

.?.①與AC互相垂直，正確；

vAD1BC,

.?.②4D與AC互相垂直，不正確；

③點(diǎn)C到4B的垂線段是線段4C,而不是48,不正確；

④線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到2C的距離，正確；

⑤線段是B點(diǎn)到AC的距離，不正確，應(yīng)該是線段48的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離.

??.①④正確.

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離和兩直線垂直，解題的關(guān)鍵在于點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，即

垂線段長(zhǎng)度，而不是垂線段.

【變式2］（23-24七年級(jí)上.江蘇南京?期末）如圖，點(diǎn)2,B,C在直線a上,P81a,垂足為B,P41PC,

則線段PC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線.的距離.

8

【答案】AP

【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到

直線的距離，進(jìn)行判斷即可，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：「PA1PC,

二線段PC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線P4的距離，

故答案為：PA.

【變式3](2023七年級(jí)下?上海?專題練習(xí))如圖，已知AC1BC于C,CD14B于D,BC=8,AC=6,

CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6.貝！|：

(1)點(diǎn)A到直線CD的距離為；

(2)點(diǎn)A到直線BC的距離為；

(3)點(diǎn)B到直線CD的距離為；

(4)點(diǎn)B到直線4C的距離為；

(5)點(diǎn)C到直線力B的距離為.

【答案】3.666.484.8

【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，正確理解點(diǎn)到直線的距離的定義是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)A到直線CD的距離為線段4。的長(zhǎng);

(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離,可得點(diǎn)A到直線的距離為線段4c的長(zhǎng);

(3)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離,可得點(diǎn)8到直線的距離為線段的長(zhǎng);

(4)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離,可得點(diǎn)B到直線AC的距離為線段BC的長(zhǎng);

(5)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離,可得點(diǎn)C到直線48的距離為線段CD的長(zhǎng).

【詳解】(1)解：；CD1AB,

???點(diǎn)A到直線CD的距離為線段4。的長(zhǎng)，AD=3.6；

故答案為：3.6.

9

(2)解：???AC1BC,

???點(diǎn)A到直線BC的距離為線段AC的長(zhǎng)，AC=6；

故答案為：6.

(3)解：CDLAB,

.?.點(diǎn)B到直線CD的距離為線段BD的長(zhǎng)，BD=6.4；

故答案為:6.4.

(4)解：???AC1BC,

???點(diǎn)B到直線AC的距離為線段的長(zhǎng)，BC=8；

故答案為：8.

(5)解：CDLAB,

???點(diǎn)C到直線力B的距離為線段CD的長(zhǎng)，CD=4.8.

故答案為：4.8.

考點(diǎn)4：三線八角

典例4：(23-24七年級(jí)下?全國?課時(shí)練習(xí))如圖，若AB,4F被ED所截，則N1與是內(nèi)錯(cuò)角.

【分析】本題考查內(nèi)錯(cuò)角定義.根據(jù)兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)

系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角進(jìn)行分析解答即可.

【詳解】解：若ZB,AF被ED所截，則N1與N3是內(nèi)錯(cuò)角，

故答案為：Z3.

【變式1](22-23七年級(jí)下?黑龍江綏化?期中)如圖，43的同旁內(nèi)角是,44的內(nèi)錯(cuò)角是,

N7的同位角是.

E

10

【答案】z4,z5z2,z6zl,z4

【分析】?jī)芍本€被第三條直線所截，同位角位于兩直線同側(cè)，第三條直線的同旁；內(nèi)錯(cuò)角位于兩直線

之間，第三條直線的兩側(cè)；同旁內(nèi)角位于兩直線之間，第三條直線的同側(cè).

【詳解】解:由圖可得：N3的同旁內(nèi)角是4415；

44的內(nèi)錯(cuò)角是N2,N6;

47的同位角是41,N4,

故答案為：Z4,Z5；z2,z6；zl,z4.

【點(diǎn)睛】本題涉及到三線八角的知識(shí)，熟練掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義是關(guān)鍵.

【變式2］（22-23八年級(jí)上?廣東梅州?階段練習(xí)）如圖，N1的同位角是,42的同位角

【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的定義判斷即可.

