2024—2025學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)中山大學(xué)附中八年級（下）期中

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分.請將正確選項涂在答題卡上）

1.無理數(shù)逝的倒數(shù)是（）

A.72B._72C.當(dāng)D.2

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用倒數(shù)的定義分析和二次根式的化簡即可得出答案；相乘為1的兩個數(shù)即為倒數(shù)；

【詳解】解：無理數(shù)血的倒數(shù)是：/=冷.

故選C.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡、倒數(shù)的定義，正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵；

2.下列二次根式中，最簡二次根式的是（）

A.AB.y/05C.75D.750

【答案】C

【解析】

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時

滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

【詳解】A、自？被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；故A選項不符合題意；

B、反咚,被開方數(shù)為小數(shù)，不是最簡二次根式；故B選項不符合題意；

C、后,是最簡二次根式；故C選項符合題意；

D.回=5后，被開方數(shù)，含能開得盡方因數(shù)或因式，故D選項不符合題意；

故選C.

3.下列計算正確的是（）

A.y/2x^/3=^6B.y[2+y/3=y/5C.a=4垃D.5/4—A/2=A/2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的減法、二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根

式的乘法、二次根式的加法、二次根式的減法、二次根式的性質(zhì)判斷即可得出答案.

【詳解】解：A、V2xV3=V6.故原選項計算正確，符合題意；

B、行和百不是同類二次根式，不能直接相加，故原選項計算錯誤，不符合題意；

C、血=2后，故原選項計算錯誤，不符合題意；

D、"-亞=2-夜，故原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：A.

4.下列各組數(shù)中，能組成直角三角形的三邊的是（）

A.5,12,13B.13,14,15C.3,4,qD.3,3,6

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了勾股逆定理，如果最長的邊的平方等于兩個較短的邊的平方之和，就能組成直角三角

形，否則不能，據(jù)此進(jìn)行逐項分析，即可作答.

【詳解】解：A.52+122=132;能作為直角三角形三邊長度，符合題意；

B.132+142^152.不能作為直角三角形三邊長度，不符合題意；

C.32+（A/5）2^22,不能作為直角三角形三邊長度，不符合題意；

D.32+32^72,不能作為直角三角形三邊長度，不符合題意.

故選：A.

5.如圖字母3所代表的正方形的面積是（）

A.12B.13C.144D.194

【答案】C

【解析】

【分析】此題主要考查勾股定理.根據(jù)已知兩個正方形的面積169和25,求出各個的邊長，然后再利用勾

股定理求出字母3所代表的正方形的邊長，然后即可求得其面積.

詳解】解：■169-25=13z—5?=122,

字母B所代表的正方形的面積12?=144.

故選：C.

6.下列命題正確的是()

A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C,對角線相等的平行四邊形是矩形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查特殊的平行四邊形的判定，熟練掌握特殊平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵，根據(jù)平行

四邊形、正方形、矩形、菱形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：A、對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形，不符合題意；

B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；不符合題意；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形；符合題意；

D、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，不符合題意；

故選：C.

7.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF,若AB=4,BC=8.則D'F的長為

()

【答案】C

【解析】

【分析】連接AC交EF于點0,由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=8,ZB=90°,由勾股定理得出AC=

VAB2+BC2=4A/5-由折疊的性質(zhì)得出EFJ_AC,AO=CO=yAC=275-證出

AOAD

RtAAOF^RtAADC,則——=——，求出AF=5,即可得出結(jié)果.

