專題05概率與統(tǒng)計(jì)

考H點(diǎn)1聚N焦

題型1兩種隨機(jī)抽樣的判斷題型7百分位數(shù)的計(jì)算)

題型2隨機(jī)數(shù)表法的應(yīng)用題型8互斥與對(duì)立事件的判斷

題型3分層抽樣的相關(guān)計(jì)算題型9古典概型的概率計(jì)算

概率統(tǒng)計(jì)

題型歸納題型10概率的基本性質(zhì)及應(yīng)用^

題型4幾種常見統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用

題型5頻率分布直方圖及其應(yīng)用題型11相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算

題型6平均數(shù)與方差的和差倍分題型12頻率與概率關(guān)系及應(yīng)用

放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣＜不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，蝌均勻

抽簽法后，每次從中抽取連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)樣本容量為n的樣本

隨機(jī)數(shù)表法利用隨機(jī)會(huì)或信息技術(shù)鈿的行抽樣

分層隨機(jī)抽樣的定義

分層隨機(jī)抽樣比例分配如果每層樣本量都與層的大小成比例

分層抽樣的步驟分層母算抽樣比一詡一抽樣一蝌

/分層抽樣的相關(guān)計(jì)算關(guān)系

頻率分布直方圖的畫法

頻率

頻率分布直方圖d喉方形的面積宜目距,麻率

所有小長(zhǎng)方形的面積和等于1

頻率分布直方圖的特點(diǎn)

所有小長(zhǎng)方形的高的和■盛

d長(zhǎng)方形的高

第通分位數(shù)定義

用樣本估計(jì)總體總體百分位數(shù)按從小到格既1」原始數(shù)據(jù)

計(jì)菖尸

求解步驟

若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)

若7是4,則第p百分儂(為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

總體集中趨勢(shì)的估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

方差描述一組數(shù)圍繞平均數(shù)的波動(dòng)大小

總體離散霞的估計(jì)

71

有限樣本空間的定義

有限樣本空間與隨機(jī)時(shí)間/----------------------

(〈隨機(jī)事件：隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件

互斥(互不相容)：事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生

互為對(duì)立：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有Y發(fā)生

事件的關(guān)系和運(yùn)算包含關(guān)系：若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生

隨機(jī)事件與概率

并事件(和事件)：事件A與事件B至少有T發(fā)生

交事件(積事件)：事件A與事件B同時(shí)發(fā)生

有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)

古典概型

等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等

古典概型與概率的基本性質(zhì)

古典概型的概率計(jì)算公式P⑸4喘

概率的基本性質(zhì)

相互獨(dú)立事件對(duì)于任意兩個(gè)事件AftB,如果P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A與B互相獨(dú)立

事件的相互獨(dú)立性

相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式表

隨Si毓斕n的增大，頻率偏離廨的儂翱小，

頻率的穩(wěn)定性即事件A發(fā)生的頻率f.(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)

頻率與概率頻率的求法當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值是概率.

頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系

知識(shí)點(diǎn)1：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n(1<n<AZ)

個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣

的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

(2)不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概

率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

2、抽簽法

(1)定義：把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每次從

中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)樣本容量為n的樣本.

(2)抽簽法的操作步驟：

第一步，編號(hào)：將N個(gè)個(gè)體編號(hào)(號(hào)碼可以從1到N,也可以使用已有的號(hào)碼).

第二步，寫簽：將N個(gè)號(hào)碼寫到大小、形狀相同的號(hào)簽上.

第三步，抽簽：將號(hào)簽攪拌均勻，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)不放回地抽取n次，并記錄其編號(hào).

第四部，定樣：從總體中找出與號(hào)簽上的號(hào)碼對(duì)應(yīng)的個(gè)體，組成樣本.

3、隨機(jī)數(shù)法

（1）定義：利用隨機(jī)試驗(yàn)或信息技術(shù)（即計(jì)算器、電子表格軟件和R統(tǒng)計(jì)軟件）生成的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣.

（2）隨機(jī)數(shù)表法步驟：

①把總體中的每個(gè)個(gè)體編號(hào).

②用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生編號(hào)范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).

③把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本。重復(fù)上述過程，知道抽足樣本所需要

的數(shù)量.