【詳解】解：N1的同位角是N2,42的同位角是N1和N4,N3的內(nèi)錯(cuò)角是41和N4,45的同旁內(nèi)角是N4,

故答案為：①Z2,②Z1和乙4,③Z1和乙4,④44.

【點(diǎn)睛】本題考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的定義，兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個(gè)角（簡(jiǎn)

稱“三線八角”），其中同位角4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角2對(duì)，同旁內(nèi)角2對(duì).在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，

在截線的兩旁找內(nèi)錯(cuò)角.

【變式3］（22-23七年級(jí)下?河南洛陽?期末）如圖，給出下列結(jié)論：①N1與42是同旁內(nèi)角；②N1與43

是同位角；③N1與N4是內(nèi)錯(cuò)角；④N1與N5是同位角；⑤N2與N4是對(duì)頂角.其中說法正確的

是.（填序號(hào)）

【答案】①②⑤

【分析】根據(jù)角的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：N1與N2是同旁內(nèi)角，①說法正確;

N1與N3是同位角，②說法正確；

11

N1與N4不是內(nèi)錯(cuò)角，③說法錯(cuò)誤；

N1與45不是同位角，④說法錯(cuò)誤；

42與24是對(duì)頂角，⑤說法正確；

故答案為：①②⑤.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的性質(zhì)，屬于考試中?？嫉念}型.

考點(diǎn)5：平行的判定

典例5：(2024七年級(jí)下?全國?專題練習(xí))如圖，直線CD、EF交于點(diǎn)。，CM,OB分別平分NCOE和4。。以

⑴求證：AB||CD；

(2)若N2:N3=2:5,求乙4OF的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)130°

【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

(1)先利用角平分線的定義可得N40C=^NCOE,乙2=三乙DOE,從而利用平角定義可得N40C+

N2=90°,然后利用同角的余角相等可得"IOC=41,再利用平行線的判定可得即可解答；

(2)利用(1)的結(jié)論可得=4:5,然后利用平角定義可得NDOE=80。，43=100。，然

后利用對(duì)頂角相等可得NCOE=43=100。，再利用角平分線的定義可得乙4OE=50。，從而利用平角

定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】(1)證明：OA,OB分別平分NCOE和NDOE,

11

/.A.AOC=-/.COE,Z2=-Z-DOE,

22

???乙COE+乙DOE=180°,

ii

???Z.AOC+Z2=-/.COE+-^DOE=90°,

22

???zl+z2=90°,

???Z.AOC=zl,

???AB||CD；

12

-1

(2)解：vZ2:Z3=2:5,乙2=)D0E,

???乙DOE:43=4:5,

???Z.DOE+43=180°,

45

???乙DOE=180°x-=80°,Z3=180°x-=100°,

99

???乙COE=Z3=100°,

???。/平分4COE,

i

???/.AOE=占乙COE=50°,

2

???^AOF=180°-NAOE=130°,

???乙4。尸的度數(shù)為130。.

【變式1](21-22七年級(jí)下?陜西西安?期中)如圖，直線CD、EF交于點(diǎn)O,。4OB分別平分NCOE和

乙DOE,已知N1+/2=90°,且N223=2：5.

⑴求NBOF的度數(shù)；

(2)試說明力8IICD的理由.

【答案】(1)140。

(2)見解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，余角的性質(zhì).

(1)根據(jù)角平分線的定義推出N2+乙4OC=90。，再根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)求解即可;

(2)結(jié)合等量代換得出乙1=N20C,根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可得解.

【詳解】(1)V071,。8分別平分NCOE和NDOE,

^AOE=^AOC=-乙COE,N2=NBOE=-^DOE,

22

???乙COE+乙DOE=180°,

?32+乙4。。=90。，

■:(COE=Z3,

???乙4OC=n3,

2

13

1

Az2+iz3=90°,

2

VZ2：43=2：5,

.\Z3=-Z2,

2

15

Az2+-X-Z2=90°,

22

Az.2=40°,

Z.Z3=100°,

C.Z.BOF=N2+43=140°；

（2）Vzl+Z2=90°,Z2+^AOC=90°,

Azi=4AOC,

ABIICD.

