第8章整式乘法與因式分解（章末提升測試卷）

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.華為手機(jī)使用了自主研發(fā)的海思麒磷芯片，目前最新的型號是麒麟990.而麒麟990的

晶體管柵極的寬度達(dá)到了0.000000007毫米，將數(shù)據(jù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7x10—8B.7x10-9C.0.7x10-8D.0.7x10.9

2.下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）

A.（2x_y）（2x+y）B.（6-Q）（6+Q）

C.（一％+》）（'—〉）D.（工一歹）（-V-x）

3.下列計(jì)算正確的是（）

A.a3-tz4=a12B.a2I=a6C.（2a）3=6a3D.Q6+Q2=Q3

4.已知3加=5,3〃=10,則3叫〃的值是）

A.B.2C.-5D.50

2

2023

5.計(jì)算x（-0,8）2024（）

A.-1B.1C.-1.25D.-0.8

6.如圖，有一個長為。、寬為6的長方形,它的周長為14,面積為10,則（〃+l）伍+1）的

值為（）

A.B.19C.20D.25

7.已矢口（2024—3Q）2+（3Q—2023『=9,貝°代數(shù)式（2024—3〃）（3〃一2023）的值是（）

A.8B.-8C.4D.-4

8.下列四個式子：①（a-爐；②伍-a），③-伍-a7；④-（"6）9.其中同（a-6）3僅一4

的計(jì)算結(jié)果相等的是（）

試卷第1頁，共6頁

A.②③B.①④C.①③D.②④

9.已知x=2i2,y=66,z=85,則x,y,z的大小關(guān)系是（）

A.x<z<yB.C.x<y<zD.z<y<x

10.我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所

著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)式g+勾”的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，

此三角形稱為“楊輝三角”.根據(jù)“楊輝三角”請計(jì)算的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為（）

（</+/>）"......①

5+?.……①①

（o+A）2.....①②①

①③③①

（a+h）\...①④⑥⑷①

1510）II）：51

A.15B.21C.28D.36

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）

11.已知2。+36-3=0,則4"x23"的值為.

12.已知實(shí)數(shù)a滿足（。一2023）（。-2024）=3,貝|（a-2023）2+5-2024）2的值是.

13.某“數(shù)學(xué)樂園”展廳的密碼被設(shè)計(jì)成如圖所示的數(shù)學(xué)問題.小明在參觀時認(rèn)真思索,

輸入密碼后成功地連接到網(wǎng)絡(luò).他輸入的密碼是

14.邊長為。和6的長方形與邊長為。的正方形如圖1放置（6>。），記未疊合部分（陰影）

面積為H；把圖1中的陰影部分剪去，按如圖2拼接，記圖中陰影部分面積為S?.

試卷第2頁，共6頁

ba

圖1圖2

(1)5=(用含有。，6的代數(shù)式表示)；

,3

2

(2)當(dāng)q=10cm,b=15cm時，—S{+S2=cm.

三、解答題(共9小題，滿分54分)

15.把下列各式因式分解：

⑴3a2-12/;

(2)x3—2x2y+xy2.

16.用乘法公式簡便計(jì)算：

(l)1001x99-1

(2)20202-4042x2020+20212

17.計(jì)算

(l)(2x+3y)(3y—2x)—(x—3y)(y+3x)

(2)(x+2y—l)(x—2y—1)

18.先化簡，再求值[(2a+6『-("6)(30-6)-2.卜1]),其中.=一1,6=；.

19.觀察下列等式：

第1個等式：(2x1+3)2-22=3x7；

第2個等式：(2X2+3)、42=3X11；

第3個等式：(2x3+3)2-62=3x15；

第4個等式：(2X4+3)、82=3X19；

按照以上的規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5等式：；

(2)直接寫出你猜想的第〃個等式，并證明該等式(用含字母〃的式子表示等式).

