第05講方程的解與一元一次方程及解法(核心考點(diǎn)講與練)

1.方程的定義

(1)方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程.

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個(gè)要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù).

(2)列方程的步驟：

①設(shè)出字母所表示的未知數(shù)；

②找出問題中的相等關(guān)系；

③列出含有未知數(shù)的等式------方程.

2.方程的解

(1)方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

注意：方程的解和解方程是兩個(gè)不同的概念，方程的解是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，具有名詞性.而

解方程是求方程解的過程，具有動詞性.

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這兩個(gè)方向的問題，一般都采用代入

計(jì)算是方法.

3.等式的性質(zhì)

(1)等式的性質(zhì)

性質(zhì)1、等式兩邊加同一個(gè)數(shù)(或式子)結(jié)果仍得等式；

性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

(2)利用等式的性質(zhì)解方程

利用等式的性質(zhì)對方程進(jìn)行變形，使方程的形式向x=a的形式轉(zhuǎn)化.

應(yīng)用時(shí)要注意把握兩關(guān)：

①怎樣變形；

②依據(jù)哪一條，變形時(shí)只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的.

4.一元一次方程的定義

(1)一元一次方程的定義

只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程.

通常形式是依+人=0(a,b為常數(shù)，且aWO).一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式.一元指

方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1,且未知數(shù)的系數(shù)不為0.我們將ax+b=O(其中x是未知

數(shù)，a、6是已知數(shù)，并且aNO)叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須

是1.

（2）一元一次方程定義的應(yīng)用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）

這類題目要嚴(yán)格按照定義中的幾個(gè)關(guān)鍵詞去分析，考慮問題需準(zhǔn)確，全面.求方程中字母系數(shù)的值一般采用

把方程的解代入計(jì)算的方法.

5.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

6.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點(diǎn)，

靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

（2）解一元一次方程時(shí)先觀察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號

外的項(xiàng)在乘括號內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號.

（3）在解類似于“ax+bx=c"的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+6）x=c.使方

程逐漸轉(zhuǎn)化為公=b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想.將以=b系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求JC時(shí)，方程兩邊

除以的是a還是從尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號，a、b同號尤為正，a、b異號x為負(fù).

7.含絕對值符號的一元一次方程

解含絕對值符號的一元一次方程要根據(jù)絕對值的性質(zhì)和絕對值符號內(nèi)代數(shù)式的值分情況討論，即去掉絕對值

符號得到一般形式的一元一次方程，再求解.

例如：解方程國=2

解：去掉絕對值符號x=2或-尤=2

方程的解為XI=2或X2=-2.

8.同解方程

定義：如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程.

（或者說，如果第一個(gè)方程的解都是第二個(gè)方程的解，并且第二個(gè)方程的解也都是第一個(gè)方程的解，那么這

兩個(gè)方程叫做同解方程.）

師點(diǎn)睛

方程的定義（共4小題）

1.（2021秋?博白縣期末）下列式子中是方程的是（）

A.5x+4B.3x-5<7C.x-2=6D.3X2-1=5

2.（2021秋?廉江市期末）下列各式中，不是方程的是（）

A.—2aB.2x+3

C.2x+l=5D.2（x+1）=2x+2

3.（2020秋?建安區(qū)校級月考）下列式子中：①5x+3y=0,②6_?-5x,③3x<5,④/+1=3,⑤三+2=

5

3x.是方程的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2020秋?饒平縣校級月考）下列敘述中，正確的是（）

A.方程是含有未知數(shù)的式子

B.方程是等式

C.只有含有字母x,y的等式才叫方程

D.帶等號和字母的式子叫方程

二.方程的解（共2小題）

5.（2021秋?肅州區(qū)期末）若a,萬互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，則關(guān)于x的方程Ca+b）x2+3cd（x+1）

衛(wèi)三=3的解為多少？

4

6.（2020秋?龍馬潭區(qū)期末）閱讀理解；我們知道國的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)無對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即以

=k-0|,也就是說|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離；這個(gè)結(jié)論可以推廣為：|x-y|表示在數(shù)軸

上數(shù)小y對應(yīng)點(diǎn)之間的距離.在解題中，我們常常運(yùn)用絕對值的幾何意義.

①解方程國=2,容易看出，在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為±2,即該方程的解為工=±2.

②在方程|x-1|=2中，x的值就是數(shù)軸上到1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，所以該方程的解是尤=3或尤=-1.

知識運(yùn)用：根據(jù)上面的閱讀材料，求下列方程的解：

（1）方程因=5的解;

（2）方程|尤-2|=3的解.