【變式2】（23-24七年級(jí)上.重慶萬州?期末）如圖，已知力C14E,BD1BF,41=35。,Z2=35°,

則AC與BD平行嗎？4E與BF平行嗎？補(bǔ)全下面的解答過程（理由或數(shù)學(xué)式）.

解：Z1=35°,Z2=35°()

."1=42(),

；.()II()(同位角相等，兩直線平行)

y.'：AC1AE(),

???/.EAC=90°,

：.AEAB=Z-EAC+N1=()(等式的性質(zhì))，

同理可得NFBG=4FBD+42=(),

：.^EAB=()(等量代換)，

：.AE||BF().

【答案】詳見解析

【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.由41=42可證

AC||BD,證明NE4B=NFBG可證AE||BF.

【詳解】解：=35。,42=35。(已知)，

Azi=Z2(等量代換)，

14

：.AC||BD（同位角相等，兩直線平行）,

又?.NC14E（已知），

???Z.EAC=90°,

：.ZEAB=Z.EAC+41=125°（等式的性質(zhì)）,

同理可得NFBG=乙FBD+42=125°,

."EAB=乙FBG（等量代換），

：.AE||BF（同位角相等，兩直線平行）.

【變式3］（22-23七年級(jí)下?湖北黃石?階段練習(xí)）如圖，MG是NBME的平分線，NH是/CNF的平分

線，且NBME=NCNF；

求證：

（1MBIICD；

（2）MG\\NH.

【答案】（1）見解析；

⑵見解析.

【分析】本題考查平行線的判定，角平分線的定義：

（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得NBME=N4MN,等量代換可得乙4MN=NCNF,根據(jù)同位角相等，兩直

線平行，可證4811C。；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得NEMG=乙HNF=jzCMF,進(jìn)而可得NEMG=乙HNF,

乙GMN=LHNM,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可證MGIINH.

【詳解】（1）證明：VzBME=/.AMN,又乙BME=^CNF,

：.AAMN=乙CNF,

：.AB\\CD；

（2）證明：：MG是NBME的平分線，NH是NCNF的平分線，

11

：./LEMG=-Z-EMB,乙HNF=-ZCMF,

22

'：ABME=乙CNF,

：.Z.EMG=乙HNF,

15

."GMN=乙HNM,

：.MG\\NH.

考點(diǎn)6：平行線的性質(zhì)（求角）

典例6：（23-24七年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）【感知】如圖①|(zhì)|CD,乙PAB=130°,ZPCO=120°,

求乙4PC的度數(shù).（提示：過點(diǎn)P作直線PQIIAB）

【探究】如圖②，4DIIBC,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，AADP=Aa,上BCP=乙0,

（1）當(dāng)點(diǎn)尸在線段A2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想NCPD,Na,4￡之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在線段A,8兩端點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)尸與點(diǎn)A,B,。三點(diǎn)不重合），直接寫NCPD,Na,

之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】感知：110°;探究：（1）NCPD=Na+NS，理由見解析；（2）NCPD=45-Na或NCPD=

Z-CC—乙B

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定：

感知：過點(diǎn)尸作直線PQII4B,根據(jù)平行線性質(zhì)知兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可以求出，乙4PQ和NCPQ即

可；

（1）如圖，過點(diǎn)尸作直線PQII4D,l^ADWBC,可得PQ||2D||BC,可得NDPQ=Na,“PC=",從

而可得答案；

（2）當(dāng)P在4的左側(cè)時(shí)，當(dāng)P在B的右邊時(shí)，與（1）同理可求.

【詳解】解：感知：如圖所示，過點(diǎn)P作直線PQII4B,

CD

圖①

Vi4B||CD,

：.PQ\\CD\\AB.