試卷第3頁，共6頁

20.如圖，有A型、B型、C型三種不同類型的紙板，其中A型是邊長為。的正方形，B型

是長為“寬為6的長方形，C型是邊長為6的正方形.

||1|

口J口@H面

遮雅健

(1)若想用這些紙板拼成一個長方形，使其面積為(2a+6)(.+6),則需要A型紙板一張，B型

紙板一張，C型紙板一張；

(2)畫一個長方形示意圖(要求標(biāo)注長方形的長、寬)，使它的面積為/+5必+6/,再利用

所畫圖形把多項(xiàng)式/+5必+66?分解因式.

21.【材料閱讀】利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：

(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形,

利用這種關(guān)系可得acx2+(ad+6c)x+6d=(ax+b)(cx+d).通過觀察可把

acx2+(ad+6c)x+〃看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解

是把二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)數(shù)與常數(shù)項(xiàng)〃分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解

過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1,這種分解因式的方法稱為十字

相乘法.例如，將二次三項(xiàng)式2/+11X+12的二次項(xiàng)系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆?/p>

解，如圖2,則2x~+1lx+12=(x+4)(2x+3).

根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

【應(yīng)用新知】

(1)用十字相乘法分解因式：X2+3X-10；

(2)用十字相乘法分解因式：5X2-13X-6；

【拓展提升】

(3)結(jié)合本題知識，分解因式：6(x+〉y-7(x+y)-20.

22.數(shù)學(xué)教科書中這樣寫道：

試卷第4頁，共6頁

“我們把多項(xiàng)式/+2"+〃及/-2必+/叫做完全平方式”，如果一個多項(xiàng)式不是完全平方

式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng),

使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，經(jīng)

常用來解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等.

例如，求代數(shù)式V+2X-3的最小值.

X2+2X-3=(X2+2X+1)-4=(X+1)2-4

可知，當(dāng)x=-l時，/+2x-3有最小值，最小值是一4.

再例如，求代數(shù)式-；/+6x-3的最大值.

11,11

--x2+6x-3=--(zx2-12x)-3=--(x-6)9+18-3=--(x-6)?-+15.

可知，當(dāng)x=6時，-萬/+6x-3有最大值，最大值是15.

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

(1)請比較多項(xiàng)式/+3x-4與2/+2》-3的大小，并說明理由；

(2)當(dāng)a,6為何值時，多項(xiàng)式/+/一4a+106+33有最小值，并求出這個最小值；

(3)已知。-6=8,ab+c2-4c+20-0,求a+b+c的值.

23.［知識回顧］

有這樣一類題：

代數(shù)式G-V+6+3x-5y-l的值與x的取值無關(guān)，求a的值；

通常的解題方法；

把x,y看作字母，?？醋飨禂?shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的

系數(shù)為0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以.+3=。，即q=-3.

b

a

」。C

圖1圖2

［理解應(yīng)用］

(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2機(jī)-3)x+2加2-3"?的值與x的取值無關(guān)，求m的值;

試卷第5頁，共6頁

(2)已知3[(2x+l)(x3刈+6(-x2+孫-1)的值與x無關(guān)，求y的值；

(3)

(4)(能力提升)如圖1,小長方形紙片的長為°、寬為6,有7張圖1中的紙片按照圖2方

式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中有兩個部分(圖中陰影部分)未被覆蓋，設(shè)

右上角的面積為H，左下角的面積為$2,當(dāng)?shù)拈L變化時，的值始終保持不變，

求。與6的等量關(guān)系.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為

0x10",其中1V忖＜1°，”為整數(shù).

【詳解】解：0.000000007=7xl0-9.

故選：B.

2.C

【分析】本題考查的是應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的能力，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確

解題的關(guān)鍵.根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征即可判斷.

