2024學(xué)年（下）期中考試八年級數(shù)學(xué)科試卷（問卷）

考試時量：120分鐘滿分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

1.若二次根式J不有意義，則X的取值范圍是（）

A.x>5B.x>-5C.x>-5D.x<-5

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)題意利用二次根式有意義條件列式計算即可.

【詳解】解：：二次根式在不有意義，

x+5>0,即x?—5，

故選:B.

2.下列各組數(shù)，可以作為直角三角形的三邊長的是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.4,5,6D.5,6,7

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理逐項判斷即可求解，掌握勾股定理的逆定

理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A,V22+32^42,

2,3,4不可以作為直角三角形的三邊長，該選項不合題意；

B>V32+42=52.

3,4,5可以作為直角三角形的三邊長，該選項符合題意；

C>V42+52^62，

/.4,5,6不可以作為直角三角形的三邊長，該選項不合題意；

D>V52+62^72.

/.5,6,7不可以作為直角三角形的三邊長，該選項不合題意；

故選：B.

3.下列計算正確的是（）

A.30-0=3B.V8-V2=4

C.左肩=-加

D.說-行=0

【答案】D

【解析】

【分析】利用合并同類二次根式，二次根式的除法法則,二次根式非負(fù)性性質(zhì)化簡解題，逐項計算，即可解

答.

【詳解】解：A.3/-行=2后，故該選項錯誤;

B.Ji+亞=2，故該選項錯誤；

C.《―君）=小,故該選項錯誤；

D.瓜-正=26-血=6,故該選項正確;

故答案為D.

【點睛】本題考查二次根式的化簡、合并、除法等性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)

鍵.

4.如圖，在中，ZOAB=90°,。4=2,AB=1.以點。為圓心，08為半徑作弧，弧與數(shù)

軸正半軸交于點尸，則點尸所表示的數(shù)是（）

C.1+72D.屈

【答案】B

【解析】

【分析】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸以及勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理正確得出08的長是解題關(guān)鍵.

直接利用勾股定理得出08的長，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：???NQ43=90。，OA=2,AB^l,

OB=A/O42+AB2=V22+l2=,

故弧與數(shù)軸的交點尸表示的數(shù)為：75.

故選：B.

5.滿足下列條件的四邊形是正方形的有（）個

（1）對角線互相垂直且相等的平行四邊形；（2）對角線互相垂直的矩形；

（3）對角線相等菱形；（4）對角線互相垂直平分且相等的四邊形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用正方形的判定方法逐一分析判斷得出答案即可.

【詳解】（1）對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；

:對角線互相垂直，

，這個平行四邊形是菱形，

:對角線相等，

，這個菱形是正方形.

（2）對角線互相垂直的矩形是正方形.

:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，

兩條對角線互相垂直的矩形是正方形.

（3）對角線相等的菱形是正方形；

:對角線相等的平行四邊形是矩形，

，對角線相等的菱形是正方形.

（4）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

???對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

對角線垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，

對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

故選D.

【點睛】此題考查正方形的判定，掌握基本的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

6.下列命題的逆命題是假命題的是（）

A.等邊對等角

B.矩形的對角線相等

C.菱形的四條邊都相等

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【答案】B

【解析】

【分析】先寫出各個選項的逆命題，逐個進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、逆命題為“等角對等邊“，是真命題，故選項不符合題意；

8、逆命題為“對角線相等的四邊形是矩形"，是假命題，故選項符合題意；

C、逆命題為“四條邊都相等的四邊形是菱形"，是真命題，故選項不符合題意；

。、逆命題為“如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，這個三角形是直角三角形"，是真命題,

故選項不符合題意；

故選B.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確寫出各個命題的逆命題，再進(jìn)行判斷.

7.如圖，從一個大正方形中截去面積為3cm2和24cm2的兩個小正方形，則余下部分的面積是（）

C.1272cm2D.27cm2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)截去面積為3cm2和24cm2的兩個小正方形可得到陰影部分的寬和長分別為氐m、2瘋m即

可解答.

【詳解】解：：從一個大正方形中截去面積為3cm2和24cm2的兩個小正方形,

...小正方形的邊長分別為Gcm、2#cm，

???陰影部分的寬和長分別為由cm、2，Gcm，

，陰影部分面積為：2x6x26=120（cm2）,

故選C.

