福建省百校聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期5月預(yù)測考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/=卜,<4:5={xx<i},則/門八()

A.(-2,2)B.(_2,1)C.(-2,-1)D.(0,1)

2.若復(fù)數(shù)z=言，則ZT*()

A.V2B.2C.V5D.屈

3.已知向量a=(x+l,l),=,若僅一+I,則％=()

2

A.|B.-C.1D.2

3

4.已知直線了=x+t與圓f+/=4相交于A,8兩點，\AB\=2y[2,則卜仁()

A.5B.4C.3D.2

5.已知S,為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和，若名+邑=2,%+$4=6,則及=()

A.28B.32C.36D.40

6.已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時，/(X)=X2-2X+2.若/(x)22x+b

對任意的xeR恒成立，則實數(shù)6的取值范圍是()

A.(-*2]B.C.(-8,0]D.(-00,-2]

7.已知￡，月均為銳角，a+〃為鈍角，若sin(a+/7)=3cosacos夕，則tan(?+?)的最大

值為()

161286

A.-----B.-----C.—D.—

5555

22

8.已知橢圓C:芯+a=1(“>6>0)的左、右頂點分別為4,4,上、下焦點分別為02，

點尸在X軸上，若的內(nèi)切圓的圓心為4,且尸耳，耳4,則。的離心率為()

A.—B.—C.-D.；

2332

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知某區(qū)域的水源指標(biāo)尤與某種植物的分布數(shù)量了之間的數(shù)據(jù)如下表所示，則（

X1020304050

A.了與x的相關(guān)系數(shù)為正數(shù)

B.V與x的回歸直線經(jīng)過點（30,60）

C.刪去數(shù)據(jù)（30,60）后，了與x的相關(guān)系數(shù)變小

D.增加數(shù)據(jù)（30,60）后，V與x的相關(guān)系數(shù)不變

10.已知函數(shù)/（xhsinor-GcosoM?！?。）的最小正周期為無，則（）

A./（X）的最小值為一2

B.小）在卜合，力上單調(diào)遞增

C.直線x=9是/（X）的圖象的對稱軸

6

D.〃x）的圖象可由y=2cos2x的圖象向左平移177r個單位得到

II.已知函數(shù)/（無）=/-辦2_工+6,則下列說法正確的是（）

A.對任意的實數(shù)。，b,函數(shù)/（x）恒有兩個極值點

B.設(shè)為，工2為1（X）的極值點，則）-再歸百

C.當(dāng)0=1時，若/（X）在（-3,山）上有最大值，則〈加W1

D.若/（x）+f（j）=2j,貝

三、填空題

12.已知隨機變量X~N（2,b2）,若尸（2VX<4）=0.4,貝ij尸（XVO）=.

試卷第2頁，共4頁

22

13.已知雙曲線C：彳-為=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為《，F(xiàn)2,過片的直線與C

交于48兩點，其中/在第一象限，若閨⑷=2,貝必/巴3的周長為.

14.在三棱錐尸-48c中，48=NC,點P在平面/3C上的投影。是V4BC的垂心，API

平面PBC,若BC=2,則三棱錐。-尸8c的體積的最大值為.

四、解答題

15.記V/BC的內(nèi)角A,B,。所對邊分別為b,c,已知sinS=2siib4,c=4〃cos5.

⑴求cos4；

(2)若VN8C的面積為屏，求人

16.已知函數(shù)/(x)=x2-2almM>0).

⑴求函數(shù)/(x)的極值點；

⑵若函數(shù)/(可在區(qū)間［l,e］上的最小值為0,求實數(shù)。的值.

17.如圖，在四棱錐尸-/3CD中，PO_L平面4BCD,ADLCD,ABI/CD,CD=3AB=3,

PD=2AD=2V2.

(2)點￡,廠分別在線段PC,PD上,且￡尸//CD,當(dāng)平面與平面3所的夾角為60°時，

求D尸的長.

18.某運動員為了解自己的運動技能水平，記錄了自己1000次訓(xùn)練情況并將成績(滿分100

分)統(tǒng)計如下表所示.