【詳解】解：A、（2x-y）（2x+y）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)

不符合題意；

B、傳-“）他+“）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、（f+y）（x-y）不符合平方差公式的特點(diǎn)，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)符合題意；

D、（》-田（-〉7）=（-了+工乂-y-》）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故

本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

3.B

【分析】本題考查了同底數(shù)塞相乘、塞的乘方、積的乘方、同底數(shù)幕相除，根據(jù)同底數(shù)幕相

乘、塞的乘方、積的乘方、同底數(shù)幕相除的運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則

是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、/./=/,故原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；

B、（/7=/,故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

C、（20:8/,故原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；

D、a6^a2=a4,故原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；

故選：B.

4.A

【分析】本題考查了同底數(shù)幕的除法的逆用，根據(jù)3"-"=3加+3",代入數(shù)值計(jì)算即可得出答

案.

【詳解】解：；3'”=5,3"=10,

答案第1頁，共12頁

...3%〃=3機(jī)+3〃=5+10=—,

2

故選：A.

5.D

【分析】本題考查同底數(shù)塞乘法的逆用，積的乘方的逆用.掌握同底數(shù)幕乘法的逆用和積的

乘方的逆用法則是解題關(guān)鍵.根據(jù)塞的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：x(-0.8)2024

5

=-0.8.

故選D.

6.A

【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與幾何圖形的面積.由題意知，仍=10,

2(a+6)=14,再把(0+1)伍+1)變形為小+(°+b)+l,然后再整體代入求解即可.

【詳解】解：由題意知。6=10,2(a+6)=14.

:?ci+b=7.

(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1=10+7+1=18.

故選：A.

7.D

【分析】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)完全平方公式求解

即可.

【詳解】解：???(2024-3a)2+(3a-2023)2=9,

???[(2024-3fl)+(3o-20234=(2024-3a)2+(3a-2023)2+2(2024-3a)(3a-2023)

答案第2頁，共12頁

.?.l=9+2（2024-3fl）（3fl-2023）

.-.（2024-3a）（3o-2023）=-4

故選：D.

8.C

【分析】本題考查了同底數(shù)幕乘法運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)塞的乘法法則是解答本題的關(guān)

鍵.同底數(shù)的幕相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加.把-Of化簡后與各式比較即可.

【詳解】解：??,（a-Z））3（/>-a）6=（a-/>）3（a-Z>）6=（a-Z））9,

二式子:①（a-b）9;②（6-a）9=-（a-6）9；-（b-a^=^a-b^；④-（a-嫩,其中同

（a-6）3（6-不的計(jì)算結(jié)果相等的是①③.

故選C.

9.A

【分析】本題考查了幕的乘方的逆用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)嘉的乘方的逆用展開再比較即可.

【詳解】解：,?.X=2I2=（22）6=43y=66,46<66,

x<yf

???x=2"=03『=8"，z=85,84<85,

：.x<zf

666653515

?.-J=6=（2X3）=2X3=64X729=46656,z=8=（2）=2=32768,46656>32768,

y>z,

：.x<z<y

故選A.

10.C

【分析】本題考查多項(xiàng)式的展開式，根據(jù)圖形找出（。+6）"的第三項(xiàng)系數(shù)的變化規(guī)律，利用

規(guī)律求解即可.

【詳解】解：觀察題目發(fā)現(xiàn)（。+6）3的第三項(xiàng)系數(shù)為3=1+2,

卜+?的第三項(xiàng)系數(shù)為6=1+2+3,

答案第3頁，共12頁

（4+6）5的第三項(xiàng)系數(shù)為10=1+2+3+4,

??.(a+6)"的第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+...+(〃-2)+(1),

.?.(0+6)8第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+4+5+6+7=28.

故選C.

11.8

【分析】本題主要考查了倒用幕的乘方法則和同底數(shù)累除法法則，以及整體代入法求值，熟

練掌握累的乘方法則和同底數(shù)累乘法法則是解題的關(guān)鍵.由2a+36-3=0得2a+36=3,然

后逆用哥的乘方法則和同底數(shù)累乘法法則將4"x2"轉(zhuǎn)化成底數(shù)為22。+”,再將2a+3b=3整

體代入求值即可.