知識(shí)點(diǎn)2：分層隨機(jī)抽樣

1、分層隨機(jī)抽樣的定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于

一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣

本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.

2、比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為

比例分配.

3、分層隨機(jī)抽樣的步驟

（1）分層：按某種特征將總體分成若干部分（層）；

（2）計(jì)算抽樣比：抽樣比k=北粵；

總體容量

（3）定數(shù)：按抽樣比確定每層抽取的個(gè)體數(shù)；

（4）抽樣：每層分貝按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本

（5）成樣：綜合各層抽樣，組成樣本.

4、分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算關(guān)系：

樣本容量〃—該層抽取的個(gè)體數(shù)

總體的個(gè)數(shù)N該層的個(gè)體數(shù)’

（2）總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比.

（3）樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：3="+，^=」一十上^..

m+nm+nM+NM+N

知識(shí)點(diǎn)3：用樣本估計(jì)總體

1、頻率分布直方圖

（1）列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟:

①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差;

極差

②決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少分成5?12組，且組距=菽;

③將數(shù)據(jù)分組：通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間區(qū)左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；也可以將樣本數(shù)據(jù)多

取一位小數(shù)分組.

④列頻率分布表：對(duì)落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率.

頻率.

⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以篇的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖.

組距

（2）頻率分布直方圖的特點(diǎn)：

頻率

①小長(zhǎng)方形的面積=組距X=頻率,

麗

②所有小長(zhǎng)方形的面積和等于1,

③小長(zhǎng)方形的高=篝，所有小長(zhǎng)方形的高的和=薪|.

2、總體百分位數(shù)的估計(jì)

（1）第〃百分位數(shù)的定義:一般地，一組數(shù)據(jù)的第0百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有3

的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100—0％的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

（2）計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算i="x。％.

第3步，若z?不是整數(shù)，而大于z?的比鄰整數(shù)為力則第p百分位數(shù)為第2項(xiàng)數(shù)據(jù)；

若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3、總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

（1）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)；

（2）中位數(shù)：將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則最中間的數(shù)據(jù)為中位數(shù)，

若樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

（3）平均數(shù)：設(shè)樣本的數(shù)據(jù)為小，分,…，招，則樣本的算術(shù)平均數(shù)為元=*+人+…+x”；

n

4、總體離散程度的估計(jì)

用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差

（1）數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述；

（2）極差（又叫全距）是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動(dòng)幅度；

（3）樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。?/p>

一般地，設(shè)樣本的數(shù)據(jù)為為，%,…，血,樣本的平均數(shù)為下，

定義樣本方差為/=（為一亍）2+（%-,2+-一+（乙一均2；

n

簡(jiǎn)化公式：§2_―[（X：+x；H---H）—nx2]=_（x：---h—x2

nn

（方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方）

（4）樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.

樣本標(biāo)準(zhǔn)差S區(qū)一寸十.一4+…+㈢一君：s20.

標(biāo)準(zhǔn)差越大數(shù)據(jù)離散程度越大，數(shù)據(jù)越分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)周圍.

知識(shí)點(diǎn)4：隨機(jī)事件與概率

1、有限樣本空間與隨機(jī)事件

（1）有限樣本空間：我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用。表示樣本點(diǎn)；全體樣本點(diǎn)

的集合稱為試驗(yàn)￡的樣本空間，用O表示樣本空間；如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有〃個(gè)可能結(jié)果3,。2,…，助“則

稱樣本空間Q={01,02,…，0"}為有限樣本空間，a={0l,02,…，COn]

（2）隨機(jī)事件：我們將樣本空間a的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基

本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母/,B,C,…表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)/中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，

稱為事件/發(fā)生；Q作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以O(shè)總

會(huì)發(fā)生，我們稱a為必然事件；空集。不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱。為不可能事件。

2、事件的關(guān)系和運(yùn)算

（1）互斥（互不相容）：T般地，如果事件/與事件8不能同時(shí)發(fā)生，也就是說是一個(gè)

不可能事件，即/門8=0,則稱事件/與事件8互斥（或互不相容）[二^]

（2）互為對(duì)立：一般地，如果事件4與事件3在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，--------

即且/門8=0,那么稱事件/與事件3互為對(duì)立.事件/的對(duì)立事件記為/

（3）包含關(guān)系：一般地，若事件N發(fā)生，則事件8一定發(fā)生，我們就稱事件8包含事件工

（或事件A包含于事件B）,即32/（或A^B）.