成績區(qū)間[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)100200300240160

(1)求上表中成績的平均值及下四分位數(shù)(同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值為代表);

試卷第3頁，共4頁

（2）該運動員用分層抽樣的方式從［50,80）的訓(xùn)練成績中隨機抽取了6次成績，再從這6次成

績中隨機選3次，設(shè)成績落在區(qū)間［70,80）的次數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）對這1000次訓(xùn)練記錄分析后，發(fā)現(xiàn)某項動作可以優(yōu)化.優(yōu)化成功后，原低于80分的成績

可以提高10分，原高于80分的無影響；優(yōu)化失敗則原成績會降低10分.已知該運動員優(yōu)化

動作成功的概率為。（0<。<1）.在一次資格賽中，入圍的成績標(biāo)準(zhǔn)是80分用樣本估計總體

的方法，求使得入圍的可能性變大時0的取值范圍.

19.已知拋物線c：v=4x的焦點為H拋物線c上的2"個點4,綜4,與…，4,紇

（4,4,…,4在X軸上方，綜當(dāng)，…，紇在X軸下方）滿足：直線經(jīng)過點尸，且斜率為1,

當(dāng)2W〃時，44〃4一耳_1,記線段40的中點為“，，直線44-與直線

4一4的交點為

（1）求點M（（i歲<〃）的縱坐標(biāo);

⑵證明：M“N,MM（1<Z<?-1）三點共線；

（3）證明；當(dāng)24注〃時，|44|-|4/一|=16,并求14Al.

試卷第4頁，共4頁

《福建省百校聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期5月預(yù)測考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案BCADCDBAABDABD

題號11

答案AD

1.B

【分析】解一元二次不等式化簡集合然后利用交集運算求解即可.

【詳解】集合/=卜產(chǎn)<4}={x[(x-2)(x+2)<tj=(-2,2,r={x|x<l},

所以/c8=（-2,1）.

故選：B.

2.C

【分析】由復(fù)數(shù)除法、模的計算公式即可求解.

【詳解】z=2=2（j）=1,貝I]|z+3i|=|l+2i卜忑'，

1+i2

故選：C.

3.A

【分析】根據(jù)垂直得到方程，求出同2=W1，進而得到，+2工+2=/+3,求出答案.

【詳解】因為,一山?+萬），所以0-孫啟+力廬一胃=0,可得同2=麻，

因為向量a=（x+i,i）,B=（-瓜*,

所以同2=（彳+1）2+1=尤2+2工+2和忸1=/+3,

所以f+2x+2=x?+3,解得x=].

故選：A.

4.D

【分析】由點到直線的距離公式、圓的弦長公式列方程即可求解.

【詳解】設(shè)圓心。（0,0）到直線X7+/=0的距離為d,

|0-0+?|_

則由點到直線的距離公式可得1=

Vi+i~，

因為|/8|=2后，圓的半徑為2,所以鼻2?一；=2也,解得卜|=2.

答案第1頁，共13頁

故選：D.

5.C

【分析】首先得%=4,然后結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,因為%+邑=2,%+'=6,故兩式作差可得：

%-%+邑一邑=4,即d+%=4,a5=4,又S9=9(/；。9)=9as，故5=36.

故選：C.

6.D

【分析】先在/(x"2x+b的條件下證明6V-2,然后在6V-2的條件下證明/(x"2x+6,

即可說明6的取值范圍是(-雙-2].

【詳解】一方面，由于/'(x"2x+6對任意實數(shù)x恒成立，故/(2"2x2+6,即

22-2x2+222x2+6,所以6V-2.

另一方面，若bM-2,貝ij對x<0有

f(x)=/(-x)=(-x)~-2(-x)+2=x2+2x+2>2x>2x-2>2x+b.

且對尤20有f(無)=x?—2x+2=(x~—4x+4)+2x—2=(x—2)一+2無一222尤一2上2x+b.

故在bV-2的情況下，必有f(x)>2x+b恒成立.

綜合上述兩個方面，可知實數(shù)6的取值范圍是(-叫-2].

故選：D.

7.B

【分析】根據(jù)正弦和差角公式以及弦切互化可得tana+tan,=3,即可利用正切的和角公式,

結(jié)合基本不等式求解.

【詳解】由sin(a+￡)=3cosacos(3可得sinacos，+cosasin，=3cosacosB,

由于a,，均為銳角，故cosacos/wO,

同除cosacos/?得tana+tan,=3,

,,/tana+tan/?3八

故tan(a+￡)=---------------=------------------<0,

1-tanatan[31-tanatan[3

gptan?tan/?>l,tanatan/?<=2,

答案第2頁，共13頁

3

當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan，=耳時取到等號，

(八3,312

因此tan(a+0=_anatan廣口二一不，

4

故選：B

8.A

【分析】設(shè)P(x,o),由尸4,耳4,根據(jù)尸￡書4=0,求得P(-J,o),設(shè)△片P瓦的內(nèi)切圓

0

的半徑為「，貝什=b,結(jié)合由點4到X軸和直線郎的距離相等，求得c?=3b：進而求得

橢圓的離心率，得到答案.