【詳解】解：■-2a+3b-3=O,

2。+36=3,

■-4ax2"

=22OX23Z,

_22a+3b

=23

=8,

故答案為：8.

12.7

【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的前提,

根據(jù)已知條件設(shè)元求解是關(guān)鍵.設(shè)a-2023=x,a-2024=y,得中=3,x-y=l,利用完全

平方公式變形得x2+y2=(x-yy+2xy，代入計(jì)算即可得答案.

【詳解】解：設(shè)"2023=x,a-2024=y,

:.x-y=a-2023-(a-2024)=1,

???("2023)(〃-2024)=3,

xy=3,

x2+y2=(x-y)2+2xy,

,-.X2+/=12+2X3=7,

答案第4頁，共12頁

(a-2023)2+(a-2024)2=7.

故答案為：7.

13.200205

【分析】本題主要考查單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式；由題意可先進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算，然后

問題可求解.

451023045iG22025

【詳解】解：(丁yyz+xj=xyz4-xy=xyz,

???他輸入的密碼是200205；

故答案為：200205.

14.ab-a1150

【分析】本題主要考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用以及代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)長方形和正方形面積公式求解即可；

(2)首先計(jì)算出圖2中陰影部分面積$2,進(jìn)而確定;H+S2的值，然后代入求值即可.

【詳解】解：(1)如圖所示，=ab-a2；

(2)如下圖所示,

=~Q2H—(b—Q+Q)XQ—x2ax(b-a

22V72v

=—Q2-|—ab—ab+Q2

22

_321,

=_Q—ab,

22

...TH+邑=g(Q6.Q2)+二二"

22

=-ab--a2+-a2--ab

2222

=ab,

當(dāng)Q=10cm,6=15cm時，

3

-^+S=10x15=150cm2.

22

故答案為：(1)ab-a2;(2)150.

答案第5頁，共12頁

15.⑴3(a+26)(a-26)

(2)x(x-y)2

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；

(2)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.

【詳解】(1)原式=3(1-4廿)

=3(a+26)(〃-2b)；

(2)原式=x(%2一2中+/)

=x(x-y)2.

3

16.(1)9999-

(2)1

【分析】本題考查了平方差公式和完全平方公式，理解和掌握平方差公式和完全平方公式是

解題的關(guān)鍵.

(1)原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可求出值；

(2)原式變形后，利用完全平方公式計(jì)算即可求出值.

【詳解】(1)解：100-X99-

22

=1100+4100一寸

=而一出

=10000--

4

3

=9999-

4

(2)解：20202-4042x2020+20212

=20202-2*2020x2021+202儼

=(2020-2021『

=1

17.(l)-7x2+12y2+8xy

答案第6頁，共12頁

(2)x?-2x+1—4

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算的法則和順序，解決此題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和完

全平方公式進(jìn)行運(yùn)算.

(1)根據(jù)整式的混合運(yùn)算的法則和順序，結(jié)合平方差公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)整式的混合運(yùn)算的法則和順序，結(jié)合平方差公式和完全平方公式計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：(2x+3y)(3y-2x)-(x-3y)(y+3x)

=9y2-4x2~^xy+3x2-3j2-9xy),

=9y2-4x2-(3x2-3/-8xy),

=9y2—4%2—3x2+3y2+

=—7x2+12y2+Sxy；

(2)解：(x+2j-l)(x-2y-l)

—(x-1+2y)(x-1-2y)

=(X-1)2-(2J；)2

18.—2。一166+4，—2

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

先利用完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算括號里，再算括號外，然后把。，6的值代入化

簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解］解：［(2a+6『一(0一6)(3〃-6)-2a卜卜;a

