2024-2025學年第二學期第八十六中學教育集團教育質(zhì)量診斷八年級

數(shù)學試卷

本試卷共4頁，25小題，滿分120分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必在答題卡上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填學校、班級、姓名；同時填寫

考生號、座位號，再用25鉛筆把對應這兩號碼的標號涂黑.

2.選擇題答案用25鉛筆填涂：將答題卡上選擇題答題區(qū)中對應題目選項的答案信息點涂黑：

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；答案不能答在試卷上.

3.非選擇題答案必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上;

如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，改動后的答案也不能超出指定的區(qū)域，

不準使用鉛筆、圓珠筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共10題，每題3分，共30分）

1.使，％一2有意義的x的取值范圍為（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

【答案】A

【解析】

【分析】此題考查了二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0,據(jù)此列不等式求解

【詳解】解：當X—220時G5有意義，

得x22

故選A

2.下列屬于最簡二次根式的是（）

A.y/sB.C.J10D.J12

【答案】C

【解析】

【分析】最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)中不含分母或分母中不含二次根號；被開方數(shù)不含能

開得盡方的因數(shù)或因式，據(jù)此進行判斷.

【詳解】解：A、a=2丘,故此選項不符合題意；

,故此選項不符合題意;

22

C、而是最簡二次根式，故此選項符合題意；

D、疵=26，故此選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題考查了最簡二次根式的判定，熟練掌握最簡二次根式的兩個條件是解題的關鍵.

3.下列計算正確的是()

A.6+6=非B.72x73=76

C+4?=3+4=7D.J(—3)=-3

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了二次根式的計算，及性質(zhì)，先根據(jù)二次根式的加法和乘法計算判斷A,B；再根據(jù)

二次根式的性質(zhì)解答C,D即可.

【詳解】因為拒和若不是同類二次根式，不能合并，所以A不正確；

因為后xQ=JW，所以B正確；

因為,32+42=7^=5，所以C不正確；

因為,(—3)2=囪=3,所以D不正確.

故選：B.

4.如果下列各組數(shù)是三角形的三邊長，那么能組成直角三角形的一組數(shù)是()

A.2,3,4B.3,4,6C.4,6,7D.5,12,13

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理.根據(jù)勾股定理的逆定理：“如果三角形的三條邊滿足/+匕2=。2,

則這個三角形為直角三角形”，由此選出答案.

【詳解】解：A、22+32^42,故不能組成直角三角形，不符合題意；

B、32+42^62,故不能組成直角三角形，不符合題意；

C、42+62^72.故不能組成直角三角形，不符合題意；

D、52+122=132.故能組成直角三角形，符合題意;

故選：D.

5.點尸（3,—4）到原點的距離為（）

A.5B.4C.3D.-3

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查坐標兩點的距離公式，根據(jù)勾股定理即可求得.

【詳解】解：—4）,

，由勾股定理可知，OP=732+42=5?

即點尸（3,-4）到原點的距離為5.

故選：A.

6.如圖，四邊形A3C0的對角線交于點0,下列哪組條件不能判斷四邊形A8CD是平行四邊形（

B.AB=CDfA0=C0

C.AB=CD,AD=BCD.ZBAD=ZBCDfAB//CD

【答案】B

【解析】

【詳解】解：9：OA=OC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，故選項A不符合題意;

B、由故選項3符合題意；

C、9：AB=CD,

???四邊形A3c。是平行四邊形，故選項C不符合題意;

D、VAB//CDf

???ZABC+ZBCD=180°f

ZBAD=ZBCD,

：.ZABC+ZBA￡)=180°,

J.AD//BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，故選項。不符合題意;

故選：B.

7.矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相平分B.對角線互相垂直

C.四個角相等D.四條邊相等

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了矩形和菱形的性質(zhì)，根據(jù)相關性質(zhì)逐一分析，即可得到答案.