【點睛】本題考查了二次根式與實際問題，正方形的面積，二次根式的乘法運算法則，算術(shù)平方根，掌握

二次根式的乘法運算是解題的關(guān)鍵.

8.在四邊形ABCD中，點E,尸，G,8分別是的中點，AC與3D滿足（）條件時，

則四邊形EEGH是矩形.

A.相等B.互相平分C.垂直D.無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到=跖||AC,G"=gAC,GH//AC,得到EF=GH,

EF//GH,得到四邊形EEGH是平行四邊形；根據(jù)矩形的判定定理解答即可.本題考查的是中點四邊形，

掌握三角形中位線定理、矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)AC/3。時，四邊形EEGH矩形，理由如下：

V點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,QA的中點，

/.EF為7ABe的中位線，GH為AADC的中位線，

EF=^AC,EF\\AC,GH=^AC,GH//AC,

：.EF=GH,EF//GH,

/.四邊形是平行四邊形；

V即為△A8D的中位線，

EH//BD,

VAC1BD,EF〃AC,

???EFLEH,

；?平行四邊形EEGH矩形

故選：C

9.如圖，在平行四邊形A3CD中，AD=3,CD=2.連接AC,過點8作交。。的延長線于

點E,連接AE,交2C于點?若ZAFC=2ZD,則四邊形A8EC的面積為（）

，D

E

A.非B.275C.6D.2713

【答案】B

【解析】

【分析】先證明四邊形A3EC為矩形，再求出AC,即可求出四邊形A8EC的面積.

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD=2,BC=AD=3,ZD=ZABC,

?：BE//AC,

四邊形ABEC為平行四邊形，

ZAFC=2ZD,

：.ZAFC=2ZABC,

,：ZAFC=ZABF+ZBAF,

：.ZABF=ZBAF,

：.AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

平行四邊形ABEC是矩形，

ZBAC=90°,

AC=VBC2-AB2=V32-22=V5，

.1.矩形ABEC的面積為AB?AC=275.

故選：B

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟知相關(guān)定理，證明四邊

形ABEC為矩形是解題關(guān)鍵.

10.如圖，在平行四邊形A3CD中，AC=8,BD=4,則A。?+.2的值為（）

A.80B.64C.40D.32

【答案】C

【解析】

【分析】如圖，過點A作。AC于點T,過點8作B7LAC于點J.證明△DOTZABQ^AAS),推

出DT=BJ,OT=OJ,設(shè)DT=BJ=x,OT=OJ=y.利用勾股定理求解.本題考查平行四邊形的

性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題.

【詳解】解：如圖，過點A作。T,AC于點T,過點2作K7LAC于點?

OA=OC=—AC=4,OD=OB=—BD=2

22

?/ZDTO=ZBJO=90°,ZDOT=ZBOJ,

：.ADOT^ABOJ(AAS),

ADT=BJ,OT=OJ,

設(shè)DT=BJ=x,OT=OJ=y.

VAC=8,BD=4,

WJWAD2+AB2

=%2+(4-/J+x2+(4+

=2x2+2y2+32

=2,+力+32

=2X22+32

=40.

故選：c.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.)

11.在直角三角形中，兩條直角邊的長分別為9和12,則斜邊的長為.

【答案】15

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理直接求出斜邊的長即可.

【詳解】解：：在直角三角形中，兩條直角邊的長分別為9和12,

，斜邊長為：^92+122=15-

故答案為：15.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長為

a、b,斜邊長為c,那么"+匕'。?.

12.當(dāng)x=?—1時，代數(shù)式X2+2X+3值是.

【答案】7

【解析】

【分析】先把條件變形得到為+1=行，兩邊平方后變形得到好+2%=4,然后利用整體代入的方法計算.

【詳解】:x=^5-l，

x+1=A/5，

(x+1)2=5,

即d+2x+l=5，

必+2%=4，

d+2%+3=4+3=7.

故答案為：7.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.也考查了整體

代入的思想的運用.

13.如圖，VABC中，D,E分別是AC,AB的中點.若AD=3,BD=4,AB=5,則3c的長等

于.

c

【答案】5

【解析】

【分析】由三角形中位線定理推出。E=』3C,由勾股定理的逆定理得到NADB=90。，由直角三角形斜

2

邊中線的性質(zhì)推出。E=！A3,于是得到BC=AB=5.本題考查三角形中位線定理,勾股定理的逆定理，

2

直角三角形斜邊的中線，關(guān)鍵是由三角形中位線定理得到DE=LBC,由勾股定理的逆定理判定△ADB是

2

直角三角形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出

2

【詳解】解：???》E分別是AC,A3的中點，

???DE是VA3C的中位線，

DE=-BC

2

VAD=3,BD=4,AB=5,

???AD2+BD2=9+16=25=AB2）

ZADB=90°,

是AB的中點，

/.DE=-AB,

2

：.BC=AB=5.