=(4。2+4ab+/-3/+4ab-U-2。)+

=-2a-166+4,

當(dāng)Q=_1,6=5時，原式=—16x5+4

=2—8+4

答案第7頁，共12頁

19.（1）（2X5+3）2-102=3x23；

（2）（2〃+3『一（2〃）2=3（4〃+3）,證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)題目中給出的等式尋找規(guī)律得到每一部分的規(guī)律總結(jié)出整個式子的規(guī)律,

通過規(guī)律即可得到第5個等式；

（2）根據(jù)上面得到的規(guī)律，將規(guī)律數(shù)替換成力，使之由特殊到一般規(guī)律即可；

本題了數(shù)與代數(shù)式中的規(guī)律，讀懂題意，找出等量關(guān)系以及利用整式的乘法公式進(jìn)行化簡證

明是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）由第1個等式：（2x1+3）2-22=3x7；

第2個等式：（2x2+3）2-42=3x11；

第3個等式:（2x3+3）2-62=3x15；

第4個等式：（2x4+3）2-82=3x19；

則第5個等式：（2x5+3）2-102=3x23；

故答案為：（2x5+3）2-102=3x23；

（2）由第1個等式：（2x1+3）2-22=3x7；

第2個等式：（2x2+3）2-42=3x11；

第3個等式：（2x3+3）2-62=3x15；

第4個等式：（2x4+3）2-82=3x19；

則第5個等式：（2x5+3）2-102=3x23；

則第"個等式：（2"+3）2_（2療=3（4〃+3）；

證明：左邊=（2"+3）2-（2〃『=4/+12"+9-4〃2=12"+9=3（4〃+3）,

右邊=3（4〃+3）,

左邊=右邊

所以等式成立.

答案第8頁，共12頁

20.(1)2,3,1

⑵圖見解析，(。+26)(。+36)

【分析】本題考查利用面積研究多項(xiàng)式的因式分解，培養(yǎng)思維想象能力，要求有較高的拼湊

能力，能夠很快的發(fā)現(xiàn)各邊的長度關(guān)系.

(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可作答；

(2)要組成長方形，需要A型紙板1張，B型紙板5張，C型紙板6張，由此畫出圖形，

利用圖形解決問題.

【詳解】(1)解：(2a+b\a+b)=la2+3ab+b2,

故A型紙板2張，3型紙板3張，C型紙板1張;

所以a?+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b).

21.(1)(x+5)(x-2)；(2)(x-3)(5x+2)；(3)(2x+2y-5)(3x+3y+4)

【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運(yùn)

用.

(1)利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；

(2)利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；

(3)將x+V看成一個整體，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】解：(1)X+3X-10=(X+5)(X-2);

(2)5x2—13x-6=(x—3)(5x+2)；

(3)6(x+y)~-7(x+y)-20

=[2(x+y)-5][3(x+y)+4]

=(2x+2y-5)(3x+3y+4)

答案第9頁，共12頁

22.(1)X2+3X-4<2X2+2X-3

(2)當(dāng)a=2,6=-5時，多項(xiàng)式/+62-4a+106+33有最小值4

(3)2

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

(1)計(jì)算(f+3工一4)一(2工2+2尤一3)得_1》_；)-1,可知(X2+3X-4)-(2X2+2X-3)<0,

即可比較大??；

(2)由/+/—4°+106+33變形得(°一2丫+(6+5)2+4,再根據(jù)(°_2丫20,(Z?+5)2>0,

可得答案；

(3)先得到a=8+b,然后代入至卜6+02-4c+20=0中得至U(6+4)2+(c-2)2=0據(jù)止匕求解

即可.

【詳解】(1)解：X2+3X-4<2X2+2X-3,理由如下：

(X?+3x-4)-(2x?+2x-3)

=-X~+X—1

2cl11,

=-x+2x—x----1-------1

244

1

x——I--<--<0,即：(x~+3無一4)—(2x?+2尤一3)<0,

2I44,

：~+3x-4<2x~+2x—3