特殊情形：如果事件8包含事件事件/也包含事件2,即224且/U2,則稱事件“與事

件3相等，記作

（4）并事件（和事件）：一般地，事件/與事件2至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的事件中的樣本點(diǎn)

或者在事件/中，或者在事件2中，則稱這個(gè)事件為事件/與事件2的并事件（或和事件）NU3（或/+2）

（5）交事件（積事件）：一般地，事件/與事件2同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在_________

事件/中，也在事件8中，則稱這樣的事件為事件N與事件8的交事件（或積事件）/口8（或N5）

4、古典概型與概率的基本性質(zhì)

（1）古典概型的定義：我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,

簡(jiǎn)稱古典概型.

有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

（2）古典概型的概率計(jì)算公式：一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含

其中k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P（A）=K=MX,其中n（A）和n（Q）分別表示事件A和樣本空間。包

nn(Q)

含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).p(A)=±=wn

n”(Q)

(3)概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A,都有P(A)K).

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(0=1,P(0)=O.

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).

性質(zhì)4：如果事件/與事件8互為對(duì)立事件，那么尸(3)=1—尸(/),P(/)=l—尸(8).

性質(zhì)5：如果那么尸(4)學(xué)(8).

性質(zhì)6：設(shè)N,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(/UB)=P(N)+P(8)-P(/r\B).

知識(shí)點(diǎn)5：事件的相互獨(dú)立性

1、相互獨(dú)立事件的：對(duì)任意兩個(gè)事件/與3,如果尸(48)=尸(Z)P(8)成立，則稱事件”與事件3相互獨(dú)

立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.

2、性質(zhì)及推廣：

如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則/與8,A與B,Z與8也都相互獨(dú)立.

兩個(gè)事件的相互獨(dú)立可以推廣到〃(〃〉2,〃eN*)個(gè)事件的相互獨(dú)立性,即若事件4,4,…,4相互獨(dú)立，

則這〃個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P(44…4)=尸(4)尸(4)?-?P⑷.

3、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式

已知兩個(gè)事件/,8相互獨(dú)立，它們的概率分別為尸(N),P(B),則有

事件表示概率

A,B同時(shí)發(fā)生ABP(A)P(B)

A,8都不發(fā)生ABP(?P(耳)

A,2恰有一個(gè)發(fā)生(疝)U(叫P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,3中至少有一個(gè)發(fā)生(疝)U(孤)U(AB)P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,3中至多有一個(gè)發(fā)生(疝)明川西P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(2)P?

知識(shí)點(diǎn)6：頻率與概率

1、頻率的穩(wěn)定性：大量的試驗(yàn)證明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件/發(fā)生的頻率具有隨機(jī)

性.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)"的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件/發(fā)生的頻率力(⑷會(huì)逐漸穩(wěn)定

于事件/發(fā)生的概率尸(/),我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此我們可以用頻率力(4)估計(jì)概率尸(N).

2、頻率的求法：頻率是事件/發(fā)生的次數(shù)，〃與試驗(yàn)總次數(shù)”的比值，利用此公式可求出它們的頻率，

頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)〃很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值是概率.

3、頻率和概率區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別：（1）在相同的條件下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件/是否出現(xiàn)，稱〃次試驗(yàn)中事件/出現(xiàn)的次數(shù)

想為事件N出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件/出現(xiàn)的比例以⑷=應(yīng)為事件/出現(xiàn)的頻率.

n

（2）概率是度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量

（3）頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率是一個(gè)定值，是某事件的固有屬性.

聯(lián)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件a由于事件/發(fā)生的頻率/,（/）隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率尸（/）,因此可

以用頻率力（/）來(lái)估計(jì)概率尸（/）.

