第五章平面向量與復數

5.2.2復數(針對練習)

針對練習

針對練習一復數的四則運算

1.計算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=()

A.3B.4C.-HiD.-i

【答案】C

【解析】

【分析】

先去括號，應用復數的加減運算化簡復數即可.

【詳解】

(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=5-6i-2-i-3-4i=-lli.

故選：C

2.若彳=(3+i)(2—i),則z=()

A.5+iB.7+iC.5-iD.7-i

【答案】B

【解析】

【分析】

根據復數的乘法運算得到三，利用共甄復數的概念即可求解.

【詳解】

解:因為彳=(3+i)(2-i)=7-i,所以z=7+i.

故選：B.

3.復數U=()

1+1

A.2+iB.2-iC.-l+2iD.l-2i

【答案】B

【解析】

【分析】

根據復數的除法求解即可

【詳解】

3+i(3+i)(>i)4-2i二

1+i(l+i)(l-i)2-

故選：B.

4.若z(l-i)=2i,貝Ijz=()

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

【答案】A

【解析】

【分析】

根據復數的除法運算即可得解.

【詳解】

解：因為z(l-i)=2i,

所以z啥譏"）一+i

（―）

故選：A.

5.已矢口復數z滿足(2-i)z=4+3i,貝ljz=(）

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

【答案】A

【解析】

【分析】

利用復數的除法運算即可求解.

【詳解】

川牛，2-i（2-i）（2+i）5

故選：A.

針對練習二虛數單位及其性質

6.需=（）

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

【答案】B

【解析】

【分析】

根據復數的乘方及乘除法運算即可得出答案.

【詳解】

解：因為1如=任『％4

…J—i1-i

所以河'=不

故選：B.

7.已知復數z滿足（l-i）z=l+i（i是虛數單位），則z23的值為（）

A.-2022B.1C.-1D.2022

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復數的除法化簡復數Z,利用復數乘方的周期性可求得結果.

【詳解】

2222ioii,oii

由已知可得z=罟=（：!=A=i,因止匕，z°=（i）=（-i）=-i.

故選：C.

（、、、2022

、卯，

8.設復數z=|…)

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【解析】

【分析】

利用復數的除法化簡復數詈再利用復數乘方的周期性可求得結果.

2-1

【詳解】

羅二普普一鋁，因此”嚴

2-1（2-i）（2+i）5

故選：B.

9.設2=白＞，i為虛數單位，則2=（）

2—z

A.-1-iB.-1+/C.1—，D.1+z

【答案】B

【解析】

【分析】

根據虛數單位i的周期和復數的除法運算即可得到答案.

【詳解】

因為嚴2=i

三3出…

2-z(2-0(2+0

故選：B.

10.計算i+i?+i3++i2022=()

A.2022B.1-iC.-1+iD.0

【答案】C

【解析】

【分析】

求出i”的周期，且I-i+l=0,所以i+i2+-3j3+內2。22=1.+1.9，即可求出答案.

【詳解】

2345fi

a^i=-i,i=-i,i=i,i=i,i=-i(,所以周期為4,

且i-1-i+l=0,所以i+i2+j3++i^2=i+i2=i_b

故選:C.

針對練習三復數的實部與虛部

11.已知復數Z滿足Z（l-i）=3+i,則復數Z的虛部為（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用復數除法求得復數z,進而求得復數z的虛部

【詳解】

,、3+i(3+i)(l+i)2+4i

由z(l—i)=3+i,可得z=3=^-—^=±±^=l+2i

v7，Jri-i(l-i)(l+i)2

則復數z的虛部為2

故選：D

12.若復數z=｛，則5i-z的虛部是()

2+i

A.2iB.iC.2D.1

【答案】c

【解析】

【分析】

根據復數的除法運算化簡求出5i-z,即可求出虛部.

【詳解】

因為z：」，所以5i-z=V=、=l+2i,虛部為2.

2+i2+i(20+”i)j(2；-i)).

故選：C.

13.z=等〈的虛部為()

i(2+D

A.2B.2C.2iD.-2i

【答案】B

【解析】

【分析】

由復數的乘法與除法運算法則即可求解.

【詳解】

故選：B

14.若復數Z=2-i,z2=i（3-i）,貝心+4的實部為（

【答案】C

【解析】

【分析】

直接求出4+工即可得到答案.

【詳解】

因為Z1=2-i,z2=i（3-i）=l+3i,所以4+z?=3+2i,貝U4+z2的實部為3.

故選：C

15.設i為虛數單位，若復數。-i）（"+i）的實部與虛部相等，則實數。的值為（

A.0B.1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

化簡復數（lf（a+i）=a+l+（l-4）i,得到方程，即可得答案;

【詳解】

(l-i)(a+i)=a+l+(l-a)i,

,,a+1=1—a—62--0,

故選：A

針對練習四復數的分類

16.已知復數z=（3+2i）+m（2-i）是純虛數，則實數機=

【答案】D

【解析】

【分析】

利用純虛數的定義進行運算即可.