故答案為：5.

14.如圖，菱形ABC。，其中點C坐標(biāo)是（3,4）,則頂點B的坐標(biāo)是

【答案】(8,4)

【解析】

【分析】本題考查了菱形性質(zhì)以及勾股定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)

鍵.

由兩點距離公式可求OC=5,由菱形的性質(zhì)可得QA=CB=5,OA//CB,即可求解.

【詳解】解：：點C的坐標(biāo)為(3,4),

G>C=A/32+42=5-

?.?四邊形A3C0是菱形，

OA=C5=5,OA//CB,

...點8(8,4),

故答案為:(8,4).

15.AABC中，30°,AB=46,AC=4,貝UBC=.

【答案】8或4.

【解析】

【分析】分兩種情況進(jìn)行解答，一是NACB為銳角，另一種NACB為鈍角，分別畫出圖形，通過作高，

構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)和邊角關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【詳解】①當(dāng)/ACB為銳角時，如圖1,過點A作ADLBC,垂足為D,

在RtAABD中，VZABC=30°,AB=4退，

1l

.?.AD=-AB=273,BD=cos30°xAB=6,

在RtAADC中，DC=次-(2后=2,

；.BC=BD+DC=6+2=8；

②當(dāng)NACB為鈍角時，如圖2,過點A作ADLBC,交BC的延長線于點D,

A

圖2

在R3ABD中，VZABC=30°,AB=46,

；.AD=；AB=2GBD=COS30°XAB=6,

在RtaADC中，DC=次_(2后2=2,

.\BC=BD-DC=6-2=4；

因此BC的長為8或4,

故答案為：8或4.

【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系等知識，分類畫出相應(yīng)的圖形，作高構(gòu)造直

角三角形是常用的方法.

16.如圖，在正方形ABCD中，E是對角線5D上一點，且滿足=連接CE并延長交AD于點

F，連接AE，過B點作于點G,延長BG交AD于點在下列結(jié)論中：

①AH=FD；

②SdAEO=S^AEF;

③AE垂直平分尸H；

@DC=(41+\^DF.

其中正確的結(jié)論有(填正確的序號).

【答案】①③④

【解析】

【分析】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，垂

直平分線的判定，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖C明角相等及構(gòu)造勾股定理.

【詳解】解：在正方形ABC。中

AD=AB=BC=CD,ZABD=ZBAE=ZCAD=ZADE=ZCDE=45°,

ZBAD=ZBCD=ZABC=ZADC=90°,AD//CB

：.ZEAD+ZEAB=90°,ZDFE=ZBCE

,:DE=DE,AE±BH,

：.△ADE均CDE(SAS),/EAR+ZABG=90°,

；.NDAE=NDCE,ZDAE=ZABH,

NDCF=ZABH,

：.AABH%ADCF,

：.AH=FD,

故①正確

?：BE=BC,

：.AB=BE，ZBCE=ZBEC,

AZBAE=ZAEB=1(180°-NABE)=67.5°,ZDFE=ZBEC

：.ZOAE=ZABE-ZBAC=22.5°,

ZFAE=ZDAC-ZEAC=22.5°,

ZFAE=ZEAC,

VAE±BH,ZDEF=ZBEC

垂直平分PH.ZDFE=ZDEF

：.DF=DE,

故③正確.

由ZEAF=ZFAO,AO1EO,AF不垂直EF,可判斷出\A￡O豐S^AEF,

故②錯誤.

設(shè)。/=OE=羽正方形的邊長為則

BE=BC=y,

:.BD=BE+ED=y+x,

在RtA5CD中，

BC2+CD2=BD2

即y2+y2=(%+y>

「?+(%+y)=0,(不合題意，舍去)&y-(%+y)=0

解得y=(夜+1)工

即DC=(V2+1)DF,

故④正確.

故答案為：①③④

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.計算：^/^'9外+6')-.

【答案】276+2

【解析】

【分析】本題考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡方法.