》題型歸納

【題型1兩種隨機(jī)抽樣的判斷】

滿分技法

1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從總體中隨機(jī)選擇樣本，每個(gè)樣本被選中的概率是相同的。每個(gè)單位被選中的機(jī)會(huì)

是均等的，抽樣過程不涉及對(duì)總體的分組，適用于總體相對(duì)均勻的情況。

2、分層隨機(jī)抽樣：首先將總體分成不同的層或組，這些層在某些特征上是同質(zhì)的，然后在每一層內(nèi)

進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。總體被分成多個(gè)層，每層內(nèi)部具有相似的特征。每一層的樣本大小可以相同，也可以

根據(jù)層的大小或重要性進(jìn)行調(diào)整?？梢蕴岣邩颖镜拇硇浴?/p>

1.（23-24高一下?江蘇無(wú)錫?月考）在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，下列關(guān)于其中一個(gè)個(gè)體被抽中的可能性說法正確的

是（）

A.與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更大一些

B.與第幾次抽樣有關(guān)，最后一次抽到的可能性更大一些

C.與第幾次抽樣無(wú)關(guān)，每次抽到的可能性都相等

D.與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更小一些

2.（23-24高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）為了保證采用分層隨機(jī)抽樣方法時(shí)每個(gè)個(gè)體被等可能地抽取，必須要求

（）

A.每層等可能抽取

B.每層抽取的個(gè)體數(shù)相等

17

C每層抽取的比例為萬(wàn)（其中〃為抽取的樣本容量,N是總體容量）

D.只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個(gè)體數(shù)沒有限制

3.（23-24高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有12人的成績(jī)?cè)?00分以上，30人的成績(jī)?cè)?/p>

90?100分，12人的成績(jī)低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)考試題目難度的情況；②運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員

為參加4x100m接力賽的6支隊(duì)伍安排跑道.針對(duì)這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（）

A.分層隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

C.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層隨機(jī)抽樣

D.分層隨機(jī)抽樣，分層隨機(jī)抽樣

4.（2023?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)?0臺(tái)剛出廠的大型挖掘機(jī)中抽取4臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢

測(cè)；②在某校800名學(xué)生中，。型、A型、3型和型血的學(xué)生依次有300,200,180,120人.為了研究血型與

色弱的關(guān)系，需從中抽取一個(gè)容量為40的樣本.完成這兩項(xiàng)調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（）

A.①②都采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

B.①②都采用分層隨機(jī)抽樣

C.①采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②采用分層隨機(jī)抽樣

D.①采用分層隨機(jī)抽樣，②采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

【題型2隨機(jī)數(shù)表法的應(yīng)用】

滿分技法

應(yīng)用隨機(jī)數(shù)表法的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

1、確定以表中的哪個(gè)數(shù)（哪行哪列）為起點(diǎn)，以哪個(gè)方向?yàn)樽x數(shù)的方向；

2、讀數(shù)時(shí)注意結(jié)合編號(hào)特點(diǎn)進(jìn)行讀取.若編號(hào)為兩位數(shù)字，則兩位兩位地讀?。蝗艟幪?hào)為三位數(shù)字，則三

位三位地讀取，有超過總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本.

5.（23-24高一下?江蘇連云港?期末）總體編號(hào)為01,02,…，29,30的30個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)

數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,

則選出來(lái)的第6個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

A.02B.14C.15D.16

6.（23-24高一下?云南玉溪?月考）某工廠用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)法對(duì)生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣，先

將700個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，001,002,……,699,700.從中抽取70個(gè)樣本，下圖是利用軟件生成的隨機(jī)數(shù)，只需

隨機(jī)選定一個(gè)初始位置和方向開始讀數(shù)，每次讀取一個(gè)3位數(shù)，只要讀取的號(hào)碼落在編號(hào)范圍內(nèi)，該號(hào)碼

就是所抽到的樣本編號(hào)，這樣即可獲得70個(gè)樣本的編號(hào)，注意樣本號(hào)碼不能重復(fù).若從表中第2行第6列的

數(shù)2開始向右讀取數(shù)據(jù)，取到的第一個(gè)樣本編號(hào)是253,則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.007B.328C.253D.623

7.（23-24高一下?江蘇常州?月考）現(xiàn)利用隨機(jī)數(shù)表法從編號(hào)為00,01,02,…，18,19的20支水筆中隨

機(jī)選取6支，選取方法是從下列隨機(jī)數(shù)表第1行的第9個(gè)數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)

的第6支水筆的編號(hào)為.