【詳解】由橢圓C：《+W=1的左、右頂點分別為4(4,0),43,0),

ab

其中上下焦點為片(O,C),乙(0,w),且c=GT7，

設(shè)P(x,0),因為尸片，片/2,可得兩，五4,且麗=(—x,c),轉(zhuǎn)=3,-c),

所以兩?松=(—x,c)?(仇—c)=—H—。2=0,解得％=_土，即尸

bb

又因為△片尸耳的內(nèi)切圓的圓心為4，設(shè)△片桃的內(nèi)切圓的半徑為一，則廠=6

可得直線助的方程為y=2x+c,^bx-cy+c2=0,

c

\-b2+c2\

由點4到X軸和直線咫的距離相等，則，[:6,解得°2=3〃，

業(yè)+(_?

即c?=3(/一,2),所以4c2=3力，可得與=3,所以e=￡=1.

a24a2

故選：A.

答案第3頁，共13頁

【分析】由相關(guān)系數(shù)的意義可判斷A；計算樣本中心點即可判斷B；刪去或增加點（30,60）后,

樣本中心點未變，計算相關(guān)系數(shù)的分子和分母結(jié)果未變，由此可判斷CD.

【詳解】對于A選項，根據(jù)數(shù)據(jù)可知》與x呈正相關(guān)，故相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，A選項正確；

對于B選項，x=30.亍=60,樣本中心點為（30,60）,

故V與X的回歸直線經(jīng)過樣本中心點（30,60）,B選項正確;

對于C選項，刪去數(shù)據(jù)（30,60）后，x=30，亍=60,

故刃毛一司（％-司的值不變，和￡（弘-＞『的值也不變,

Z=11=1Z=1

故相關(guān)系數(shù)不變，C選項錯誤；

對于D選項,增加數(shù)據(jù)（30,60）后，篷30,亍=60,

故自占一苫）（％7）的值不變，回國和力（凹-＞）2的值也不變,

1=1i=l'f=l

故相關(guān)系數(shù)不變，D選項正確.

故選：ABD.

10.ABD

【分析】利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)/（x）的解析式，利用正弦型函數(shù)的最值可

判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C

選項；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項.

【詳解】因為/3=5由函-限0$如=2$也［《-：）,最小正周期為兀，所以0=2,

即f（x）=2sin（2x-.

對于A,由于,所以73=25畝12了-。|的最小值為_2,A正確;

對于B,當(dāng)會卜參曰時，卜-訃［一；,0）,

所以/'（x）在（-展總上單調(diào)遞增，B正確；

對于C,因為》=煮時，/^=0,所以C不正確；

對于D,由

了=2cos2口+魯71

=2cos|2x+—=-2cos|2XH—=2sin(2x+看卜^=2sin2x-^j,

I6,I63

答案第4頁，共13頁

所以D正確.

故選：ABD.

11.AD

【分析】對于A,利用導(dǎo)函數(shù)/"（力=3X2-2ax-l有兩個變號零點即可判斷；對于B,利用

A項結(jié)論寫出韋達定理，化簡所求式求其值域即可判斷；對于C,在“=1時，討論函數(shù)/'（X）

的單調(diào)性和變化趨勢，由?+6推得-：＜機41進行判斷；對于D,化簡計

算/（x）+/（1-尤）=26-°得至1_］（3-2°）工2+（2a-3）龍+26-a—2b—a,即可求出0的值

【詳解】因函數(shù)f（x）=x3-加_》+6的定義域為R,求導(dǎo)得/（力=3/-2辦-1.