先計算乘法，再計算加減即可；

【詳解】解：原式=4新+2-2祈=2#+2.

18.如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點A處偏離欲到達(dá)地點B處40m,結(jié)果他在

水中實際游的路程比河的寬度多10m.求該河的寬度BC的長.

C

【答案】75米

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條

直角邊分別為。、b,斜邊為c,那么設(shè)=x米，則AC=(%+10)米，根據(jù)勾股定理得

出(x+10)2=402+f,求出x=75即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：設(shè)5C=x米，則AC=(x+10)米，

在RtZkABC中，2B90?,AC2=AB-+BC~-

即（X+1O）2=4。2+f,

解得：x=75,

即BC=75米，

答.該河的寬度3c為75米.

C

19.如圖，已知QABCD中，點E,歹分別在BC,AD上，且BPLCD,DELAB.求證:

BD=EF.

【答案】見詳解

【解析】

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊四邊形的判定方法

和性質(zhì).

證明四邊形DEBF是矩形可得結(jié)論.

【詳解】證明：?..四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB//CD,

QBFLCD,

:.BF±AB，

■.DE±AB，

DE//BF,

四邊形DEBF是平行四邊形，

QZDEB=90°,

四邊形DEB尸是矩形，

BD=EF.

20.已知x=6+1,y=6-1,求下列各式的值：

(1)X?+2Ay+J7?；(2)x~—y~.

【答案】⑴12；(2)473.

【解析】

【分析】先求出x+y=26,x-y=2,

(1)然后利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；

(2)然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可求解.

【詳解】解：???%=百+1,丁=百—1,

.?.x+y=(G+l)+(G-1)=26,x-y=(G+l)-(6-1)=2,

(1)/+2孫+/=(》+>)2=(2@2=12；

(2)x2-y2=(JC+y)(x-y)=2y/3x2=4y/3.

【點睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加減運算和乘法運算，熟練掌握相關(guān)知

識點是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，矩形ABCD的對角線4?,3。相交于點。BE//AC,AE//BD.

(1)求證：四邊形AO3E是菱形；

(2)若鉆=2,BC=4,求菱形AOBE的面積.

【答案】(1)見解析(2)4

【解析】

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

(1)先證明四邊形AOBE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的對角線相等且平分，得到。4=05,即可得證;

(2)連接OE,證明四邊形E5C0是平行四邊形，進(jìn)而得到OE=BC,利用菱形的面積公式進(jìn)行計算即

可.

【小問1詳解】

證明：AE//BD,

...四邊形AO3E是平行四邊形.

:四邊形A3CD是矩形，

/.AC=BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD.

22

OA=OB=OC=OD.

?..四邊形AOBE是平行四邊形，OA^OB,

四邊形是菱形.

【小問2詳解】

解：如圖，連接OE,

由（1）知四邊形AOBE是菱形，

BE=OB=OC-

■：BE//AC,

：.BE//OC,BE=OC.

...四邊形BEOC是平行四邊形.

OE=BC=4.

?1-S菱形AOBE=2SAAOBngoE..ngx’xZn4?

菱形AOBE的面積是4.

22.如圖，在四邊形ABCZ）中，AD\\BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=30cm.點

P從點A出發(fā)，以lcm/s的速度向點。運動；點。從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點8運動.規(guī)

定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動.

（1）從運動開始，求使PQ||CD需經(jīng)過多少時間？

（2）連接。Q,是否存在ADCQ為等腰三角形？若存在請求/的值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）6s；

(2)當(dāng)。=—s或4s或一s時，ADCQ為等腰三角形.

39

【解析】

【分析】(1)已知AD||3C,當(dāng)PQ||DC時，四邊形PQC。是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊相等

可得PD=CQ,設(shè)運動的時間是/s,可得關(guān)于/的方程，解方程即可得到運動的時間；

(2)當(dāng)ADCQ為等腰三角形，應(yīng)分三種情況求解：第一種情況、當(dāng)。C=CQ時，第二種情況、當(dāng)

DC=DQ時，第三種情況、當(dāng)OQ=CQ時.