【詳解】

j3+2〃z=Q

因為z=(3+2i)+M2—i)=3+2wi+(2—m)i是純虛數，所以J2_m^0

解得m=.

故選：D

2.

17.如果復數二^是純虛數，那么實數相等于()

1+mi

A.-1B.0C.0或1D.0或-1

【答案】D

【解析】

【分析】

先對復數化簡，然后使其實部為零，虛部不為零，從而可求出實數相的值

【詳解】

在力m2+i(m2+1)(1—mi)m1-m3i+i-mi2m2+m1-m3.

fflzE?-------------=----------------------------------=-------------------------------------=------------------1----------------J

?1+mi(1+mi)(l-mi)1+m21+m21+m2

因為復數為純虛數，

3

匚匚I、I祖？+加1-m?

所以^——r=0且n；——

1+m1+m

解得m=0或相=-1,

故選：D

18.若復數等(aeR)為純虛數，則。的值為()

2—1

A.2B.--C.1D.0

2

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用復數的除法化簡復數學(aeR),再由純虛數的概念求解.

2—1

【詳解】

ol+?i(l+m)(2+i)_2-a2a+\,

r因a為丁(2-i)(2+i)--I-+51

所以若復數eR）為純虛數，

2—1

f2—-6?=0,

則。解得。=2

故選：A.

19.已知aeR,i為虛數單位，若會為實數，貝心的值為（）

A.-B.fC.--D.--

2332

【答案】D

【解析】

【分析】

利用復數除法運算法則化簡復數，當其為實數時，虛部為0,從而求得。的值.

【詳解】

a-3i（a-3/）（2-4/）2a-12-（4a+6）i甘甘石…知

『=（2+旬（2-旬=-----%------'右其為頭數'

3

則4〃+6=0,即。=一萬

故選：D

20.若復數瞥（i為虛數單位，aeR）為純虛數，則。的值為（）

1+2

A.—4B.—3C.3D.5

【答案】A

【解析】

對復數瞥進行分布實數化，根據純虛數的概念實部為0,虛部不為0即可得。的值.

【詳解】

4+ai_(4+az)(l-z)_(4+a)+(a-4)z_4+aa-4.

1+z-(l+z)(l-z)2221

因為該復數為純虛數，所以a+4=0,a-4^0,所以a=T.

故選：A.

針對練習五共聊復數

21.設復數z=mw，則2=()

1+21

A34.34.「

A.-+—1B.-------1C

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

先對復數Z化簡計算，再求其共規(guī)復數即可

【詳解】

2i-l(2i-l)(l-2i)2i+4-l+2i_34.

因為z=

l+2i(l+2i)(l-2i)-5~5+^

所以33-二4i.

故選：B.

22.已知復數z滿足z(3+i)=3+i2022,其中i為虛數單位，則z的共輾復數I的虛部為()

A.--iB.--C.-iD.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用復數的除法求出復數Z,利用共輾復數的概念可得出復數三，由此可得出復數三的虛部.

【詳解】

g^i2022=i2020.i2=(i4)505.i2=-i,

所以zG+i^S+i?02?=3-1=2

3+i20222(3-i)_31

所以Z=---------------————]

3+i(3+i)(3-i)55

因此，復數1的虛部為:

故選：D.

23.已知z=—2+2i,則z「+2)=()

A.4+4iB.4-4iC.4D.-4i

【答案】A

【解析】

【分析】

根據共在復數的概念，及復數代數形式的乘法運算化簡即可；

【詳解】

解：因為z=—2+2i,所以$=_2-2i，

所以z「+2)=(-2+2i)(-2-2i+2)=4i-4i2=4+4i；

故選：A

..2?3

24.已知復數z=彳是z的共輾復數，則N.Z=()

1+1

A.0B.IC.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用復數的除法可求z,進而可求Jz.

【詳解】

i+i2+i3-1-1+i11.

**7—________=____-...........=____I__1

?—1+il+i-(l+i)(l-i)-22，

故選：B.

25.已知a/eR,i是虛數單位，若a+i與2+為互為共輾復數，則|。-歷|=()

A.2B.75C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據a+i與2+歷互為共加復數，求得a,b,再利用復數模的公式求解.

【詳解】

解：因為a+i與2+歷互為共加復數，

所以a=2,b=T,

所以|。-句|=|2+*0,

故選：B

針對練習六復數的相等

26.已知復數z=m+i,z(3-2i)=5+〃i,nz￡R,幾ER,則加+九=()

A.2B.0C.-2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

由復數的乘法運算，化簡復數為3m+2+（3-2㈤i=5+成再由復數相等列方程，解方程即可得出答

案.