AFAC

【詳解】解：連接AC交所于點。，如圖所示：

:四邊形ABCD是矩形,

：.AD^BC=S,ZB=ZD=90%

AC=yjAB2+BC2=A/42+82=4A/5，

???折疊矩形使C與A重合時，EF^AC,AO=CO=-AC=245,

2

AZAOF=ZD=90°>ZOAF=ZDAC,

：.則RtAAOFsRtAADC

,AOAD268

??一,即：--------,

AFACAF46

解得：AF=5,

???DF=DF=AD-AF=S-5=3>

故選C.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握折

疊的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，三角形的直角邊分別對應(yīng)數(shù)為-1和1,則數(shù)軸上點A所表示的數(shù)。的值是（）

-2-101-234

A.亞B.-V5+1C.75+1D.75-1

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上兩點的距離，熟練數(shù)軸兩點之間距離是解題的關(guān)鍵；

本題可先根據(jù)勾股定理求出直角三角形斜邊的長度，該長度等于點A到-1這個點的距離，再結(jié)合數(shù)軸上點

的位置關(guān)系求出點A所表示的數(shù).

【詳解】解：二?三角形的直角邊分別對應(yīng)數(shù)為-1和1,

直角三角形的兩條直角邊長分別為2和1,

根據(jù)勾股定理萬="斤=6，

...點A到—1距離是行，

設(shè)點A表示的數(shù)為a,

a——1，

故選：D.

9.如圖，在中，對角線AC的垂直平分線分別交AD,F,連接AF,若△板的周長為6,則

口ABCD的周長為（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形周長的計算；熟練掌握平行四邊形

的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=EC,那么由△川的周長為6可得4?+3c=6,再根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)可得AD=6C,DC=AB,進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：：對角線AC的垂直平分線分別交A。，BC于點、E,F,

：.AF=CF,

,：44跖的周長為6,

：.AB+BF+AF^AB+BF+CF=AB+BC^6.

..?四邊形A3CD是平行四邊形，

:.AD=BC,DC=AB,

口A5CD的周長為8(AB+BC)=12.

故選：B.

10.如圖，菱形ABCD的對角線AC,3D相交于點。，AEJ_C。于點E,,連接AE,OE,若5。=6,

OE=5，則菱形的周長為（）

A.477B.16C.8也D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由菱形的性質(zhì)推出。1=OGOD=-BD=3,AC1BD,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到

2

OE=OC,由勾股定理求出。C=4,即可求出菱形的周長.

【詳解】解：：四邊形A3CD是菱形，

OA=OC,OD=-BD=3,AC±BD,

2

,：AEA.CD,

OE=OC=5，

CD=VODI+5CI=4-

菱形的周長4CD=16.

故選：B.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.在實數(shù)范圍內(nèi)，若Jl-2x有意義,則尤的取值范圍是.

【答案】xV—##—2%

22

【解析】

【分析】此題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0,可以求出x的范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意得1—2x22,

解得：x<—,

2

故答案為：x<—.

2

12.已知口ABCD的周長為32,若AB=6,則=.

【答案】10

【解析】

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形對邊相等以及平行四邊形的周長的定義解答即可.

由平行四邊形的性質(zhì)推出AB=CD，BC=AD,得到口ABCD的周長=2（A3+3C）=32,即可求出BC

的長.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,BC=AD,

：.nABCD的周長=2（AB+BC）=32,

AB=6,

BC=10.

故答案為：10.

13.直角三角形的斜邊上的中線長為8.5,其中一條直角邊長為8,則另一直角邊為.

【答案】15

【解析】

【分析】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)及勾股定理，利用直角三角形斜邊的中

線等于斜邊的一半的性質(zhì)求得斜邊長是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線長為8.5,可以得到斜邊的長,然后根據(jù)勾股定理即可求得另一直角邊的長.

【詳解】解：???直角三角形的斜邊上的中線長為8.5,

???這條斜邊長為17,

..?其中一條直角邊長為4,

,另一直角邊為J17?-8?=15>

故答案為：15.

14.如圖，菱形A8C0,其中點C坐標(biāo)是（3,4）,則頂點8的坐標(biāo)是.

77：

AX

【答案】(8,4)

【解析】

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)

鍵.

由兩點距離公式可求OC=5,由菱形的性質(zhì)可得QA=CB=5,OA//CB,即可求解.

【詳解】解：：點C的坐標(biāo)為(3,4),

(9C=A/32+42=5-

?..四邊形ABCO是菱形，

OA=CB=5,OA//CB,

??.點8(8,4),

故答案為：(8,4).