：.￡.PAB+/,APQ=180°,乙QPC+乙PCD=180°,

^Z.PAB=130°,APCD=120°,

16

：.^APQ=50°,zCPQ=60°,

：.Z.APC=Z.APQ+Z.CPQ=110°；

探究：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在線段ZB上運(yùn)動(dòng)時(shí),

過點(diǎn)尸作直線PQIIZO,而Z0IBC,

：2DPQ=Z.ADP=za,Z.QPC=乙PCB=z/?,

/.Z-CPD=z,a+z./?.

(2)當(dāng)P在/的左側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作直線PQIIZ。，而Z0IBC,

：.PQ\\AD\\BC,

:?么QPD=Z.ADP=Z.a,乙QPC=Z.BCP=Z/?,

:.(CPD=乙0—z.a,

當(dāng)P在B的右邊時(shí)，如圖，過點(diǎn)尸作直線PEII4D,而ADIIBC,

:.PE\\AD\\BC9

，乙DPE=Z-ADP=乙a,乙BCP=Z.CPE=邛,

:.（CPD=z.a—乙0.

【變式1】（22-23七年級(jí)下?重慶?階段練習(xí)）如圖，已知4BIICD,點(diǎn)E在直線AB,CO之間.

17

⑴求證："EC=Z.BAE+乙ECD；

⑵若4H平分N84E,將線段CE沿CD平移至FG.

①如圖2,若乙4EC=90。，HF平分乙DFG,求乙4”F的度數(shù);

②如圖3,若HF平分NCFG,試判斷N4HF與乙4EC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)①45。；②乙4HF=90°+|N4EC,理由見解析

【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理作出輔助線是解本

題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)E作直線EN||AB,得到EN||CD,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等推出NBAE=NAEN,

乙DCE=Z.CEN即可；

(2)①FH平分，設(shè)NGFH=NDFH=%,根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到N4HF的度數(shù)；

②設(shè)NGFO=lx,乙BAH=LEAH=y,根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得到乙4HF與

乙4EC的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】(1)證明：如圖1,過點(diǎn)E作直線ENII4B,

D

圖I

,：AB\\CD,

：.EN\\CD,

:.乙BAE=4AEN,乙DCE=LCEN,

J./.AEC=4AEN+Z.CEN=LBAE+乙ECD；

(2)解：平分NB力E,

C./.BAH=Z.EAH,

18

①平分NDFG,設(shè)NGFH=NDFH=x,

又CEIIFG,

Z-ECD=Z-GFD=2%,

又LAEC=/-BAE+（ECD,Z.AEC=90°,

???乙BAH=AEAH=45°-x,

如圖2,過點(diǎn)〃作11148,

圖2

：.^AHF=乙BAH+乙DFH=45°-x+x=45°；

?^AHF=90°+|z4FC,理由如下：

設(shè)NGFO=2x,/.BAH=Z.EAH=y,

平分/CFG,

:.AGFH=4CFH=90。一%,

由（1）知ZJ1EC=Z.BAE+乙ECD=2x+2y,

如圖3,過點(diǎn)3作11143,

圖3

同理N4HF—y+乙CFH=180°,

BPzXHF-y+90°—％=180°,/.AHF=90°+（x+y）,

1

C./.AHF=90°+-/.AEC.

2

【變式2】（23-24八年級(jí)上?廣東廣州?期中）【感知探究】如圖①，已知，4BIICD,點(diǎn)M在上，點(diǎn)

N在CD上.求證：乙MEN=4BME+乙DNE.

【類比遷移】如圖②，NF、乙BMF、NDNF的數(shù)量關(guān)系為一.（不需要證明）

【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，已知4BIIDE,ABAC=120°,ZD=80°,則乙4。。=_。.

19

c

E

圖①圖②圖③

【答案】【感知探究】證明見解析；【類比遷移】NF=NBMF—NDMF；【結(jié)論應(yīng)用】20

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)E作EFIMB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

(2)如圖②，過F作||4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)如圖③，過C作CG||4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】⑴證明：如圖①，過點(diǎn)E作EFII4B,

B

D

圖①

貝ikMEF=乙BME,

又..NBIICO,

：.EF\\CD,

乙NEF=乙DNE,

■.乙MEN=4MEF+乙NEF,

即/MEN=lBME+乙DNE；

(2)解：乙BMF=AMFN+乙FND.