【詳解】解：A、矩形和菱形的對角線都互相平分，所以此選項結論錯誤；

B、菱形對角線互相垂直，所以此選項結論錯誤；

C、因為矩形的四個角都是直角，則矩形的四個角都相等，所以此選項結論正確；

D、菱形的四條邊相等，所以此選項結論錯誤；

故選：C.

8.如圖中的小方格都是邊長為1的正方形，則AABC的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或者直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，利用勾股定理和勾股定理

的逆定理證明AB?=8。2+4。2,AC=BC^即可得到VA3C是等腰直角三角形.

【詳解】解：RSABF中，由勾股定理得：AB-=AF2+BF~=22+42=20.

RtZkDBC中，由勾股定理得：BC2=BD2+CD~=I2+32=10-

同理可得，RtZ\AEC中，AC2=10-

AB-=BC2+AC2,AC=BC>

...VA3C是等腰直角三角形,

故選：D.

9.如圖，圓柱的底面周長為6,高為4,螞蟻在圓柱表面爬行，從點A爬到點2的最短路程是（）

A.2而B.5C.V13D.10

【答案】B

【解析】

【分析】沿過A點和過8點的母線剪開，展成平面，連接則A3的長是螞蟻在圓柱表面從A點爬到8

點的最短路程，求出AC和3C的長，根據(jù)勾股定理求出斜邊即可.

【詳解】解：如圖所示：沿過A點和過B點的母線剪開，展成平面，連接則的長是螞蟻在圓柱表

面從A點爬到B點的最短路程，

:圓柱的底面周長為6,高為4,

AAC=-x6=3,BC=4,ZC-90°,

2

???AB=^AC2+BC2=5'

從點A爬到點B的最短路程是5,

故選B.

【點睛】本題考查勾股定理的應用一最短路徑問題，能把圓柱的側(cè)面展開成平面圖

形，利用勾股定理進行求解是解題的關鍵.

10.如圖，VA3C的周長是2,以它的三邊中點為頂點組成第1個三角形△A§1G，再以△A31G的三邊

中點為頂點，組成第2個三角形與C2,…，則第〃個三角形的周長為（)

121

B.—c.----D.

T2n~22"i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理建立周長之間的關系，即可得到答案.

【詳解】解：...VA3C的周長是2,以它的三邊中點為頂點組成第1個三角形△A§1G，

..AG=gAC,

△ABG的周長為+AG+耳G=；（3C+AC+AB）=gx2=l,

△&與C2的周長為《x2=g,

以此類推，第〃個三角形的周長為《*2=擊，

故選：A.

【點睛】本題考查了找規(guī)律-圖形的變化類，三角形的中位線定理，熟練掌握三角形的中位線等于第三邊的

一半是解題的關鍵.

二、填空題（本大題共6題，每題3分，共18分）

11.計算（、后+6）（逐一途）的結果是.

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的乘法，熟練應用平方差公式進行計算是解題的關鍵.根據(jù)平方差公式進行計

算即可.

【詳解】解:原式=（6A-（代I

=5—3

=2

故答案為：2.

12.最簡二次根式5Gzi能與癥合并，則。=.

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查看同類二次根式，先化簡疵，再根據(jù)最簡二次根式5Gzi能與癥合并可得

。+1=3,據(jù)此即可求解，理解題意是解題的關鍵.

【詳解】解：412=243,

V最簡二次根式5疝萬能與V12合并，

4Z+1=3,

:.a=2,

故答案為：2.

13.在平行四邊形ABCD中，ZA+ZC=80°,則ND=.

【答案】140。##140度

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形ABCD,得到NA=NC,NA+NO=180°,結合NA+NC=80°,計算即可,

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】?.?平行四邊形ABCD,

：.ZA^ZC,AB//CD,

：.ZA+ZD=180°,

-：ZA+ZC=80°,

.-.ZA=40°,

AZD=140°,

故答案為：140°.

14.如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是.

【答案】Y

【解析】

【分析】在直角三角形中，求得斜邊的長，即可求解.