15.如圖，AC,3。是四邊形ABCD的對角線，E,尸分別是A。，3c的中點，M,N分別是AC,

6D的中點，連載MF,FN,NE,EM,要使四邊形現(xiàn)ffW為菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是

【答案】AB=CD

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到硒=加=,48,FN=EM=-CD,則可證明四邊形

22

為平行四邊形，當(dāng)EN=FN,即A5=CD,則此時平行四邊形是菱形，據(jù)此可得答案.

本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：四邊形ABC。需滿足的條件是AB=CD,

理由：'：E,P分別是AD，3c的中點，M,N分別是AC,6D的中點,

AE=DE,BN=DN,BF=CF,AM=CM,

根據(jù)三角形中位線定理得到EN=FM=^AB,EN\\FM\\AB,FN=EM=^CD,FN\\EM\\CD,

四邊形為平行四邊形，

當(dāng)EN=FN,即A5=CD,則此時平行四邊形是菱形，

故答案為：AB=CD.

16.如圖，已知AABC,以AC為邊在AABC外作等腰△ACD,ZDAC=2ZABC,若3。=8,久加0=12,

【答案】10

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用.關(guān)鍵是根據(jù)

已知條件構(gòu)造全等三角形.過點B作創(chuàng)過點A作加于點E,在班的延長線上截取

EF=EB,連接則AE是BE的垂直平分線，AE\\BC,由此得

ZBAF=/DAC=2ZABC,進(jìn)而得NC4b=/ZM3,進(jìn)而可依據(jù)“SAS”判定&4FC和AABD全

等，則5=助，再根據(jù)S?BC=12得EB=3,則5尸=2EB=6,然后在中，由勾股定理

求出CF=10即可得出的長.

【詳解】解：過點2作，5C,過點A作AE,5/0于點E,在5E的延長線上截取石尸=石3，連

接如圖所示:

AE是5歹的垂直平分線，

/.AE\\BC,AF=AB,

???AAB尸是等腰三角形，

?/AE±BM,

/.ZBAE=ZFAE,

：.ZBAF=2ZBAE,

,ZAE\\BC,

：.ZBAE=ZABC,

：.ZBAF=2ZABC,

■：ZDAC=2ZABC,

：.ZDAC^ZBAF,

：.ZDAC+ZDAF=ZBAF+ZDAF,

ZCAF=ZDAB,

AF=AB

在AAFC和^ABD中,<^CAF=ZDAB,

AC=AD

：.AAFC^AABD(SAS),

CF=BD,

BC=8,S?ABC=12,

???△SADCARr=2-BC-BE=12,

EB-3,

EF=EB=3,

BF-2EB=6,

22

在RtABCF中，由勾股定理得：CF=7BC+BF=10，

:.BD=CF=IU.

故答案為：10.

三、解答題（共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.計算：

(1)V27-3V12+V48；

(2)3720-2xA

【答案】（1）拒

（2）28

【解析】

【分析】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵.

（1）先化簡，再合并同類二次根式即可；

（2）先化簡，再進(jìn)行乘法運算即可.

【小問1詳解】

解：原式=-6V；

【小問2詳解】

原式=166_：君)*逐=3()_2=28.

18.如圖，QABCD中，點E在3C上，點F在上，且Ak=CE.求證AE=CE.

【答案】見解析

【解析】

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形,可得A尸〃CE,又■=CE,得到四邊形AECF是平行四邊形.則

該平行四邊形的對邊相等：AE=CF.

本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：?..四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

AF//CE.

又：AF=CE,

...四邊形AECE是平行四邊形，

：.AE=CF.

19.己知：實數(shù)0,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：21儂-1)2++1)—+Z?|?

ab

______?____?_____?__________??______?

~01

【答案】b-1

【解析】

【分析】先判斷“vOvlG,同幼,a+l<0,b-l>0,a+b>0,后化簡計算即可.