對于A,由A=4/+12＞0,知函數(shù)/'（X）恒有兩個變號零點，故函數(shù)/（無）恒有兩個極值點,

故A正確；

對于B,由A分析，x{+x2=,XjX2=——,

貝生「X21=Ja+z）2_=2J；+30手,當(dāng)且僅當(dāng)“=0時取等號，故B錯誤；

對于C,當(dāng)°=1時，/'（x）=3尤2-2無一l=（3x+l）（無一1）,

當(dāng)x＜-；或x＞l時，r（x）＞0,當(dāng)時，/'（無）＜0,

故/'（x）在（_8,-；）和1,+勸上單調(diào)遞增,在（-1,1）上單調(diào)遞減，

貝廣；，1分別是/（尤）的極大值點和極小值點，因;'（X）在（-3,加）上有最大值，

且/4）=/（-；）=1+方，故有一；＜加故C錯誤；

對于D,/（x）+/（1-x）=x3-ax2-x+ft+（l-x）3-a（\-x^-（1-x）+/）

=（3—2a）x+（2a—3^x+2b—a=2b—a,貝1」有{,解得〃=—,故D正確.

-3=02

故選：AD.

12.0.1

【分析】由正態(tài)分布曲線的對稱性即可求解.

【詳解】由題設(shè)，隨機變量的分布曲線關(guān)于直線x=2對稱，

則,且尸（X22）=0.5,

答案第5頁，共13頁

所以尸（X<0）=尸（X>4）=0.5-P（2<Ar<4）=0.1.

故答案為：0.1.

13.4

【分析】利用雙曲線的定義即可列方程求解.

【詳解】由雙曲線定義可得忸用=仍引-24,|/聞=|/修|+2“，

所以忸卬+|四口典卜恒國,

故居3周長為|盟|+］抄第+|48|斗/片|十|明|+|48|=2|」用=4.

【分析】根據(jù)已知條件，證得AOBD~ABAD,進而得到OD-4D=BD2=1,再根據(jù)

△PAO~ADPO,得到/。.0。=P。2,將尸。用表示，從而三棱錐。-P3C的體積可表

示為:小/1-0a,利用重要不等式求最值即可.

【詳解】

設(shè)3c中點為D,連接8。交/C于點E,連接PD,

因為。是V/3C的垂心，所以/O_L3C,BE1AC,

因為N8=/C,所以ZBEC=90°,ZADB=90°,

所以"BD~ABCD,所以，所以AO3O~A9D,

答案第6頁，共13頁

所以案卷,即"3源因為三=2,所以一3八,

因為NP工平面P8C,PDu平面尸8C,所以/尸_LP。，

又尸在平面N3C上的投影為O,則尸。_L平面NBC,而/Ou平面4BC,

A(Ipn

所以PO_L4。，所以△尸力。一△DP。，所以7^二萬萬

所以/O-OD=PO2,所以PO=LO.OD=J(AD-OD)OD,

因為OZ)-4D=1,所以40=工

OD

所以尸。=--6>Z)\OD=A/1-OZ)2,

VP2

voPBC=POBC=-SOBCO=-^-BC-OD-OP=-ODy/l-OD,

^OD4^^OD2+1-°D2=1-，

3326

當(dāng)且僅當(dāng)，即。。二色時取等號，

2

故三棱錐。-P8C的體積的最大值為J.

6

故答案為：I

6

(2)6=4

【分析】(1)由正弦定理得b=2〃，進一步由余弦定理得c=癡〃，再結(jié)合余弦定理可得cos/；

(2)首先求得siM=*'，然后結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.

8

【詳解】(1)因為sin5=2siiU,由正弦定理得b=2〃，

因為。=4〃cos3,由余弦定理得。=4QX^—------,

lac

整理得/=2/-2〃2,所以02=6。2,貝！

所以由余弦定理得36芝會二平

(2)因為0<4〈兀，所以siih4=Jl-cos?/=

8

所以V/BC的面積為LX2QX如義皿二逅/.

284

答案第7頁，共13頁

所以叵/=岳，解得。=2(負值已舍去)，

4

所以6=4.

16.(1)極小值點為x=&，無極大值點

⑵a=e

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值

點；

(2)分布VI、l<&<e、三種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值,

即可得解.

【詳解】(1)函數(shù)/(尤)=。-2如x(a>0)的定義域為(0,+動,

所以當(dāng)0<x〈&時/3<0,當(dāng)x>G時/'(x)>0,

所以/(無)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,右)，單調(diào)遞增區(qū)間為(五,+8),

所以x=五為/(X)的極小值點，無極大值點.

(2)當(dāng)五型1,即OcaVl時，/(x)在［l,e］上單調(diào)遞增,

所以在x=l處取得最小值，/(x)mn=/(l)=1^0,不符合題意；

當(dāng)l<&<e,gPl<a<e2,此時/(無)在1夜)上單調(diào)遞減，在(〃,e)上單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/(S')="2ffln?=0,解得"e；

當(dāng)Ge,即心此時/(x)在口同上單調(diào)遞減,

所以〃x)mm=/(e)=e2-2?<e2-2e2<0,不符合題意；

綜上可得。=6.