三.等式的性質(zhì)（共6小題）

7.（2021秋?廬陽區(qū)校級期末）下列利用等式的性質(zhì)，錯(cuò)誤的是（）

A.由a=b,得至打-2a=1-2bB.由ac=Z?c,得到

C.由-14x=7,得到尤=-AD.由-3=x,得到x=-3

2

8.（2021秋?九龍坡區(qū)校級期末）下列等式的變形正確的是（）

A.如果尤=y,那么2+尤=2-y

B.如果2刀=6,那么x=2

3

C.如果2（%-1）=3,那么2x-l=3

D.如果叫上，那么機(jī)=〃

kk

9.（2021秋?鹿邑縣月考）下列變形符合等式的基本性質(zhì)的是（）

A.如果2a-）=7,那么b=7-2a

B.如果〃求=〃鼠則”?=〃

C.如果-3x=5,那么x=9

3

D.如果——g—2,貝!]a=-6

3

10.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）已知°=瓦則下列變形錯(cuò)誤的是（）

A.2+a=2+bB.a-b=QC.-2a=-2bD.—=-^-

cc

11.（2021春?簡陽市月考）根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)，可以得到：若a->>0,則a>b；若a-6=0,則a

=b；若a-><0,則這是利用“作差法”比較兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式值的大小.

（1）試比較代數(shù)式5〃P-4利+2與-4m-7的值之間的大小關(guān)系；

（2）已知A=5〃，-4（工機(jī)-工），8=7（m2-m）+3,請你運(yùn)用前面介紹的方法比較代數(shù)式A與8的大

42

小.

（3）比較3a+2）與2a+36的大小.

12.（2020秋?前郭縣期末）一般情況下@+工=變R不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如〃z=〃=0.我

242+4

們稱使得見+匚=皿成立的一對數(shù)如頤為“相伴數(shù)對”,記為Cm,?）.

242+4

（1）試說明（1,-4）是相伴數(shù)對；

（2）若（x,4）是相伴數(shù)對，求x的值.

四.一元一次方程的定義（共2小題）

13.（2021秋?海州區(qū)期末）已知下列方程：①XlLj+i；②x+y=3；③x=0；④/+4x=3；⑤-3=2

23x

⑥x（1-2x）=3x-1.其中是一元一次方程的是（）

A.①③⑤B.①③C.①③⑥D(zhuǎn).⑤⑥

14.（2021秋?任城區(qū)校級期末）方程（a-3）J小2+3=0是關(guān)于式的一元一次方程，貝必=（）

A.3B.-3C.±1D.±3

五.一元一次方程的解（共2小題）

15.（2021秋?上城區(qū)期末）已知x=l是方程x+2〃z=0的解，則根的值為（）

A.-2B.二C.0D.2

2

16.（2021秋?博白縣期末）若x=3是關(guān)于x的一元一次方程2x+〃z-5=0的解，則機(jī)的值為（）

A.-1B.0C.1D.11

六.解一元一次方程（共10小題）

17.（2021秋?韶關(guān)期末）下列變形正確的是（）

A.由上2_1工^旦?去分母，得5（x-5）-1=3（2x+l）

35

B.由3（2x-l）-2（x+5）=4去括號，得6x-3-2x+10=4

C.由-6x-l=2x移項(xiàng)，得-6x-2x=l

D.由2x=3系數(shù)化為1,得了=三

3

18.（2021秋?隆回縣期末）方程2x-4=x+2的解為（）

A.x=-1B.x=1C.x=6D.x=2

19.（2021秋?南丹縣期末）在有理數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆"：a^b=a+^^,如：1☆（-3）=1+H1L=

22

-1.如果（-1）成立，貝卜的值是（）

A.-1B.5C.0D.2

20.（2021秋?嵐皋縣期末）把方程三-四=2去分母，下列變形正確的是（）

63

A.2x-x+l=2B.x-2（x+1）=12

C.2x-x+l=12D.x-2（x+1）=2

21.（2021秋?武昌區(qū)期末）小軍同學(xué)在解關(guān)于x的方程紇1去分母時(shí)，方程右邊的-1沒有乘2,

22

因而求得方程的解為3,則〃［的值和方程的正確解為（）

A.2,2B.2,3C.3,2D.3,3

22.（2021秋?福田區(qū)校級期末）解方程：

（1）7-3（x-1）=-%；⑵旦4x-l

23

23.（2021秋?韶關(guān)期末）解方程：絲芭-蘭包=1.

24

24.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末)解方程：

(1)3(2-3x)=x+l；(2)2xtL=1^z3x.