【詳解】直角三角形中，由勾股定理可得：斜邊長="萬=6,

...點A表示的實數(shù)是-石，

故答案為：-6

【點睛】題考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸的關系，根據(jù)勾股定理求出斜邊的長是解答本題的關鍵.

15.如圖，在菱形A3CD中，對角線AC,8D相交于點。，E為A3的中點，且QE=2,則菱形ABCD

的邊長為.

【答案】4

【解析】

【分析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關系，得出A3與EO的數(shù)量

關系是解題關鍵.

直接利用菱形的性質(zhì)得出EO=lA3進而得出答案.

2

【詳解】解：：在菱形A3CD中，對角線AC,相交于點。，

ZAOB=90°,

為AB的中點，且OE=2,

：.AB=2EO=4.

故答案為:4.

16.如圖，在RtAABC中，ZBAC=9Q°,A3=5,AC=12,點。是5c上的一個動點，過點。分別作

90145于點〃，DN上AC于點、N,連接則線段的最小值為.

【答案哈

【解析】

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理，由勾股定理求出3C的長，再證明四邊形。肱4N是矩

形，可得MN=AD,根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題.

【詳解】解：???NJBAC=90°,BA=5,AC=12,

BC=y]AB2+AC2=13，

DM±AB,DN±AC,

：.ZDMA=ZDNA=ZBAC=90°,

.??四邊形。MAN是矩形，

：.MN=AD,

...當AO/3C時，AD的值最小，

此時，VABC的面積=LABXAC=LBCXAD,

22

的最小值為——.

13

故答案為：—.

13

三、解答題（本大題共9題，共72分）

17.計算：V75+V27-4V3

【答案】46

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的加減混合運算，熟練掌握其運算規(guī)則是解題的關鍵.先化簡二次根式，然后

合并同類項即可.

【詳解】解：原式=5G+36-4百

=4百

18.如果實數(shù)X,1滿足y=+J3—v+2,求2x+y的值.

【答案】8

【解析】

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、求代數(shù)式的值，首先根據(jù)二次根式有意義的條件可得：

%=3,把％=3代入y=+萬M+2,可得y=2,再把x、y的值代入2x+y計算即可.

【詳解】解：'Jy=y/x-3+\j3-x+2,

x-3>0

3-x<0

x>3

解得：＜

x<3

..%—3,

y—J3-3+-3+2=2,

/.2x+y=2x3+2=6+2=8.

19.如圖，在口ABCD中，點E,尸分別在BCA0上，HBE=FD,求證：四邊形AEC/是平行四邊形.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得Ab〃ECAF=ECf然后根據(jù)平行四邊形的定義即可證得.

【詳解】證明：??,四邊形A5C。是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

J.AF//EC,

■:BE=FD,

：.BC-BE=AD-FDf

：.AF=EC,

???四邊形AEb是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出是解決問題的

關鍵.

20.實數(shù)。，6在數(shù)軸上的位置如圖，化簡正一后一Q(a+bY.

IB、>

01

【答案】0

【解析】

【分析】本題考查了數(shù)軸，二次根式的化簡，絕對值的化簡，根據(jù)數(shù)軸可得出。，》的正負情況，然后確

定。+〃的正負，再將二次根式化簡即可，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得：a<-l,0<b<l,

a+b<0,

=時一網(wǎng)一/+4

——a—Z?+a+Z?

=0.

21.已知”=2+百，b=2—百，求下列各式值.

(1)a1-b1;

(2)(a-1)9-1).

【答案】(I)8百

(2)-2

【解析】

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，平方差公式運算，代數(shù)式求值，多項式乘以多項式，熟練掌握運算法

則是解題關鍵.

(1)先算出a+6，a—人的值，再利用平方差公式進行計算代入求值即可；

(2)先求出a+),ab的值，再利用多項式乘以多項式進行計算代入求值即可.

【小問1詳解】

解：?.?a=2+G，b=2-6

a+b-2+^/3+2-^3=4,a—b=2+6-(2-6)=2^/3,

cT—b2=(a+Z>)(a—=4x26=8G

【小問2詳解】

<2—2+b=2--\/3，

a+b—2+y/3+2—y/3-4，ab=(2+A/3^2--\/3j=1,

(a—1)(〃-1)=ab—a—b+1—ab—(a+Z?)+1=1—4+1——2.