本題考查了數(shù)軸上字母表示數(shù)，絕對值的化簡，熟練掌握實數(shù)的大小比較，絕對值的化簡是解題的關(guān)鍵.

b

［詳解］解：根據(jù)------L~—土??■＞，

—101

Aa<O<l</?,|a|</?,?+1<0,6-1>0,a+b>Q,,

；?2,(、—吁+《(a+1丫—,+同

—2b—2+a+l1-a—b,

=b-l.

20.已知圖是4x5的方格紙，其中每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點，已知格點線

段AB.

(1)畫出一個格點VA3C,使NACB=90°,并求其面積；

(2)直接寫出使得VA3C為直角三角形的格點C有個.

【答案】(1)見解析；

(2)6

【解析】

【分析】本題考查勾股定理與網(wǎng)格問題，網(wǎng)格中判斷直角三角形，熟練掌握勾股定理及其逆定理，是解題的

關(guān)鍵：

（1）根據(jù)勾股定理及其逆定理，有4種情形，畫出圖形求解;

（2）根據(jù)直角三角形的定義畫出圖形即可.

【小問1詳解】

由題意，如圖，￡，。2，。3，。4均滿足4?！?90°,

對于G,由勾股定理，得：AC]=Vl2+12=J5,BQ=A/32+32=372,AB=A/22+42=275，

：.AC12+BC；=AB2,

S〃ABG=；x后義3后=3；

對于c?,同法：s.=-x7idxA/id=5,

j△/1DV22BC

對于。3，04，^AABCJ==-X2X4=4;

【小問2詳解】

同（1）法，如圖，滿足條件的格點C有6個，

故答案為：6.

21.已知2+6的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為江

（1）分別寫出。，6的值；

（2）求6+片的值.

【答案】（1）a=3；b=&\

（2）13-273

【解析】

【分析】本題考查實數(shù)的估算及運算，熟練掌握實數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵，

（1）先估算若大小，從而估算2+6的大小，求出其整數(shù)部分。和小數(shù)部分6即可;

（2）把（1）中求出的“，b代入所求式子進(jìn)行計算即可.

【小問1詳解】

解：1<73<2，

.,?3<2+A/3<4.

，2+6的整數(shù)部分是。=3,6=2+百—3=百—1;

【小問2詳解】

解：由(1)可知：a=3,b=2+6-3=6—1，

a2+b2=32+(A/3-1)2=9+3-26+1=13-2班.

22.在設(shè)計平行四邊形的活動中，甲同學(xué)想到用兩個矩形紙片重疊的方法，如圖，兩個長方形紙片的重疊部

分為四邊形ABCD.

(1)求證：四邊形ABCD平行四邊形；

(2)若這兩個矩形紙片寬度相同，判斷口ABC。是否為特殊的平行四邊形，并說明理由.

【答案】(1)見解析過程

(2)四邊形ABCD是菱形，理由見解析過程.

【解析】

【分析】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

(1)由平行四邊形的判定可求解；

(2)由等積法可得AR-5C=AS-CD,可得BC=CD,即可求解.

【小問1詳解】

證明：根據(jù)題意可得AD〃BC,AB//CD,

■.四邊形ABC。是平行四邊形；

【小問2詳解】

解：四邊形ABCD是菱形，

理由：作AR,5c于45,8于5,

由題意知：?.?兩個矩形等寬，

AR=AS,

ARBC=ASCD,

BC=CD,

..?平行四邊形ABC。是菱形.

23.已知等腰△C4B,C4=Cfi,點尸為三角形內(nèi)一點，連接PAP&PC.

圖1圖2

（1）如圖1,若VABC為等邊三角形，且PB=2,PA=若，PC=J7,求的度數(shù)以及AB邊長；

（2）如圖2,若C4=CB=13,AB=10,求B4+PB+PC的最小值.

