廣東省廣州市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期

期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)符合題目要求)

1已知全集°=卜—此’7},集合A={1,2,3,4},5={1,3,5},則科(Au8)=()

A.{1,2,3,4,5}B.{0,13,5,6,7}C.{0,6,7}D.{6,7}

【答案】D

【解析】。={尤CN*|XV7}={L2,3,4,5,6,7},A={1,2,3,4},B={1,3,5),

故A3={1,2,3,4,5},/.^(A3)={6,7}.

故選:D

2.設(shè)xeR,貝是"三―2%—3<?！钡?)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由于不等式式―2x—3<0的解集為{%|—1<%<3},則1<%<2可推出—l<x<3,

反之不成立，

所以"1<x<2”是“尤2一2%—3<0”的充分而不必要條件.

故選：A.

3.函數(shù)/(%)與g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表.

A.OB.3C.1D.-1

【答案】A

【解析】根據(jù)表格，/(—1)=1，g(l)=0，

故選：A.

4.下列命題中，是真命題的全稱(chēng)量詞命題的是().

A.對(duì)于實(shí)數(shù)a,beR,^a2+b--2a-2b+2<0

B.幕函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)

C.存在幕函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(2,4)

D.當(dāng)〃<0時(shí)，哥函數(shù)y=x"在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)：a2+b2-2fl-2Z?+2=(?-1)2+(Z?-l)2>0,故A不合題意；

B選項(xiàng)：累函數(shù)》=尸1不過(guò)點(diǎn)(0,0),故B不合題意；

C選項(xiàng)：不是全稱(chēng)量詞命題命題，故C不合題意；

D選項(xiàng)：當(dāng)〃<0時(shí)，塞函數(shù)y=x"(〃<0,x>0)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：D.

(2-3?)%+1,%<1

5.若函數(shù)/(x)=<1是R上的減函數(shù)，則。的取值范圍為(

----1,%>1

2

A.>8B.—,+ooD.

3

【答案】C

(2-3a)x+l,x<l

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/■(])=<1??是R上的減函數(shù),

——1,%>1

2—3。<02，

所以—<〃W1,

3-3a>03

故選：C.

c14

6.若羽y均大于零，且x+y=2,則一+一的最小值為()

%)

9

A.5B.4C.9D.

2

【答案】D

【解析】陽(yáng)丁均大于零，且x+y=2,

9

2

y4x24

當(dāng)且僅當(dāng)二=——，即》=—,y=—時(shí)等號(hào)成立,

xV33

149

故一+一的最小值為一.故選：D.

xy2

7.歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet),當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)

家們處理的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象都沒(méi)有完全的嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣借助于直覺(jué)和想象來(lái)

l,xeQ

描述數(shù)學(xué)對(duì)象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：/(%)=1(其中。為有理

數(shù)集，Q.為無(wú)理數(shù)集)，狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變

化，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開(kāi)始展現(xiàn)出來(lái)，這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研

a,x&Q

究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”.一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：￡>(%)=〈(其中

b,x&Qc

a,beR,且awb),以下對(duì)。(x)說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.定義域?yàn)镽

B.當(dāng)。>6時(shí)，0(%)的值域?yàn)閇4。]；當(dāng)時(shí)，。(％)的值域?yàn)閇。,勿

C.為偶函數(shù)

D.D(x)在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性

【答案】B

【解析】顯然無(wú)理數(shù)集和有理數(shù)集的并集是實(shí)數(shù)集，故A正確；

D(x)的函數(shù)值只有兩個(gè)，的值域?yàn)槌?。｝,故B錯(cuò)誤；

若xeQ,則—xeQ,D(x)=￡>(-%)=a；若xeQ,則一xeQ,

D(x)=D(-x)=b；

所以。(x)為偶函數(shù)，故C正確；

由于實(shí)數(shù)具有稠密性，任何兩個(gè)有理數(shù)之間都有無(wú)理數(shù)，任何兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間也都有理

數(shù)，其函數(shù)值在a、之間無(wú)間隙轉(zhuǎn)換，所以。(%)在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性,

故D正確.

故選：B

8.已知函數(shù)"冷=3-2比+1在區(qū)間(7,1]上遞減,且當(dāng)xe[O,f+l]時(shí)，有1mx-/⑴而“<2,

則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

A.[-A/2,A/2]B.[1,V2]C.[2,3]D.[1,2]

【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)=必-2比+1的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=t,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=X?-2以'+1在區(qū)間(T。/]上遞減，

所以d】

所以/(XU=/⑺=〃一2〃+1=1一〃，/⑺啰=/(0)=1，

所以1—(1—戶(hù))42,.夜.

因?yàn)?，?,所以

故選：B

二、多選題(本大題共3小題，共18分.全選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選不得

分)

9.下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的有().