證明：如圖②，過F作FKII4B,

圖②

???乙BMF=乙MFK,

'：AB||CD,

：.FK||CD,

???乙FND=乙KFN,

20

???4MFN=乙MFK-乙KFN=乙BMF-dND,

即：乙BMF=Z.MFN+乙FND.

故答案為：4BMF=LMFN+乙FND；

(3)如圖③，過C作CG||AB,

???/-GCA=180°-乙BAC=60°,

\'AB||DE,

：.CG||DE,

.-./.GCD=乙CDE=80°,

圖(3

故答案為：

【變式3](2024七年級(jí)下?浙江?專題練習(xí))如圖，已知：△4BC中，D、E、F、G分別在BC、4c和

4B上，連接。E、BF^WFG,/-AGF=/.ABC,/.GFB+/.EDB=180°.

(1)判斷BF與DE的位置關(guān)系，并證明；

(2)若BF1AC,/.EDB=150°,求N4FG的度數(shù).

【答案】(DBF||DE,理由見詳解；

(2)60°；

【分析】(1)本題考查平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)乙4GF=41BC得到GFIIBC,結(jié)合平行的性質(zhì)即

可得到證明；

(2)本題考查平行線的性質(zhì)，先根據(jù)平行性質(zhì)得到ND8F,4GFB,根據(jù)垂直得到乙4F8=90。即可得

到答案；

21

【詳解】(1)解：BF||DE,理由如下：

\9Z.AGF=乙4BC,

AGF||BC,

，乙GFB=乙FBD,

又?：乙GFB+乙EDB=180°,

:?乙FBD+乙EDB=180°,

：.BF||DE；

(2)解：由(1)可知，GF||BC,BF||DE,

■:乙EDB=150°,

:?乙DBF=180°-150°=30°,

VGF||BC,

:?乙GFB=乙DBF=30°,

'：BFLAC,

：ZAFB=90°,

：.Z.AFG=90°一（GFB=60°.

考點(diǎn)7：命題

典例7：（22-23七年級(jí)下?湖北武漢?期中）下列命題中：①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；

②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③若41=40。/2的兩邊與41的兩邊分別平行，則42=

40?；?40。；④若blc,a，c,貝帕IIa.其中假命題的是（填寫序號(hào)）.

【答案】①②

【分析】逐個(gè)判斷各個(gè)命題的真假即可.

【詳解】解：①兩條平行，同位角相等，故①為假命題，符合題意；

②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；故②為假命題，符合題意；

③若41=40。/2的兩邊與41的兩邊分別平行，如圖：貝叱2=40。或140。；故③為真命題，不符合題

④若blc,a_Lc,則b||a,故④為真命題，不符合題意;

綜上：假命題有①②，

22

故答案為：①②.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷命題的真假，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì).

【變式1］（22-23七年級(jí)下?全國?假期作業(yè)）下列四個(gè)命題：①同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直

線與已知直線垂直；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③兩條直線被第三條直線所截，如

果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行；④從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段叫點(diǎn)到直線的距離.其

中是真命題的是—.

【答案】①③/③①

【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各個(gè)條件是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.

【詳解】①過同一平面內(nèi)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故原命題是真命題，符合題意；

②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

③兩條平行的直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，正確，是真命題,

符合題意；

④從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫點(diǎn)到直線的距離，故原命題是假命題，不符合題意；

真命題是①③，

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)與判定方法及點(diǎn)到直線的距

離的定義.

【變式2］（21-22七年級(jí)下?陜西渭南.階段練習(xí)）下列命題：①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線

與這條直線平行；②在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③直線外一點(diǎn)到這條

直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離；④如果直線a||6,blc,那么a||c.其中是真命題的

有.（填序號(hào)）

【答案】①②③

【分析】根據(jù)平行公理及其推論、垂線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離定義等分析判斷即可.

【詳解】解：①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，正確，為真命題；

②在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，為真命題；

③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，正確，為真命題；

④如果直線allb,b1c,那么a1c,原命題為假命題.