36

25.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）解方程:

(1)x+l=6-3(%-1)；⑵10x+4_20x-3^2

35

26.（2021秋?和平區(qū)校級期末）解下列方程：

（1）7x+2（3x-3）=20；（2）4+6°lx-CL01=2-5x-5.

0.30.0412

七.含絕對值符號的一元一次方程（共4小題）

27.方程|2x-6|=0的解是（）

A.x—3B.x~-3C.x=±3D.=—

Y3

28.（2021秋?江津區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程理曳=3+通勺解滿足|x|=3,則符合條件的所有岫勺值的和

2

為.

29.（2021秋?岳陽期末）已知關(guān)于x的方程始+3=2的解滿足|x-2|=0,則機(jī)的值是.

30.（2020秋?自貢期末）閱讀下列問題：

例.解方程|2x|=5.

解：當(dāng)2x>0,即x>0時(shí)，2x=5,

2

當(dāng)2x<0,即x<0時(shí)，-2x=5,

二.尤=-2

2

，方程|2川=5的解為尤=$或『-

22

請你參照例題的解法，求方程?生L|=i的解.

3

八.同解方程（共3小題）

31.（2021秋?澄海區(qū)期末）下列方程中，與x-1=-x+3的解相同的是（）

A.x+2=0B.2x-3=0C.x-2=2xD.x-2=0

32.（2021秋?十堰期末）若方程2（2x-3）=1-3x的解與關(guān)于x的方程8=2（%+1）的解相同，則根=

（）

A.-4B.4C.-12D.12

33.（2021秋?臨湘市期末）已知方程7x+2=3犬-6與x-1=帕勺解相同，則3必-1的值為（)

A.18B.20C.26D.-26

J能力提升

4分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一.選擇題（共5小題）

1.（2021秋?九龍縣期末）將方程比1=1上■去分母，得（）

34

A.4(2.x-1)=1-3(x+2)B.4(2x-1)=12-(x+2)

C.(2x-1)=6-3(x+2)D.4(2x7)=12-3(x+2)

2.（2021春?普陀區(qū)期中）下列各項(xiàng)中,一元一次方程是（）

A.2x=4B.2-2=5C.lx-—y—6D.lx-y=7

3

3.（2021春?普陀區(qū)校級月考）下列方程中,其解為-1的方程是()

A.2x-l=4x+3B.3x=x+3C.三」D.2(%-3)=3

22

4.（2021春?浦東新區(qū)校級期末）下列等式是一元一次方程的是（)

A.3%=0B.3+5=8C.7-4=0D.x-2y=5

5.（2021春?奉賢區(qū)期末）如果關(guān)于x的方程辦=b有無數(shù)個(gè)解，那么八6滿足的條件是（）

A.〃=0,b=0B.。=0,Z?力0c.eo,Z?=0D.bWO

填空題（共6小題）

6.（2021春?楊浦區(qū)期中）已知x=-3是關(guān)于龍的方程左（x+4）=尤+5的解，貝果=

7.（2019春?奉賢區(qū)期中）方程看xy+3=0中，卷xy的次數(shù)是次

8.（2019春?松江區(qū)期中）如果方程x+l=O與5+〃z=2x的解相同，那么7〃=

9.（2021春?嘉定區(qū)期末）將方程36x-2y=56變形為用含x的式子表示y的形式是

10.（2015秋?鄂城區(qū)期中）如果|x-2|+x-2=0,那么x的取值范圍是.

11.（2021秋?靜安區(qū)校級期中）如果3=工_,那么。=______.

46+a

三.解答題（共7小題）

12.（2021秋?西峰區(qū)期末）解方程：主2-織3=1.

46

13.（2021春?楊浦區(qū)校級期中）解方程：|x-|3x+2||=4.

14.（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）已知2：（15-x）=3：尤，求x的值.

15.（2021秋?閔行區(qū)期末）列方程求解：某數(shù)的2是8的12,求這個(gè)數(shù).

53

16.（2017秋?雨花區(qū)期末）尤=2是方程內(nèi)-4=0的解，檢驗(yàn)x=3是不是方程2ox-5=3x-4a的解.

題組B能力提升練

選擇題（共2小題）

1.（2019春?普陀區(qū)期中）某中學(xué)需要安排x名學(xué)生住宿，若8人一間則有50人無宿舍住，若12人一間則空余

30張床位，求學(xué)生人數(shù)可列出方程（）

A.X2§0=X+30B.8x+50=12x-30

812

C.8^-50=12x+30D.x+50=xz30

812

2.（2019春