A./(%)=V%2-1與g(尤)=Jx+l-J尤T

B./(x)=W與g(x)=V?

、忖,"0./、fl,x>0

C/(x)=x與8(%)=。,“<0

l,x=Oi

D與g"

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,對(duì)于〃x)=Jl—i,由爐一120得尤W—l或x?l，故/(尤)的定義域

為(73,-1][1,+<?);

對(duì)于g(x)=Jx+l.Jx-1,由，[；；；得x?l,故g(x)的定義域?yàn)閇1,+8)；所以

"%)與g(x)不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由根式指數(shù)幕知值引斗且“可與g(x)的定義域都為R,所以“X)與

g(x)是同一函數(shù)，故B正確；

|x|II

對(duì)于C,對(duì)于/(力=卜*"°,當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=H=^=1；當(dāng)x<0時(shí)，

l,x=Oxx

"x)=b?=j又當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=l；

綜上：/(x)=r："°八，所以“龍)與g(x)是同一函數(shù)，故c正確；

I—1,X<U

/[\2x-lz[x2f-l

對(duì)于D,顯然=與解析式表達(dá)式一樣，所以"％)與g(x)是同一

函數(shù)，故D正確.故選：BCD.

10.已知關(guān)于x的不等式℃2+法+00的解集為(YO,—2)U(3,+8),貝IJ()

A.QVO

B.不等式區(qū)一。>0的解集為{引九<6}

C.4Q+2/?+C>0

D.不等式cf一反+QN。的解集為一

【答案】BD

【解析】因?yàn)閍x1+bx+c>0的解集為2)D(3,+OO),

4〉0

b--a

所以4?！?b+c=0,解得<<,所以A錯(cuò)誤；

,c=-6a

9a+3b+c=O

b=-a

對(duì)于B：將〈代入可得一改+6。>0,解得x<6,B正確；

c=-6a

對(duì)于C：不等式ad+"+0>0的解集為(-8,-2)53,+°0)，

所以x=2時(shí)4Q+2/?+C<0,C錯(cuò)誤；

[b=-a

對(duì)于D：將〈代入可得—6ar?+依+〃之o，即6%2一%—1?0,

c=-6a

解得—，〈犬《工，D正確，

32

故選：BD

11.已知函數(shù)/(九)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=x2-2x,貝|()

A./(%)的最小值為—1B."%)在(—2,0)上單調(diào)遞減

C.〃力<0的解集為[-2,2]D.存在實(shí)數(shù)無(wú)滿(mǎn)足〃X+2)+〃T)=0

【答案】ACD

【解析】函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)X..0時(shí)，/(x)=f—2x=(x—l)2—1,

設(shè)x<0,則—x>0,所以/(—%)=f+2%，因?yàn)?(%)是偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),

所以/(x)-x2+2x,

“、f%2-2x,x..0

所以f(x)=|,

x+2x,%<0

函數(shù)圖象如下所示:

可得1>o時(shí)，/(%)在％=1時(shí)取得最小值-1,由偶函數(shù)的圖象關(guān)于>軸對(duì)稱(chēng),

可得了(%)在R上取得最小值-1,故A正確;

/(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(—1,0)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

[x>0、x<0

由〈O或^2解得0?x<2或一2<x<0,

J-2x<Qx2+2x<0

綜上可得了(九)工。的解集為［-2,2］,故C正確；

由“0)=0,/(-2)=/(2)=0,即存在實(shí)數(shù)X滿(mǎn)足/(x+2)+/(—幻=0,故D正

確；

故選：ACD.

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.已知集合4={(%,丁)|%2+,2<3,%62,丁62},則集合A真子集個(gè)數(shù)為(填數(shù)

字)

【答案】511

【解析】由題意，A={(尤,y)|尤2+^43,尤eZ,yeZ}={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,-1),

(-1,0),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)}'有9個(gè)元素，故集合A真子集的個(gè)數(shù)為：211=511

故答案為：511

13.命題P：Vx>2,x2—1>0>則—W是.

【答案】3x>2,x2-l<0.

【解析】命題P：Vx>2,V—1>。為全稱(chēng)量詞命題，

則一］?是3x>2,%2-1<0>

故答案為：Bx>2,x2-l<0.

14.己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,了。)=3,對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)。，〃都有

/(a)一”")〉】則不等式/(12一*一1)<%2—無(wú)+1的解集為.

ci-b

【答案】(-1,2)

【解析】不妨令a>b,則/等價(jià)于/(a)—/3)>a—b,

a-b

可得/(。)-。>/伍)-/?,

構(gòu)造函數(shù)//(%)=則/z(x)是R上的增函數(shù),

因?yàn)?1)=3,

所以了(/—%—+1等價(jià)于/(九2一%—］)—(/—九—i)</(1)—1,

即力(尤2_尤_1)v九⑴,

所以無(wú)2—%—1<1，解得一1<X<2,

所以不等式f(x2-x-l)<x2-x+l的解集為(-1,2).