952260004984012866175168396829274377236627096623

925809564389089006482834597414582977814964608925

8.（23-24高一下?河北邢臺(tái)?月考）要考查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn),

利用隨機(jī)數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001,002,850進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第2行第2

列的數(shù)開始并向右讀，下列選項(xiàng)中屬于最先檢驗(yàn)的4顆種子依次是.

（下面抽取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第3行）

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97749467744281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

【題型3分層抽樣的相關(guān)計(jì)算】

滿分技法

解決分層抽樣的兩個(gè)常用公式

先確定抽樣比，然后把各層個(gè)體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個(gè)體數(shù).

（1）抽樣比=順理=各層樣本容量;

總體容量各層個(gè)體總量

（2）層1的容量：層2的容量：層3的容量=樣本中層1的容量：樣本中層2的容量：樣本中層3的容量.

9.（23-24高一下?河北?期末）某公司共有940名員工，其中女員工有400人.為了解他們的視力狀況，用

分層隨機(jī)抽樣（按男員工、女員工進(jìn)行分層）的方法從中抽取一個(gè)容量為47的樣本，則男員工的樣本量為

（）

A.21B.24C.27D.30

10.（23-24高一下?湖南永州?期末）在杭州亞運(yùn)會(huì)期間，共有1.8萬(wàn)多名賽會(huì)志愿者參與服務(wù)，據(jù)統(tǒng)計(jì)某

高校共有本科生4400人，碩士生400人，博士生200人參與志愿者服務(wù).現(xiàn)用分層抽樣的方法從該高校志愿

者中抽取部分學(xué)生了解服務(wù)心得，其中博士生抽取了10人，則本科生抽取的人數(shù)為（）

A.250B.220C.30D.20

11.（23-24高一下?全國(guó)?月考）某高中的三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2000人，其中高一600人，高二600人，高三

800人，該?，F(xiàn)在要了解學(xué)生對(duì)校本課程的看法，準(zhǔn)備從全校學(xué)生中抽取80人進(jìn)行訪談，若采取按比例分

配的分層抽樣，且按年級(jí)來(lái)分層，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)是（）

A.24B.26C.30D.36

12.（22-23高一下?山東聊城?期末）某校高一年級(jí)有女生504人，男生596人.學(xué)校想通過抽樣的方法估

計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均體重，從高一女生和男生中隨機(jī)抽取50人和60人，經(jīng)計(jì)算這50個(gè)女生的平均

體重為49kg,60個(gè)男生的平均體重為57kg,依據(jù)以上條件，估計(jì)該校高一年級(jí)全體學(xué)生的平均體重最合

理的計(jì)算方法為（）

【題型4幾種常見統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用】

滿分技法

1、條形圖：一般與小長(zhǎng)方形的寬無(wú)關(guān)，主要是高的值；要注意條形圖橫、縱坐標(biāo)的含義；復(fù)合條形圖是不

同數(shù)據(jù)在同一條形圖中反映，對(duì)相同橫坐標(biāo)含義進(jìn)行對(duì)比，準(zhǔn)確確定彼此間的差異；

2、折線圖：可以觀察點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得到數(shù)據(jù)的數(shù)量，同時(shí)直觀得出數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)以及變化幅度的大小，

也可得到所有數(shù)據(jù)中的最大值與最小值，因而容易得到所要解決的問題數(shù)值，如果不同的折線圖反映在同

一坐標(biāo)系中，可以已通過比較觀察期波動(dòng)程度大小，并進(jìn)行優(yōu)劣判斷；

3、扇形圖：需要運(yùn)用各個(gè)圓心角或弧長(zhǎng)得百分比，同時(shí)可清楚得到各部分與總體檢的關(guān)系，用百分比X總

體個(gè)體數(shù)，估算某含義的個(gè)體數(shù).