17.(1)證明見解析

⑵C

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸AD的法向量，利用線面垂直的向量法即可

證明；

答案第8頁，共13頁

（2）設(shè)E（0,0,〃），0<〃<2e.求出平面尸￡的法向量關(guān)，根據(jù)面面角的向量求法及數(shù)量

積運算即可求解.

【詳解】（1）證明：在四棱錐P-A8C。中，平面NBC。，/Du平面4BCD,CDu

平面NBC。，PDLAD,PD1CD.

CD,.?.以點。為坐標(biāo)原點，DA,DC,DP為x,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

如圖所示.

則由題可知。（0,0,0）,/（亞,0,0）,5（V2,l,0）,C（0,3,0）,尸（0,0,2后），

.?.麗=（8,1,0）,DP=（0,0,2A/2）,5C=（-72,2,0）,

設(shè)平面尸2。的一"矢法向量為行=（再,”,々），

則卜.竺人+…,即”-以.

n-DP=2yJ2z.=04=0

令士=1,貝必=-應(yīng)，4=0,即平面尸50的一個法向量為萬=（1,-拒,0）.

BC=-41n）即BC〃〃，平面尸80.

（2）由題可設(shè)E（0,0,〃），0<〃<2啦，/石=卜亞,。,〃），^8=（0,1,0）,

設(shè)平面ABFE的一個法向量為歷=（%,%,z?）,

m-AE=V2x+=0

則__2?2即

m-AB=y=0

2%=0

令z2=2,則迎=-血〃，刈=0，即平面N8FE的一個法向量為玩=卜"?,0,2）.

由（1）知平面PBD的一個法向量為行=（1,-逝,0）.

一一n-m-A/2/Z

???期〃'加=麗=樂百百

答案第9頁，共13頁

1/平面PBD與平面BEF的夾角為60°,

萬，正解得力=病，即。尸的長指.

73x72^+42

18.(1)。=76.6,下四位分?jǐn)?shù)67.5

(2)分布列見解析，￡(X)=5

4

(3)(/)

【分析】(1)利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)和下四分位數(shù).

(2)寫出X的可能取值，再分別計算出其分布列，最后再利用數(shù)學(xué)期望公式即可；

(3)法一：利用互斥事件加法公式和全概率計算公式得到關(guān)于。的表達式，從而得到不等

式，解出即可；法二:根據(jù)比例法得到相關(guān)概率表達式，解出不等式即可.

-1

【詳解】(1)平均值x=y^x(100x55+200x65+300x75+240x85+160x95)=76.6,

而0,1<0.25,0.1+0.2=0.3>0.25,因此下四分位數(shù)落在區(qū)間［60,70),

所以下四分位數(shù)為6。+七、1。=67s

(2)由樣本數(shù)據(jù)知，訓(xùn)練成績在［50,60),［60,70),［70,80)之內(nèi)的頻數(shù)之比為1：2:3,

由分層抽樣的方法得，從訓(xùn)練成績在［50,80)中隨機抽取了6次成績,

在［50,70)之內(nèi)抽取了3次，在［70,80)之內(nèi)抽取了3次,

所以X可取的值有：0,1,2,3,

1dQQ03ro

尸(X=0)=當(dāng)=L,尸(X=l)=^^=二尸(X=2)=^i-—,尸(X=3)=當(dāng)1

C120C：20C：20C20

所以X的分布列為:

X0123

1991

P

20202020

1aaiQ

期望為E(X)=0x——+lx——+2x—F3X——=-

v7202020202

(3)法一：設(shè)事件4,4,4分別表示動作優(yōu)化前成績落在區(qū)間［70,80),［80,90),［90,100］,

則4,4,4相互互斥，動作優(yōu)化前,

答案第10頁，共13頁

在一次資格賽中，入圍的概率尸（4U4）=尸區(qū)）+尸（4）=麗+麗=0.4,

設(shè)事件B為“動作優(yōu)化成功”，則尸（即4）=尸（曲4）=尸"）=p,

動作優(yōu)化后，在一次資格賽中，入圍事件為：43U4BU4,且事件/①，4B,4相互

互斥，

因此在一次資格賽中入圍的概率尸（4