22.如圖，在VA5C中，ZABC=45°,ZACB=60°,且AC=46，求A3的長和VA5C的面積.

A

【答案】AB=60，18+6上

【解析】

【分析】過點A作AO/3C于點。，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，求出NC4Z）=30。，

NB4D=45°,再根據(jù)含30。角的直角三角形特征，等角對等邊，勾股定理分別求出。C,的長，再

利用勾股定理，以及三角形面積公式求出結果即可.

【詳解】如圖，過點A作AD/BC于點。，

■.■ZACB=6O°,AC=4百

:.ZCAD=90°-60°=30°,

DC=^AC=2^3,

在RSADC中，AD=VAC2-DC2=44國—(2代『=6，

-,-ZADB=90°,/ABC=45°,

:.ZBAD=45°,

BD=AD=6,

:.BC=BD+CD=6+2g，

在小AADB中，AB=>jAD-+BD1=A/62+62=672-

5aA￡C=1BC-AD=1（6+273）X6=18+6A/3.

【點睛】本題考查了勾股定理，垂線性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，含30。角的直角三角形特征，等角

對等邊，構造輔助線將特殊角放在直角三角形中是解題的關鍵.

23.如圖，在口ABCD中，對角線AC,BD交于點0,AELBD，CF±BD,垂足分別為E,F.

AD

5

(1)求證：EO=FO；

(2)若AE=EF=4,求AC的長；

(3)若ACLAB,BD=2AC,當AC=4時，求nABCD的面積.

【答案】(1)見解析(2)475

(3)8^3

【解析】

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等和勾股定理的運用，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊

形的性質(zhì)，三角形全等和勾股定理.

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得到AO=CO,由的，應＞，CFLBD,可得人￡，應＞,CFLBD,證

明AAEO瑪NCFO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；

(2)根據(jù)所=4求出OE的長度，然后根據(jù)勾股定理求出AO的長度，即可根據(jù)平行四邊形對角線互相

平分求出AC的長度；

(3)根據(jù)題意可求出BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出AO、BO,然后根據(jù)勾股定理求出最后

根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求解.

【小問1詳解】

證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AO=CO,

VAEYBD，CFLBD,

：.ZAEO=ZCFO=90°,

在△AEO和△CEO中,

ZAEO=ZCFO

＜ZAOE=ZCOF,

AO=CO

：.AAEO^^CFO(AAS),

EO=FO；

【小問2詳解】

解：V￡F=4.

E0=-EF=2,

2

在RtAAEO中，AO=y/AE2+EO2=A/42+22=275，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AC=2AO=4A/5：

【小問3詳解】

解：：AC=4,

BD=2AC=8,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AO=-AC=2,BO=-BD=4,

22

AC±AB,

AB=VB(92-AO2=742-22=2A/3，

???SARCn=AB.AC=273x4=873.

24.閱讀理解：如何根據(jù)坐標求出兩點之間的距離？

如圖，在坐標系中4(2,1),6(6,4),構造Rt^ACfi,則AC=6—2=4,BC=4-1=3,

AB=VAC2+BC2=A/42+32=5

若A（X，X）,5（程%）,則AC」馬—七|5c=|%f|

/.AB=VAC2+BC2="々-方+⑴-『I

這就是兩點間的距離公式，例如E（0,l）,D（4,0）

???ED=7（4-0）2+（0-l）2=,16+1=V17

（1）根據(jù)上述材料，老師讓同學們求代數(shù)式J（12-X）2+9++4的最小值.

小明同學的思路是：如圖，而二可以看成是點4(12,3)與點。(九,0)的距離，，￡+4可以看成

是點5(0,2)與點C(x,0)的距離.

