7.2復數(shù)的四則運算

【題型歸納目錄】

題型一：復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算

題型二：復數(shù)加減法的幾何意義

題型三：復數(shù)模的綜合問題

題型四：復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

題型五：復數(shù)代數(shù)形式的除法運算

題型六：在復數(shù)范圍內解方程

【知識點梳理】

知識點一、復數(shù)的加減運算

1、復數(shù)的加法、減法運算法則：

設Z]=a+6i,z2=c+di(a,b,c,dwR),我們規(guī)定：

+z2=(tz+bi)+(c+di)=(a+c)+(6+d)i

z2-Zj=(c-a)+(d-b)i

知識點詮釋：

(1)復數(shù)加法中的規(guī)定是實部與實部相加，虛部與虛部相加，減法同樣.很明顯，

兩個復數(shù)的和(差)仍然是一個復數(shù)，復數(shù)的加(減)法可以推廣到多個復數(shù)相加(減)的情形.

(2)復數(shù)的加減法，可模仿多項式的加減法法則計算，不必死記公式.

2、復數(shù)的加法運算律：

交換律：+z2=z2+

結合律：(Z[+z2)+z3=zl+(z2+z3)

知識點二、復數(shù)的加減運算的幾何意義

1、復數(shù)的表示形式：

代數(shù)形式：z=a+bi(a,be7?)

幾何表示：

①坐標表示：在復平面內以點Z(a,6)表示復數(shù)z=a+6i(e火)；

②向量表示：以原點。為起點，點Z(a,b)為終點的向量無表示復數(shù)z=a+6i.

知識點詮釋：

復數(shù)z=a+一對應〉復平面內的點ZQb)<,對應>平面向量應

2、復數(shù)加、減法的幾何意義：

如果復數(shù)zrZ?分別對應于向量西、OP2,那么以。片、為兩邊作平行四邊形?！╀X，對角線OS

表示的向量漏就是Z1+z2的和所對應的向量.對角線4月表示的向量函就是兩個復數(shù)的差ZI-z2所對應

的向量.

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設復數(shù)句=。+4，z2=c+di,在復平面上所對應的向量為西、區(qū)，即西、區(qū)的坐標形式為

西=(a,6),區(qū)=(c,d)以西、壇為鄰邊作平行四邊形OZjZZ2,則對角線。Z對應的向量是應，

由于應=西+區(qū)=(a,6)+(<:/)=3+力6+4/),所以西和區(qū)的和就是與復數(shù)(a+c)+(6+d)，對

應的向量.

知識點詮釋:

要會運用復數(shù)運算的幾何意義去解題，利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數(shù)運算去處理

知識點三、復數(shù)的乘除運算

1、乘法運算法則：

設Z]=a+6i,z2=c+di(a,b,c,deR),我們規(guī)定：

4?z2=(a+加)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i

z.a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.

——---------------------------------------1----------1

2222

z2c+di(c+山X。一力)c+dc+d

知識點詮釋：

(1)兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把『換成T，并且把實部與虛部分別合

并.兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù).

(2)在進行復數(shù)除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共輾復

數(shù)(分母實數(shù)化)，化簡后寫成代數(shù)形式.

2、乘法運算律：

(1)交換律：Z](z2z3)=(Z[Z2)z3

ZZZZ

(2)結合律：(z2+z3)=12+13

ZZ

(3)分配律：Z[(z2+z3)=2122+13

【典型例題】

題型一：復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算

【方法技巧與總結】

解決復數(shù)加減運算的思路

兩個復數(shù)相加(減)，就是把兩個復數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減).復數(shù)的減法是加法的逆運

算.當多個復數(shù)相加(減)時，可將這些復數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減).