13.（23-24高二下?浙江紹興?學(xué)業(yè)考試）下圖為某同學(xué)兩次月考成績(jī)占總成績(jī)百分?jǐn)?shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖，已知

該同學(xué)第一次月考總分低于第二次月考總分，則（）

第一次月考成績(jī)第二次月考成績(jī)

治語(yǔ)治語(yǔ)

/17%16%ZC16%18%5.

16%^W!%17%n%

\^^理/英語(yǔ)理/英宿'/

\15%/20%/\14%/18%y

A.該同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)一定下降B.該同學(xué)政治學(xué)科成績(jī)一定下降

C.該同學(xué)化學(xué)學(xué)科成績(jī)可能下降D.該同學(xué)語(yǔ)文學(xué)科成績(jī)一定提升

14.（23-24高一下?吉林通化?月考）2024年3月，樹人中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)統(tǒng)

計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖（如圖）和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則

下列命題錯(cuò)誤的是（）

前200名學(xué)生分布的餅狀圖

A.成績(jī)?cè)谇?00名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30

B.成績(jī)?cè)诘??50名的學(xué)生中，高三最多有32人

C.高一學(xué)生成績(jī)?cè)诘?01?150名的人數(shù)一定比高三學(xué)生成績(jī)?cè)诘?~50名的人數(shù)多

D.成績(jī)?cè)诘?1?100名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多

15.（23-24高一下?四川?期末）（多選）某校為更好地支持學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，開設(shè)了學(xué)科拓展類、創(chuàng)新素

質(zhì)類、興趣愛好類三種類型的校本課程，每位學(xué)生從中選擇一門課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對(duì)該校4000名學(xué)生的選課情況

進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖①，并用分層抽樣的方法從中抽取2%的學(xué)生對(duì)其所選課程進(jìn)行了滿意率調(diào)查，如圖②.

A.抽取的樣本容量為4000

B.該校學(xué)生中對(duì)興趣愛好類課程滿意的人數(shù)約為700

C.若抽取的學(xué)生中對(duì)創(chuàng)新素質(zhì)類課程滿意的人數(shù)為24,則。=70

D.該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù)為1000

16.（23-24高一下?湖南?月考）如圖為近一年我國(guó)商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，根

據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（）

（注：同比，指當(dāng)前的數(shù)據(jù)與上一年同期進(jìn)行比對(duì)；環(huán)比，指當(dāng)前數(shù)據(jù)與上個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì).）

1-2月1-2月

A.23-24年1~2月份，商品零售總額同比增長(zhǎng)9.2%

B.2023年3~12月份，餐飲收入總額同比都降低

C.2023年6~10月份，商品零售總額同比都增加

D.2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速為-14.1%

【題型5頻率分布直方圖及其應(yīng)用】

滿分技法

1、由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算需掌握的2個(gè)關(guān)系式

（1）頻率x組距=頻率.

組距

（2）三擎￡=頻率，此關(guān)系式的變形為警=樣本容量，樣本容量x頻率=頻數(shù)?

樣本容量頻率

2、利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征的方法

（1）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.

（2）平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.

（3）眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

17.（23-24高一下?海南?期中）如圖是某校高一年級(jí)1000名男生體檢時(shí)身高的頻率分布直方圖，現(xiàn)用分層

隨機(jī)抽樣的方法從身高在160?175cm的男生中抽取130名，則抽取到的身高在165?170cm的人數(shù)為（）

A.20B.30C.40D.50

18.（23-24高一下?山西大同?期末）某部門為了了解一批樹苗的生長(zhǎng)情況，在4000棵樹苗中隨機(jī)抽取400

棵，統(tǒng)計(jì)這400棵樹苗的高度（單位：cm）,將所得數(shù)據(jù)分成7組：[70,80）,[80,90）,[90,100）,[100,110）,

[110,120）,[120,130）,[130,140],并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，那么根據(jù)該圖可推測(cè)，在這4000

棵樹苗中高度小于110cm的樹苗棵數(shù)約是（）

19.（23-24高一下?湖北武漢?期末）（多選）供電部門對(duì)某社區(qū)100位居民6月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)

后，按人均用電量分為[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,50]五組，整理得到如圖所示的頻率分布

直方圖，則有關(guān)這100位居民，下列說法正確的是（）

T頻率

0.04--p-i

0.03—-k-J—

磯IF.