作點B關于x軸的對稱點8,(,—),當A、C、8'三點共線時AC+8C最小，連接A3',則

AC+BC的最小值等于AB',由兩點間的距離公式得AB'=，

???7(12-X)2+9+V%2+4的最小值是.

(2)借助上面的思考過程，畫圖說明并求出代數(shù)式：

①J(8-X)2+25+A/X2+1最小值.

②J(8—尤y+25—J/+的最大值.

【答案】(1)0,-2;13；13

(2)①10；②4逐

【解析】

【分析】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此題的關鍵是利用數(shù)形結合思想解決問題，學會用轉(zhuǎn)化

的思想解決問題.

(1)根據(jù)題目提供的思路解答即可；

(2)①按照(1)的思路解答即可；

②若C4,Cfi,AB不在同一條直線上可構成一個三角形，則有|C4-當C4,CB,A3在同一條直

線上則有|C4-故可得結論

【小問1詳解】

解：如圖，而守75可以看成是點4(12,3)與點C(x,0)的距離，&2+4可以看成是點8(0,2)與

點。(尤,0)的距離.

作點8關于無軸的對稱點5'(O,—2),當A、C、9三點共線時AC+5C最小，連接A5',則AC+3C

的最小值等于AB',由兩點間的距離公式得AB'=J(12-Op+(3+2)2="，

7(12-x)2+9+7^2+4的最小值是13.

故答案為：0,-2；13；13；

【小問2詳解】

解：①如圖，J(8—x)2+25可以看成是點4(8,5)與點。(x,0)的距離,正有可以看成是點川。/)與

點。(尤,0)的距離.

作點8關于x軸的對稱點5'(0,—1),當A、C、8三點共線時AC+5C最小，連接AE,則AC+BC

的最小值等于

由兩點間的距離公式得AB'=J(8-0/+(5+1『=10，

/.J(8-X)2+25+7%2+1的最小值是10.

②7(8-x)2+25-A/X2+1|表示|CA-CB\,

若點C不在直線A3上，則在VA3C中，有|C4—。用＜45,

若點C在直線AB上時，有|C4—CB|=/R,

故原代數(shù)式的最大值即為線段A3的長度，當且僅當點C在直線A6上，

此時，AB=^(8-0)2+(5-1)2=4A/5,

即J（8-無）2+25-Jx?+1］的最大值為4j^

25.已知菱形ABCD的邊長為2,ZABC=6Q°,對角線AC、3D相交于點。.點加從點2向點C運

動（到點C時停止），點、N為CD上一點、,且NM4N=60°,連接AM交5。于點P.

圖1圖2

（1）寫出菱形A3CD的面積；

（2）如圖1,過點。作。GLAN于點G,若DG=L7,求點C到AM的距離？

（3）如圖2,點E是AN上一點，且AE=AP,連接助、0E.試判斷：在運動過程中；BE+OE是

否存在最小值？若存在，請求出：若不存在，請說明理由.

【答案】（1）273.

（2）1.7,具體見解析.

（3）存在最小值，最小值為J7.

【解析】

【分析】（1）如圖1,由四邊形ABCD菱形，得AC人BD,ZABO=-ZABC,解HuABO得

2

L1L

OB=5OA=-AB=1,進而AC=2,BD=2g，所以

S菱形A8CD=gAC3O=；X2百X2=2百.

（2）如圖1,過點C作CE，AAf,垂足為R由四邊形ABCD是菱形，/43C=60°得

AB^AC^AD,ZZMC=60°,進一步證得NC4E=NZMN,求證△AEC*AGD,所以

CF=DG=L7；

（3）如圖3,取中點”，連接卸九EH,CE,由四邊形ABCD是菱形，得AB=BC,

ZCAD=-ZBAD,進一步求證NSAP=NC47V,證得所以NACE=NABO=30。，

2-

求證NOCE=NHCE,RSOCD中，OC=-CD=CH,可證得△OCE=J￥CE,得OE=HE,于

2Z

是BE+OE=BE+HENBH,即5E+OE最小值為曲/的長；R^IDH中,IH=-,