例1.(2023?高一單元測試)已知Zi，&eC,且團=闖=1,,+對=0，則歸12|=()

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A.1B.41C.V3D.2

例2.已知Zi，Z2@C,且|zj=%|=l,|zi+Zz|=0,則歸―2|=()

A.1B.V2C.V3D.2

例3.(2023春?甘肅白銀?高一統(tǒng)考期末)已知復數(shù)z滿足z+4i=6+3i,則z在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

變式1.(2023春廣西桂林高一統(tǒng)考期末)(l+i)+(-2+2i)=()

A.-l+3iB.1+iC.一1+iD.-1-i

變式2.(2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考期末)設復數(shù)z滿足z+3-i=-l+i,

則|z|=()

A.572B.2A/5C.4D.5

題型二：復數(shù)加減法的幾何意義

【方法技巧與總結】

復數(shù)與向量的對應關系的兩個關注點

(1)復數(shù)z=a+6i是與以原點為起點，Z(a,6)為終點的向量——對應的.

(2)一個向量可以平移，其對應的復數(shù)不變，但是其起點與終點所對應的復數(shù)可能改變.

例4.(2023?高一課時練習)如圖所示，已知復數(shù)4=%+始，z?=02+好(。1，4，。2也e夫)所對應的向量

次=(%,2，麗=(%也)，它們的和為向量方.請根據(jù)兩個向量相加的運算寫出對應的復數(shù)運算過程.

例5.(2023?高一課時練習)設向量西及。力在復平面內分別與復數(shù)z/=5+3i及復數(shù)Z2=4+z,對應，試

計算Z/—Z2,并在復平面內表示出來

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例6.（2023?高一課時練習）如圖所示，平行四邊形。42c的頂點。，A,C分別對應復數(shù)0,3+2，，-2

+4。求：

（1）向量而對應的復數(shù);

（2）向量。對應的復數(shù);

（3）向量礪對應的復數(shù).

變式3.（2023?高一課時練習）已知四邊形Q4C8是復平面內的平行四邊形，O是原點，點45分別表示復

數(shù)3+i,2+4i,M是OC,ZB的交點，如圖所示，求點C,W表示的復數(shù).

題型三：復數(shù)模的綜合問題

【方法技巧與總結】

H-Zzl表示復平面內ZrZ2對應的兩點間的距離.利用此性質，可把復數(shù)模的問題轉化為復平面內

兩點間的距離問題，從而進行數(shù)形結合，把復數(shù)問題轉化為幾何圖形問題求解.

例7.（2023春?高一課時練習）若zeC,i為虛數(shù)單位，且|z+2-2i|=l,求|z-2-271的最小直

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例8.(2023春?北京西城?高一北京市第十三中學校考階段練習)已知復數(shù)z滿足|z+i|=|z-i|,則匕+l+2i|

的最小值為()

A.1B.2C.V3D.V5

例9.著名的費馬問題是法國數(shù)學家皮埃爾?德費馬(16011665)于1643年提出的平面幾何極值問題：“已

知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”費馬問題中的所求點稱為費馬點,

已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當?shù)娜齻€內角均小于120。時，則使得

乙4尸3=/8尸。=/(?尸/=120。的點「即為費馬點.根據(jù)以上材料，若zeC,貝曲-2|+|z+2|+|z+2i|的最小

值為()

A.273-2B.273+2C.73-1D.73+1

變式4.(2023春?上海寶山?高一上海交大附中?？计谥?已知復數(shù)z一為滿足㈤=1,卜|=2,Z3=z「Z2,

則Z3在復平面所對應的點組成的圖形的面積為.

變式5.(2023?高一課時練習)若zeC,且目=1,則|z-3-4i|的最小值為

題型四：復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

【方法技巧與總結】

(1)兩個復數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法

①首先按多項式的乘法展開.

②再將/換成T.

③然后再講行復數(shù)的加、減運稹.

(2)常用公式

①(a+6i)2=a2-b2+2abi(a,beR).

(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,beR).

?(l±z)2=±2z.