【答案】（1）150°；V13

（2）12+56

【解析】

【分析】（1）將△ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，點尸的對應(yīng)點為E,點C的對應(yīng)點與點B重合，連接

EP，過點8作3歹LAP交心延長線于點R由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AE=AP=2,EB=PC=后,

ZPAE=60°,則VAFE是等邊三角形，利用勾股定理逆定理證明是直角三角形得

ZBPE=90°,由此可得出N3P4的度數(shù)；在廠中，根據(jù)NB/R=30。勾股定理即可求出的

長；

（2）將△A3。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AAW,點2的對應(yīng)點為連接PN,過點C作

于點H,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AN=AP,AB=AM,PB=NM,ZPAN=ZBAM=6Q°,PN=PA,

AM=BM=AB=10,得至（JPA+PB+PC=PN+MN+PC,

在中，由勾股定理得：CH^CB1-BH-=12-根據(jù)△的/是等邊三角形，BH=AH=5,得

MH±AB,ZMHB=9Q°,故NCHB+NAffiB=180。，可以證明點C,H,M在同一條直線上，故

CM=CH+MH,在中，由勾股定理得：MH7MB?-BH?=5垂），得到

CM=CH+MH=12+5A/3-根據(jù)“兩點之間線段最短”得：尸N+MV+PCWCM即

PA+PB+PC<CM,據(jù)此即可得出PA^-PB+PC的最小值.

【小問1詳解】

解：???VA3C為等邊三角形，

/.AB=BC=CA,ABAC=ZBCA=ZABC=60°,

將△ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，點P的對應(yīng)點為E,點C的對應(yīng)點與點8重合，連接EP,

過點8作跖，AP交AP延長線于點F,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AE=AP=J^，EB=PC=S，ZR4石=60°,

則VAFE是等邊三角形，

故PE=AE=AP=yf3，ZEPA=ZPAE=ZP￡A=60°,

PB2+PE-=4+3=7=(⑺2=5爐

；.ZBPE=90。,

：.ZBPA=ZBPE+ZEPA=150°；

：.ZBPF=30°,

；.BF=gpB=l,PF=《B產(chǎn)-BF?=石,FA=PA+PF=2瓜

AB=y/BF"+F^=713?

【小問2詳解】

解：將AAB尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AAW,點8的對應(yīng)點為M,連接PN,過點C作SLAB于

點、H,如圖所示：

c

圖2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AN=AP,AB=AM,PB=NM,ZPAN=ZBAM=60°,

:.&APN和AABM均為等邊三角形，

PN=PA,AM=BM=AB=10,

：.PA+PB+PC=PN+AiN+PC,

在VABC中，G4=CB=13,CH上AB于點H,

：.BH=AH=-AB=5,

2

在RtACBH中，由勾股定理得：CH7cB°-BH?=12>

：△ABM是等邊三角形，BH=AH=5,

：.ZMHB=90°,

NCHB+NMHB=180。,

.?.點C,H,M在同一條直線上，

：.CM^CH+MH,

在RtAMBH中，由勾股定理得：-BH~=573，

/.CM=CH+MH=12+56，

根據(jù)“兩點之間線段最短”得：PN+MN+PC<CM,

：.PA+PB+PC<CM,

PA+PB+PC<12+5y/3

C.PA+PB+PC的最小值為12+573.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線

段最短，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為6的正方形紙片ABC。，點尸為正方形邊上的一點（不與點A、點。

重合），將正方形紙片沿著某線折疊，使點B落在尸處，點C落在G處，折痕為所，PG與CD交于點

H,連接5P、BH.

圖1圖2

（1）如圖1,求證：ZAPB=ZBPH；

（2）如圖1,若AP=2，求線段跖與的長度；

（3）如圖2,連接BG,直接寫出3G+EE的最小值為

【答案】（1）證明見解答

(2)HC=3,EF=2回

（3）6亞

【解析】

【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出/03。=/3尸//,進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出NAP5=NMC即

可得出答案；

（2）如圖2,過點8作BQ_LPG于。，則N5QP=/BQH=90。，證明△人依名△。尸5（AAS）,得到

AB=BQ=BC=6,ZABP=ZQBP,再證明RtA5Q〃gRtABS（HL）.得到CH=QH,設(shè)