【詳解】

（m+i）（3-2i）=3m+2+（3—2m）i=5+zzi,

3根+2=5,=1,

m+n=2.

3-2m=n,[n=1,

故選：A.

27.已知a+3i（l+i）=2+歷（a,6eR,i為虛數單位），則實數的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

由復數的乘法運算和復數相等可求得。，b,由此可求得答案.

【詳解】

解：a+3i(l+i)=2+歷，:?〃+3i—3=2+歷,

a—5+(3—Z?)i=0,角尾得a=5,Z?=3,

貝IJ實數8=5—3=2,

故選：c.

28.若4-3"人=。2+4由(aeR),則實數”=()

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】

根據復數相等的定義求解.

【詳解】

fA_QZY=

由題意2：,解得"=4

[-a-=4a

故選：D.

29.設1是復數z的共胡復數，若Jz+10i=5z，則9=()

2+i

34

A.2B.—?—i

55

4334

C.2gJc—+-zD.2@K-+—z

【答案】C

【解析】

【分析】

設z=a+〃，(a,8eR),根據復數代數形式的乘法運算及復數相等求出參數a,6,即可得到z,再

根據復數代數形式的除法運算法則計算可得；

【詳解】

解:設z=a+沅,（a,beR）,因為Jz+10i=5z,所以（a+瓦）（a-沅）+10，=5（a+沅）,所以

cr+b2+10/=5a+5bi,所以解得[八。或L所以z=1+21或z=4+21

10=5b[b=2[b=2

z=l+2i。+2川27）4+3iz4+2i（4+2i）（2T）

所以2+i2+i（2+z）（2-z）5立2+i2+i（2+z）（2-z）

故選：C

30.已矢口1+21是方程x?-M+2W=0O,〃eR）的一個根，貝[]7"+〃=（）

Q

A.-B.3C.6D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意，將l+2i代入方程，化簡整理，可得2〃-3-根+(4-2㈤i=0,列出方程組，可求得相、”的

值，即可得答案.

【詳解】

因為l+2i是方程f-mx+2n=0(m,nGR)的一個根，

所以(l+2i)2—加(l+2i)+2〃=0,整理得2〃一3—m+(4—2m)i=0,

2n-3-m=0

解得

4-2m=0n=—

故選：A

針對練習七復數的坐標表示

31.若復數z滿足z=(l-2i)-i,則復平面內z對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出z的標準復數形式，再根據復數的幾何意義確定所在的象限.

【詳解】

由題意z=(l-2i〉i=2+i,在復平面上對應的點為(2,1),在第一象限；

故選：A.

32.已知復數2=與，則復數z在復平面內對應的點位于()

-21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根據復數的除法運算化簡，然后根據復數的幾何意義得解.

【詳解】

根據復數的除法運算化簡得，

z=±i=曳二9=L+2i,對應的點位于第一象限.

-21-2122

故選：A.

33.已知復數z滿足(l+2i)z=l+i(其中i為虛數單位)，則在復平面內三對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根據復數的除法運算求出復數z,再根據共在復數的定義及復數的幾何意義即可得解.

【詳解】

_.1+i(l+i)(l-2i)3-i31.-31.

解：由足思知2—[+2]-(i+2i)(l—2i)一行nilz=g+gi，

31

［在復平面內對應的點的坐標為位于第一象限.

555

故選：A.

34.已知復數z=2+(aT)i(其中i為虛數單位)在復平面內對應的點在第四象限，則實數。的取

值范圍是()

A.a>lB.a>\C.a<lD.a<\

【答案】D

【解析】

【分析】

根據題意可得即可得出.

【詳解】

因為z=2+(a-l)i在復平面內對應的點在第四象限，所以a-lvO,解得"1.

故選：D.

35.已知復數z=("+2)+(m+l)i在復平面內對應的點在第三象限，則實數機的取值范圍是()

A.(—2,—1)B.(-°0，—2)I(―1,-boo)C.(―1,+°°)D.(一8,—2)

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可得［加+:<:,從而可求出實數機的取值范圍.

【詳解】

因為復數Z=(加+2)+(〃?+l)i在復平面內對應的點在第三象限,

"機+2<0八

所以｛1n,斛得利<-2,

所以實數機的取值范圍為(-8,-2).

故選：D.

針對練習八復數的模

36.復數z"+目的虛部為()

1+i

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【解析】

【分析】

根據復數的運算即可化簡復數，然后根據虛部的概念即可求解.

【詳解】

卜+網2(l-i)

，虛部為一1.

1+i-(l+i)(l-i)-一

故選：B

37.已知復數z滿足(2+i)z=3-i,則目=()

A.1-iB.1+iC.0