例10.(2023?全國?高一專題練習)設z的共軌復數(shù)是7,若z-1=4i，z；=8，貝Uz=()

A.—2—2iB.2+2iC.—2+2iD.2+2i—2+2i

例11.(2023?高一課時練習)計算.

(l)(l+i)(l-i)+(-l+i)；

(2)(l-2i)(2+i)(3-4i).

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例12.(2023?高一課時練習)計算:

(l)i+i2+i3+---+i2016;

(2)i.i2-i3……i2016.

變式6.(2023?高一課時練習)計算：

(l)(l-i)(l+i)+(-l+i)；

⑵(2-5i)(4+3i)；

(3)(l-2i)(2+i)(3-4i);

(4)(a+bi)(a+Z)i)(-a-bi),其中a,b&R.

題型五：復數(shù)代數(shù)形式的除法運算

【方法技巧與總結】

(1)兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法運算步驟

①首先將除式寫為分式.

②再將分子、分母同乘以分母的共輾復數(shù).

③然后將分子、分母分別進行乘法運算，并將其化為復數(shù)的代數(shù)形式.

(2)常用公式

①1=-i;②——=i;③---=-i-

i1-il+i

例13.(2023春?廣西賀州?高一平桂高中校考階段練習)已知復數(shù)z滿足z(l+i)=2-i,z的實部為()

例14.(2023?高一課時練習)已知復數(shù)z滿足(3+4i)z=-4+3i貝ljz=()

1+zi

例15.12。23春戔徽安慶?高一?？茧A段練習)已知復數(shù)z滿足13r=1+21,則復數(shù)在復平面內對應的

點位于()

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A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

變式7.（2023春?北京昌平?高一?？计谥校┮阎獜蛿?shù)z=（l-評+2.

1-21

⑴求（Z+2）2；

（2）若-機z+”+eR）,求加

變式8.（2023?高一課時練習）復數(shù)2=（1+討+二，其中i為虛數(shù)單位.

⑴求Z及目；

（2）若z?+°彳+6=2+3i,求實數(shù)。，6的值.

變式9.（2023?高一課時練習）計算.

(l-4i)(l+i)+2+4i

(1)

3+4i

⑵5+M

1-i1+i

(3「26+1+(行)(4-8i)--(-4+8i)-

⑶+7TT-77i

變式10.（2023春?廣西玉林?高一?？茧A段練習）已知復數(shù)z=（l）+3（用）.

2-i

⑴求z的共軌復數(shù)；

⑵若az+6=1-i,求實數(shù)a,b的值.

變式11.（2023春?江蘇鹽城?高一鹽城市田家炳中學校考期中）若復數(shù)4=1+aiReR）,復數(shù)z2=3-4i.

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（1）^Z1+Z2GR,求實數(shù)。的值;

(2)若a=2,求」.

Z2

變式12.（2023?高一課時練習）計算:

1+i:V2+V3i

(1)?+V3-V2i'

1-i

⑵

(22J

題型六：在復數(shù)范圍內解方程

【方法技巧與總結】

當一元二次方程中A<0時，在復數(shù)范圍內有兩根且互為共扼復數(shù).

例16.（2023春?上海金山?高一華東師范大學第三附屬中學?？计谀┓匠?一2x+左=0有一個根為1+2i,

求上的值為（）

A.5B.3C.4D.2

例17.（2023?高一課時練習）若虛數(shù)"i（aeR）是方程/+2》+6=0的一個根，則實數(shù)b的值分別為

（）

A.1,2B.-1,2C.I,-2D.-1,-2

例18.（2023?高一課時練習）已知3i-2是關于x的方程2為2+8+?=0的一個根，求實數(shù)P，4的值.

變式13.（2023春?上海普陀?高一曹楊二中?？计谀┮阎猘,8eR,且bwO,復數(shù)z=a+bi（i為虛數(shù)單位）

滿足z+—wR.

z

（1）求⑶；

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7

（2）若關于x的方程ZX2+-X+2=0有實根，求z的所有可能值.