綜上所述，真命題有①②③.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題與定理的知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解平行公理及其推論、垂線的性質(zhì)、點(diǎn)到

直線的距離定義等知識(shí).

23

【變式3］（20-21七年級(jí)下?江蘇南京?階段練習(xí)）下列命題：①如果4C=BC,那么點(diǎn)C是線段AB的

中點(diǎn)；②不相等的兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余；④同位角相等；⑤兩點(diǎn)之

間直線最短，其中是真命題的有.（填寫序號(hào)）

【答案】②③/③②

【分析】利用線段中點(diǎn)的定義、對(duì)頂角的定義、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及線段的性質(zhì)分別

判斷后，即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】解：①如果4C=BC,那么點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，或點(diǎn)C在線段4B的垂直平分線上，故原命

題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

②不相等的兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角，正確，是真命題，符合題意；

③直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確，是真命題，符合題意；

④兩直線平行，同位角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

⑤兩點(diǎn)之間線段最短，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意，

真命題有②③.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解線段中點(diǎn)的定義、對(duì)頂角的定義、直角三角形

的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及線段的性質(zhì)等知識(shí)，難度不大.

考點(diǎn)8：平移的性質(zhì)及作圖

典例8：（21-22七年級(jí)上嘿龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，直角三角形ABC中，AACB=90°,AC=5,

將直角三角形ABC沿8c方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直角三角形EFG,EF與AC交于點(diǎn)H,且4H=2,

則圖中陰影部分的面積為____.

BFCG

【答案】8

【分析】本題考查了平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的

線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.同時(shí)考查了梯形的面積公式.解題的關(guān)鍵是熟

知平移的基本性質(zhì).

根據(jù)平移的性質(zhì)可得SAEFG=SA4BC，則陰影部分的面積=梯形CGEH的面積，再根據(jù)梯形的面積公式

即可得到答案.

【詳解】解：沿2C的方向平移距離得AEFG,

?"EG=AC=5,S&EFG=ABC,

24

?'S^EFG~S^cFH=S"BC-S〉CFH，

??S梯形CGE"=S梯形ABFH'

VCH=AC-AH=5-2=3fCG=BF=2,EG=5,

-1i

?S^CGEH=5(CH+EG)?CG=5(3+5)x2=8.

,?S梯形4BFH=8'

即圖中陰影部分的面積為

故答案為：

【變式1】(20-21七年級(jí)下?浙江?期中)作圖題：將如圖的三角形力BC先水平向右平移4格，再豎直

向下平移4格得到三角形DEF.觀察線段AB與DE的關(guān)系是.

【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出平移后的點(diǎn)E、廠的位置，然后解答即可.

【詳解】解：△￡>￡廠如圖所示，

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

【變式2](22-23七年級(jí)下?北京朝陽?期中)如圖，在正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)直角三角形，頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，把△DEF先橫向平移x格,再縱向平移y格,就能與△2BC拼合成一個(gè)四邊形,那么x+y=

25

【分析】分圖1,圖2,圖3,三種情況進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)小DEF平移到如圖1所示的位置時(shí)，則此時(shí)久=3,y=1,

圖1

當(dāng)△￡>￡1/平移到如圖2所示的位置時(shí)，則此時(shí)x=3,y=3,

圖2

當(dāng)平移到如圖3所示的位置時(shí)，則此時(shí)％=4,y=1,

26

/.x+y=5；

圖3

綜上所述，x+y的值為4或5或6,

故答案為：4或5或

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的平移，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

【變式3】（22-23七年級(jí)下?山西臨汾?期中）如圖，三角形4BC的邊長(zhǎng)為10cm.將三角形力BC向

上平移4cm得到三角形&夕L,S.BB'1BC,則陰影部分的面積為cm2.

【答案】40

【分析】由平移的性質(zhì)可得，S4萬B'C'=S"ABC，由題意知，S陰影=S五邊形4，B，BCC，一S-BC=

S五邊形HWBCC，—SA4，B，C'=S四邊形B，BCC〃計(jì)算求解即可?