【小問1詳解】

解：設(shè)運動的時間是抬，

r.AP=rem，CQ=3/cm,

PD=(24-f)cm

■■AD\\BC,

.?.當(dāng)PQ||DC時，四邊形PQC。是平行四邊形，

PD=CQ,

即3/=24—九

解得：t=6s>

..?從運動開始，使PQ11。需經(jīng)過6s；

【小問2詳解】

解：當(dāng)/="s或4s或"s時，ADCQ為等腰三角形，

39

如下圖所示，過點

D作DN工BC,

則ZDNC=ZDNB=90°,

-.-AD\\BC,4=90。，

:.ZA=ZB=90°,

二四邊形A8ND是矩形，

DN=AB=8cm,AD=BN=24cm,

1.CN=BC—BN=6cm,

在R3DNC中，DC=yjDN2+CN-=A/82+62=10-

???△DCQ是等腰三角形，

當(dāng)。C=CQ時，3,=10,

解得：?=—；

3

如下圖所示,

當(dāng)DC=Z>Q時，

,：DNLBC,

：.CN=QN=^CQ,

6=—x3?,

2

解得：Z=4；

當(dāng)DQ=CQ時，

?：CQ=3t,CN=6,

QN=CQ-CN=（3r-6）cm,

QD=y/DN-+QN2=^82+（3?-6）2，

.-.^82+（3?-6）2=3t，

整理得：36f=100,

25

解得:?=—；

9

綜上所述，當(dāng)/=—s或4s或一S時，ADCQ為等腰三角形.

39

【點睛】本題考查了動點幾何問題、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，解決本題

的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的性質(zhì)找到邊之間的關(guān)系，再利用邊之間的關(guān)系列方程求解即可.

23.在“勾股定理”一章的學(xué)習(xí)中，我們體會到了勾股定理應(yīng)用的廣泛性，以及“數(shù)形結(jié)合”是解決數(shù)學(xué)

問題的一種重要的思想方法.【已有認(rèn)識】由于0=由萬由此得到在數(shù)軸上尋找我所表示的點的方

法，如圖1.

（1）【已有認(rèn)識】結(jié)合正方形網(wǎng)格，我們還可以表示某些長度為無理數(shù)的線段.

【拓展運用】請在圖2正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）內(nèi)，

①畫出頂點在格點的VABC,其中AC=￡BC=2A/2,AB=?，

②直接寫出VA5C的面積=.

（2）【拓展運用】

①在圖3中，設(shè)人（大，％），B（X2,%），A。軸，軸，于點C,則AC=

BC=,由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點間的距離公式；

②圖4中，平面直角坐標(biāo)系中有兩點"（—3,4）,N（—5,1）,P為無軸上任一點，則PM+PN的最小值為

③應(yīng)用平面內(nèi)兩點間的距離公式，求代數(shù)式J（x—4y+l+JV+j+,4+（y—9）2的最小值為:

【答案】（1）（1）①畫圖見解析；②2

（2）①%1-x2；②匹;③2庖

【解析】

【分析】（1）①根據(jù)題意畫出三角形即可；②利用割補法計算即可;

（2）①根據(jù)題意和坐標(biāo)系寫出答案即可；②作點N關(guān)于x軸對稱的點G,連接MG,直線與無軸

的交點即為所求的點尸，可得PM+PN=PM+PG=MG,即得MG是PM+PN的最小值，再利用

兩點間的距離公式計算即可；③由

+1+y]x2+y2+,4+（y-9）-=+（。+1）~+^x2+y2+J（0+2）~+（--9）-得

J（x—*1+.+/+,4+（._9）2表示點。（乂。）到點5（4,—1）的距離與點C（O,j）到點D（x,O）

和點4（—2,9）到C（O,y）的距離之和，可知當(dāng)點A、C、。、B共線時，距離之和最小，最小值為線段A3

的長，利用兩點間的距離公式求出A3即可；

本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點間的距離公式及其應(yīng)用，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)

鍵.

【小問1詳解】

解：①如圖所示，VA3C即為所求；

@S&ABC=3x2-^x3xl-i-xlxl-^x2x2=2,

故答案為：2；

【小問2詳解】

解：①由題意得，AC=%—%,BC^xl-x2,

故答案為：M-%,占一々；

②如圖，作點N關(guān)于x軸對稱的點G,連接MG,直線MG與x軸的交點即為所求的點P,

A

X

：N（-5,1）,

G（-5,-1）,

vM（-3,4）,

PM+PN=PM+PG=MG=J（-3+5,+（4+1）2=曬，

即PM+PN的最小值為V29，

故答案為：y/29；

22

③''J（x-4）-+1+J/+J+,4+（y-9）-=+（0+1）-+^Jx+y+J（0+2『+（y-9）-，

J（x—4）2+1+次+/+#+（＞_9）2表示點D（%,0）到點8（4,—1）的距離與點。（0,y）到點

。（蒼0）和點4（—2,9）到C（0,y）的距離之和，

距離之和最小，最小值為線段AB的長,

VAB=J(—2—4)2+[9-(-=436+100=2回，

J（x-盯+1+次+,2+"+（『—9）2的最小值為2后，

故答案為：2用.