01020304050用電量/度

A.6月份人均用電量人數(shù)最多的一組有40人

B.6月份人均用電量在[30,40）內(nèi)的有30人

C.6月份人均用電量不低于20度的有50人

D.在這100位居民中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取10位居民協(xié)助收費(fèi)，抽到的居民用電量在

[20,30）一組的人數(shù)為3

20.（22-23高一下?吉林長(zhǎng)春?月考）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160』80）,[180,200）,

[200,220）,[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.

（1）求直方圖中X的值；

（2）在這100戶居民中，月平均用電量不低于220度的有多少戶？

（3）在月平均用電量為[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶

居民，則月平均用電量在[220,240）的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

【題型6平均數(shù)與方差的和差倍分】

滿分技法

1、平均數(shù)的相關(guān)結(jié)論

①如果兩組數(shù)再戶?,…,X”和%,月，…,”的平均數(shù)分別是下和歹，則一組數(shù)再+%,超％+y?的平均數(shù)

是下+少.

②如果一組數(shù)匹,馬,％的平均數(shù)為了，則一組數(shù)腦，也，…，去”的平均數(shù)為位.

③如果一組數(shù)再,與…,X”的平均數(shù)為了，則一組數(shù)玉+a,x2+。,…,X"+。的平均數(shù)為三+。.

2、方差的相關(guān)結(jié)論

①如果一組數(shù)再,芍，…，%的方差為d,則一組數(shù)網(wǎng)+。,迎+。，…，%+。的方差為s?;

②如果一組數(shù)國(guó),與…,X”的方差為s?,則一組數(shù)立1，丘2,…，3的方差為后2s2.

21.（23-24高一下?山東聊城?月考）已知數(shù)據(jù)再,孫…,馬的平均數(shù)為"=5,則數(shù)據(jù)2%+1,2工2+1,…,2/+1的

平均數(shù)為.

22.（23-24高一下?河南?月考）已知樣本數(shù)據(jù)%,%，…，%。。的平均數(shù)為14,樣本數(shù)據(jù)九…，乂。。的平均數(shù)

為a,若樣本數(shù)據(jù)占,租…,出》，%，%，…，為?的平均數(shù)為。+1，貝1。=（）

A.12B.10C.2D.11

23.（23-24高一下?江蘇南京?期末）已知數(shù)據(jù)網(wǎng),馬，9廣子"的平均數(shù)為10,方差為5,數(shù)據(jù)

3再一1,3%—1,3%一1，…3%-1的平均數(shù)為9方差為S2,則（）

A.x=10，52=14B.x=9,52=44

22

C.嚏=29,s=45D.嚏=29,s=44

24.（23-24高一下?山西忻州?月考）有一組樣本數(shù)據(jù)占,…戶6（其中占是最小值，%是最大值）的平均

數(shù)為I，方差為$2,中位數(shù)為無(wú)、貝1］（）

A.2%+1.2%+1,-、2%+1的平均數(shù)為2噎

B.2玉+1,2工2+1「~,2%+1的方差為52

C.2%+1,2%+1,…,2%+1的中位數(shù)為2x'+l

D.2國(guó)+1,2%+1,…,2%+1的極差為%-國(guó)

【題型7百分位數(shù)的計(jì)算】

滿分技法

計(jì)算一組”個(gè)數(shù)據(jù)的的第p百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計(jì)算i=nxp%.

③若i不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù)/，則第p百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)；若，是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)

與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

25.（23-24高一下?天津南開?期末）某校高三數(shù)學(xué)備課組老師的年齡（單位：歲）分別為：37,30,42,

32,41,46,45,48,35,53,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）

A.45B.42C.43.5D.45.5

26.（23-24高一下?河北廊坊?期末）一組數(shù)據(jù)：5,1,3,5,2,2,2,3,1,2,則這組數(shù)據(jù)的85%分位

數(shù)是（）

A.3B.4C.4.5D.5

27.（23-24高一下?河南?期末）樣本數(shù)據(jù)14,16,18,20,21,22,24,28的第三四分位數(shù)為（）

A.16B.17C.23D.24

28.（23-24高一下?河北?期末）若一組數(shù)據(jù)3,4,6,機(jī)，8,3,7,9的第40百分位數(shù)為6,則正整數(shù)小

的最小值為.