【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得，SATB，C，=S-BC，

S

由題意知，S陰影=S五邊形HB'BCC'_SAABC=S五邊形4，B，BCC'_^A'B'C'=S四邊形B，BCC'=10X4=

40（cm2）,

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于正確表示陰影部分面積.

考點(diǎn)9：“拐點(diǎn)”問題

典例9：（23-24七年級(jí)上?福建莆田?期末）如圖，已知4BIICD,分別探索下列四個(gè)圖形中NAPC與N4

NC的關(guān)系.

27

（1）如圖①，5+NAPC+ZC=；如圖②，^APC=；

如圖③，ZXPC=；如圖④，^APC=.

⑵得到圖②結(jié)論的過程如下：（補(bǔ)足理由）

過尸點(diǎn)作PQII4B,X'：AB\\CD,

：.PQ\\CD（同平行于第三條直線的兩直線平行）

,：PQ\\AB,PQWCD

：.^.APQ=,4CPQ=（）

■：AAPC=AAPQ+Z.CPQ（圖形性質(zhì)）

J.^APC=（等量代換）

⑶仿照（2）,在圖③、④中，選一個(gè)寫出得到結(jié)論的過程（給出理由）.

【答案】（1）360。，zX+zC,A4-NC,ZC-ZX

（2）乙4,4C,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，乙4+/C

（3）選④，結(jié)論的過程（理由）見解析

【分析】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，熟練的利用平行線的性質(zhì)探究角之間的關(guān)系

是解本題的關(guān)鍵；

（1）過P的作4B的平行線，再利用平行線的性質(zhì)逐一分析即可；

（2）過P點(diǎn)作PQII4B,如圖②；再利用內(nèi)錯(cuò)角相等結(jié)合角的和差可得結(jié)論；

（3）如圖④，過點(diǎn)尸作PFII力B,再利用內(nèi)錯(cuò)角相等結(jié)合角的和差可得結(jié)論；

【詳解】（1）解：如圖①，

D

①

過點(diǎn)尸作PEII48.

：./.PAB+Z.APE=180°,

28

\'AB\\CD,

：.PE\\CD,

：.^CPE+^PCD=180°,

J.^PAB+^APE+乙CPE+乙PCD=180°+180°=360°

：.^APC+4PAB+乙PCD=360°；

圖①結(jié)論：A.APC+^PAB+/.PCD=360°,

過尸點(diǎn)作PQII4B,又?.ZBIICO,如圖②；

：.PQ\\CD（同平行于第三條直線的兩直線平行）

'：PQ\\AB,PQWCD

J.^APQ=乙4,MPQ=〃（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

'：AAPC=乙4PQ+Z.CPQ（圖形性質(zhì)）

：.AAPC=U+NC（等量代換）

圖②結(jié)論：乙4PC=N4+NC,

如圖③,過點(diǎn)3作PFII4B,

圖③

AZ.APF=180。一//,

U：PF\\AB,ABWCD.

：.PF\\CD,

：.Z.CPF=180°-ZC,

：.^APC=4CPF-Z.APF=Z71-zC,

即4Ape=

???圖③結(jié)論為：乙4「。=乙4一4C；

如圖④，過點(diǎn)尸作PFIM8,

29

VPFIWB,ABWCD.

：.PF\\CDf

:?乙CPF=ZC,

：.Z.APC=乙CPF-Z.APF=Z,C-Z,A,

即乙4尸。=匕。一乙4.

圖④結(jié)論：/-APC=AC-Z.A

(2)過尸點(diǎn)作PQIIZB,又??FB||CD,如圖②;

圖②

：.PQ\\CD（同平行于第三條直線的兩直線平行）

'：PQ\\AB.PQWCD

：.Z.APQ="PQ=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

VAAPC=乙APQ+Z.CPQ（圖形性質(zhì)）

：.Z-APC=乙4+4。（等量代換）

VPFIWB,ABWCD.

：.PF\\CD,

：.Z.CPF=zf,

30

.?.乙4PC=乙CPF-"PF=NC-乙4,

即〃1PC=NC—"

【變式1］（22-23七年級(jí)下?遼寧撫順?期末）問題探究：

如圖①，已知4B