CH=Q/f=x,則DH=6—x,PH=x+2,則（6-%）一+42=（%+2），

求得CH=QH=3,過點/作月0LAB于點M,則四邊形C曲吠是矩形，由折疊得：EFLBP,設(shè)

EF,BP的交點為0,證明△RIB/AEMb,得EF=BP,由勾股定理得：BP=AB2+AP2=2^/10

即可解答；

（3）如圖2,過點8作BQ_LPG于Q,設(shè)”=x,則PQ=AP=x,由（2）同理得：EF=BP,問題

轉(zhuǎn)化如下圖：構(gòu)造邊長為6的正方形PTQG,點B在TQ上，設(shè)TB=x,則3Q=6-x,

pG

根據(jù)勾股定理，BP=S/AB-+AP2=A/36+X2>BG=JB02+QG2=,36+(6-xj,作出點P關(guān)于

TQ的對稱點R,連接RG交TQ于點W,當(dāng)點B與點W重合時，

BG+EF=BG+BP736+x2+《36+(6-XY取得最小值,且最小值為,6?+(6+6『=6?，即

可解答.

【小問1詳解】

證明：由折疊知尸E=

/./EBP=/F.PR,

又由折疊知：ZEPH=ZEBC=90°,

：.ZEPH-NEPB=ZEBC-NEBP,

即NPBC=NBPH,

又,:四邊形ABCD是正方形，

.'.AD//BC,

ZAPB=ZPBC,

/.ZAPB=NBPH；

【小問2詳解】

解：如圖1,過點8作BQ_L尸G于Q,則ZBQP=ZBQH=9Q°,

:四邊形ABCD是正方形，

/.ZA=ZC=ZZ)=ZABC=90o,AB=BC,

由(1)可知：ZAPB=ZBPH,

ZBAP=ZBQP

NAPB=ZQPB,

PB=PB

/.AAPB^QPB(AAS),

：.AB=BQ=BC=6,ZABP=ZQBP,

AP=PQ=2,

?；ZBQH=ZBCH=90°

BC=BQ

BH=BH

RtABQH^RtABCH(HL).

?/AD=CD=6,AP=2,

；?PD^DA-AP=4,

設(shè)CH=QH=x,則。H=6—x,PH=x+2,

(6-x)-+42=(x+2)2,

x=3,

CH=QH=3,

過點尸作引0LAB于點M,

ZBMF=90°=ZABC=ZC,

四邊形CBA3是矩形，

FM=BC=AB=6,

由折疊得：EF±BP，設(shè)即,8。的交點為O,

ZFON=90°=ZBMN,

?/ZBNM=Z.ONF,

；?ZABP=ZEFM，

?：ZA=ZEMF=90°,

???△PABQAEMF，

:.EF=BP,

由勾股定理得：BP=7AB2+AP2=2A/W'

???EF=2710;

【小問3詳解】

解：如圖2,過點8作BQ，PG于Q,

設(shè)”=%,則PQ=AP=x,

圖2

222

由勾股定理得：BP=ylAB-+AP-=V36+X-BG=^BQ-+QG=^36+（6-x），

由（2）同理得：EF=BP,

BG+EF=BG+BP=A/36+X2+^36+（6-x）2，

問題轉(zhuǎn)化如下圖：構(gòu)造邊長為6的正方形PTQG,點8在TQ上，設(shè)TB=x,則3Q=6-x,

根據(jù)勾股定理，BP=VAB2+AP2=V36+x2-BG=^BQ2+QG2=^36+（6-x）2，

作出點尸關(guān)于TQ的對稱點R,連接RG交不。于點W,當(dāng)點8與點W重合時,

BG+EF=BG+BP=436+*2+、36+（6—x）取得最小值，且最小值為J6rH6與f=，

故答案為：6A/5-

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，線段和的最小

值，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.已知AE/5產(chǎn)，AB=6,C為射線酬上一動點（不與B重合）），4c關(guān)于AC的軸對稱圖形為

△DAC.

（1）如圖1,當(dāng)點。在射線AE上時，求證：四邊