【題型8判斷互斥與對(duì)立事件】

滿分技法

判斷互斥與對(duì)立事件的兩種方法：

（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事

件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.

（2）集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥.

②事件/的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件/所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.

29.（22-23高一下?廣東陽(yáng)江?期末）從裝有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，下列選項(xiàng)中是互

斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是（）

A.“至少有1件正品”與“都是次品”B.“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品”

C.“至少有1件次品”與“至少有1件正品”D.“都是正品”與“都是次品”

30.（22-23高一下?山西朔州?期末）從裝有2個(gè)紅色乒乓球和3個(gè)白色乒乓球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么

是互斥事件而不是對(duì)立事件的兩個(gè)事件是（）

A.恰有1個(gè)白色乒乓球與至少2個(gè)白色乒乓球

B.至少2個(gè)白色乒乓球與都是白色乒乓球

C.至少1個(gè)白色乒乓球與至少1個(gè)紅色乒乓球

D.恰有1個(gè)紅色乒乓球與恰有1個(gè)白色乒乓球

31.（22-23高一下?河南洛陽(yáng)?月考）某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定幾率中獎(jiǎng)的新飲料.甲、乙兩名同學(xué)

都購(gòu)買了這種飲料，設(shè)事件A為“甲、乙都中獎(jiǎng)”，則與A互為對(duì)立事件的是（）

A.甲、乙恰有一人中獎(jiǎng)B.甲、乙都沒中獎(jiǎng)

C.甲、乙至少有一人中獎(jiǎng)D.甲、乙至多有一人中獎(jiǎng)

32.（22-23高一上?山東濰坊?期末）“韋神”數(shù)學(xué)興趣小組有4名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加

數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)比賽，下列各對(duì)事件中互斥而不對(duì)立的是（）

A.至少有1名男生與全是男生；

B.至少有1名男生與全是女生；

C.恰有1名男生與恰有2名男生；

D.至少有1名男生與至少有1名女生.

【題型9古典概型的概率計(jì)算】

滿分技法

用公式法求古典概型的概率就是用所求事件/所含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本事件空間a所含的基本事件個(gè)

數(shù)求解事件/發(fā)生的概率尸（⑷.解題的關(guān)鍵如下：

①定型，即根據(jù)古典概型的特點(diǎn)——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型.

②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間a及事件n所含的基本事件數(shù).

/包含的基本事件的個(gè)數(shù)

③求值，代入公式尸（/）=求值.

基本事件的總數(shù)

33.（23-24高一下?河北廊坊?期末）用2,3,4這3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)

是偶數(shù)”發(fā)生的概率為（）

A-|B-Tc-ID-1

34.（23-24高一下?湖南?期末）從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)字，設(shè)取出的兩數(shù)字之和為

m,貝U加2—9加+18<0的概率為（）

2111

A.§B.5C.§D-6

35.（23-24高一下?山西太原?期末）己知甲、乙兩個(gè)袋子中各裝有若干個(gè)白球和紅球（這些球僅顏色不同），

且乙袋中球數(shù)是甲袋中球數(shù)2倍，若從甲袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球的概率為工，而將甲、乙兩個(gè)袋子

4

中的球裝在一起后，從中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球的概率為:，則從乙袋中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球的概率

為（）

11

cID.

12

36.（23-24高一下?山西太原?期末）某場(chǎng)乒乓球單打比賽按三局兩勝的賽制進(jìn)行，甲乙兩人參加比賽.已

知每局比賽甲獲勝的概率為0.4,乙獲勝的概率為06現(xiàn)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1

或2時(shí)，表示此局比賽甲獲勝,當(dāng)出現(xiàn)3,4或5時(shí)，表示此局比賽乙獲勝.在一次試驗(yàn)中，產(chǎn)生了20組

隨機(jī)數(shù)如下:

534123512114125334432332314152

423443423344541453525151354345

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，利用隨機(jī)模擬試驗(yàn),估計(jì)甲獲得冠軍的概率為（）

A.0.24B.0.3C.0.7D.0.76

【題型10