故答案為：(—1,2).

四、解答題(本題共5小題，共77分)

15.已知“X)=大3-x+J*］的定義域?yàn)榧螦,集合3={乂—a

(1)求集合A;

(2)若A3=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

‘3-120

解：(1)意義，則有〈cC，解之可得：-2<X<3,

x+2>0

所以集合4={兄—2<%<3}.

(2)AB=A,所以BQA,

因?yàn)?={x［—a<x<3a—6},所以分5=0和5W0兩種情況；

3

若5=0,則—a23a—6,解得：a<--,

2

3ci—6>—ci

3

若5w0,要使5uA成立，貝ij有〈一”2—2,解得：一<?！?,

_2

3a—6K3

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍(-8,2］.

16.已知/(幻是定義在［—1』］上的偶函數(shù)，且XG［—1,0］時(shí)，f{x}=^~

⑴求/(0)，/(-I)；

(2)求函數(shù)/(%)的表達(dá)式；

(3)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間［0口上的單調(diào)性.

解:⑴/(o)=o,/(-i)=-1.

(2)設(shè)xe[O,l],貝14―1,0]

ATT

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以有/(一%)=/(X)

即小)=三

.心［0』

所以/(x)=<

小皿―1,0)

一占(%一3)(3％-1)

設(shè)為

(3)0<<1,/(x2)-/(x1)=-y^-V+1(k+D(x；+l)'

*.<0<Xj<x2<1.?.x2-xr>0,xYx2-1<0

??./(%)</(%).?.f(x)在［0』為單調(diào)減函數(shù).

17.設(shè)函數(shù)y=ax2+x-%(awR,bcR).

⑴若b=l,且集合｛x|y=0｝中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的取值集合；

(2)解關(guān)于x的不等式y(tǒng)<(a-l)x2+0+2)x-26；

解：⑴函數(shù)丁=加+%—l(aeR),又｛尤|y=0｝有且只有一個(gè)元素，

則方程加+*-1=0有且僅有一個(gè)根，

當(dāng)a=0時(shí)，x—1=0,即x=l,則｛x|y=0｝=｛l｝,滿(mǎn)足題設(shè)；

當(dāng)awO時(shí)，A=l+4a=0,即a=—貝U｛x|y=0｝=｛2｝,滿(mǎn)足題設(shè)，

所以。的取值集合為｛-。0｝.

4

(2)依題意，+x-〃<(a-+(〃+2)x-2/?,整理得(x-b)(x-1)<0,

當(dāng)匕<1時(shí)，解得b<x<l；

當(dāng)匕=1時(shí)，無(wú)解；

當(dāng)>>1時(shí)，解得l<x<Z?,

綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為｛村6<尤<1｝；

當(dāng)6=1時(shí)，原不等式的解集為0；當(dāng)>>1時(shí)，原不等式的解集為｛%|1<%<圻.

18.某公司為了節(jié)約資源，研發(fā)了一個(gè)從生活垃圾中提煉煤油的項(xiàng)目.該項(xiàng)目的月處理成本

1,,

-%3-80尤2+5050X,120<X<150

y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，

-%2-200%+80000,150<x<500

12

每處理一噸生活垃圾，可得到的煤油的價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不能獲利，政府將給予補(bǔ)

貼.

（1）當(dāng)尤w［200,300］時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利.如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不能獲

利，則政府每月最多需要補(bǔ)貼多少元，才能使該項(xiàng)目不虧損？

（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

解：（1）當(dāng)Xe［200,300］時(shí)，該項(xiàng)目的利潤(rùn)。=200..（暴2-200工+80000）=-；/+400工-80000=-；（*-400『,

Vxe［200,300］,則口<0,故該項(xiàng)目不能獲利,

當(dāng)尤=200時(shí)，。取到最小值一20000,

故該項(xiàng)目不會(huì)獲利，政府每月最多需要補(bǔ)貼20000元，才能使該項(xiàng)目不虧損.

（2）當(dāng)120W尤<150時(shí)，平均處理成本，￥一8收+5。5。、§-050」（一回+25。,

XX33'"

當(dāng)x=120時(shí)，平均處理成本上取到最小值250；

X

當(dāng)150WX<550時(shí)，平均處理成本2=士絲％=L+遜-200W2口1巫.200=20。，

xx2xV2x

當(dāng)工工=陋￡,即兀=400時(shí)，平均處理成本上取到最小值200；

2xx

V250>200,故該項(xiàng)目每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低.

231

19.已知幕函數(shù)〃%）=（p2_3p+3）J-y5滿(mǎn)足〃2）<〃4）.

（1）求函數(shù)/（%）的解析式；

（2）若函數(shù)/z（x