24.已知四邊形ABCD是平行四邊形，/鉆。=60°,43=4,5。=6,點￡是AD邊上一個動點，連接

BE,沿班將454石翻折至ZXBEE（如圖1）,Eb所在的直線與5c交于點H.

圖1圖2

（1）當(dāng)點E落在3C上時（如圖2）,判斷四邊形ABEE的形狀，并證明;

（2）當(dāng)點E與點。重合時，求CH的長；

（3）當(dāng)CH取最大值時，求此時所的長.

【答案】（1）四邊形A5EE是菱形，理由見詳解

(3)273-2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可證明四邊形A8EE是菱形.

（2）過。作。G，6C,交BC的延長線于G,依據(jù)Rt^DHG中，DG~+HG2=DH2,列方程求解

即可得出結(jié)論；

（3）依據(jù)EH=BH,可知CH=Cfi—8H=CB—EH=6—當(dāng)即最短時，CH最大,進(jìn)而得

出當(dāng)EH/3C時，CH有最大值.依據(jù)R〃BHb中，BH2+HF2=BF2＞列方程求解即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：四邊形A8EE是菱形.

理由：???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZAEB=ZEBC,

根據(jù)折疊可得/AEB=/FE8，AE=EF,AB=FB,

/.ZEBF=ZFEB,

:.EF=FB，

:.AE=EF=AB=FB,

四邊形A5EE是菱形.

【小問2詳解】

解：如圖所示，過。作。GL5C,交3c的延長線于G,

設(shè)CH=x,則5〃=6—x,

由折疊可得/4DB=NEDB，

?：AD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

：.ZFDB=ZCBD,

:.DH=BH=6—x,

:ZABC=6Q°,CD//AB,

.,.ZDCG=60°,

又VDGLCG,

：.CG=；CD=2,DG=VCD2-CG2=2G,

:."G=6+2-（6-x）=2+x,

在處△D7/G中，DG2+HG2=DH2,

即(2次y+(2+x)2=(6—x)2,

解得：x=』，

4

CH=~.

4

故答案為：一.

4

【小問3詳解】

解：如圖所示，由折疊可得/AEB=NFEB，

?：AD//BC,

:.ZAEB=ZCBE,

:.ZFEB=NCBE,

:.EH=BH,

:.CH=CB-BH=CB-EH=6-EH,

，當(dāng)EH最短時，CH最大,

.?.當(dāng)時，EH最短,CH有最大值,

由（2）可得AO與5c之間距離為2班，

...當(dāng)EH13C時，EH=2g=BH，

設(shè)EF=x,則EH=2g—x，

由折疊可得3產(chǎn)=胡=4，

在小△57強中，BH~+HF2=BF2-

即（2石產(chǎn)+（28一x）?=4?,

解得：菁=26—2,^=2百+2（舍去），

:.EF=2拒-2.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，菱形的判定，解一元二次方程，平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的綜

合運用，解題的方法是設(shè)要求的線段長為無，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含X的代數(shù)式表示其他線段

的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.

25.如圖1,在正方形ABCD中，AB=4,E、尸分別為邊A。、CD上的動點且滿足=

（2）若點￡為40的中點，求CG的長；

（3）如圖2,若AE=1，且點/、N分別為邊A3、上的動點，且始終滿足MNJ_跖.求

EM+6N的最小值.

【答案】（1）見詳解（2）4

（3）734

【解析】

【分析】（1）通過正方形的性質(zhì)證得△AEBZAJDE4（SAS）,得到ZABE=ZDAF,推出

ZAGE=ZBGF=90°,根據(jù)垂直的定義得到結(jié)論；

（2）過點G作GHJ_C。于"且交于點V，則汨〃A￡）,證明四邊形AEHD是矩形，運用勾股定

理得BE=AF=VAD2+DF2=275，根據(jù)等面積法得AG=^,以及勾股定理得

GE=^AE2-AG2=^-