變式14.（2023?高一課時練習）在復數(shù)范圍內解方程/+6工+10=0.

變式15.（2023春?江蘇南京?高一南京市中華中學?？计谀┘褐?2是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛數(shù)

根，且4/2滿足方程24+（l-i）Z2=3+5i.

（1）求Z］和Z2.

（2）寫出一個以4和z2為根的實系數(shù)一元二次方程.

【同步練習】

一、單選題

1.（2023?高一課時練習）在復平面上，一個平行四邊形的三個頂點對應的復數(shù)分別為l+2i,-2+i,0,

則第四個頂點對應的復數(shù)不可能為（）

A.3-iB.-l+3iC.3+iD.-3-i

2.（2023?高一課時練習）復數(shù)a+歷與c+由（a,b,c,deR）的積是純虛數(shù)，則（）

A.ac+bd^0S.ad+bc-0B.ac+bd=Q^ad+bc^0

C.ac-bd—0S.ad+be^0D.ac-bd-O^ad+bc-O

3.（2023?高一課時練習）設Mni+iaf+it"與1^了，i為虛數(shù)單位，則M與N的關系是（）

A.M+N=0B.M<NC.M>ND.M=N

4.（2023?高一課時練習）二次方程尤2-2x"5=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有一個實數(shù)根，一個虛數(shù)根

C.有一對共輾虛數(shù)根D.有兩個虛數(shù)根

5.（2023?高一課時練習）設4、Z［、ZseC.下列命題中，假命題的個數(shù)為（）

①卜寸=㈤；

②若Z；=Z；,則Z[?Z]=Z2?%;

③kTF

22

④若-z2)+(z2-z3)=0,貝！JZ!=z2=z3;

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(5)2ZIZ2<zf+z?.

A.1B.2

C.3D.4

6.（2023?高一課時練習）已知（2—則忖=（）

11

A.—RD.-C「.-右---DL).G----

5353

7.（2023?高一課時練習）已知a"eR,且2+山，b+3i（i是虛數(shù)單位）是一個實系數(shù)一元二次方程的

兩個根，那么。，6的值分別是（）

A.a=—3,b=2B.a=3,b=—2

C.a=—3,b=—2D.a=3,b=2

8.（2023?高一課時練習）復數(shù)4=cosO+Z,z2=sm0-if則z「z2的最大值為（）

A.5B.舊C.6D.瓜

9.（2023?高一課時練習）設復數(shù)2滿足|z-i|=l,z在復平面內對應的點為（x,巧，貝!J

A.(x+1)2+y2=\B.(x—Ip+y2=iC.x2+(j^—I)2=1D.x2+(y+1)2=1

二、多選題

10.（2023春?廣西南寧?高一?？茧A段練習）復數(shù)z滿足自裳*-篁=2,則下列說法正確的是（）

3+21

A.z的實部為3B.z的虛部為2

C.z=3+2iD.z=-3+2i

11.（2023?高一單元測試）下列關于復數(shù)的四個命題正確的是（）

A.若閆=2,則z.z=4

B.若z（2+i7）=3+i,貝Ijz的共物復數(shù)的虛部為1

C.若|z+l-i|=l,則|z-1-i|的最大值為3

D.若復數(shù)4,Z2滿足㈤=2,匕]2二2,Zj+z2=1+V3i,則|Z_Z2|=2百

⑵（2。23?高一課時練習）已知復數(shù)〃工’則（）

A.z的實部是:B.z的虛部是I

C.z的共軌復數(shù)為g+

13.（2023春?廣東廣州?高一校聯(lián)考期中）已知i為虛數(shù)單位，則以下四個說法中正確的是

A.i10=-iB.復數(shù)-2-i的虛部為-i

C.若復數(shù)Z為純虛數(shù)，則匕「=2?D.若z為復數(shù)，貝為實數(shù)

三、填空題

第